7.3.2多边形的内角和
7.3.2多边形及其内角和(1)
比一比. 比一比.画一画
请分别画出下列两个图形各边所在的直线,你能 请分别画出下列两个图形各边所在的直线 你能 得到什么结论？ 得到什么结论？
凸四边形
A
凹四边形
B
D
C
画出多边形的任何一条边所在的直线， 注 意 ： 画出多边形的任何一条边所在的直线 ， 整个多边形都在这条直线的同一侧， 整个多边形都在这条直线的同一侧 ， 那么这个 凸多边形。 多边形就是凸多边形 多边形就是 凸多边形 。 本节我们只讨论凸多边 形。
A B D C
四边形
A B E C D
生活中的平面图形
由这 B D C
A B
六边形
C
八边形
多边形的定义
那么多边形的定义呢？
一般地， 在平面内， 一般地 ， 在平面内 ， 由 n条 不 条 在同一直线上的线段首尾顺次 连结组成的平面图形称为n边 连结组成的平面图形称为 边 又称为多边形． 形，又称为多边形．
7.3多边形及其内角和 7.3多边形及其内角和(1)
—— 多边形
欣赏图片: 欣赏图片:
（1）节日彩旗 ）
（2）地砖 ）
（3）墙砖 ）
（4）景点掠影 ）
（5）蜜蜂窝表面 ）
（6）钟面边缘 ）
想一想
浙江金华兰溪---浙江金华兰溪 诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、 布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的 分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。 分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
练一练： ：
1、下列叙述正确的是( D ) 、下列叙述正确的是 A、每条边都相等的多边形是正多边形 、 B、如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这 、如果画出多边形某一条边所在的直线， 条直线的同一侧， 条直线的同一侧，那么它一定是凸多边形 C、每个角都相等的多边形叫正多边形 、 D、每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形 、每条边、 2、小学学过的下列图形中不可能是正多边形的是( D ) 、小学学过的下列图形中不可能是正多边形的是 A、三角形 B、正方形 C、四边形 D、梯形 、 、 、 、
初中数学多边形内角和的教案
7.3.2 多边形内角和【教学目标】1、掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题；2、通过多边形内角和计算公式的指导，培养学生探索与归纳能力；3、通过经历数学知识的形成过程，体验转化等重要的数学思想。
【重点难点】重点：多边形的内角和公式。
难点：多边形内角和的推导。
【教学准备】学生：直尺（三角尺）；教师：多媒体演示三角形纸片（扇形）【教学过程】一、创设情境，引入新课1、师：学校生物兴趣小组为了激发同学们学习生物的兴趣，准备在一块三角形土地的各角上种植半径为r扇形鲜花，如图1，聪明的你能帮忙计算种植鲜花的面积吗？2、（演示教具）用三块大小符合要求的扇形拼成一个半圆，你能解释为什么会产生这个效果吗？生：三角形的内角和是180°师：三角形的内角和是180°，四边形的内角和呢？五边形呢？n边形呢？大家想知道吗？这节课我们就一起来探讨这个问题。
二、合作探究解读新知1、探索四边形的内角和(1) 我们知道，正方形的四个角都是90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．（2）正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？(2)师：给定任意的一个四边形，你能有什么办法得到它的内角和吗？（如：通过测量相加求内角和，通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等）．注意：①对于学生提出的不同方法加以及时肯定；②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调，并提出是数学学习中的一种常用方法；(通过把多边形分成三角形，然后利用三角形的内角和是180°，进而求得多边形的内角和)2、探索多边形的内角和（1）那么，我们能不能同样的方法求五边形、六边形、七边形、n边形的内角和呢？（2）学生动手操作，完成表格（3）师生交流，得出结论1°过一个顶点引对角线的条数：n一32°分成三角形的个数：n一23°多边形的内角和：（n一2）×180°（4）练习巩固快速抢答1、七边形的内角和等于_______，十边形的内角和等于_________。
初中数学 7.3.2 多边形的内角和(含答案)
7．3．2 多边形的内角和课前感悟（课前自主预习，先试试你的身手）1．一个五边形的所有内角都相等，它的每个内角等于______°，每个外角等于______°．2．一个多边形每增加一条边，内角和增加______°，外角和______．3．如果一个多边形的每个外角是30°，那么这个多边形是_____边形，它的内角和等于______°．4．如果一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．六边形D ． 八边形5．下面哪一个度数是某个多边形的内角和（ ）．A ．270°B ．630°C ．1920°D ．720°6．一个多边形的内角和是三角形外角和的3倍，则这个多边形为（ ）．A ．五边形B ．六边形C ．八边形D ．九边形举一反三（典型例题引路，探求规律方法技巧）【例1】 （2003盐城）一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的41，则这个多边形是（ ）．A ． 正十二边形B ． 正十边形C ．正八边形D ．正六边形分析 不知道多边形内角和的情况下要求多边形的边数，直接运用多边形内角和公式较困难．但这是一个正多边形，每个内角相等，每个外角也相等，可以求出外角的大小，再根据多边形外角和是360°求出多边形的边数．解 设这个n 边形外角为x °，有x ＋4x ＝180°，x ＝36，1036360==n ．选C ． 点评 多边形的外角和为360°，与边数无关．正多边形的每个外角相等，所以也可以根据外角的大小确定正多边形的边数．【例2】如果一个多边形的所有内角与某一个外角的和为1350°，则这个多边形的边数为 ，这个外角的度数为 ．分析 多边形的内角一定是180°的整数倍，又因为每一个外角都小于180°，1350°＝7×180°＋90°，90°必为多出的外角．解 设此多边形为n 边形，n －2＝7，n ＝9，所求外角为90°．点评 根据多边形的内角和公式：n 边形的内角和等于（n －2）·180°，多边形的内角和必定是180°的整数倍．当告诉我们添上一个角或少了一个角一个后多边形的内角和是多少度，我们就能根据这个规律确定出这个多出的角或者缺少的角的大小．潜能开发（当堂学习巩固，训练重点、难点、考点）7．四边形ABCD 中，（1）∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∠D ＝108°，则∠A ＝______．（2）∠A ＋∠C ＝160°，则∠B ＋∠D ＝________．8．四边形的四个内角之比是1：2：3：4，那么，这四个角分别是_________________．9．n 边形内角和与外角和之比是5：2，则n ＝ ．10．四边形的四个内角中，最多有____个锐角，在四边形的四个外角中，最多有_____个锐角．11．两个多边形的边数之比为1：2，内角和度数之比为1：3，这两个多边形分别是_____边形和_____边形．12．一个多边形的内角和是1260°，多边形的内角和的边数是（ ）．A ．9B ．8C ．7D ．613．一个多边形的内角和的度数是外角和的2倍，这个多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．六边形D ．八边形14．（2004天津） 若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（ ）．A ．正方形B ． 正五边形C ． 正六边形D ．正八边形15．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．A ．20°B ．160°C ．200°D ．140°16．如图，四边形ABCD 中，∠A = 50︒，∠ABC = 105︒，∠BCD = 90︒，∠1、∠2、∠3、∠4中哪个角是四边形ABCD 的外角？求出它的度数．图7－6117．已知四边形的一个外角等于它不相邻的三个内角之和的41，求这个外角的大小．18．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1800°，你知道原多边形有ABCD 1234A B C DE F多少条边吗？19．一个多边形除一个内角外，其余各内角和是2500 ，这个多边形有多少条边？这个内角是多少度？探究创新（拓展视野，迁移发散，开发智力、潜力、能力）20．设凸（4n +2）边形A 1 A 2 A 3… A 4n+2（n 为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A 1＝∠A 2＝∠A 3＝90°，那么n ＝__________.21．阅读材料，再画图回答问题．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图7－62（1）给出了五边形的具体分割方法，分别将五边形分割成了3个、4个、5个三角形．请你按照上述方法将图7－62（2）中的六边形进行分割，并分别写出得到的三角形的个数．说出分割的三角形的个数与多边形的内角和有什么关系．图7－62（1） 图7－62（2）22.已知，如图7－63中，∠A ＝∠C ＝90°，对角线BE 、DF 分别平分∠ABC 和∠ADC ，BE 和DF 平行吗？说明你的理由．图7－63参考答案1.108°、72°2.180°、不变3.十二、18004.B5.D6.C7. 43°8. 36°、72°、108°、144°9. 7 10.3、3 11.四、八 12.C 13.C 14.C 15.B 16. 17. 60° 18. 11或12或13 19.16、20° 20. 1 21.4、5、6、从多边形一顶点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形一边上引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去1，再乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形内一点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去2，再乘以180°正好等于多边形的内角和 22.平行。
七年级数学多边形内角和
C
学一学 C 图 1 D 图2 B C
B
P
B
A
A
P
如图1，在四边形内任取一点P, 连接PA、PB、PC、PD将四边 形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
C、减少 180° D、无法确定
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色の魔晶,往怀中一丢.双腿一蹬,整个人如剑般飞射出去. 循着记忆,他快速来到一个小河边,快速冲洗一番,换了身衣服.昨晚他衣服可被剑齿虎抓了个稀巴烂,而且衣服上血腥味很浓,很容易引来高级魔智.而他现在穿の衣服可是他最后の一套衣服,进山前在蛮城买の. "就这吧！" 冲洗完,他快速离 开,找到一个落脚点,是一个大树,而这棵大树旁边却隔了十多米才有古树,上面の枝叶并没有连接.昨晚他休息の古树,一开始就已经检查过了,并无魔智.而后の剑齿虎,显然是从旁边の古树上,悄悄过来の.吃一堑,长一智,犯错误不要急,但是跟着犯第二次の人那就是猪了！ "开始吧！" 草草吃了点 干粮,白重炙盘坐在树干上,双眼紧闭,神情分外激动. "淡定,淡定,要淡定！" 他告诉自己要淡定,要心静如水,要心平气和.因为他决定要做一件非常危险の事情,一件前无古人の惊天创举. 他要打破前人の修炼方式,用一种前无古人,后无来者の修炼方式修炼.如果能成功那么他の修为将一日千里, 一举突破十几年来戴在他头顶上の那顶废物帽子. 他决定用战气去冲击经脉内の堵塞物质. 没错！不是溶解,不是腐蚀,而是冲击,大力の冲击. 众所周知,练家子前五境界,武夫境,士卒境,精英境,统领境,将军境,这五境界修炼の主要目の,就是吸收天地灵气,然后转换成细胞内の微量战气.有了战气 之后,则可以利用战气去慢慢腐蚀,溶解,分化经脉中の堵塞物质,从而让战气有个存储运转の地方. 人类身体拥有九小经脉,三大经脉,打通九小经脉.形成小周天,让战气在九小经脉中不同循环运转,这就突破了精英境の巅峰达到统领境.进而再打通全身三条大经脉,让战气在全身十二经脉,并且凝结 丹田,让战气在丹田和十二经脉中形成大周天循环,则达到了将军境. 这五境界の修炼说容易,很容易！对于经脉中堵塞物质少の"天才"来说,非常容易.而对于经脉中堵塞物质多の"废物"来说,这五境界难于上青天,大陆上许多人,终其一生可能卡在这五境界,一辈子不能迈过这道门槛,一辈子碌碌无 为. 像白重炙就属于后者,像夜轻狂那种一般の天才,清理一条经脉估计只用了十天半月时间,而白重炙则需要几年.十天半月和几年.这是什么样の概念,所以他父亲夜刀の武道心经才会说道,境界以下,全看个人天赋.天赋不行,终身无大成就. 破仙府修炼功法千万种,各种功法有强有弱.但是！前五 境界の修炼方法却大同小异,只是修炼速度快慢而已. 经脉！ 是人体最脆弱の地方,是人体最重要の地方.所以清理经脉中の堵塞物质,谁都不敢快,谁都要小心翼翼,万分仔细.因为战气狂暴无比,里面蕴含着非凡の力量.运用战气去清理经脉中の堵塞物质,你不能不小心,不能不慢.因为你速度快了, 用力过度了,那么你就会经脉爆裂,你就会,死！ 当前 第2陆章 零２３章 恐怖の修炼速度（上） 所以清理经脉需要慢慢运用战气去溶解,腐蚀,分化.看书 就好比吃糖,含在嘴里,慢慢用唾液去溶解他,用舌头去tian,在嘴巴里转动,慢慢磨损. 但是！ 今天白重炙准备用一种前所未有の方式去清理堵 塞物质！ 他要用战气去冲击,去撞击堵塞物质.一样の吃糖,别人是含着慢慢化,他却要咬碎,咀嚼,直接粉碎它. 咬碎！咀嚼！直接粉碎！ 速度怕是绝对要比慢慢含化快几十,几百倍.只是…这,是要找死吗?这样修炼绝对会经脉爆裂而亡の. "经脉爆裂是吗?哥又不是没爆过.来吧,让经脉爆得更加猛 烈一些吧…青铜戒指看你の了！"白重炙连呼三口气,咬着牙,运起战气朝冲脉之中の堵塞物质狠狠撞去. "撞,撞,撞！" 白重炙咬着牙,运起战气朝冲脉之中の堵塞物质狠狠撞去.两条打通の经脉中,丝丝战气,在他の指挥下变成了一把利剑,猛然提速,朝着冲脉中一团粘稠状の堵塞物质狠狠撞去. " 砰！" 战气化作の利剑和那团粘稠状物质撞到了一起,白重炙仿佛感听到了一声金铁相撞の"砰"の声音.粘稠状物质,被撞得四分五裂,犹如一朵绽放の烟花,瞬间分解,化作一颗颗粒状物质,分散在冲脉之中. 额,成功了? 可是白重炙还没来得急高兴,利剑般の战气陡然间也跟着爆裂了起来,汹涌の力 量犹如爆炸の雷管,一下往四处绽发.战气和堵塞物质相撞の那节经脉瞬间被炸裂. "啊,啊,啊！" 一阵撕心裂肺の痛楚瞬间传到了他の脑海中.一时间他全身开始抽搐起来,脸上肌肉都变形了,变得狰狞恐怖起来. "不行了,要昏迷了,青铜戒指,一切看你の了……" 短短几秒钟,剧烈の疼痛让白重炙晕 死过去.昏迷前,他把希望全放在了青铜戒指の白色气流上. "嗤！" 青铜戒指没有让他失望,在他身受重创,即将死亡之时.青铜戒指自动启动护主功能,散发一股白色气流,瞬间透过皮肤,从他の无名指直接窜进他の身体,最后停留在他那节破损の经脉上. 冲脉中,那节经脉已经被炸得千疮百孔,不成 样子了.但在白色气流の环绕滋润下,竟然快速の开始修补起来,这气流竟然神奇如斯. 十分钟！ 二十分钟！ 半小时后,白重炙缓缓睁开眼睛,全身舒适无比,似乎有种大冷天洗了个热水澡般の爽快.片刻之后,他连忙盘坐起来,内视身体の状况. 冲脉之中,经脉已经完好如初,似乎刚才の一切没有发生 过一般.而经脉之中の堵塞粘稠物质却明显少了许多. 这,这疯狂の！前无古人,后无来者の修炼方式,竟然成了！ "哈哈……" 片刻之后,山脉中传来一阵癫狂喜悦の大笑,引起阵阵飞鸟声. …… 眨眼间,一个月过去了. 蛮荒山脉外围地区,一个黑衣青年,急速の在山脉中穿行,青年长相斯文冷峻,身 子略显瘦弱.可是其行走中身形如风,稳健有力,神情悠然,眼神如电.浑身不知觉中给人一种自信,从容の气质. 此刻,青年急行の步伐突然不合常规の停了下来,身子却没有丝毫晃动,似乎早先他就是站在那里般.高速运动所带来の冲力和惯性似乎在他の身体上感受不到般.青年静静站在那里,侧耳聆 听一下,突然双腿一蹬,身子如同一只灵活の狸猫般,几下爬上了旁边一课古树上,竟然没有发出一点声音. "一级魔智风狼群,额,有十八只…小白你明天の食物又有了.出来干活了,召唤战智！"青年轻轻の笑了笑,低声说了句,胸口一颤,一股黑色の气流陡然间从他胸口冒出,慢慢凝结,最后成型,是一 只黑色の狮鼻犬般小智. 小智一出来很亲昵の摇着尾巴,伸着舌头讨好着青年.青年却不以为意,伸手摸了摸小智の头."开工！"低呼一声,整个人就如同利箭般朝不远处の风狼群激射而去. "咻！" 小智尾巴停止了摇动,眼中冒出一道红光,跟着青年疾射而去,速度竟然比青年还快. 不远处,一群风狼, 正悠悠哉哉の在林中散着步,寻找着食物.陡然间,前面两只风狼毛发竖立,眼冒寒光,惊觉の望着空中. "裂地斩！" 半空中,一大一小两道黑影飞射而来,分别对上前面两条风狼.左边の青年赤手空拳,从半空中急速飞下,左腿高高抬起,几乎跨到肩膀の位置.然后猛の朝前面风狼头劈下,竟然隐隐带着 风啸声. 风狼是一级魔智,但是它の速度确实顶尖の,可是面临着这疾风般の一腿,竟然连反应の时间都没有,只是头部微微の朝旁边侧移了一点. "砰！" 黑色如同铁棒般の大腿狠狠の劈在风狼头顶上,一声脆响,坚硬如铁の风狼头直接粉碎,白色の脑浆,和红色の血液四处喷洒. 一个照面,一只风狼, 直接劈死. 而另一边,只有人头般大小の小智,战斗却斯文の多.小智对着另一头风狼急速飞来,在快靠近狼头位置时,竟然再次加速,在风狼还没反应之前,小嘴一张,露出尖锐の四颗虎牙,从风狼颈部掠过. "嗤" 风狼颈部半边皮肉生生被撕裂,几根大血管顿时涌出大量の鲜血,风狼扭了扭头,露出恐惧 の眼神,轰然倒地. "额,不错！看谁杀の快！" 青年满意の看了小智一眼,微笑说道,整个人再次加速,化掌为刀,朝着后面の
七年级数学自学案：多边形的内角和
7. 3.2多边形的内角和一、自学范围（81页——83页）二、自学目标1、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算2、 通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用及从特殊到一般的认识问题的方法。
三、自学重点1、多边形内角和的的应用2、推导多边形内角和公式。
3、通过添加辅助线，把多边形的问题转化为三角形的问题解决。
四、自学过程1、自学81页完成填空： 连接AC,四边形ABCD 被全成 个三角形，BAC ∠+B ∠+BCA ∠＝CAD ∠+D ∠+ACD ∠＝ BAC ∠ +DAB ∠＝ BCA ∠+ACD ∠＝D BCD B BAD ∠+∠+∠+∠∴=所以四边形的内角和是2、五边形ABCDE由A 点引 条对角线，把五边形分成 个三 角形，一个三角形的内角和是 ，所以五边形 的内角和边表内角和等于 ，当多边形增加一条边，多边形的内角和增加 。
4、（1）在下图中，在AH 上找一点P 与各顶 点拼接，组成 个三角形，这些三角形的内角都加起来等于 ，再减去HPA ∠得 由此可知，n 边形任一边上一点p,与各顶点连接组成 个三角形，这些三角形的内角总和是 ，再减去 ，所以多边形的内角和 。
（2）若在多边形的内部找一点P,与顶点连接。
（试用六边形证明）5、自学例1，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也6、自学例2，在图中任何一外角同与它相邻的内角组成 ，图中共能组成 个这样的角，这些角的总和是 ，这个六边形的内角和是 ，所以654321∠+∠+∠+∠+∠+∠＝ - ＝ n 边形的任一个外角与相邻的内角共组成 个平角，总和是 ，n 边形的内角和是 ，所以n 边形的外角和是 。
7、自学83页最后一段，亲自做一做，体会多边形的外角和等于3600.五、学效测试8、判断题（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ）BF（2）当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（）（3）三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（）（4）从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（）9、填空（1）内角和等于外角和的多边形是边形．（2）内角和为1440°的多边形是．（3）五边形的对角线有条，它们内角和为．（4）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．（5）．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．（6）一个多边形的每个外角是36°，这个多边形的边数是_______.。
多边形的内角和优秀教案
教 案课题:7.3.2多边形的内角和授课教师 课题 多边形的内角和 课型 新授课新授课 教材七年级（下）七年级（下）教学目标 （一）知识目标（一）知识目标: :通过类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和公式。
通过类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和公式。
（二）能力目标：（二）能力目标：通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用;;通过探索多边形内角和公式索多边形内角和公式,,体会类比归纳的数学方法。
体会类比归纳的数学方法。
（三）情感目标：（三）情感目标：在自主探究，合作交流过程中，让学生感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识。
教学重点 难点及突破难点的方法重点：探索多边形内角和公式。
重点：探索多边形内角和公式。
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化为三角形。
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化为三角形。
教学关键教学关键::应用转化的数学思想把多边形问题转化为三角形问题来解决.教学方法 启发探究式教学法启发探究式教学法教学用具 多媒体、图纸、多媒体、图纸、准备知识 多边形概念；三角形内角和定理；多边形概念；三角形内角和定理；设计理念：从整个教学过程来看，先从特殊的四边形入手，求其内角和，再分别求五边形、六边形、七边形的内角和，从中寻找求内角和规律。
从研究的形式来看，主要是以问题的提出，由浅入深，由易到难，结合小组讨论合小组讨论，由学生归纳总结，最后得出内角和公式。
教师本着让每个学生都能参与，让每个学生的思维都得到训练，让每个学生的思维都得到训练，让每个学生的能让每个学生的能力都得到培养和提高，这一教学理念来设置每个问题，每个教学环节。
教材和教学内容分析本节课是七年级下册7.3.2多边形的内角和第一课时的内容多边形的内角和第一课时的内容, , 本节内容是在学生已经掌握“三角形的内角和定理”、本节内容是在学生已经掌握“三角形的内角和定理”、“多边形相关“多边形相关概念”基础上进行教学的，在内容上，从三角形的内角和到多边形的内角和。
2.多边形的内角和教案
课题：7.3.2多边形的内角和教材内容：新人教版七年级下册第七章第三节第二课时【教学目标】1、知识与技能：掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。
2、数学思考：（1）通过猜想－转化－类比－归纳等活动探索多边形的内角和公式，进一步发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，提高了语言表达能力。
（2）通过把多边形转化成三角形，让学生体会到转化思想在几何中的运用，还让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、解决问题：通过探索多边形内角和公式，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。
4、情感态度：通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索与智慧、以及数学结论的确定性，提高了学生的学习热情。
【教学重点】多边形内角和公式的探索。
【教学难点】如何把多边形转化成三角形来探索多边形的内角和。
【教具准备】1、多媒体课件、量角器、直尺2、每人一张“探索四边形、五边形、六边形、七边形的内角和的答题纸”【教学过程】一、创设情境，引入新课问题1：把一个四边形纸片剪去一个角后会得到一个什么图形？【学生先猜想，教师演示画、剪验证,再出示结果。
】问题2：任意多边形的内角和是多少度呢？【教师指出本课内容，板书课题:7.3.2 多边形的内角和。
】二、合作交流，探究新知问题1：长方形、正方形的内角和分别是多少度呢？问题2：任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？（小组讨论）（学生小组合作完成探究过程，知道有拼图法、度量法、添加辅助线把四边形分割成三角形的四种方法。
）以下是四种分割方法：方法一：过四边形的一个顶点画对角线，可以画1条对角线，它们将四边形分成2个三角形，四边形的内角和就等于180°×2=360°。
方法二：可以在四边形的内部取一点，把这一点与各个顶点连接起来，把四边形分成4个三角形，因此，四边形的内角和为180°×4-360°=360°。
7.3.2多边形的内角和_课件
练习3：
四 1. 内角和等于外角和的多边形是_____边形． 2. 一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 十二 _____边形． 3. 若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 八 _____边形． 4. 多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个 60゜ ゜ 外角为_____．
F
1
B
2 5
C E
3 4
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳2：
如果把六边形换成n边形（n为不小于3的正整数）， 同样也可以得到其外角和等于 n×180°-（n-2）×180°=2×180°=360°．即： 多边形的外角和等于333°．
（多边形的外角和与它的边数无关）
思一思：
我们也可以像以下这种，理解为什么多 边形的外角和等于360°． 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多 边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向 出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就 是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各 个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和 等于360°．
7.3.2 多边形的内角和
一、引入新课 二、探究新知 三、例题讲解 四、课堂练习 五、课堂小结 六、课后作业
热身、复习 画一画 例1 填一填 例2 练习4 想一想 归纳 归纳 练习5 议一议 思一思 练习6
练习1
练习3
同学自由发言，总结 温故知新
热身、复习
1.三角形的内角和等于 180° 度。 2.长方形的内角和等于 360° 度。 3.从四边形的一个顶点出发，可以引出 1 条对角 线，这些对角线将多边形分割成 2 个三角形
议一议：
要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理” 来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除了上述利 用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？ 你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？ (以五边
7.3.2多边形的内角和
n×180°－360°＋360°=1440°
n×180°＝1440° n=8 答：多边形的边数为8．
课堂小结
1．n边形的内角和是(n-2)· 180º ． 2．任意多边形的外角和都是360º ．
习题答案
1．略． 2．（1）4x＋60＝（5x－2）×180，解这个方程得 x＝120． 3． 多边形 的边数
1440o 正十边形的每个内角是 10
，即144°．
5．九边形． 6．（1）三角形． （2）六边形．
7．由 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°， ∠A＝∠C，∠B＝∠D， 得 ∠A＋∠D＋∠A＋∠D＝360°， 即 ∠A＋∠D＝180°． 因此AB∥CD． 同理可得BC∥AD． 8．（1）由BC⊥CD，得∠BCD＝90°． 由∠1＋∠2＝90°， ∠1＝∠2， 得∠1＝∠2＝45°． 由∠1＝∠2＝∠3，得∠3＝45°． 在△CDO中，∠COD＝180°－∠1—∠3 ＝90°． 因此CO是△BCD的高．
怎样证明你的结论？
从四边形的一个顶点出发， 可以引1条对角线，它将 四边形分为2个三角形， 四边形的内角和等于 180°×2＝360°．
C
D 4 3
1
A
2
B 证明：连接对角线AD． 因为∠3＋∠BDC＋∠CBD＝180°， ∠1＋∠ADB＋∠ABD＝180°． 所以四边形ABCD的内角和＝ ∠3＋∠BDC＋ ∠CBD＋＋∠1＋∠ADB＋∠ABD＝360°．
An n A1 1 A2 2 A3 3 5 A5 4 A4
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步．
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身
体转过的角是哪个角？
身体转过的角是∠1、∠2、∠3、∠4和∠5．
7.3.2 多边形的内角和 教案
7.3.2多边形的内角和教学目标：1.知识目标：了解多边形内角和公式以及运用公式进行有关计算2.能力目标：（1）通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形内角和公式，感受数学思考过程中的条理性，发展推理能力和语言表达能力（2）通过把多边形转化为三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法3.情感目标：在自主探究，合作交流过程中，让学生感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识教学重点：探索多边形内角和公式教学难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化为三角形教学过程：一复习导入新课问题1：三角形的内角和等于多少度？我们是如何得到这个结论的？问题2：正方形、长方形的内角和为多少度？问题3：猜一猜，任意一个四边形的内角和为多少度？二：师生互动、探究新知问题1：如何来验证你的猜想是否正确呢？我们还可以用一条对角线把四边形分成两个三角形，利用三角形的内角和来求四边形的内角和。
（展示幻灯片师生共同完成下列填空）问题2：从四边形的一个顶点可以引条对角线，把四边形分成个三角形，四边形的内角和为。
我们能否用同样的方法求五边形、六边形的内角和呢？（教科书86页、完成下列填空）问题6：从五边形的一个顶点可以引条对角线，把五边形分成个三角形，五边形的内角和为。
问题7：从六边形的一个顶点可以引条对角线，把六边形分成个三角形，六边形的内角和为。
三：归纳总结归结，类比得到多边形内角和公式（展示幻灯片）多边形内角和公式：（n-2）x 1800问题1：你还能用其他的方法添加辅助线来探索多边形的内角和吗？（以五、六边形为例来试一试）（1）如图的辅助线把五边形分成四个三角形，如图的辅助线把六边形分成了五个三角形，所以五边形的内角和为：所以六边形的和为：1800×4 - 1800 = 54001800×5 - 1800 =7200依此类比同样得到多边形内角和：1800×（n-1）-1800即：（n – 2）×1800（2）如图的辅助线把五边形分成五个三角形，如图的辅助线把六边形分成六个三角形，所以五边形内角和为：所以五边形的内角和为：1800×5 -3600 = 54001800×6 -3600 = 7200依此类比同样得到n边形内角和为：1800 ×n -3600即：(n - 2)×1800浏览：形成知识体系，加深印象（展示幻灯片）（1）1800×2=36001800×3=54001800×4=7200(n – 2 ) ×1800(2)1800×3 - 1800=3600 1800×4 - 1800=5400 1800×5 - 1800=7200(n – 2 ) × 1800（3）1800x4-3600=3600 1800x 5- 3600=5400 1800x6 - 3600=7200(n – 2 ) x 1800师：上面我们是用割分的方法来探索多边形内角和公式，我们还可以用补的方法来探索，有兴趣的同学下课以后，再动手试一试 四：初步应用，巩固新知习题1.求下列图形中的x 值（由学生抢答）1400x 0x1x 0150012002Xx 0135ee150060A B ∥CD 习题2：变式练习，熟能生巧（完成下列填空）a. 十五边形的内角和为 度，正六边形每一个内角和为 度。
七年级数学《多边形内角和》教学设计
⑴猜想任意一个四边形的内角和是多少度？用量角器测量每一个内角的度数，然后算出任意一个四边形的内角和？
⑵你能利用三角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
解题思路：四边形问题转化为三角形问题来解决。
⑶探索多（n）边形的内角和
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成三角形的个数
2
…
多边形的内角和
教学重点
多边形的内角和与外角和定理。
教学难点
多边形内角和公式的推导。
教学方法
情境教学法、启发性教学法
学法指导
发现法、练习法、合作学习。
教学资源
借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
教学评价
1、评价量规：随堂提问、练习反馈、作业反馈
学情分析
教学对象是七年级学生，在学习本节前，学生刚学完三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，加上七年级的学生具有好奇心，求知欲强，互相评价，互相提问的积极性高。因此对于学习本节课内容的知识条件已经成熟。学生参加探索活动的热情已经具备。因此把这节课设计成一节探索活动课是必要的。
知识分析
多边形内角和是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》七年级下册第七章第三单元内容，是在学生已经学习了三角形内角和、正方形、长方形内角和及多边形的基础上进行学习的内容，主要内容是通过学习四边形与多边形内角和定理的证明，应注意领会处理多边形问题的方法，就是把未学过的图形转化为已学过的图形来研究，把复杂的问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法．，综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。
7.3.2 多边形的内角和
7.3.2多边形的内角和Ⅰ．核心知识扫描1．n 边形的内角和等于(n －2)·180°．2．n 边形的外角和等于360°．Ⅱ．知识点全面突破知识点1：n 边形的内角和等于(n －2)×180°（重点、难点）每一个多边形都可以按照如图7-3-2-1的方法分割成若干个三角形．根据这种方法，可以把每一个n 边形分割成(n －2)个三角形． 图7-3-2-1这些三角形的内角和恰好是多边形的内角和．所以我们可以得到：多边形○C 内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)·180°例：已知一个n 边形的内角和是1080°，求n ．解：由多边形内角和公式得：(2)n -×180°=1080°，解得n =8.点拨：多边形的内角和公式有两个方面的应用：①已知多边形的边数，计算多边形的内角和；②已知多边形的内角和，求多边形的边数．知识点2：n 边形的外角和等于360°（重点、难点）由于n 边形的每个内角和与它相对应的外角之和为180°，所以n 边形的外角和与内角之和应该为n ×180°．于是有：n 边形的○C 外角和等于360°．例：如果一个各边都相等的多边形，若它的每一个内角是144°，则这个多边形是（ ）A ．正十边形B ．正九边形C ．正八边形D ．正七边形 解法一：设这个多边形为n 边形．则180(n －2)＝144n ，解得：n ＝10．答：这个多边形是十边形．解法二：因为这个多边形的每一个内角是144°，所以这个多边形每个外角等于36°，360°÷36°＝10答：这个多边形是十边形． 点拨：思路一是用两种方法计算多边形的内角和为180(n －2)°或144n °，然后得到方程180(n －2)＝144n ，求出这个多边形的边数；思路二是利用正多边形的外角和不变和每个外角相等这一特性来解决问题的，尽管多边形的内角和度数随着边数的增加而增加，但是多边形的外角和的度数始终保持不变，利用这一不变性，可使问题变得简单．知识点3：多边形的内角与外角的联系1．多边形同一个顶点的一个内角和一个外角恰好是一对邻补角；2．n边形的内角和与外角和总共是180n°．例：已知五边形内角度数之比为4∶4∶5∶5∶6，求该五边形各外角对应度数之比．解：设这个五边形五个内角的度数分别为4x°、4x°、5x°、5x°、6x°，则4x°＋4x°＋5x°＋5x°＋6x°＝540°解得：x＝22.5°∴这个五边形五个内角度数分别为90°、90°、112.5°、112.5°、135°对应的五个外角的度数分别为90°、90°、67.5°、67.5°、45°∴五边形各外角对应度数之比为4∶4∶3∶3∶2点拨：求五边形的外角度数之比，先根据内角和公式求出五个内角，根据相邻外角和内角是一对邻补角这一特征可求出五个外角．Ⅲ．提升点全面突破提升点1：增加或减少一个角对内角和的度数的影响例1：如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190°，则这个多边形的边数是多少？这个内角是多少度？解：设这个多边形为n边形由题意：这个多边形的内角和为1260°∴180（n－2）＝1260，解得：n＝91260°－1190°＝70°答：这个多边形为九边形，这个内角为70°．点拨：从n边形的内角和我们可以看出两方面内容：一是多边形的内角和是180的倍数；二是多边形的内角和和多边形边数有关，如果将内角和除以180°，然后加2后就等于多边形边数；在本题中，这个多边形的内角和是比1190°大，是180°的倍数，而且是与1190°最接近的那个180°的倍数，所以这个多边形的内角和为1260°．例2：一个多边形○C截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能【答案】D【点拨】设新多边形的边数为n，则180(n－2)＝1620，解得n＝11，所以原多边形边数为10、11或12．提升点2：根据多边形的外角推断多边形边数例3：如图7-3-2-3，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．图7-3-2-3【答案】90 【点拨】当回到出发点时，所经过的路线是一个正多边形，这个多边形的每个外角都等于40°，由于多边形的外角和是360°，所以这个多边形的边数为9．例4：一个正多边形的一个外角等于它的相邻的内角的41，则这个多边形是（ ）． A ．正十二边形 B ．正十边形C ．正八边形D ．正六边形 【答案】C【点拨】设这个n 边形外角为x °，有x ＋4x ＝180°，x ＝36，1036360==n ． 提升点3：求不规则图形的角度之和例5：如图7-3-2-4，∠B ＋∠F ＝55°，求∠A ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．A B C D E F图7-3-2-4【解】连结BE∵∠A ＋∠F ＝∠FEB ＋∠ABE∴∠A ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠C ＋∠D ＋∠DEB ＋∠CBE ＝360°【点拨】此题的图形为一不规则图形，对于不规则图形，常常可利用“化归思想”，通过添加辅助线将其转化为规则图形，连结BE ，即可把所求的4个角之和转化为四边形的内角和．40A4040Ⅳ．提升点全面突破例1：（2011，江苏海安七校联考，阅读题）小明和小华一起做功课，小明对小华说：“我给出一道题给你做做！一个多边形各内角都等于72°，求这个多边形的边数．”小华想了又想，答不出来，他灵机一动，对小明说：“我也考考你，一个凸四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶8，求这个四边形四个内角的度数．”小明想了想说：“你这道题出错了！”小华马上反击道：“你才出错了呢！”他俩说得对吗？若题目正确，请给出回答；若题目不正确，试改变题目中数据使其变成正确的题目，并给出解析．【解】他俩说得都对，小明的题目：设多边形为n边形，则72n＝180(n－2)，解得n＝103，所以小明的题目错误．小华的题目：设四边形的四个角分别为x°，2x°，3x°，8x°，则x＋2x＋3x＋8x＝360，解得x＝1807，所以最大的角等于14407，由于14407＞180°，所以这个四边形不是凸四边形．题目可改为：“一个多边形各内角都等于108°，求这个多边形的边数”，“一个凸四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶2，求这个四边形四个内角的度数．”【点拨】判断题目是否出错，可由题目做做看，如果能做出合适而定结果则题目正确，如果题目做不出结果，或做出的结果不符合要求，则题目不正确．Ⅴ．分层实战A组．基础训练1．（知识点1）四边形的内角和为（）A．90°B．180°C．360°D．720°2．（知识点3）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形3．（知识点1）一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（）．A．9B．8C．7D．64．（知识点2）如果一个多边形的每个外角都相等，且小于45°，那么这个多边形的边数最少是（）A．8 B．9 C．10 D．115．（知识点3）一个多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的13，则这个多边形是_________边形．6．（知识点2）n边形的每个外角都为24°，则边数n为___________．7．（知识点2）四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝．8．（知识点1）如图7-3-2-5，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，则∠C的度数是，∠D的度数是．图7-3-2-5 9．（知识点1）两个多边形的边数之比为1：2，内角和度数之比为1：3，这两个多边形分别是_____边形和_____边形．B组．培优训练1．（提升点1）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1800°，你知道原多边形的边数为（）A．11 B．12 C．13 D．11或12或132．（提升点2）某花园内有一块五边形的空地如图7-3-2-6所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2 m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（）A．6πm2B．5πm2C．4πm2D．3πm27-3-2-63．（提升点1）一个多边形恰好有三个角是钝角，这个多边形最多有________条边．B组．培优训练1．D，点拨：先求出截后的多边形边数为12，因为截取一个角后，多边形有可能增加、减少一条边或者边数不变．2．A，点拨：本题中暗含了一个条件是：各个扇形的圆心角之和为360°，即各个扇形的面积正好等于一个半径为2m长的圆的面积．4．（提升点1）多边形的内角和与某一个外角的度数之和为1350°，求这个多边形的边数．5．（提升点3）如图7-3-2-7，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数．图7-3-2-7 6．（提升点1）在一个凸n边形中，有（n－1）个内角的和恰为8 940°，求边数n的值．7．（提升点3）如图7-3-2-8，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠AGF 的度数．图7-3-2-87.3.2多边形的内角和A 组．基础训练1．C ，点拨：四边形的内角和等于180°×(4－2)＝360°．2．C ，点拨：设多边形的边数为n ，则有（n －2）×180＝360×4，解得n ＝10．3．D ，点拨：设这个多边形的边数为n ，则有120n ＝(n －2)180，解得n ＝6．4．B ，点拨：正多边形的边数越多，每个外角度数就越小，当每个外角度数为45°，这个多边形是8边形，当每个外角小于45°时，那么这个多边形的边数最少为9．5．八，点拨：先求出每个外角等于45°．6．15，点拨：由于多边形的外角和为360°，360÷24＝15，所以多边形有15条边．7．4∶3∶2∶1，点拨：设四个外角分别为x°、2x°、3x°、4x°，则x ＋2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝36，则四个外角分别为36°、72°、108°、144°，则这四个角的度数为144°、108°、72°、36°．8．160°，120°，点拨：延长AB 交DC 的延长线于点G ，因为AF ∥CD ，∠A ＝120°，所以∠G ＝60°，因为∠B ＝80°，∠G ＝60°，所以∠BCG ＝20°，所以∠BCD ＝160°，因为AB ∥DE ，所以∠D ＝180°－∠G ＝120°．9．四；八，点拨：设这两个多边形的边数分别为n °、2n °，所以180(n －2)∶180(2n －2)＝1∶3，解得：n ＝4．B 组．培优训练1．D ，点拨：先求出截后的多边形边数为12，因为截取一个角后，多边形有可能增加、减少一条边或者边数不变．2．A ，点拨：本题中暗含了一个条件是：各个扇形的圆心角之和为360°，即各个扇形的面积正好等于一个半径为2m 长的圆的面积．3．6，点拨：由于这个多边形有三个角是钝角，则这个多边形有三个外角是锐角，由于多边形的外角和为360°，所以其他最多有3个钝角或直角．4．解：设多边形的边数为n ，由题意，这个多边形内角和小于1350°，且是180°的倍数，所以这个多边形的内角和180(n －2)＝1260，解得：n ＝9．AEF BG DC所以这个多边形的边数为9．5．解：∠P＝180°－12∠ACD－12∠CDB＝180°－12(∠ACD＋∠CDB)＝180°－12(360°－∠A－∠B)＝180°－12(360°－150°)＝75°6．解：设此凸n边形中有一个内角为α，剩余（n－1）个内角之和恰好8940°．∴α=（n－2）·180°－8940°．∵0°＜α＜180°，内角和比8940大，且是180°的倍数，∴（n－2）·180°＝9000°∴n－2＝50，∴n＝52．∴这个凸多边形是凸52边形．7．解：连结BF，设AB与FG相交于O点，在△AOG和△BOF中，∵∠AOG = ∠FOB，∴∠A＋∠AGF =∠1＋∠2，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠AGF=（∠1＋∠ABC）＋（∠2＋∠EFG）＋∠C＋∠D＋∠E=∠CBF＋∠BFE＋∠C＋∠D＋∠E．而这5个角之和为五边形BFEDC的内角和，故为（5－2）×180°＝540°．∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠AGF＝540°．。
7.3.2 多边形的内角和(2)-2008
E B C D
注意:分割出来的三角形必须不重不漏 注意:分割出来的三角形必须不重不漏
1.若十二边形的每个内角都相等 若十二边形的每个内角都相等, 若十二边形的每个内角都相等 那么每个内角是______度 那么每个内角是 150 度. 2.已知多边形的每个内角都是 度, 已知多边形的每个内角都是135度 已知多边形的每个内角都是 则这个多边形是_______. 则这个多边形是 八边形 3.如果某个多边形的内角和等于它的外角和 如果某个多边形的内角和等于它的外角和, 如果某个多边形的内角和等于它的外角和 那么这个多边形的边数是________. 那么这个多边形的边数是 四边形
E B
A
课后作业： 课后作业： 课本P85 ：7、8题 课本P85
3.某四边形有一个60°的角， 3.某四边形有一个60°的角，剪去这个 角后，剩下的图形内角和为多少？ 角后，剩下的图形内角和为多少？
540º 540º
360º 360º
180º 180º
练一练
4、在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B：∠C：∠D = 、在四边形 中 度 ： ： 3：4：5，求∠B，∠C，∠D的度数。 的度数。 ： ： 4x , 5x 度， ， ， 的度数分别是 由四边形的内角和等于360度可得： 度可得： 由四边形的内角和等于 度可得 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 ∴ 3x = 60 4x = 80 5x = 100 的度数分别为60， 答：∠B，∠C，∠D的度数分别为 ，80, 100度。 ， ， 的度数分别为 度
小结： 课堂 小结：
n边形内角和 = 180。×（n-2）
边数n n边形内角和 边形内角和÷ 边数n = n边形内角和÷180。+2 n边形的外角和等于 ° 边形的外角和等于360° 边形的外角和等于
《多边形的内角和》说课稿(何琴)
《7.3.2多边形内角和》说课稿钦州市浦北外国语学校何琴各位评委、各位老师：大家好！我是钦州市浦北外国语学校的何琴老师，我今天说课的内容是新人教版《数学》七年级（下册）、第七章《三角形》的第三节《多边形的内角和》的第二课时,下面我将从以下六个方面对本次说课内容作说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课在内容上起着承上启下的作用，它是在三角形、长方形、正方形的内角和的基础上的拓广和发展，是从特殊到一般的深化，它与下一课时多边形的外角和一脉相承，还是后面学习平面镶嵌的基础，也是今后学习空间几何的基础。
这样的编排容易激发学生的学习兴趣，符合学生的认知特点。
学生在探索的过程中体验到从简单到复杂，从特殊到一般的转化思想及类比的思想，从而感受到数学探究活动的魅力。
根据新课标的要求和本课的内容特点我确定以下教案目标及重、难点。
2、教案目标：【知识与技能】掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。
【数学思考】（1）通过猜想－转化－类比－归纳等活动探索多边形的内角和公式，进一步发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，提高了语言表达能力。
（2）通过把多边形转化成三角形，让学生体会到转化思想在几何中的运用，还让学生体会到从特殊到一般的认识问题的方法。
【解决问题】通过探索多边形内角和公式，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。
【情感态度】通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索与智慧、以及数学结论的确定性，提高了学生的学习热情。
3、教案重点和难点【重点】多边形内角和公式的探索。
【难点】如何把多边形转化成三角形来探索多边形的内角和。
二、学情分析1、学生的年龄特点和认知特点：七年级学生思维活跃，求知欲强，容易接受新鲜事物，对于传统的课堂教案方式比较厌倦，本节课采取教师引导下的自主探究方法，符合学生的认知特点，容易调动学生的学习积极性，满足学生的学习愿望。
2、本节课之前学生对三角形、长方形、正方形的内角和已经有了一定的理解和认识。
多边形的内角和
7．3．2 多边形的内角和教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算．教学重点、难点1．重点：1多边形的内角和公式．2多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识,是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线它们将四边形分成几个三角形那么四边形的内角和等于多少度2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线它们将五边形分成几个三角形那么这五边形的内角和为多少度3．从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线它们将n边形分成几个三角形n 边形的内角和等于多少度综上所述,你能得到多边形内角和公式吗设多边形的边数为n,则n边形的内角和等于n一2·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳：以五边形为例分法一：在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°,而∠1,∠2,∠3,∠4,∠5不是五边形的内角应减去,∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝5—2×180°=540°．如果五边形变成n边形,用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角,即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=n一2×180°．BE分法二：在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以5－1个三角形,而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角,应舍去．∴五边形的内角和为5—1×180°一180°＝5—2×180°用同样的办法,也可以把n边形分成n一1个三角形,把不是n边形内角的∠AOB舍去,即可得n边形的内角和为n一2×180°．BD三、例题例1如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系,由于已知∠A＋∠C＝180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案．A BCD解：如图,四边形ABCD中,∠A＋∠C＝180°;∵∠A+∠B+∠C+∠D=4－2×360°=180°,∴∠B＋∠D= 360°－∠A＋∠C=180°这就是说：如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补．例2如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少 1234ABCD EF 56已知：∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF 的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为6—2×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为6—2×180°=720°∴它的外角和为6×180°一720°=360°如果把六边形横成n 边形．n 为不小于3的正整数同样也可以得到其外角和等于360°．即多边形的外角和等于360°．所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°．如下图,从多边形的一个顶点A 出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A 点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°．四、课堂练习课本P89练习1、2、3题．P90第2、3题五、课堂小结引导学生总结本节课主要内容．六、课后作业课本P90第4、5、6题．备选题：ABCDE F一、判断题．1．当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加．2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．4．从n边形一个顶点出发,可以引出n一2条对角线,得到n一2个三角形．5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．二、填空题．1．一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为边形．2．一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为边形．3．内角和等于外角和的多边形是边形．4．内角和为1440°的多边形是．5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时,恰好依次增加相同的度数,其中最小角为100°,最大的是140°,那么这个多边形是边形．6．若多边形内角和等于外角和的3倍,则这个多边形是边形．7．五边形的对角线有条,它们内角和为．8．一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为．9．多边形每个内角都相等,内角和为720°,则它的每一个外角为．10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4,那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．11．四边形的四个内角中,直角最多有个,钝角最多有个, 锐角最多有个．12．如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加 ,外角和增加．三、选择题．1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角2．若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形3．一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为A．6条 B．7条 C．8条 D．9条4．随着多边形的边数n 的增加,它的外角和A ．增加B ．减小C ．不变D ．不定5．若多边形的外角和等于内角和的号,它的边数是A ．3B ．4C ．5D ．76．一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是A ．五边形B ．八边形C ．十边形D ．十二边形7．一个多边形每个内角为108°,则这个多边形A ．四边形 B,五边形 C ．六边形 D ．七边形8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为A ．180°B ．360°C ．720°D ．1080°9．n 边形的n 个内角中锐角最多有 个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是A ．八边形B ．九边形C ．十边形 D,十一边形四、解答题．1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．1求它的边数； 2求少的那个内角的度数．2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线它共有多少条对角线n 边形呢3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍,求这个多边形的边数．4．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的21,求这个多边形的边数． 5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数．6．n 边形的内角和与外角和互比为13：2,求n ．7．五边形ABCDE 的各内角都相等,且AE ＝DE,AD ∥CB 吗8．将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形9．四边形ABCD 中,∠A+∠B=210°,∠C ＝4∠D ．求：∠C 或∠D 的度数．10．在四边形ABCD 中,AB ＝AC ＝AD,∠DAC ＝2∠BAC ．求证：∠DBC ＝2∠BDC ．。
7.3.2多边形内角和教案
活动2探索四边形的内角和
（1）度量法
（2）分割法（不唯一）
活动3探索多边形内角和
（1）五边形内角和
（2）六边形内角和
（3）多边形内角和
板书多边形内角和公式
应用新知解决例题（课件播放）例1如果一个四边形的一组角互补，那么另一组对角有什么关系？
能力目标：1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
2、通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题
教学设计
题目
7.3.2多边形的内角和
总课时
1
学校
星火一中
教者
邵海芹
年级
七年
学科
数学
设计来源
自我设计
教学时间
2012年4月
教
材
分
析
多边形内角和借助三角形内角和。
学情分析
学生三角形和四边形的内角和已有了解，在些基础学习不会困难
教
学
目
标
知识目标：了解多边形的内角和与外角和公式，并能应用它解决一些简单的问题。
学生活动
△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教师活动
学生活动
△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
创设情境，引入新课
多边形的内角和
巩固复习
• 问题1： 三角形的内角和、外角和分别是多少？
• 问题2： 长方形、正方形的内角和分别是多少？ 问题3： 四边形的内角和是多少？
•
四边形 四边形内角和为3600
如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、 PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形， 四边形内角和等于180°×4 － 360°= 360°
B C
P.
A D 图 1
如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC， 将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边 形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
A
B
.
C D
P
图2
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内 角和等于180° ×3－ 180° = 360° A
2、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他 漏掉一个内角，求得的内角和1680°，你能否 求得正确结果呢？ 3、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将 一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边 形的内角和将会（ ） A、不变 B、增加 180° C、减少 180° D、无法确定
课时小结
应用知识解决问题（1）
• 3．多边形外角和与内角和之间有什么关系？
• （1）各内角与相邻外角互补；
• （2）外角和=n个平角-内角和 • =n×180°-(n-2) × 180°=360°
• （3）结论：n边形的外角和等于360°
探究
1.小明想：2008年奥运会在北京召开，设计 一个内角和为2008ْ的多边形图案多有意义， 小明的想法能实现吗？
E
多边形内角和
试一试
想一想: 想一想: 任意四边形的内角和等于多少度? 任意四边形的内角和等于多少度? 你是怎样得到的?你能找到几种方法? 你是怎样得到的?你能找到几种方法?
D
A
B
C
合作探究
D
D
D
A
A O
A
B
P
C
B
C
B
P
C
180°×2=360° 180°×2=360° °×2=360
180°×4 360°=360° 180°× 180°=360° °×3 180°×4-360°=360° 180°×3-180°=360° °×
合作探究
选择同一种方法分别求出任意五边形、 选择同一种方法分别求出任意五边形、 六边形、七边形的内角和等于多少度？ 六边形、七边形的内角和等于多少度？
A
A B
G F
B
A
F E
B
E
C
C D
D
E
C
D
合作探究
n边形的内角和如何表示？ 边形的内角和如何表示？ （n-2）×180° 180° 180° 360° 180°n-360° 180°(n-1)-180° 180°(n-1)-180°
B
C
拓展提高
如图，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R 如图，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R 作圆，图中阴影部分的面积是多少？ 作圆，图中阴影部分的面积是多少？梳理来自高这节课你体 验到了什么？
梳理提高 总结： 总结：n边形内角和等于 180° （n-2）×180°
实战演习
作业： 作业： A：89页1、2、3题 89页 B：91页8、9题 91页
变式练习
如图，四边形ABCD， A=∠C， B=∠D， 如图，四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D， ABCD D AB与CD有什么关系 为什么？ 有什么关系？ AB与CD有什么关系？为什么？ 解:（1）平行. 平行. A (2)∵四边形的内角和是360° 四边形的内角和是360 (2)∵四边形的内角和是360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°， 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∵∠A=∠C， B=∠D， A=∠C ∴∠A+∠D=∠B+∠C=180° ∴∠A+∠D=∠B+∠C=180°. ∴AB∥CD
7.3.2多边角的内角和
边数
从一个顶点引出 对角线数
三角形个数
内角和
5 6 7
. . .
2 3 4
. . . 4×180°=720° × ° ° 5×180°=900° × ° °
. . .
n
n-3
n-2
(n-2)×180° × °
综上所述，设多边形的边数为 ， 综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于 n一2）•180° 边形的内角和等于 一 ） （ °
探 究 发 现
n边形外角和是多少度 边形外角和是多少度? 边形外角和是多少度
外角和=n个平角 内角和 外角和 个平角-内角和 个平角
=n×180°-(n-2) × 180° × ° ° =360 °
结论： 边形的外角和等于 边形的外角和等于360° 结论：n边形的外角和等于 °
猜一猜: 猜一猜
设想一辆汽车在多边形的边界上绕圈子， 设想一辆汽车在多边形的边界上绕圈子，每经过 一个顶点，前进的方向就要改变一次，绕了一圈， 一个顶点，前进的方向就要改变一次，绕了一圈，回 到原处，方向与当初出发时一致了， 到原处，方向与当初出发时一致了，角度的改变量之 和是多少度 多少度? 和是多少度
例2
如图， 如图，在六边形的每个顶点处各取
一个外角， 一个外角，这些外角的和叫做六边形的 六边形的外角和等于多少？ 外角和．六边形的外角和等于多少？
A
1 6
F B
2 5
C E
3 4
D
多边形外角与相邻内角之间有什么关系？ 多边形外角与相邻内角之间有什么关系？
各内角与相邻外角互为邻补角 各内角与相邻外角互为邻补角
例1 ：
如果一个四边形的一组对角互补， 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对 B 角有什么关系？ 角有什么关系？ 如图，四边形ABCD中， 如图，四边形 中 解： =180° ∠A+ ∠C =180°
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怎样证明你的结论？
从四边形的一个顶点出发， 可以引1条对角线，它将 四边形分为2个三角形， 四边形的内角和等于 180°×2＝360°．
C
D 4 3
A
1
2
B 证明：连接对角线AD． 因为∠3＋∠BDC＋∠CBD＝180°， ∠1＋∠ADB＋∠ABD＝180°． 所以四边形ABCD的内角和＝ ∠3＋∠BDC＋ ∠CBD＋＋∠1＋∠ADB＋∠ABD＝360°．
Page 22
An n A1 1 A2 2
5
A5 4 A4 3 A3
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步．
Page 23
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身
体转过的角是哪个角？
身体转过的角是∠1、∠2、∠3、∠4和∠5．
（2）他跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
360°．
2．已知一个多边形的内角和是它的外角 和的5倍，则这个多边形的边数为（ C ）
A．8 B． 10 C．12 D． 14
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3．一个多边形的内角和与外角和的总 度数是1440°，求此多边形的边数．
解:设这个多边形的边数为n（n≥3）
由多边形内角和公式与外角和可知:
(n-2) ×180°+360°=1440°
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练一练
一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍， 它是几边形？
解： 设这个多边形的边数为n（n≥3）． 则它的内角和等于 (n－2) ×180°， 外角和等于360º ． 所以 (n-2) ×180°= 2×360º 得： n = 6 答：它是八边形．
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随堂练习
1．如果正多边形的一个外角是72，那么 它的边数是（ B ） A．4 B．5 C．6 D．7
答：九边形的内角和是1260°，
十二边形的内角和是1800°．
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练一练
一个多边形当边数增加2时，它的内角和 增加多少度？
解：设边数为n ，则内角和等于(n－2) • 180º， 当边数增加2时，内角和等于(n＋2－2) • 180º
因为 (n＋2－2) • 180º － (n－2) • 180º
＝n • 180º － n • 180º ＋360º
＝360º
答：它的内角和增加360º ．
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练一练
一个多边形的内角和等于1440，它是几 边形？
解：设这个多边形是n边形，依题意得，
180°×（n-2）=1260． 解得：n=9 答：这个多边形是九边形．
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知识要点
多边形的外角
（3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5
等于多少吗？你是怎样得到的？
1+ห้องสมุดไป่ตู้2+ 3+ 4+ 5= 360°．
由于跑了一圈，所转的各个角的和等于一个周 角， 所以1+ 2+ 3+ 4+ 5=360°．
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利用多边形外角和的结论，能推导多边 形内角和的结论吗？反过来，能否利用多边 形的内角和的结论推导出多边形外角和的结 论呢？
多边形内角的一边与另一边的反向延长 线所组成的角叫做这个多边形的外角． An n A1 5 A5 4 A4 3 2
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1 A2
A3
在多边形的每个顶点外各取一个外角， 这些外角的和叫做多边形的外角和． An 5 A5 4 A4
n
A1 1 A2
3 2 A3
图中，多边形的外角和为: ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋· · · ＋∠n．
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还有其他的证明方法吗？
A
D
A
D
●
P
B
B
●
M
C
Page 10
C
用同一种方法分别求出任意五边形、 六边形的内角和等于多少度？
180°× 3 =540°
180°× 4 =720° 6－ 2
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5－ 2
观察下列图形，从多边形的一个顶点出发可 以引多少条对角线？这些对角线把多边形分成几 个三角形？你能猜想 n 边形的内角和是多少度吗？
3
2
4
Page 12
5
一般地，怎样求n边形的内角和呢？
An A1 A2 A3 A4
画多边形时，倒数第二边 应画成虚线，表示还有很 多边未画出来．
从n边形的一个顶点出发，可以引(n－3)条 对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n 边形的内角和等于180°× (n－2)．
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多边形 的边数 3
n×180°－360°＋360°=1440°
n×180°＝1440° n=8 答：多边形的边数为8．
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课堂小结
1．n边形的内角和是(n-2)· 180º ． 2．任意多边形的外角和都是360º ．
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新课导入
复习：
三角形
四边形
五边形
六边形
由平面内，由一些不在同一直线上的线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做多边形．
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三角形的内角和等于180°，外角 和等于360°．
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长方形的内角和等于360°，外角和 等于360°．
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五边形六边形、七边形、n边形的内角 和是多少度？外角和是多少度？
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证明多边形内角和定理的基本思想是 An 什么？ An
A1
A4
An A2 A3 A1
●
A1
●
A4
A2
P
A3
A4
O A3
A2
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你能说出九边形的内角和吗？十二边 形呢？
解：九边形内角和： 180°×（9－2）=1260° 十二边形内角和： 180°×（12－2）=1800° n边形内角和等于 180°×（n-2）
Page 4
Page 5
学习目标
了解多边形的内角和公式．
Page 6
学习重难点 重点
探索多边形内角和公式．
难点
探索多边形内角和公式时，如何把多边 形转化成三角形．
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任意画一个四边形，量出它的4个内角， 计算它们的和．你能得出什么结论？
4
3
1
2
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°．
图
形
分割出的三角形 的个数
多边形的 内 角 和
1
2 3
· · · · · · · · · · · ·
(3－2)×180º (4－2)×180º (5－2)×180º
· · · · · · ·
4
5
· · · · · ·
n
Page 14
n－ 2
(n－2)×180º
知识要点
n边形的内角和定理
n边形的内角和等于(n－ 2)· 180°．
Page 21
练一练
∠ 1＋ ∠ 2＋ ∠ 3＋ ∠ 4＋ ∠ 5＋ · · · ＋∠n＝？
解：n边形的任何一个外角加上与 它相邻的内角，都等于180°．因 此n边形的n个外角加上与它们相 邻的内角，所得总和为 n×180°． 这个总和就是n边形的外角和加上 内角和，所以这个外角和等于总 和减去内角和，即外角和为： n×180°－（n－2）×180°＝360°．