解析几何综合题解题思路案例分析
解析几何综合题求解思维视角
Ｉ 联 立直 线 与 二 次 曲 线 方 程 。 合 韦达 定 结 理． 是通 行之路
式 为坐标形式 ， 及 到 ． ＋Ｘ ， ｚ 自然 涉 ２ ２ ｚＹ ＋ ， 想 到联 立直线 方 程 与椭 圆方 程 ， 结 合 根与 再 系数关 系进行 转 化 ， 就建 立 了关 于 ｋ的方 这
例 １ 已知椭 圆ｘ ２
ｙＺ
Ｔ
一１口 ６ Ｏ 的 （＞ ＞ ）
左、 右焦点分别为 Ｖ ， ２离心率 ＝４ Ｆ ， ５
，
右
识等 ． 形式上 涉 及 求点 轨 迹 、 最值 （ 围） 定 范 、
点、 点线是 否存 在 、 某种 关 系 是 否成 立 等 等 ， 近年又多 与向量 、 数 、 列 、 导 数 不等 式交汇 ， 因 此其综 合性强 ， 求解运算 过 程繁琐 ， 法也 比 解 较灵 活 ， 还蕴 含 丰 富数 学思 想 ， 方 程思 想 、 如
第 ２ 卷第 ３ ９ 期 ２ １ ０ ０年 ３月
数学 教 学 研 究
３ ３
解析 几何 综合题求 解 思维视 角
王 弟 成
（ 江苏 省 连 云港 市 教 育局 教 研 室 ２ ２ ０ ） ２ ０ ６
解析 几何综 合题是 高考数 学试题 的必考
之路．
内容之一 ， 一般一 卷一题 ， 难度 不 同位 置也不 同， 时常 出现在最 后一题 压轴题 位置 ， 学生 是 惧怕的题 型之一 ． 内容 主要 涉及 ： 其 直线 、 、 圆 椭圆 、 曲线 、 双 抛物 线 、 次 函数 、 二 平面几何 知
Ｌ ｘ＝ 一 ｌ ， （ ＋ 忌 ） 一 ２ 一 １ ０ １ 。 忌 — ，
．
Ｙ － ｙ 一 — —— ’ ｌｔ ｚ ２ ｋ － ＋ — ｚ
解析几何综合题解题思路案例分析
解析几何综合题解题思路案例分析1 判别式----解题时时显神功2 2案例1 已知双曲线C •丄 -1，直线I过点A .2,0，斜率为k,当0 k 1时,2 2双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为..2，试求k的值及此时点B的坐标。
分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段•从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与I平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略•分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为42”，相当于化归的方程有唯一解•据此设计出如下解题思路:简解：设点M(x,i2 x)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线I的距离为:kx v'2 x2<2k于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2x kx ，从而有关于x 的于是方程点评：上述解法紧扣解题目标， 不断进行问题转换， 充分体现了全局观念与整体思维的 优越性.2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效 案例2 已知椭圆C: X 22y28和点P ( 4，1)，过P 作直线交椭圆于 A B 两点，APAQ在线段AB 上取点Q 使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程.PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰， 学生往往不知从何入手。
其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数，如何将x, y 与k 联系起来？ 一方面利用点 Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件:kx 2 x 22k , 2(k 21)2.2 x 2(；2(k 2 1) ,2k kx)2,.2(k 21).2k kx 022 2k 1 x2k ,2(k 21) — 2.2k x . 2(k1)、2k 2 0,2.2(k 1)、2k kx0.由0 k 1可知:2方程 k 2 1 x 2 2k . 2(k 2 1) •、2kx .2(k 21) ...2k 2 0的二根同正故.2(k 21) .. 2kkx 0恒成立， 于是 等价于2k 2 1 x2 i2k .21) .2k x - 2(k 21) 2k 2 0.25 kxkx 、、2 x 22k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式 0,就可解得 kAP PBAQ QB来转化•由A 、B P 、Q 四点共线，不难得到4(X A X B ) 2X A X B8 (X A X B )，要建立X与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，禾U用韦达定理即可关于x, y 的方程（不含k ），则可由y k （x 4） 1解得k —_1，直接代入x f k 即 x 4 可得到轨迹方程。
高中数学解析几何案例分析
高中数学解析几何案例分析一、直线与平面的交点在解析几何中，直线和平面的交点是一个重要的概念。
我们以一个案例来进行分析。
案例：已知平面P：2x - y + z = 5，直线L：x = 1 - t, y = 3t, z = t + 1。
解析：为了求解直线L与平面P的交点，我们可以将直线的参数方程代入平面方程中，得到：2(1 - t) - (3t) + (t + 1) = 5。
化简上述方程，我们可以得到 t = 1。
将 t 的值代回直线的参数方程中，我们可以得到直线与平面的交点坐标为 (0, 3, 2)。
二、平面间的夹角另一个重要的概念是平面间的夹角。
以下是一道相关案例的分析。
案例：已知平面A：x + 2y - 2z = 4，平面B：2x - y + z = 3，求平面A和平面B的夹角。
解析：为了求解平面A和平面B的夹角，我们可以计算两个平面的法向量，并利用向量的点乘公式求解夹角。
平面A的法向量为 (1, 2, -2) ，平面B的法向量为 (2, -1, 1) 。
根据向量的点乘公式，平面A和平面B的夹角θ可以计算为：cosθ = (1, 2, -2) · (2, -1, 1) / |(1, 2, -2)| |(2, -1, 1)|。
计算上述等式，我们可以得到cosθ = 1/6。
因此，平面A和平面B的夹角θ为 arccos(1/6)。
三、直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系也是解析几何的重要内容之一。
以下是一道相关案例的分析。
案例：已知直线L1：x = 2t + 1, y = -t + 1, z = 3t + 1，直线L2：x = 3s + 1, y = 2s + 1, z = -3s + 1，求直线L1和直线L2的位置关系。
解析：为了确定直线L1和直线L2的位置关系，我们需要比较它们的参数方程中的方向向量。
直线L1的方向向量为 (2, -1, 3)，直线L2的方向向量为 (3, 2, -3)。
专题四解析几何综合题型分析及解题策略
专题四解析几何综合题型分析及解题策略Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm专题四：解析几何综合题型分析及解题策略命题趋向纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,如08年08年江西理7文7题5分是基础题,考查与向量的交汇、08年天津文7题5分是基础题,考查圆锥曲线间的交汇、08年08徽理22题12分难度中档偏上,考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08年福建21题12分难度中档偏上,考查圆锥曲线与不等式的交汇、08年湖北理19题12分中等难度,考查直线、圆与圆锥曲线的综合题、08年江苏21题12分中档偏下题,考查解析几何与三角函数的交汇,等等.预计在09年高考中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第1问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第2问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目,从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.考试要求1．掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．了解线性规划的意义,并会简单的应用．3．掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念;理解圆的参数方程．4．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程．5．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．6．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．考点透视解析几何是高中数学的重要内容,包括直线和圆与圆锥曲线两部分,而直线和圆单独命为解答题较少,只有极个别的省市高考有出现,而圆锥曲线是解析几何的核心内容,每年在全国及各省市的高考中均出现.主要考查热点：1直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程；2直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等；3圆锥曲线的定义及标准方程；4与圆锥曲线有关的轨迹问题；5与圆锥曲线有关的最值、定值问题；6与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.典例分析题型一直线与圆的位置关系此类题型主要考查：1判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；2运用三种位置关系求参数的值或取值范围；3直线与圆相交时,求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题.例1若直线3x＋4y＋m＝0=0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点,则实数m的取值范围是_____________.分析利用点到直线的距离来解决.解圆心为1,－2,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径,得d＝错误!＞r＝1,即|m－5|＞5,m∈－∞,0∪10,＋∞.点评解答此类题型的思路有：①判别式法即方程法,②平面几何法运用d与r的关系,③数形结合法.由于圆的特殊性既是中心对称图形又是轴对称,因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式法,而利用平面几何法求解,即利用半径r、圆心到直线的距离d的求解.题型二圆锥曲线间相互依存抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式,只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好,处理这类问题的困难不大.例22009届大同市高三学情调研测试设双曲线以椭圆错误!＋错误!＝1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为A．±2 B．±错误!C．±错误!D．±错误!分析根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标,再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程,由此得到关于双曲线关于a、c的值,进而得到b的值,再进一步求得渐近线的斜率.解由椭圆方程知双曲线的焦点为5,0,即c＝5,又同椭圆的焦点得错误!＝4,所以a＝2错误!,则b＝错误!＝错误!,故双曲线渐近线的斜率为±错误!＝±错误!,故选D.点评本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互关系.本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇,解答时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a、b、c、p之间的方程,再通过解方程求出相关基本量值,进而求取相关的问题.题型三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系,求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程,利用判别式与韦达定理来求解.例32009届东城区高中示范校高三质量检测题已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0,实轴长为2错误!．Ⅰ求双曲线C的方程；Ⅱ若直线l：y＝kx＋错误!与双曲线C 左支交于A、B两点,求k的取值范围；Ⅲ在Ⅱ的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M0,b,求b的取值范围．分析第1小题利用直接法求解；第Ⅱ小题将直线与双曲线方程联立消去y,然后利用判别式及韦达定理求解；第Ⅲ小题须利用“垂直”与“平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式,结合第Ⅱ小题k的范围求解.解Ⅰ设双曲线方程为错误!－错误!＝1a＞0,b＞0,由已知,得a＝错误!,c＝2,b2＝c2－a2＝1,故双曲线方程为错误!－y2＝1.Ⅱ设Ax A,y A,B x B,y B,将y＝kx＋错误!代入错误!－y2＝1,得1－3k2x2－6错误!kx－9＝0．由题意知错误!错误!,解得,错误!＜k＜1．∴当错误!＜k＜1时,l与双曲线左支有两个交点．Ⅲ由Ⅱ得：x A＋x B＝错误!,∴y A＋y B＝kx A＋2＋kx B＋错误!＝kx A＋x B＋2错误!＝错误!．∴AB中点P的坐标为错误!,错误!．设l0方程为：y＝－错误!x＋b,将P点坐标代入l0方程,得b＝错误!．∵错误!＜k＜1,∴－2＜1－3k2＜0,∴b<－2错误!．∴b的取值范围为：－,－2错误!．点评本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识,以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想,考查逻辑思维能力及运算能力.直线与圆锥曲线位置关系的主要涉及到交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等,解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决.特别地：1如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用“点差法”较为简单,但须注意对结果进行检验；2求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；3过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量.题型四圆锥曲线与三角函数的交汇此类试题主要体现在以三角函数为直线方程、圆的方程或圆锥曲线方程的系数,或根据三角函数满足的等式求解解析几何问题,或利用三角为工具研究解析几何问题等,解答时一般要根据所涉及到的解析几何知识及三角知识,将它们有机的结合在一起进行解答.例408年高考新课标各地联考考场全真提高测试已知是三角形的一个内角,且sin＋cos＝错误!,则方程x2tan－y2cot＝－1表示A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆分析首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值,进而具体化圆锥曲线方程,再根据方程进行判断.解由sin＋cos＝错误!及sin2＋cos2＝1,且0＜＜π,解得sin＝错误!,cos＝－错误!,因此x2tan－y2cot＝－1就是错误!－错误!＝1,表示焦点在x轴上的双曲线,故选A.点评本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得sinα与cosα的值,以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力.题型五圆锥曲线与向量的交汇圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题,以复杂多变、综合性强、解法灵活,知识覆盖面广,注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力.在解题中需要把握住知识间的联系,注意借助转化的思想、方程思想等.例52009届湖南省高考模拟题在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A－1,0、B1,0,平面内两点G,M同时满足下列条件：①错误!＋错误!＋错误!＝错误!；②|错误!|＝|错误!|＝|错误!|：③错误!∥错误!.Ⅰ求△ABC的顶点C的轨迹方程；Ⅱ过点P3,0的直线l与Ⅱ中轨迹交于E,F两点,求错误!·错误!的取值范围.分析由于涉及到的动点有三个,因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标,然后将坐标代入①②中的两个等式,同时利用向量平行的条件进行转化,第Ⅰ小题就可求解.第Ⅱ小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件,即直线斜率k的范围,然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立错误!·错误!关于k的函数式,最后根据求函数值域的方法即可求得结果.解Ⅰ设Cx,y,Gx0,y0,Mx M,y M,∵|错误!|＝|错误!|,∴M点在线段AB的中垂线上.由已知A－1,0,B1,0,∴x M＝0,又∵错误!∥错误!,∴y M＝y0,又错误!＋错误!＋错误!＝错误!,∴－1－x0,y0＋1－x0,－y0＋x－x0,x－y0＝0,0,∴x0＝错误!,y0＝错误!,y M＝错误!,∵|错误!|＝|错误!|,∴错误!＝错误!,∴x2＋错误!＝1y≠0,∴顶点C的轨迹方程为x2＋错误!＝1y≠0.Ⅱ设直线l方程为：y＝kx－3,Ex1,y1,Fx2,y2,由错误!错误!,消去y得：k2＋3x2－6k2x＋9k2－3＝0…①,∴x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!,而错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|·cos0°＝|PE|·|PF|＝错误!|3－x1|·错误!|3－x2|＝1＋k2|9－3x1＋x2＋x1x2|＝1＋k2|错误!|＝错误!＝24－错误!,由方程①知△＝6k22－4k2＋39k2－3＞0,k2＜错误!,∵k≠0,∴0＜k2＜错误!,∴k2＋3∈3,错误!,∴错误!·错误!∈8,错误!.点评本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法,考查“设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用,同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力.本题解答有两个关键：1对条件中的向量关系的转化；2建立错误!·错误!关于直线斜率k的函数.解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制,造成所求范围扩大.题型六圆锥曲线与数列的交汇此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列,或某数列为圆锥曲线方程的系数,或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系,进而利用数列的知识作答.例62009届渭南市高三教学质量检测已知双曲线a n1y2－a n x2＝a n1a n的一个焦点为0,错误!,一条渐近线方程为y＝错误!x,其中{a n}是以4为首项的正数数列.Ⅰ求数列{c n}的通项公式；Ⅱ求数列{错误!}的前n项和S n.分析将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立c n与a n、a n1的等式,再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列{a n}为等比数列,由此可求得a n的表达式,进而求得{c n}的通项公式,由此解决第Ⅰ小题；第Ⅱ小题利用第Ⅰ的结果确定数列{错误!}的通项公式,根据公式特点选择利用错位相减法求解.解Ⅰ∵双曲线方程错误!－错误!＝1的焦点为0,错误!,∴c n＝a n＋a n1,又∵一条渐近线方程为y＝错误!x,即错误!＝错误!,∴错误!＝2,又a1＝4,∴a n＝4·2n1＝2n+1,即c n＝2n+1＋2n＝3·2n.Ⅱ∵错误!＝n·2n,∴S n＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ①2S n＝1·22＋2·23＋3·24＋… ＋n－1·2n＋n·2n+1②由①－②得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1,∴S＝－错误!＋n·2 n+1＝2－2 n+1＋n·2 n+1.点评本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法,同时考查转化思想及解答综合处理交汇试题的能力.本题是一道与数列相结合的一道综合题,但难度并不大.解答本题注意两点基本知识及方法的应用：2通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式；2利用错位相减法求解求和.专题训练一、选择题1．设x,y∈R,且2y是1＋x和1－x的等比中项,则动点x,y的轨迹为除去x轴上点的A．一条直线B．一个圆C．双曲线的一支 D．一个椭圆2．已知△ABC的顶点A0,－4,B0,4,且4sinB－sinA＝3sinC,则顶点C的轨迹方程是A．错误!－错误!＝1x＞3 B．错误!－错误!＝1x＞错误!C．错误!－错误!＝1y＞3 D．错误!－错误!＝1y＜－错误!3．现有一块长轴长为10分米,短轴长为8分米,形状为椭圆的玻璃镜子,欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子,则可划出的矩形镜子的最大面积为A．10平方分米B．20平方分米C．40平方分米D．41平方分米4．设Ax1,y1,B4,错误!,Cx2,y2是右焦点为F的椭圆错误!＋错误!＝1上三个不同的点,则“|AF|,|BF|,|CF|成等差数列”是“x1＋x2＝8”的A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既非充分也非必要5．直线l：y＝kx－2＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切,则直线l的一个方向向量错误!＝A．2,－2 B．1,1 C．－3,2 D．1,错误!6．已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1,F2,抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,若错误!＝e,则e的值为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!7．椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0的左、右焦点为F1,F2,过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点;若∠AF1F2＝60,且错误!·错误!＝0,则椭圆的离心率为A．错误!＋1 B．错误!－1 C．2－错误!D．4－错误!8．如图一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于P,则点P形成的图形是A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆9．如图,P是椭圆错误!＝1上的一点,F是椭圆的左焦点,且错误!＝错误!错误!＋错误!,|错误!|＝4,则点P到该椭圆左准线的距离为A．6 B．4C．3 D．错误!10．理科设x1,x2∈R,a＞O,定义运算“”：x1x2＝x1＋x22－x1－x22,若x≥O,则动点Px,错误!的轨迹方程为A．y2＝4ax B．y2＝4axy≥0C．y2＝－4ax D．y2＝－4axy≥011．设集合A＝{x,y|x,y,1－x－y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域不含边界的阴影部分是A． B． C． D．12．在平面直线坐标系xoy中,已知△ABC的顶点A－4,0和C4,0,顶点B在椭圆错误!＋错误!＝1上,则错误!＝A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!二、填空题13．若抛物线y2＝2pxp＞0的焦点与椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点重合,则p的值为_____________.14．若点1,1到直线x cosα＋y sinα＝2的距离为d,则d的最大值是_______.15．椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0的左、右焦点为F1,F2,过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点.若∠AF1F2＝60,且错误!·错误!＝0,则椭圆的离心率为______．16．设A1,0,点C是曲线y＝错误!0≤x≤1上异于A的点,CD⊥y轴于D,∠CAO＝θ其中O 为原点,将|AC|＋|CD|表示成关于θ的函数fθ,则fθ＝_________.三、解答题17．在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x－错误!y＝4相切．1求圆O的方程；2圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求错误!·错误!的取值范围．18．08届麻城博达学校高三数学综合测试四设⊙C1,⊙C2,…,⊙C n是圆心在抛物线y＝x2上的一系列圆,它们的圆心的横坐标分别记为a1,a2,…,a n,已知a1＝错误!,a1＞a2＞…＞a n＞0,⊙C k k＝1,2,…n都与x轴相切,且顺次逐个相邻外切Ⅰ求由a1,a2,…,a n构成的数列{a n}的通项公式；Ⅱ求证：a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＜错误!.19．08年泰兴市3月调研已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A2,1,由⊙O外一点P a,b向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|＝|PA|.Ⅰ求实数a,b间满足的等量关系；Ⅱ求线段PQ 长的最小值；Ⅲ若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点,试求半径最小值时⊙P的方程.20．已知定点A－2,－4,过点A作倾斜角为45的直线l,交抛物线y2＝2pxp＞0于B、C两点,且|BC|＝2错误!．Ⅰ求抛物线的方程；Ⅱ在Ⅰ中的抛物线上是否存在点D,使得|DB|＝|DC|成立如果存在,求出点D的坐标；如果不存在,请说明理由．21．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M1,2,它们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点是坐标原点.Ⅰ求这三条曲线的方程；Ⅱ已知动直线l过点P3,0,交抛物线于A、B两点,是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.22．椭圆C：错误!＋错误!＝1a＞b＞0的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N0,3到椭圆上的点最远距离为5错误!.Ⅰ求此时椭圆C的方程；Ⅱ设斜率为kk≠0的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P0,错误!、Q的直线对称若能,求出k的取值范围；若不能,请说明理由．专题训练参考答案一、选择题1．D 解析由题意得2y2＝1＋x1－x,即x2＋4y2＝1.2．C 解析由条件c＝|AB|＝8.由正弦定理：4b－a＝3c＝24,b－a＝6,即|CA|－|CB|＝6.点C的轨迹是焦点在y轴的双曲线上支,∵a＝3,c＝4,b＝错误!,其方程错误!－错误!＝1y＞3.3．C 解析设椭圆方程为错误!＋错误!＝1,P5cos,4sin,Q－5cos,4sin,R5cos,－4sin是矩形＝|10cos|·|8sin|＝40|sin2|≤40.的三顶点,则S矩形4．S 解析a＝5,b＝3,c＝4,e＝错误!,F4,0,由焦半径公式可得|AF|＝5－错误!x1,|BF|＝5－错误!×4＝错误!,|CF|＝5－错误!x2,故|AF|,|BF|,|CF|成等差数列5－错误!x1＋5－错误!x2＝2×错误!x1＋x2＝8.5．A 解析圆C：x－1 2＋y－12＝2,圆心C1,1,半径r＝错误!,直线l：kx－y－2k＋2＝0,由直线与圆相切的条件知错误!＝错误!,解得k＝－1.6．A 解析过P作抛物线的准线的垂线,垂足为H,则抛物线准线为x＝－3c,错误!＝e,又|PF2|＝|PH|,∴错误!＝e,∴x＝－3c也为椭圆E的准线．∴－错误!＝－3c e＝错误!．7．B 解析 错误!·错误!＝0,∴AF1⊥A2F,∵∠AF1F2＝60,∴|F1F2|＝2|AF1|,|AF2|＝错误!|AF1|,∴2a＝|AF1|＋|AF2|,2c＝|F1F2|,e＝错误!＝错误!＝错误!－1.8．椭圆解析|PO|＋|PF|＝|PM|＋|PO|＝R半径＞|OF|,根据椭圆定义知P形成的图形是以O、F为焦点的椭圆.9．D 解析由错误!＝错误!错误!＋错误!,得Q是PF的中点.又∵|错误!|＝4,所以P点到右焦点F'的距离为8,∴|PF|＝2×5－8＝2,又错误!＝e＝错误!d表示P到椭圆左准线的距离,∴d ＝错误!.10．B 解析设Px,y,则y＝错误!＝错误!＝错误!,即y2＝4axy≥0.11．A解析由构成三角形的条件知错误!错误!,即错误!错误!,易知选A.12．C 解析由双曲线方程及定义|BC|＋|AB|＝10,|AC|＝8,根据正弦定理知错误!＝错误!＝错误!.二、填空题13．4 解析抛物线的焦点为错误!,0,椭圆的右焦点为2,0,则由错误!＝2,得p＝4.14．2＋错误!解析d＝|cosα＋ysinα|＝|错误!sinα＋错误!－2|,当sinα＋错误!＝－1时,d 的最大值是2＋错误!.15．错误!－1 解析 错误!·错误!＝0,∴AF1⊥A2F,∵∠AF1F2＝60,∴|F1F2|＝2|AF1|,|AF2|＝错误!|AF1|,∴2a＝|AF1|＋|AF2|,2c＝|F1F2|,e＝错误!＝错误!＝错误!－1.16．－2cos2θ＋2cosθ＋1,θ∈错误!,错误!解析根据条件知∠COA＝180－2θ,且θ∈错误!,错误!,则点Ccos180－2θ,sin180－2θ,即C－cos2θ,sin2θ,则|AC|＋|CD|＝错误!－cos2θ＝－2cos2θ＋2cosθ＋1,θ∈错误!,错误!.三、解答题17．解析Ⅰ依题知圆O的半径r等于原点O到直线x－错误!y＝4的距离,即r＝错误!＝2,∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4．Ⅱ不妨设Ax 1,0,Bx 2,0,x 1＜x 2,由x 2＝4即得A －2,0,B2,0,设Px,y,由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得错误!·错误!＝x 2＋y 2,即x 2－y 2＝2,错误!·错误!＝－2－x,－y·2－x,－y ＝x 2－4＋y 2＝2y 2－1,由于点P 在圆O 内,故错误!错误!,由此得y 2＜1,又∵y 2≥0,所以错误!·错误!的取值范围为－2,0．18．解析 1设相邻两圆心为C k x k ,x 错误!,C k+1x k ,x 错误!,相应的半径为r k ,r k+1,则r k ＝x 错误!,r k+1＝x 错误!,r k ＞r k+1,如图,作C k+1B k ⊥A k C k 于B k ,则|C k C k+1|2－|C k B k |2＝|A k A 即r k ＋r k+12－r k －r k+12＝x k －x k+12,∴错误!－错误!＝2,∴{错误!}是首项为4,且公差为2的等差数列,∴x k ＝2∵错误!＜错误!＝错误!－错误!, ∴x 错误!＋x 错误!＋…＋x 错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＜错误!1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!1－错误!＜错误!.19．解析 1连OP,∵Q 为切点,PQ ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.又由已知|PQ|＝|PA|,故|PQ|2＝|PA|2,即a 2＋b 2－12＝a －22＋b －12,化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：2a ＋b －3＝0.Ⅱ由2a ＋b －3＝0,得b ＝－2a ＋3.∴|PQ|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,故当a ＝错误!时,|PQ|min ＝错误!错误!,即线段PQ 长的最小值为错误!错误!. Ⅲ设⊙P 的半径为R,OP 设⊙O 有公共点,⊙O 的半径为1,∴|R －1|≤|OP|≤R ＋1,R≥|OP|－1,且R≤|OP|＋1.而|OP|＝错误!＝错误!＝错误!,故当a ＝错误!时,|PQ|min ＝错误!错误!,此时b ＝－2a ＋3＝错误!,R min ＝错误!错误!－1, 得半径取最小值⊙P 的方程为x －错误!2＋y －错误!2＝错误!错误!－12.20．解析 Ⅰ直线l 方程为y ＝x －2,将其代入y 2＝2px,并整理,得x 2－22＋px ＋4＝0…①,∵p ＞0,∴△＝42＋p 2－16＞0,设Bx 1,y 1、Cx 2,y 2,∴x 1＋x 2＝4＋2p,x 1·x 2＝4,∵|BC|＝2错误!,而|BC|＝错误!|x 1－x 2|,∴2错误!错误!＝2错误!,解得p ＝1,∴抛物线方程y 2＝2x ．Ⅱ假设在抛物线y 2＝2x 上存在点Dx 3,y 3,使得|DB|＝|DC|成立,记线段BC 中点为Ex 0,y 0,则|DB|＝|DC|DE ⊥BCk DE ＝－错误!＝－1,当p ＝1时,①式成为x 2－6x ＋4＝0,∴x 0＝错误!＝3,y 0＝x 0－2＝1,∴点Dx 3,y 3应满足错误!错误!,解得错误!错误!或错误!错误!．∴存在点D2,2或8,－4,使得|DB|＝|DC|成立．21．解析Ⅰ设抛物线方程为y2＝2pxp＞0,将点M1,2坐标代入方程得p＝2, 所以抛物线方程为y2＝4x.由题意知椭圆、双曲线的焦点为F1－1,0,F21,0,所以c＝1,c＝1,对于椭圆,2a＝|MF1|＋|MF2|＝错误!＋错误!＝2错误!＋2,所以a＝1＋错误!,所以a2＝1+错误!2＝3＋2错误!,所以b2＝a2－c2＝2＋2错误!,所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1,对于双曲线,2a＝||MF1|－|MF2||＝2错误!－2,所以a＝错误!－1,所以a2＝3－2错误!, 所以b＝c2－a2＝2错误!－2,所以双曲线方程为错误!－错误!＝1,Ⅱ设AP的中点为G,l的方程为x＝t,以AP为直径的圆交l于D、E两点,DE中点为H,令Ax1,y1,所以G错误!,错误!,所以|DG|＝错误!|AP|＝错误!错误!,|GH|＝|错误!－t|＝错误!|x1－2t＋3|,所以|DH|2＝|DG|2－|GH|2＝错误!x1－32＋y12－错误!x1－2t＋32＝t－2x1－t2＋3t,当t＝2时,|DH|2＝－4＋6＝2为定值,所以|DE|＝2|DH|＝2错误!为定值,此时l的方程为x＝2.22．解析Ⅰ根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心,故该椭圆中a＝错误!b＝错误!c,即椭圆方程可为x2＋2y2＝2b2.设Hx,y为椭圆上一点,则|HN|2＝x2＋y－32＝－y＋32＋2b2＋18,其中－b≤y≤b,若0＜y＜3,则y＝－b时,|HN|2有最大值b2＋6b＋9,由b2＋6b＋9＝50,得b＝－3±5错误!舍去,若b≥3,当y＝－3时,|HN|2有最大值2b2＋18.由2b2＋18＝50,得b2＝16,故所示椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.Ⅱ设Ex1,y1,Fx2,y2,Qx0,y0,则由错误!＋错误!＝1与错误!＋错误!＝1二式相减,得错误!－错误!＝0,又x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0,且k＝错误!,则x0＋2ky0＝0,又直线PQ⊥直线m,∴直线PQ方程为y＝错误!x＋错误!,将点Qx0,y0代入上式得,y0＝错误!x0＋错误!……④,由③④得Q错误!k,－错误!Q,而Q点必在椭圆内部,错误!＋错误!＜1,由此得k2＜错误!,又k≠0,∴－错误!＜k＜0或0＜k＜错误!,故当k∈－错误!,0∪0,错误!时,E、F两点关于点P、Q的直线对称.。
例谈解析几何综合问题的解题策略
手， 整体思维． 即在 掌 握 通性 通 法 的 同 时 不 应 只 形 成 一 个 一 个 的解题套路 ， 解 题时不加分析 ， 跟着感 觉走 ， 做 到哪儿算 哪儿．
而应当从宏观上去把握 ， 从微观上去突破 ， 在 审 题 和 解 题 思 路 的整体设计上下功 夫， 不 断 克 服 解 题 征 途 中 的道 道 难 关 ．
因 为 Ｐ 是 ＡＡＢＣ 的外 接 圆 圆 心 ， 所 以点 Ｐ的坐标 （ ｚ， ）
满 足方 程 ① 和 ② ．
由① 和 ②联 立 ， 消 去 ｍ 得 ＝ ． 故 圆心 Ｐ 的轨 迹 Ｅ 的 方 程 为 ． ２ Ｊ 一６ ｙ ．
（ ２ ） 过定点 Ｆ （ ０ ， ÷） 作互 相垂直 的直线 ｆ ， ｚ 。 ， 分 别交 轨
所 以 四 边 形 ＭＲＮＱ 的面 积 ：
直线方程是 Ｙ一一１ ， 且 ＡＣ一２ √ ， 可设 Ａ（ ， ｎ 一√ ｉ， 一１ ） ，
Ｃ（ ＋， ／ ｇ， 一１ ） ， 求 出 ＡＣ 的垂 直 平 分 线 的 方 程 为 ： ， ＡＣ
５一 ÷ Ｚ Ｊ ＭＮ Ｊ・Ｉ Ｒ Ｑ Ｊ 一】 ８（ ＋
因为 ｚ 上ｚ ｚ ， 所以 ｚ ｚ的方 程 为 一 一 １ ＋ ３
．
困扰 ， 学生 往往不知 从何 人手． 其实， 应该 想 到轨 迹 问题 可 以 通过参数法求解． 因此 ， 首先 是选 定参 数 ， 然 后 想 方 设 法 将 点 Ｐ 的坐 标 满 足 方 程 表 达 出 来 ， 最后 通 过 消 参 可达 到解 题 的
中学生效理他． 掌饼版
例 谈 解 析 几 何 综 合 问题 的 解 题 策 略
考研数学解析几何题型解析与解题思路整理
解题方法：分析几何元素之间的关系，找出解题思路
几何性质与方程的综合应用
几何性质：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质
方程：直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程
综合应用：将几何性质与方程相结合，解决实际问题
解题技巧：分析问题、建立模型、求解验证、总结反思
直线与圆相切的问题
直线与圆相切的定义：直线与圆只有一个公共点，且这个点在直线上，也在圆上。
直线与圆相切的应用：在解析几何中，直线与圆相切的问题经常出现在求最值、证明等问题中。
直线与圆相切的性质：直线与圆相切时，直线的斜率等于圆的切线斜率。
直线与圆相切的条件：直线与圆的方程联立，消去未知数后得到的方程只有一个解。
离心率：圆锥曲线到焦点的距离与到准线的距离之比
准线：与圆锥曲线相切的直线
圆锥曲线的切线问题
切线定义：与圆锥曲线相切的直线
添加标题
切线方程：通过点斜式、截距式等方法求解
添加标题
切线性质：切线与圆锥曲线相交于一点，且切线与圆锥曲线的斜率相等
添加标题
切线应用：求解圆锥曲线的切线问题，可以转化为求解直线与圆锥曲线的交点问题，从而简化解题过程。
03
旋转变换：将图形绕某一点旋转一定角度，不改变图形的形状和大小
缩放变换：将图形沿某一方向拉伸或压缩，改变图形的大小
反射变换：将图形关于某一直线或平面进行反射，改变图形的位置关系
05
组合变换：将上述几种变换组合使用，解决更复杂的几何问题
几何变换的综合问题解析
几何变换的定义和分类
添加标题
几何变换的性质和特点
例题分析：通过具体的例题，分析参数方程与极坐标的综合问题的解题方法和步骤
(完整版)解析几何的解题思路、方法与策略分析
解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。
初中解析几何解题技巧与实例讲解
初中解析几何解题技巧与实例讲解解析几何是数学的一个重要分支，也是初中数学的一部分。
在学习解析几何时，同学们常常会遇到一些难题，需要一些技巧和方法来解决。
本文将介绍一些初中解析几何解题的技巧，并给出一些实例讲解，帮助同学们更好地掌握解析几何的应用。
一、直线与坐标在解析几何中，直线是一个重要的概念。
通过给定的条件，我们可以确定直线的方程或性质。
下面通过两个实例来说明解析几何中直线的解题技巧：实例1：已知点A(2，3)和点B(5，7)，求线段AB的中点坐标。
解析：线段的中点坐标可以通过x坐标和y坐标的平均值来确定。
根据题意，点A的坐标是(2，3)，点B的坐标是(5，7)。
所以线段AB的中点坐标为：[(2+5)/2，(3+7)/2]，即中点的坐标为(3.5，5)。
实例2：已知直线的斜率为1/2，且经过点(4，3)，求直线的方程。
解析：直线的方程可以通过斜率和截距来确定。
根据题意，直线的斜率为1/2，经过点(4，3)。
斜率为1/2说明直线上的任意两点横坐标的差和纵坐标的差的比值都是1/2。
现在取直线上的一点为(x，y)，则有(x-4)/(y-3)=1/2。
通过解这个方程可以得到直线的方程。
二、直角三角形与勾股定理直角三角形是解析几何中常见的一个概念，其中最重要的定理就是勾股定理。
下面通过两个实例来说明直角三角形的解题技巧：实例1：已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
所以斜边的长度等于√(3^2+4^2)=5。
实例2：已知直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，求另一直角边的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
所以另一直角边的长度等于√(5^2-3^2)=4。
三、圆与圆的相交解析几何中考察的另一个重要概念是圆与圆的相交。
通过确定圆心和半径，我们可以确定圆的性质与位置关系。
下面通过一个实例来说明圆与圆的相交的解题技巧：实例：已知圆A的圆心为(2，3)，半径为4；圆B的圆心为(5，7)，半径为3，求圆A和圆B的交点坐标。
解析几何综合题解题思路案例分析
解析几何综合题解题思路案例分析1判别式----解题时时显神功案例1 已知双曲线122:22=-x y C ，直线l 过点()0,2A ，斜率为k ，当10<<k 时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：212222=+-+-k kx kx ()10<<k ()*于是，问题即可转化为如上关于x 的方程. 由于10<<k ，所以kx x x >>+22，从而有y ，令判别式0=∆l 的距离为2.222222k x kx k x kx +++-=-+-于是关于x 的方程()*⇔)1(22222+=+++-k k x kx⇔()⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(222222kx k k kx k k x⇔()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+=--++-++-.02)1(2,022)1(22)1(221222222kx k k kkx k k k x k由10<<k 可知： 方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k kx k 的二根同正，故02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=∆，就可解得 552=k . 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效案例2 已知椭圆C:x y 2228+=和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使AP PB AQQB=-，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。
解析几何题型方法归纳(配例题)
解析几何解题方法归纳一．求轨迹方程（常出现在小题或大题第一问）： 1.【待定系数法】（1）已知焦点在x 轴上的椭圆两个顶点的坐标为（4,0±），离心率为12，其方程为 ．2211612x y += 提示：2a c =，且24,2,12a c b =∴==.（2）已知椭圆中心在原点，焦距为2倍，则该椭圆的标准方程是 ．提示：已知2222242,16b a b c a a b c⎧⎧===⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩221164x y +=与221416x y +=为所求. (3)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； 解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2. 【定义法】由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为 ．解：设(,)P x y ，连结OP ,则90,30PAO APO ∠=︒∠=︒, 所以22OP OA ==. 3.【几何性质代数化】与圆2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________．y 2=8x （x >0）或y =0（x <0） 提示：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴．4.【相关点法】P 是抛物线2210x y -+=上的动点，点A 的坐标为（0,1-），点M 在直线PA 上，且2PM MA =，则点M 的轨迹方程为解：设点(,)M x y ，由2PM MA =，()3,32P x y ∴+，代入2210x y -+=得22(3)3210x y --+=即218310x y --=5.【参数法】一元二次函数22()(21)1()f x x m x m m R =+++-∈的图象的顶点的轨迹方程是提示：设22(21)1()y x m x m m R =+++-∈顶点坐标为(,)x y ，则22211224(1)(21)544m x m m m y m +⎧=-=--⎪⎪⎨--+⎪==--⎪⎩，消去m ，得顶点的轨迹方程34x y -= 二．常见几何关系转化与常见问题类型 （1）中点问题：韦达定理、点差法变式：A 、B 、C 、D 共线且AB ＝CD 问题，可以转化为共中点问题，或者弦长相等； 例1:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 。
数学解析几何题的解题思路和技巧
数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。
解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。
在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。
一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。
解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。
以一个具体的例子来说明。
假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。
首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。
然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。
将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。
接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。
最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。
综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。
因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。
二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。
解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。
以一个具体的例子来说明。
假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。
首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。
由一道题谈解答解析几何中夹角问题的思路
思路探寻解析几何是高考中的重要考点.解析几何问题的命题方式有很多，如判断直线与圆锥曲线之间的位置关系、求曲线的离心率、求参数的取值范围、求夹角的取值范围等.其中求夹角的取值范围或证明夹角相等问题主要考查圆锥曲线的定义、简单的几何性质、直线的斜率、倾斜角以及直线与圆锥曲线之间的位置关系，属于综合性较强的问题.本文以2021年八省联考试题中的一道解析几何问题为例，着重探讨解答解析几何中夹角问题的思路.例题：如图，双曲线C x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上.当BF ⊥AF时，|AF |=|BF |.（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：∠BFA =2∠BAF .分析：第一个问题较为简单，我们只需根据双曲线的方程分别求出A 、F 、B 的坐标以及|AF |、|BF |,建立a 、b 、c 的关系式，结合双曲线中关于a 、b 、c 的关系式b 2=c 2-a 2以及离心率公式e =ac，便可求得曲线C 的离心率.本文主要探讨第二个问题.由图可知，△ABF 为焦点三角形，而∠BFA 、∠BAF 成二倍关系，因此解答本题的思路有很多，如利用直线的斜率公式、平面向量的数量积公式、正余弦定理、三角形的角平分线的性质与定理、圆锥曲线的参数方程等求解.思路一：利用直线的斜率公式对于圆锥曲线中的夹角问题，我们首先会想到运用直线的斜率公式进行求解.在解题时，需先分别求出构成夹角的两条直线上的点坐标，然后利用直线的斜率公式分别求出各条直线的斜率，再利用公式k =tan α求出α，即倾斜角的值.证明：由题意知，A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2,即c =2a ,则y 21=3(x 21-a 2),|FB |=2x 1-a ，当BF ⊥AF 时，∠BFA =2∠BAF =90°，当BF ,AF 不垂直时，tan ∠BAF =y 1x 1+atan ∠BFA =则tan 2∠BAF =1tan ∠BFA ，又∠BAF ,∠BFA 为△ABF 的内角，所以∠BFA =2∠BAF .在运用直线的斜率公式解题时，要注意讨论斜率存在与不存在，即倾斜角为90o 和不为90o 的情况.运用分类讨论思想能有效地帮助我们理清解题的思路，提高解题的正确率.思路二：利用平面向量的数量积公式平面向量的数量积公式为a ⋅b =||a ||b cos θ，将该公式进行适当的变形即可得到两个向量a 、b 的夹角cos θ=a ⋅b ||a ||b ，若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ=<a ,b >，则cos θ=在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们可以首先给夹角两边的线段赋予方向，求出其向量或向量坐标，然后利用平面向量的数量积公式来求其夹角.证明：由题意知，A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2，即c =2a ，则y 21=3(x 21-a 2)，|FB |=2x 1-a ，AB 2=(x 1+a )2+y 21=4x 21+22，则cos ∠BAF = AB ∙AO || AB |AO=cos ∠BFA = FO ∙FB || FO |FB=-(x 1-2a )2x 1-a ，而2cos 2∠BAF -1=cos ∠BFA ，又∠BAF ∈(0,π2),∠BFA ∈(0,π)，所以∠BFA =2∠BAF .这里由夹角联想到平面向量的数量积公式，在求出各个向量的坐标后，运用平面向量的数量积公式求得∠BAF 、∠BFA 的表达式，借助余弦的二倍角公式由一道题谈解答解析几何中夹角问题的思路朱静肖润军51思路探寻证明结论.思路三：利用正余弦定理正余弦定理是解答三角形问题的重要工具.在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们要首先要构造三角形，求出三角形的两条边和一个角，然后运用正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ，求出所求角的大小；或者求出三角形的三条边，然后运用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 、b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 、c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 来求其夹角.证明：由题意知，A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =c a =2，即c =2a ，则y 21=3(x 21-a 2)，|FB |=2x 1-a ，AB 2=(x 1+a )2+y 21=4x 21+2ax 1-2a 2，在△ABF 中，由正弦定理知sin ∠BFA sin ∠BAF =AB FB 2x +a 2x 1-a又cos ∠BAF =a +x 1AB 所以sin ∠BFA =2sin ∠BAF cos ∠BAF 又因为∠BAF ,∠BFA 为△ABF 的内角，所以∠BFA =2∠BAF .解答本题需首先求出AB 、FB 以及cos ∠BAF 的表达式，然后借助正弦定理以及二倍角公式来证明结论.思路四：利用三角形的角平分线的性质与定理三角形的角平分线的性质是：角平分线上的点到角两边的距离相等.常用的三角形的角平分线定理是：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.当题目中出现某个角的半角或者二倍角时，我们可以作出三角形的角平分线，寻找角平分线上的点到角两边的距离、平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应的比例，然后利用三角形的角平行线的性质、定理来解题.证明：作∠BFA 的角平分线FC ，交AB 于点C ，由三角形的角平分线定理知FA FB =AC BC，所以BC =AB ∙FB FA +FB，由题意知A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2，即c =2a ，则y 21=3(x 21-a 2)，|FB |=2x 1-a ，AB 2=(x 1+a )2+y 21=4x 21+2ax 1-2a 2，所以FB 2-BC ∙AB =FB ∙(FB -AB 2FA +FB)=FB FA +FB [FB ∙(FA +FB )-AB 2]=FB FA +FB[(2x 1-a )(a +c +2x 1-a )-4x 21+2ax 1-2a 2]=0，故FB 2=BC ∙AB ，因为∠FBC =∠ABF ，所以ΔFBC ∽ΔABF ，所以∠BAF =∠BFC =12∠BFA ，即∠BFA =2∠BAF .运用此方法解题要求同学们熟练掌握三角形的角平分线定理及相似三角形的知识.思路五：利用圆锥曲线的参数方程每个曲线都有与其对应的参数方程，如过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为ìíîx =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α,(t 为参数)；椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为ìíîx =a cos φ,y =b sin φ,(φ为参数)；双曲线的参数方程为ìíîïïx =a cos α,y =b tan α,(φ为参数)；等等.在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们可以用曲线的参数方程将曲线上的点表示出来，再将其代入直线的斜率公式中进行求解、化简，便能快速求出夹角.证明：由题意知A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2，即c =2a ，b =3a ，设曲线C 上动点B (a sec θ,3a tan θ)(θ∈(-π2,π2)且θ≠±π3,0)，则tan ∠BFA =，tan ∠BAF =，tan 2∠BAF =23sin θ(1+cos θ)(1+cos θ)2-3sin 2θ==tan ∠BFA ，又因为∠BAF ,∠BFA 为△ABF 的内角，所以∠BFA =2∠BAF.运用圆锥曲线的参数方程解题，要求同学们熟练掌握圆锥曲线的参数方程及三角恒等变换的技巧.在解题时，同学们要注意讨论参数的取值范围.因为参数的取值直接影响着曲线的方程以及夹角的取值.圆锥曲线中的夹角问题较为复杂，但是我们如果从不同的角度进行思考、联想，就可以找到多种不同的解题思路.在解答圆锥曲线中的夹角问题时，同学们要注意运用发散思维展开联想，将向量、平面几何、解析几何、解三角形等知识融会贯通，灵活运用数学思想方法，这样才能有效地优化解题的方案.(作者单位:湖南省怀化市铁路第一中学)52。
解析几何问题的分析思路与解决方法探究
（ ） 向 的 顺 着 题 ２ 正 意．如 图 ３ ，设 Ｍ （ ｙ ） ｘ ，。，
Ｎ（ ，２． ｘ２ Ｙ ） ｆ ｋ Ｙ— ｘ＋ ｍ ，
何 思 维． 谓 解 析 思 维 ， 是 用 坐 标 的方 法 表 示 几 何 所 就
问题 ， 就是 用 代 数 的方 法 表 达 ， 通 过 表 达 式 的各 也 并 种 变 形获 得 题 目所 需要 的 结 果 ； 谓 几 何 思 维 ， 是 所 就
难点 ． 面举 例说 明 ： 下
解析几何 问题
分析 思路 与
１ 正 向 解 析
例 图，圆 ＋ 一的 焦 ＥＦ １如 ２ 薯 １两 点 ｌ 椭
与短 轴 两端 点 Ｂ ， 构 成 Ｂ。 为 １ ０ ， 积 为 Ｂ ＦＢ ２ 。面 ２ 的菱形 ． （） １ 求椭 圆 的方程 ； （ ） 直 线 Ｚｙ— ｋ ２若 ： ｘ＋ｍ 与椭 圆相 交 于 Ｍ ，， 』 两点 （ ， ＼ Ｍ ～ 不 是 左 右 顶 点 ） 且 以 ＭＮ ， 为直 径 的圆过 椭 圆右 顶 点 Ａ，
维 与逆 向思 维． 谓 正 向思 维 ， 顺 着 题 目的 意 思 逐 所 是
于 是得 到方 程组 ① 的变形 方 向 ： 消去 Ｙ得
（ ＋ ４ ｚ。 ８ ｍ ｘ＋ ４ 一 １ — ０ ３ ｋ） ＋ ｋ ｍ ２ ．
步 把题 目所 给 的条 件 变成 式 子—— 简称 解 析 化 ， 以 并 题 目的 目标 作 为导 向—— 简 称 目标 导 向 ， 步 的 向着 逐
终 点靠 拢 ， 而 获 得题 目的解 决． 个 过 程 在 思 维 上 从 这 是 正 向 的． 所谓 逆 向思维 ， 用 “ 而 不 求” 方 法 ， 是 设 的 把
进 一步 得 ｚ ＋Ｘ
解析几何七种常规题型及方法
解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 一、一般弦长计算问题：例1、椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为e =，过椭圆C 的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得228a b +=，………①又3e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②联立①②得226,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22162x y +=.⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186,55x x x x +==从而12x x -==由弦长公式，得1255AB x =-==，即弦AB 的长度为5点评：此题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。
两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=。
又设中点P 〔*,y 〕，将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得22201212x yy y x x ---=·。
原题目：初中数学案例分析中的解析几何如何运用？
原题目：初中数学案例分析中的解析几何如何运用？引言解析几何是数学中重要的分支，广泛应用于各个领域。
初中数学作为学生数学素养的基础阶段，也可以通过解析几何的案例分析来提升学生的数学思维能力和应用能力。
本文就初中数学案例分析中解析几何的运用进行探讨。
解析几何在初中数学案例分析中的应用1. 计算几何问题的解决：解析几何通过坐标系的建立、直线方程的推导以及两点之间的距离计算等方法，可以有效地解决初中数学中与图形和几何有关的计算问题。
例如，通过解析几何的方法，可以方便地计算两个点之间的距离，判断一个点是否在给定的直线或线段上等。
2. 几何问题的证明：解析几何的运用可以帮助学生在初中数学的几何证明中更加灵活和直观地进行推理和证明。
例如，通过建立坐标系和直线方程，可以直观地证明在坐标平面上两个线段相等等几何命题。
3. 图形的可视化呈现：解析几何的方法可以将数学问题转化为图像呈现，使得学生能够直观地观察和理解几何问题。
通过绘制坐标系和图形的方式，可以帮助学生更加清晰地认识各种几何图形的特征和性质。
4. 实际问题的解决：解析几何在初中数学案例分析中还可应用于实际问题的解决。
例如，在解决与日常生活和实际情境有关的数学问题时，可以借助解析几何的方法来建立模型、求解问题和进行数据分析，提升学生的数学建模能力和实际问题解决能力。
总结解析几何在初中数学案例分析中广泛运用，可以帮助学生提升数学思维能力和应用能力。
通过解析几何的方法，可以解决计算几何、证明几何、图形可视化以及实际问题等方面的数学难题。
因此，教师在教学中应注重解析几何的运用，培养学生的几何思维能力和应用能力，提高研究兴趣和成绩。
解析几何综合题的解题思路分析
解析几何综合题的解题思路分析
摘要：由于解析几何这类试题的涉及面比较广，综合性强，而且解题的方法多
种多样，对考察学生的综合能力有很好的效果，所以几何问题已经成为近几年高
考试题中的主要内容。
也正是因为解析几何具备的诸多特点，所以使学生在解题
的过程中不知道从何下手，不能克服解题过程中的运算难关。
本文通过对解析几
何综合题的解题思路尽心分析，为学生提供了一定的参考依据。
关键词：解析几何综合题解题思路
近几年来，解析几何在高考中出现的频率越来越高，对解析几何综合题的解
题思路也成为学生们面临的一个难题。
由于这类习题所涉及的知识点比较多，因此，在解决这一类问题的时候，学生就要学会通观全局，从局部入手。
也就是说，学生要在掌握通性通法的同时，从整体上去把握，认真审题，找到正确的解题方法。
一、判别式解题思路分析
二、“点差法”解题思路分析
点差法也是解析几何中经常使用的解题方法之一。
点差就是在求解圆锥曲线
并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆
锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然
后利用中点求出直线方程。
这种方法在求曲线方程与求直线斜率等习题上有较广
泛的应用。
三、结束语
目前，解析几何综合题在高考中出现的频率已经越来越高，为了能让学生在
考试的过程中准确高效地将问题解决，在日常生活中，培养学生对解题思路的整
体把握是非常重要的。
教师要在授课的过程中，将解析几何综合题的解题思路分
析详细地让学生掌握，从而使学生对解析几何综合题的解题思路有充分的掌握。
高中数学空间解析几何题解析与实例分析
高中数学空间解析几何题解析与实例分析空间解析几何是高中数学中的重要内容，也是许多学生感到困惑的一部分。
本文将对几种常见的空间解析几何题型进行解析与实例分析，旨在帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这些题目。
一、点与直线的位置关系题型在空间解析几何中，点与直线的位置关系是一个常见的考点。
例如，有一道题目如下：已知直线L：x+y+z=2，点A(1,2,3)和点B(-1,1,0)，求证点A和点B在直线L 上。
解析：首先，我们可以将直线L的方程转化为参数方程形式，得到x=2-t，y=t，z=t-2。
然后，我们可以分别将点A和点B的坐标代入直线L的参数方程中，若满足等式，则可以证明点A和点B在直线L上。
经过计算，我们发现当t=1时，点A和点B的坐标分别为(1,2,3)和(-1,1,0)，满足直线L的参数方程，因此点A和点B在直线L上。
通过这个例子，我们可以看出，解决点与直线的位置关系题型，需要将直线的方程转化为参数方程形式，并将点的坐标代入参数方程进行验证。
二、平面与直线的位置关系题型平面与直线的位置关系也是空间解析几何中的重点内容之一。
例如，有一道题目如下：已知平面P：2x+y+z=3，直线L：x-1=y-2=z，求证平面P与直线L平行。
解析：首先，我们可以将平面P的方程转化为法向量形式，得到法向量n(2,1,1)。
然后，我们可以将直线L的方程转化为参数方程形式，得到x=1+t，y=2+t，z=t。
接下来，我们可以计算平面P的法向量与直线L的方向向量的点积，若点积为零，则可以证明平面P与直线L平行。
经过计算，我们发现法向量n(2,1,1)与方向向量(1,1,1)的点积为4，不为零，因此平面P与直线L不平行。
通过这个例子，我们可以看出，解决平面与直线的位置关系题型，需要将平面的方程转化为法向量形式，并计算法向量与直线的方向向量的点积。
三、平面与平面的位置关系题型平面与平面的位置关系也是空间解析几何中的难点之一。
解析几何解答题失分原因之剖析——以浙江高考2009年文科第22题第2问为例
卜 詈 ２
詈 ２
与 圆 锥 曲 线 有 无 公 共 点 ．等 价 于 它 们
１ ．“ ＭＮ是Ｃ的切 线 ” 其数 学含 义 可 理解 为： 抛 物 线 在Ⅳ点 的 切 线 过 点 ， 或过Ⅳ 点 的 抛 物 线 切 线 与 轴 交 点 在 直 线 册
的方 程 组 成 的方 程 组 有 无 实 数 解 ” ．
表１
共线 或三线共点” ． 只有 ５ 人 使 用 了思 路
思路 １
思路 ２ 思路 ３
思路 ４
是 必 须 的 ，设 直 线 的 斜 率 为 参 变 量 成为 “ 自然 ” ．其 三 ． 平 时 使 用 设 参 数 解 题 ．一 些 学 生 对 引 进 参 数 的 作 用 缺
圆锥 曲 线 与 方 程 的小 结 中 强 调 “ 直 线
—
１ 或（ ０ １ ）
线” 的重要 特征 ． 这 两个等 式还是 容 易
建 立．这 样 省 略 了 解 直 线与 抛 物 线 联 立 方程 组 ． 运算 量大减 。 并且 各点 坐标 的 表 达 式 都 比较 简 洁． 思路 ４ 是 本 题 最 优
其二 ．笔者 与 选 用 思路 １ 的 学 生 座 谈
时 ． 了 解 到 他 们 的 解 题 思 路 就 是 按 题
目的 已知条 件 先 后顺 序 进 行 求解 ． 并 没 有对 题 目的各 条件 从 整 体 上 把 握 ．
在 这 样 的 解 题 思 维 下 ，设 直 线 方 程
题 思 路 的人 数 进 行统 计 ， 见表１ 、 表２ ：
一
本 题 当Ｐ 点确定后 ， Ｑ， Ｎ， Ｍ也 随之 确 定 ，
即 Ｑ． Ｎ。 Ｍ的 坐 标 与 ｔ 存 在 着 一 定 依 存 关
免费下载高考数学解析几何综合题解题思路案例分析[1]
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免费下载⾼考数学解析⼏何综合题解题思路案例分析[1]⾼考数学填空题常胜技巧数学填空题是⼀种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是⾼考数学中的三种常考题型之⼀，填空题的类型⼀般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学⾼考命题改⾰的试验⽥，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这⼀新动向，⼜要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每⼀步骤都正确⽆误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求数学填空题，绝⼤多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进⾏切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常⽤的⽅法有直接法、特殊化法、数⾏结合法、等价转化法等。
⼀、直接法这是解填空题的基本⽅法，它是直接从题设条件出发、利⽤定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，⼜)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-?+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-?-++-++j m m j i m m m j m m ，⽽i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
例2已知函数)(x f 解：21)(+=++=a x ax x f 0<，∴21>a 。
例3的为特等奖，仅猜中12⼀场的概率为31。
⼆、特殊化法例4 在△ABC解：特殊化：令,3=b a 例5 过抛物线(2=ax y ，则=+qp 11 。
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简解：设点为双曲线C上支上任一点
则点M到直线的距离为：
于是
问题即可转化为如上关于的方程.
由于
所以
从而有
于是关于的方程
由可知：
方程的二根同正
故恒成立
于是等价于
.
均值不等式法
变量的有界性法
函数的性质法
数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手
给出又一优美解法.
解题犹如打仗
不能只是忙于冲锋陷阵
一时局部的胜利并不能说明问题
有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在
只有见微知著
树立全局观念
讲究排兵布阵
运筹帷幄
方能决胜千里.
所涉及到的知识点较多
对解题能力考查的层次要求较高
考生在解答时
常常表现为无从下手
或者半途而废
据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局
局部入手
整体思维. 即在掌握通性通法的同时
不应只形成一个一个的解题套路
解题时不加分析
跟着感觉走
做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握
从微观上去突破
与联立
消去得：
在（2）中
由
解得
结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为： （）.
点评：由方程组实施消元
产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程
其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中
难点在引出参
活点在应用参
重点在消去参.
而"引参、用参、消参"三步曲
正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
对照草图
不难想到：过点B作与平行的直线
必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发
可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考
就应当把距离用代数式表达
即所谓"有且仅有一点B到直线的距离为"
相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
（*）
则
令
则
在（*）中
由判别式可得
从而有
所以
解得 .
结合得.
综上
.
点评：范围问题不等关系的建立途径多多
诸如判别式法
由如上关于的方程有唯一解
得其判别式
就可解得 .
点评：上述解法紧扣解题目标
不断进行问题转换
充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效
案例2 已知椭圆C:和点P（4
1）
过P作直线交椭圆于A、B两点
在线段AB上取点Q
使
求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
因为椭圆关于y轴对称
点P在y轴上
所以只需考虑的情形.
当时
所以 ===.
由 , 解得
所以
综上 .
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式
则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围
3 求根公式-----呼之欲出亦显灵
案例3 设直线过点P（0
3）
和椭圆顺次交于A、B两点
试求的取值范围.
分析：本题中
绝大多数同学不难得到：=
但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上
所谓求取值范围
不外乎两条路：其一是构造所求变量关于来自平时学习积累总结的
有问题的地方肯定有的
还请大家批评指正！
解析几何综合题解题思路案例分析
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体
综合函数、不等式、三角、数列等知识
于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说
韦达定理总是充当这种问题的桥梁
但本题无法直接应用韦达定理
原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后
解决问题的方法自然也就有了
即我们可以构造关于的对称关系式.
简解2：设直线的方程为：
代入椭圆方程
消去得
不难得到
要建立与的关系
只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程
利用韦达定理即可.
通过这样的分析
可以看出
虽然我们还没有开始解题
但对于如何解决本题
已经做到心中有数.
在得到之后
如果能够从整体上把握
认识到：所谓消参
目的不过是得到关于的方程（不含k）
则可由解得
这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手
=已经是一个关系式
但由于有两个变量
同时这两个变量的范围不好控制
所以自然想到利用第3个变量--直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式
到此为止
将直线方程代入椭圆方程
消去y得出关于的一元二次方程
在审题和解题思路的整体设计上下功夫
不断克服解题征途中的道道运算难关.
1 判别式----解题时时显神功
案例1 已知双曲线
直线过点
斜率为
当时
双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为
试求的值及此时点B的坐标
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科
因此
数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从"有且仅有"这个微观入手
其求根公式呼之欲出.
简解1：当直线垂直于x轴时
可求得;
当与x轴不垂直时
设
直线的方程为：
代入椭圆方程
消去得
解之得
分析：这是一个轨迹问题
解题困难在于多动点的困扰
学生往往不知从何入手
其实
应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此
首先是选定参数
然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达
最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的
自然可选择直线AB的斜率作为参数
如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线
直接代入即可得到轨迹方程
从而简化消去参的过程
简解：设
则由可得：
解之得： （1）
设直线AB的方程为：
代入椭圆C的方程
消去得出关于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1）
化简得： (3)