2.1.1平面
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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
2.1.1 平面
解: 1) ( 不正确. 如果点在直线上, 这时有无数个平面; 如果点不在 直线上, 在已知直线上任取两个不同的点, 由公理 2知, 有且只有 一个平面.
( 正确. 2) 经过同一点的两条直线是相交直线, 能确定一个平面.
( 不正确. 3) 四边形中三点可确定一个平面, 而第四点不一定在此 平面内, 如图. 因此, 这四条线段不一定在同一平面内.
( 如何理解“有且只有一个”的含义? 2)
(公理 2中“有且只有一个”的含义: 这里的“有”是说图 形存在, “只有一个”是说图形惟一, 强调的是存在和惟一两 个方面, “有且只有一个” 因此 必须完整的使用, 不能仅用 “只 有一个” 来替代, 否则就没有表达出存在性. 确定一个平面中 的“确定”是“有且只有”的同义词)
平面α, β相交于 l
α∩β=l
三、平面的基本性质—公理 1
3: 直线 l 与平面α有一个公共点 P . 直线 l 是否在平面 α内?有两个公共点呢? (有一个公共点时不一定, 有两个公共点时直线在平面内)
2: 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直 线在此平面内
文字语言 图形语言 符号语言
【实例】平面是构成空间几何体的基本元素, 生活中有很 多的物体给人以平面形象, 今天我们从数学的角度来研究 什么是平面, 它如何表示, 以及平面的性质是什么.
一、平面
1: 生活中有哪些物体给人平面形象, 你能试举几例 吗?你能总结一下它们所给你的统一形象吗? (黑板面、课桌面、湖面等给人的统一形象, 平的)
A∈lB∈l且 A∈α, , , B∈α⇒ l α ⊂
如果直线 l上的所有点都在平面α内, 就说直线 l在平面α内, 或者说 平面α经过直线 l记作 l α; , ⊂ 否则, 就说直线 l在平面α外, 记作 l α. ⊄
2.1.1平面
公共点.
( ×) ( ×) (× )
(× )
练习2：符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的 位置关系。
c
A a
B b
A_∈_
B_∈_
b ∩ β ＝B
A∈__ B_∈_
∩ β ＝c
a___
B_∩_ =A
b ∩ ＝A
小结
平面的基本性质，及它们 的条件、结论、作用、图 形语言及符号语言
作业
预习下节内容
条直线在此平面内
A. l .B
A∈l
符号表示为
B∈l A∈a
l
B∈a
作用：判断直线是否在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A. C. .B
符号表示为：A、B、C三点不
共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α
作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
A a A a 点不在直线上
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab a I b A 直线 a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
aI
直线a与平面
无公共点
aI A
直线a与平面
交于点A
I l
平面 与
相交于直线 l
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
2.1.1 平面
1. 平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
一、平面的表示
1、平面是无限延展的平的面，没有边界，没
( ×) ( ×) (× )
(× )
练习2：符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的 位置关系。
c
A a
B b
A_∈_
B_∈_
b ∩ β ＝B
A∈__ B_∈_
∩ β ＝c
a___
B_∩_ =A
b ∩ ＝A
小结
平面的基本性质，及它们 的条件、结论、作用、图 形语言及符号语言
作业
预习下节内容
条直线在此平面内
A. l .B
A∈l
符号表示为
B∈l A∈a
l
B∈a
作用：判断直线是否在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A. C. .B
符号表示为：A、B、C三点不
共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α
作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
A a A a 点不在直线上
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab a I b A 直线 a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
aI
直线a与平面
无公共点
aI A
直线a与平面
交于点A
I l
平面 与
相交于直线 l
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
2.1.1 平面
1. 平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
一、平面的表示
1、平面是无限延展的平的面，没有边界，没
第七课时2.1.1平面
公理1的作用 1.可以用来判定一条直线是否在平面内.即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点 在平面内即可。 2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，则点在平面内。 3.表明平面是“平的”。
直线与平面的位置关系 直线l在平面α内：记为：l α 直线l不在平面α上：记为：l
A
∩
B
A' B' ________
∩ ∩
(5) A' B' ________ , BB' ________
例二 证明：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 A
α b
a
证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线 的定义，直线a、b在同一平面内，这就是说，过 直线a、b有平面α。 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外， 点A和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的 推论1，过点A和直线b的平面只有一个.过直线a、 b的平面只有一个。
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． l B
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
A
A l , B l , A , B l
作用： 判定直线是否在平面内．
B
点与平面的位置关系 点A在平面α内：记为：A∈α 点B不在平面α上：记为：B α
B α A
思 考 若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。 （1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面 上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺 就落在了桌面上。
2.1.1平面
§2.1.1 平面一、新课导学探究一：平面的概念与表示问题1：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题2：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？αβγ来表示，也可以用平行四新知2：通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD,平面AC等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题3：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作.⑵点P在直线l上，记作，点P在直线外，记作.⑶直线l上所有点都在平面α内,则直线l在平面α内(平面α经过直线l),记作；否则直线就在平面外，记作.探究二：平面的性质问题4：直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 ：文字语言：图形语言：符号语言：问题5：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 ：文字语言：图形语言：符号语言：推论1 ：文字语言：图形语言：符号语言：推论2：文字语言：图形语言：符号语言：推论3：文字语言：图形语言：符号语言：问题6：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B?为什么?新知6：公理3：文字语言：图形语言：符号语言：二、典型例题例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.练习 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外；⑵直线a 经过平面α外的一点M ；⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内.例2：已知,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉.求证：直线,,AD BD CD 共面.点拨：简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂例3：在长方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱1BB 的中点，画出11,,A C P 三点所确定的平面与长方体表面的交线.例4：如图所示，已知ABC 的三个顶点都不在平面α内，它的三边,,AB BC AC 延长后分别交平面α于点,,P Q R .求证：点,,P Q R 在同一条直线上.二、总结提升公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.。
2.1.1平面(1)
l
§2.1.1 平 面
α
思考回答：
• • • • • • .是一个点吗？●是一个点吗？ 笔直的铅笔是一条直线吗？ 光滑的黑板是一个平面吗？ 结论：点没有大小； 直线没有长短，没有粗细； 平面没有边界，没有厚度。即平面 的性质：无限延展性，无厚度性。
动脑筋想一想，动手做一做
• 点与直线的位置关系有几种？ • 点与平面的位置关系有几种？ • 直线与平面的位置关系有几种？
• 2种：点在直线上；点在直线外 • 2种：点在平面内；点在平面外 • 3种：直线在平面内；直线在平面外；直线 与平面交与一点
预习课文，了解平面
• 点构成线，线构成面。所以平面可以看成 无数个点的集合。 • 平面的几何表示法：平行四边形法 • 画法：一角为45度的锐角，横边是邻边长 的2倍。 • 文字叫法：1、单独的希腊字母表示 • 2、平行四边形的四个顶点所在 的大写字母表示 • 3、平行四边形对角线上的两个 大写字母表示
练习（交流互动）
•点、直并画出图形： ⑴点A在平面α内，点B在平面α外； ⑵直线 l 在平面α内，直线m不在平面α内; ⑶平面α和β相交于直线 l； ⑷直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q ⑸直线 l 是平面α和β的交线，直线m在平面 α内,和l相交于点P.
§2.1.1 平 面
α
思考回答：
• • • • • • .是一个点吗？●是一个点吗？ 笔直的铅笔是一条直线吗？ 光滑的黑板是一个平面吗？ 结论：点没有大小； 直线没有长短，没有粗细； 平面没有边界，没有厚度。即平面 的性质：无限延展性，无厚度性。
动脑筋想一想，动手做一做
• 点与直线的位置关系有几种？ • 点与平面的位置关系有几种？ • 直线与平面的位置关系有几种？
• 2种：点在直线上；点在直线外 • 2种：点在平面内；点在平面外 • 3种：直线在平面内；直线在平面外；直线 与平面交与一点
预习课文，了解平面
• 点构成线，线构成面。所以平面可以看成 无数个点的集合。 • 平面的几何表示法：平行四边形法 • 画法：一角为45度的锐角，横边是邻边长 的2倍。 • 文字叫法：1、单独的希腊字母表示 • 2、平行四边形的四个顶点所在 的大写字母表示 • 3、平行四边形对角线上的两个 大写字母表示
练习（交流互动）
•点、直并画出图形： ⑴点A在平面α内，点B在平面α外； ⑵直线 l 在平面α内，直线m不在平面α内; ⑶平面α和β相交于直线 l； ⑷直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q ⑸直线 l 是平面α和β的交线，直线m在平面 α内,和l相交于点P.
课件4：2.1.1平 面
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面
一、平面
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、 海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出 类似平面形的物体吗？ 1.平面的概念 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一 些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限 延展的．
巩固练习
下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面 重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m； (4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象
的数学概念．其中正确命题的个数为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析
序号 正误
理由
(1) × 因为平面是无限延展的，故(1)错
④圆是平面图形
A．1 个
B．2 个
C．3 个
解析 ①④正确.
答案：B
D．4 个
3. 下列命题中，正确的命题是 ( B ) A.有三个公共点的两个平面重合 B.梯形的四个顶点在同一个平面内 C.三条互相平行的直线必共面 D.四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
4.下列命题正确的是（ D ）
A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m 相交于 A l∩m＝A
l，α 相交于 A l∩α＝A
α，β 相交于 l α∩β＝l
应用举例 例1 将下列符号语言转化为图形语言：
（1）A, B , Al, B l;
（2）a , b , =c, a c, b c P.
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面
一、平面
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、 海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出 类似平面形的物体吗？ 1.平面的概念 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一 些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限 延展的．
巩固练习
下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面 重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m； (4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象
的数学概念．其中正确命题的个数为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析
序号 正误
理由
(1) × 因为平面是无限延展的，故(1)错
④圆是平面图形
A．1 个
B．2 个
C．3 个
解析 ①④正确.
答案：B
D．4 个
3. 下列命题中，正确的命题是 ( B ) A.有三个公共点的两个平面重合 B.梯形的四个顶点在同一个平面内 C.三条互相平行的直线必共面 D.四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
4.下列命题正确的是（ D ）
A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m 相交于 A l∩m＝A
l，α 相交于 A l∩α＝A
α，β 相交于 l α∩β＝l
应用举例 例1 将下列符号语言转化为图形语言：
（1）A, B , Al, B l;
（2）a , b , =c, a c, b c P.
高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面 教学课件
定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言 如果一条直线上的________ 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证： 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交， 那么这四条 直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面． 证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确
2.1.1平面
有且只有一个平面
经过两条相交直线
经过两条平行直线
完成课本练习
P43
1、2、3、4
系统集成 P19 自学检测1~5 P21 基础巩固1~8
§2.1.1 平 面
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，几何里的 平面是无限延展的.
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
如果一个平面被另一个平面挡住， β 则这遮挡的部分用虚线画出来.
A
.·l · .·
B
直线 l 在平面α内表示为 l
直线m不在平面内表示为m
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打
，否则打
:
( )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
(
( (
)
) ) )
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是否在 l l 平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内. 图形语言
m
A
.·l · .·
B
错误
Байду номын сангаас
符号语言
Al B l l A B
α
3、平面的表示法
D C
A
α
B
经过两条相交直线
经过两条平行直线
完成课本练习
P43
1、2、3、4
系统集成 P19 自学检测1~5 P21 基础巩固1~8
§2.1.1 平 面
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，几何里的 平面是无限延展的.
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
如果一个平面被另一个平面挡住， β 则这遮挡的部分用虚线画出来.
A
.·l · .·
B
直线 l 在平面α内表示为 l
直线m不在平面内表示为m
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打
，否则打
:
( )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
(
( (
)
) ) )
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是否在 l l 平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内. 图形语言
m
A
.·l · .·
B
错误
Байду номын сангаас
符号语言
Al B l l A B
α
3、平面的表示法
D C
A
α
B
高一数学 2.1.1平面
2. 1.1 平面【教学过程】1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？2．新课（1）、生活中的平面生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说 的平面（plane ）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。
（2）、平面的画法与表示法常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD ，或平面AC 或平面B D 。
如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。
平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P 在平面α内，记作P ∈α，点Q 在平面α外，记作Q ∉α。
（3）、公理1公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
此公理可以判断直线是否在平面内。
点动成线、线动成面。
直线、平面都可以看成点的集合。
点P 在直线l 上，记作P ∈l ，点P 在直线l 外，记作P ∉l 。
如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l 在平面α内，或者说平面α经过直线l ，记作l ⊂α；否则，就说直线l 在平面α外，记作l ⊄α。
公理1也可以表示：A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α（4）、公理2三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（补充3个推论）： 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
（5）、公理3公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
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三、平面的画法：
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
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人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
一、平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
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二、平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面 在空间是无限延伸的. (1)平展性 (2)无限延展性 (3)没有厚度
3．作者先说“请息交以绝游”，而后又 说“悦 亲戚之 情话”， 这本身 也反映 了作者 的矛盾 心情。 4．此段是转承段，从上文的路上、居 室、庭 院，延 展到郊 野与山 溪，更 广阔地 描绘了 一个优 美而充 满生机 的隐居 世界。
5．“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流”既 是实景 ，又是 心景， 由物及 人，自 然生出 人生短 暂的感 伤。 6．“善万物之得时，感吾生之行休”， 这是作 者在领 略到大 自然的 真美之 后，所 发出的 由衷赞 美和不 能及早 返归自 然的惋 惜之情 。
点P在直线l上: P l
点Q不在直线l上: Q l
点A在平面上：A
点B不在平面上：B
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
直线l在平面内：
l 表示为：l
(不在呢?) l
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三、平面的画法：
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
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一、平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
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二、平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面 在空间是无限延伸的. (1)平展性 (2)无限延展性 (3)没有厚度
3．作者先说“请息交以绝游”，而后又 说“悦 亲戚之 情话”， 这本身 也反映 了作者 的矛盾 心情。 4．此段是转承段，从上文的路上、居 室、庭 院，延 展到郊 野与山 溪，更 广阔地 描绘了 一个优 美而充 满生机 的隐居 世界。
5．“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流”既 是实景 ，又是 心景， 由物及 人，自 然生出 人生短 暂的感 伤。 6．“善万物之得时，感吾生之行休”， 这是作 者在领 略到大 自然的 真美之 后，所 发出的 由衷赞 美和不 能及早 返归自 然的惋 惜之情 。
点P在直线l上: P l
点Q不在直线l上: Q l
点A在平面上：A
点B不在平面上：B
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
直线l在平面内：
l 表示为：l
(不在呢?) l
2.1.1平面的基本性质及三大公理 (1)
（×）
（2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面，则a . （×） (4) 平面 与平面 相交，它们只有有限个公共点。
（×）
练习 1、下列四个命题中，正确的是( D ) A、任何一个平面图形都是一个平面 B、平面就是平行四边形 C、平面图形可以看成是点的有限集 D、三角形可以确定一个平面
天花板α 墙面γ
墙面β
在空间确定两个平面的交 线, 可用来证三点共线， 公理３:如果两个平面有一个公共点， 三线共点
那么它们还有其他的公共点，且所有的 这些点的集合是一条过这个点的直线
P
l
P l , 且P l
关键词:一点,一线
例3.判断下列命题是否正确： （ 1）经过三点确定一个平面。
关键词: 两点,
图形语言
作用：用来证明或 判断直线在平面内
所有
例2、已知直线 AB、AC 都在平面 内，求证： BC 也在平面 内.
证明： AB , AC
B ,C
BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
(2)四个点可确定几个平面 ？ (3)三条直线两两平行可确 定几个平面？
(4)三条共点的直线可确定 几个平面？
(5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 √ ，否则打x
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
:
( )
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
（2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面，则a . （×） (4) 平面 与平面 相交，它们只有有限个公共点。
（×）
练习 1、下列四个命题中，正确的是( D ) A、任何一个平面图形都是一个平面 B、平面就是平行四边形 C、平面图形可以看成是点的有限集 D、三角形可以确定一个平面
天花板α 墙面γ
墙面β
在空间确定两个平面的交 线, 可用来证三点共线， 公理３:如果两个平面有一个公共点， 三线共点
那么它们还有其他的公共点，且所有的 这些点的集合是一条过这个点的直线
P
l
P l , 且P l
关键词:一点,一线
例3.判断下列命题是否正确： （ 1）经过三点确定一个平面。
关键词: 两点,
图形语言
作用：用来证明或 判断直线在平面内
所有
例2、已知直线 AB、AC 都在平面 内，求证： BC 也在平面 内.
证明： AB , AC
B ,C
BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
(2)四个点可确定几个平面 ？ (3)三条直线两两平行可确 定几个平面？
(4)三条共点的直线可确定 几个平面？
(5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 √ ，否则打x
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
:
( )
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
2.1.1平面1 Microsoft PowerPoint 演示文稿
α A A
a
B
B
文字叙述
直线l在平 面α内
图形表示
l α l α
P
符号表示
l
l
直线l在平 面α外
直线l1 l2交于 点Ｐ 平面α 、 ß相 交于直线
α l1 l2
l
l1 l2 P
l
如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作 是一条直线的话，你觉得在什么情况下， 才能使你的笔所代表的直线上所有的点都 能在桌面上？
公理2的作用有二： 一、判定两个平面相交， 即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平 面相交； 二、判定点在直线上，即点若是某两个平面 的公共点，那么这点就在这两个平面的交线 上.
用手指头将一本书平衡地摆方在 空间某一位置，至少需要几个手指 头？ 这些手指需要满足什么条件？
观察下列问题，你能得到什么结论_？
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉. 象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都 给我们以____的印象 平面
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延 伸的。
平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化 的模型.
·
·
五.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
Bห้องสมุดไป่ตู้
桌面α
A
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
l α B
A
文字语言： 公理1.如果一条直线上两点在 一个平面内，那么这条直线上 的所有的点都在这个平面内 （即直线在平面内）。 图形语言：
a
B
B
文字叙述
直线l在平 面α内
图形表示
l α l α
P
符号表示
l
l
直线l在平 面α外
直线l1 l2交于 点Ｐ 平面α 、 ß相 交于直线
α l1 l2
l
l1 l2 P
l
如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作 是一条直线的话，你觉得在什么情况下， 才能使你的笔所代表的直线上所有的点都 能在桌面上？
公理2的作用有二： 一、判定两个平面相交， 即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平 面相交； 二、判定点在直线上，即点若是某两个平面 的公共点，那么这点就在这两个平面的交线 上.
用手指头将一本书平衡地摆方在 空间某一位置，至少需要几个手指 头？ 这些手指需要满足什么条件？
观察下列问题，你能得到什么结论_？
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉. 象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都 给我们以____的印象 平面
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延 伸的。
平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化 的模型.
·
·
五.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
Bห้องสมุดไป่ตู้
桌面α
A
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
l α B
A
文字语言： 公理1.如果一条直线上两点在 一个平面内，那么这条直线上 的所有的点都在这个平面内 （即直线在平面内）。 图形语言：
高一数学人教A版必修二课件：2.1.1 平面
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 答案:D
解析:两两相交不共点的三条直线,可确定一个平面;两两相 交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面;若三 条直线不在一个平面内,每两条可确定一个平面,共确定3个平
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
如图,已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平 面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,AB⊂平面ABC, ∴P∈平面ABC,P∈α.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证,点Q和R均在这条交线上.
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
【例2】 过直线l外一点P引两条直线PA,PB和直线l分别相 交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
思路分析:根据条件P,A,B确定一个平面,再证直线l,PA,PB在 这个平面内.
证明:如图,∵点P,A,B不共线,
∴点P,A,B确定一个平面α.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
二、点线共面问题 解决点线共面问题的基本方法
一 二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
怎样证明多点或多线共面? 提示:要证明多点或多线共面,首先根据确定平面的条件找 到平面,再结合公理1证明其余的点或线也在这个平面内.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
案例探究 误区警示 思悟升华
易错考点:共面问题判断中的解题误区 下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
2.1.1点、直线、平面之间的位置关系
在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其 他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有①直 线和直线外一点确定一个平面，②两条平行线确定 一个平面，③两条相交直线确定一个平面． (2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些 直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
2．一些文字语言、数学符号与图形的对应关系
数学符号表示 文字语言表达 点A在直线l上 图形语言表达
A∈l ______
A∉l ______
A∈α ______
点A在直线l外
点A在平面α内
A∉α _____
点A在平面α外 直线l在平面α内
l⊂α _____
l⊄α _____ l∩m＝A _________ α∩β＝l _________
证明： ∵AB∩A1B1＝P， ∴P∈AB，P∈A1B1. ∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. 又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1. ∴P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上． 同理可证Q、R也都在平面ABC与平面A1B1C1 的交线上． 根据公理3知两个平面的交线有且只有一条， 故P、Q、R三点共线．
点共线与线共点的问题 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M、 N、E、F 分别是棱 CD、AB、DD1、AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证：D、A、Q 三点共线．
[思路点拨] 欲证D、A、Q三点共线，只需说明 三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可． [规范解答] 证明：∵MN∩EF＝Q， ∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，2分 又∵M∈直线CD，N∈直线AB， CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴M、N∈平面ABCD， ∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.8分 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1.10分 又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.12分
(2.1.1平面)
B．
．A ．C
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
Pl
知识应用1
(1)用两个合叶和一把锁为什么就可以 固定一扇门?
(2)照相机，测量仪等器材的支架为何 要做成三脚架？
知识应用2
正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面
所在平面 A1C1, A1B , B1C，分别记作 、、 ， 试用适当的符号填空．
a
b
α
l
A
直线l和平面α交于A l I A
直线l不在平面α内 l
l 平面α和平面β交 于直线l
I l
公理1:
如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线在此平面内.
A B
AB
B A
α
公理２:
过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面.
A, B ,C ；
A、B、C三点不共线
A、Ｂ、Ｃ三点 确定一个平面α
符号语言
P AB Q AB
D A1
C
M
A
B
点M在平面AC内 M 平面AC 点A1不在平面AC内 A1 平面AC
M DP
C 直线NP在平面AC内
DP 平面AC
三种语言转换
图形语言
文字语言
符号语言
A
B
直线AB与直线BC交 C 于点B
AB I BC=B
巩固加深
如图，点A 平面BCD，E、F、G、H
分别是AB、CD、DA上的点，若EH与 FG交点K，求证：K在直线BD上．
A
K H E D
G
B
F
C
归纳小结
公理1：
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同 一个平面内，则这条直线上所有的点都 在这个平面内。
2.1.1平面
探讨： 探讨：
根据刚才的两个实例，你得到怎么样的 根据刚才的两个实例， 一个结论？ 一个结论？
公理2 公理2 经过不在同一条直线上的 三点， 三点，有且只有一个平面
不共线的三点A,B,C的 不共线的三点A,B,C的 A,B,C 平面通常记作〝平面ABC 平面通常记作〝平面ABC 〞
A, B, C不共线 ⇒ A, B, C确定一平面
课堂小结: 课堂小结
1.平面的概念.表示及记法. 1.平面的概念.表示及记法. 平面的概念 2.空间中的点 空间中的点, 2.空间中的点,线,面位置关系及 符号表示. 符号表示. 3.平面的三个性质 平面的三个性质. 3.平面的三个性质.
作
书 43 页 书 51 页
业
练习 习题 第 4 题 第 1、2 题
例2:
⑴一条直线可以将平面分成两部分，那么 一条直线可以将平面分成两部分， 个部分。 一个平面可以把空间分成 2 个部分。 3或 个部分。 ⑵两个平面可以将空间分成 3或4 个部分。
下列叙述正确的是----------( D ) 例3.下列叙述正确的是 下列叙述正确的是 A. 因为 ∈ α ,Q ∈ α 所以 因为P 所以PQ ∈ α B. 因为 ∈ α ,Q ∈ β 所以 α ∩ β = PQ 因为P
普通高中课程标准实验教科书 数学必修2——A版（人民教育出版社）
第二章点、线、平面之间的位置关系 ——第2.1.1平面
大安二中数学组张利坚
2.1.1平面
β
大安二中张利坚
a
α
1.平面 平面 立体几何中的平面的特点: 立体几何中的平面的特点
1.平的 1.平的 2.四周无限延展 2.四周无限延展 3.不计大小 3.不计大小 4.不计厚薄 4.不计厚薄 （不是凹凸不平） 不是凹凸不平） （没有边界） 没有边界） （无所谓面积） 无所谓面积） （没有体积） 没有体积）
相关主题
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作用：判定直线是否在平面内．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
图形、文字、符号
l
A
l
A
点A在直线l上． Al 点A在直线l外． Al
l
A
外．
平面
A
l B
直线l在平面
内或者
直线l在平面
经过直线l．
栏目导引
l
l
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
c ,
画图的顺序:先画大件(平面),再画小件(点、线)
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
如果直线 l 与平面α只有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
直线 l 不在在平面α内
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？ 实际生活有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以 看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
A
C
B
相邻两个平面有一个公共点， 如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有 一个公共点B’，经过点B有且只 有一条过该点的公共直线B’C’. 这条公共直线B’C’叫做这两个 平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交 线．
栏目导引
D
A B
C
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有无数个公共点，它们形成两平面的交线． 符号表示
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
例3.如图所示，若A，B，C， D四点在平面α内，E，F分别 是AC，BD上的一点，判断直 线EF是否在平面α内． A∈α ⇒AC⊂α 解析： 根据题设有 C∈α 又 E∈AC，∴E∈α， 同理 F∈α， E∈α ⇒EF⊂α， 由 F∈α 即直线 EF 在平面 α 内．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
1．下列说法中正确的是( ) A．平静的太平洋就是一个平面 B．有一个平面的长是40 m，宽是10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展 的抽象的数学概念 D．平面的形状是平行四边形 答案： C
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
l
P l , 且P l
P
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
直线 l 一定在平面α内
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这整条直线都在此平面内． A l B
在生产、生活中，人 们经过长期观察与实践，总 结出大家公认为真确的道理 我们把它作为公理．这些 公理是进一步推理的基础．
符号表示
A l , B l , A , B l
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
空间点、直线、平面的位置关系
引言
观察：长方体，你能发现长方体的顶点，棱所
在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
D
A
C
长方体由上下、前后、 左右六个面围成． 有些面是平行的，有些 面是相交的；有些棱所在直 线与面平行，有些棱所在直 线与面相交，每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面 内的直线，等等．
D
C1 D1 O1
A1
B1
栏目导引
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C O
B A
D
C1 D1
A1
B1
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ； 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面． 正确
B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
不只是相交于一个点，而是一条直线
B
因为平面是无限延展的
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
观察：长方体的两个相交平面有公共直线 吗？
D
栏目导引
B
D
A B
C
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
实例引入 观察：海面，呈现出怎样的形象？
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
实例引入
观察：教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样
的形象？
表面是平平的
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、 黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能 从ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ活中举出类似平面形的物体吗？ 几何里所说的“平面”（plane）就是从这 样的一些物体中抽象出来的，并且几何里的平 面是无限延展的． (1)平面是无限延展的；(2)并且是不计大小， 不计厚度，不计重量的。
l, a , b , a l P, b l P.
栏目导引
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
例2.将下列符号语言转化为图形语言： A , B , A l , B l （1）
a , （ 2）
b , a // c , b c p
A
点A在平面 内， 记作 A ． 记作 B ． 点B在平面 外，
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
平面的概念 判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)平面的形状是平行四边形； (2)任何一个平面图形都可以表示平面； (3)平面 ABCD 的面积为 10 cm2； (4)空间图形中，后引的辅助线是虚线； (5)10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来 厚； (6)画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm.
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
测量员用三角架支撑测量用的平板仪．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
存在性
公理2 平面． 过不在一条直线上的三点，有且只有一个
B
唯一性
A
C
不共线的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
例4.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α， CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(三线共点)．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
证明： ∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰， ∴AB，CD必定相交于一点． 如图，设AB∩CD＝M. 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，且M∈β， ∴M∈α∩β. 又∵α∩β＝l， ∴M∈l， 即AB，CD，l共点．
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平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边 形，用平行四边形表示平面． 平行四边形的锐角通常画成45°，且横边 长等于其邻边长的2倍．
D A B C
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平面的画法 为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚 线画出来．（立体几何中的辅助线也遵循这一 方法）
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
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在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：
O1, ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O, 平面AA1C1C与平面 BB1D1D 的交线为 OO1
C O
B A
正确
D A E F
B C
被遮挡部分用虚线表示
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平面的表示
（1）常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行 四边形的一个角上，如平面α、平面β等；（2）也可以 用代表平面的四边形的四个顶点，（3）或者相对的两 个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称． D A
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作业：
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2．如下四图表示两个相交平面，其中画法正 确的是( )
答案：
D
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例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系．
a
A l
a l b P （ 2）
B
（ 1） 解：（1）： （2）：
l, a A, a B.
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图形、文字、符号
l
A
l
A
点A在直线l上． Al 点A在直线l外． Al
l
A
外．
平面
A
l B
直线l在平面
内或者
直线l在平面
经过直线l．
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l
l
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c ,
画图的顺序:先画大件(平面),再画小件(点、线)
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如果直线 l 与平面α只有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
直线 l 不在在平面α内
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如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？ 实际生活有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以 看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
A
C
B
相邻两个平面有一个公共点， 如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有 一个公共点B’，经过点B有且只 有一条过该点的公共直线B’C’. 这条公共直线B’C’叫做这两个 平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交 线．
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D
A B
C
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公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有无数个公共点，它们形成两平面的交线． 符号表示
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
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例3.如图所示，若A，B，C， D四点在平面α内，E，F分别 是AC，BD上的一点，判断直 线EF是否在平面α内． A∈α ⇒AC⊂α 解析： 根据题设有 C∈α 又 E∈AC，∴E∈α， 同理 F∈α， E∈α ⇒EF⊂α， 由 F∈α 即直线 EF 在平面 α 内．
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1．下列说法中正确的是( ) A．平静的太平洋就是一个平面 B．有一个平面的长是40 m，宽是10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展 的抽象的数学概念 D．平面的形状是平行四边形 答案： C
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l
P l , 且P l
P
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
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在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
直线 l 一定在平面α内
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公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这整条直线都在此平面内． A l B
在生产、生活中，人 们经过长期观察与实践，总 结出大家公认为真确的道理 我们把它作为公理．这些 公理是进一步推理的基础．
符号表示
A l , B l , A , B l
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
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空间点、直线、平面的位置关系
引言
观察：长方体，你能发现长方体的顶点，棱所
在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
D
A
C
长方体由上下、前后、 左右六个面围成． 有些面是平行的，有些 面是相交的；有些棱所在直 线与面平行，有些棱所在直 线与面相交，每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面 内的直线，等等．
D
C1 D1 O1
A1
B1
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在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C O
B A
D
C1 D1
A1
B1
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在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ； 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面． 正确
B
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把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
不只是相交于一个点，而是一条直线
B
因为平面是无限延展的
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观察：长方体的两个相交平面有公共直线 吗？
D
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B
D
A B
C
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实例引入 观察：海面，呈现出怎样的形象？
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实例引入
观察：教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样
的形象？
表面是平平的
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生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、 黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能 从ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ活中举出类似平面形的物体吗？ 几何里所说的“平面”（plane）就是从这 样的一些物体中抽象出来的，并且几何里的平 面是无限延展的． (1)平面是无限延展的；(2)并且是不计大小， 不计厚度，不计重量的。
l, a , b , a l P, b l P.
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例2.将下列符号语言转化为图形语言： A , B , A l , B l （1）
a , （ 2）
b , a // c , b c p
A
点A在平面 内， 记作 A ． 记作 B ． 点B在平面 外，
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平面的概念 判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)平面的形状是平行四边形； (2)任何一个平面图形都可以表示平面； (3)平面 ABCD 的面积为 10 cm2； (4)空间图形中，后引的辅助线是虚线； (5)10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来 厚； (6)画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm.
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
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测量员用三角架支撑测量用的平板仪．
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存在性
公理2 平面． 过不在一条直线上的三点，有且只有一个
B
唯一性
A
C
不共线的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
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例4.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α， CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(三线共点)．
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证明： ∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰， ∴AB，CD必定相交于一点． 如图，设AB∩CD＝M. 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，且M∈β， ∴M∈α∩β. 又∵α∩β＝l， ∴M∈l， 即AB，CD，l共点．
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平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边 形，用平行四边形表示平面． 平行四边形的锐角通常画成45°，且横边 长等于其邻边长的2倍．
D A B C
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平面的画法 为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚 线画出来．（立体几何中的辅助线也遵循这一 方法）
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
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在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：
O1, ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O, 平面AA1C1C与平面 BB1D1D 的交线为 OO1
C O
B A
正确
D A E F
B C
被遮挡部分用虚线表示
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平面的表示
（1）常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行 四边形的一个角上，如平面α、平面β等；（2）也可以 用代表平面的四边形的四个顶点，（3）或者相对的两 个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称． D A
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2．如下四图表示两个相交平面，其中画法正 确的是( )
答案：
D
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例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系．
a
A l
a l b P （ 2）
B
（ 1） 解：（1）： （2）：
l, a A, a B.