理论力学-5-运动学基础

ds ＝v ＝s dt
dv at s dt
an
v
2

a a a
2 τ
2 n
5.1 点的运动学
自然轴系
自然轴系
当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得 到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然 轴系。
5.1 点的运动学
自然轴系P－TNB
B(副法线) N(主法线)
0
dτ n d
5.1 点的运动学
τ vτ av
τ
弧坐标法
τ ?
ds ＝v ＝s dt
dτ dτ d ds dt d ds dt
dτ n d
d 1 曲率 ds
a at an at τ an n
速度方向的变化率 法向加速度
xA OC CM R
M
即
CM v0t R R
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R 于是M点的运动方程为： vt y AC AM cos R R cos 0 R
5.1 点的运动学
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R vt y AC AM cos R R cos 0 R
切线方向的单位矢量为t ，则有 r ds lim τ ＝v ＝ s t 0 s dt t指向弧坐标s增加的方向。 动点的速度为
τ v vτ s
速度方向
速度大小
5.1 点的运动学
弧坐标法
加速度
dτ dτ d ds dt d ds dt dτ d 1 ds 曲率 ? ＝v ＝s ds d dt τ
r
k iO x y j
y x
0 i jk
x i y j z k vr vx i v y j vz k
, vy y , vz z vx x
5.1 点的运动学
直角坐标法
加速度
z
P
v
z
x i y j z k vx i v y j vz k vr

s
, v vτ av
τ vτ av
? τ
dτ τ lim 0 d
lim
2 τ sin
2
t
P

P'
当0时， t 的 极限方向趋向于在 P点的法线方向， 即n方向。
sin 2 1 lim 0 2
t 时间间隔内速度的改变量
r
v´ r´ v´
y
v(t)＝ v´ (t ＋ t )－ v(t) 定义点在 t 瞬时的加速度：
O x
v dv a lim v t 0 t dt
av r
5.1 点的运动学
直角坐标法
② 直角坐标法
z
位置
P
r xi yj zk
r
k iO
x y j
a
y x
加速度为：
a v x i y j z k ax i a y j az k
, ay , az ax x y z
5.1 点的运动学
直角坐标法
例题1
椭圆规机构
＝＝常数,
OA AB AC l , BP d
速度大小的变化率
dv s 切向加速度 at dt
an
v
2
a a a
2 τ
2 n
tan
aτ an

思考
5.1 点的运动学
思考题
思考题：点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧 长与时间的一次方成正比（s=ct）。请判断点的运动性 质：
(A) 越跑越快； (B) 越跑越慢； (C) 加速度越来越大； (D) 加速度越来越小。
z P
y
P´
r (t )
r ´ ( t ＋ t )
O x
r1
r3
v1
r4
v3
v2
定义点在 t 瞬时的速度
v lim
r dr r t 0 t dt
x
v r2 4
o
y
其方向沿轨迹切线方向， 并指向质点运动方向。
5.1 点的运动学
矢量法
加速度
z
v
P P´ v
P点的运动方程：
x 2l d cos 2l d cos t y d sin d sin t
从中消去t 得到P点的轨迹方程
x y 1 2l d d
2 2
5.1 点的运动学
例题1
轨迹曲线
x y 1 2 l d d
速度？
加速度？
第5章 运动学基础
5.1 点的运动学 5.2 刚体的简单运动
第5章 运动学基础
5.1 点的运动学
5.1 点的运动学
1.参考系 2.质点的运动形式 3.点的运动学的研究方法
5.1 点的运动学 1.参考系
参考体(reference body)： 根据运动的相对性，研究物体 的运动，必须选取另一个物体作为参考，这一物体称为 参考体。 参考系(reference system)：与参考体固连的坐标系。 注意：参考体总是一个大 小有限的物体，而参考系 则应理解为与参考体固连 的整个坐标空间。 例如以地球作为参考 体研究行星的运动。
求：P点的运动方程、 速度、加速度。
5.1 点的运动学
约束条件
例题1
5.1 点的运动学
解题步骤：
1、建立固定参考系Oxy；
例题1
2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置：对于直线坐标，位于 坐标轴的正向； 对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。
3、根据已知的约束条件列写质点运动方程。
ω2 dsin ωt ay yΒιβλιοθήκη 5.1 点的运动学练习1
B
B K O
A

K x
下图为偏心驱动油泵中的 曲柄导杆机构。设曲柄OA长 为r，自水平位置开始以匀角 速度 转动，即 =t，滑槽 K-K与导杆B-B制成一体。曲 柄端点A通过滑块在滑槽K-K 中滑动，因而曲柄带动导杆 B-B作上下直线运动。 试求：导杆的运动方程、 速度和加速度。
矢量法
① 矢量法
z
位置
P P´
◇ 点P相对于原点O的位置 矢量，简称位矢或矢径。 P 矢径为时间t的单值函数： r = r (t) ——运动方程
y
r
r´
r
O
矢径为变矢量。
x
◇ 位矢端图称为动点P的 运动轨迹。
5.1 点的运动学
z
矢量法
v
P
r
速度
质点位移—— t 时间间隔内矢径 的改变量，即 r(t)＝ r ´ (t＋t)－r(t)
Nanjing University of Technology
理论力学课堂教学软件（5）
理论力学
第二篇 运动学
第二篇 运动学
运动学（ kinematics ）： 研究物体在空间的位置随时间的 变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。 从几何学方面来研究物体的机械运动。 学习运动学的意义： 首先是为学习动力学打下必要的 基础。其次运动学本身也有独立的应用。 物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指 明参考体和参考系。 学习运动学的难点： 物体运动的位移、速度和加速度 都是矢量，因此研究运动学采用矢量方法。而且，一般情 形下，这些矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化。 运动学所研究的力学模型为：点和刚体。
M
A
R
v0
5.1 点的运动学
例题2
旋 轮 线
M

o R

M
5.1 点的运动学
例题2
5.1 点的运动学
例题2
解：1.圆盘边缘一点M的速度、加速度 取点M所在的一个最低位置为原点 O，设在任意时刻 t 圆盘的转过的角 度为 CAM ＝ ， 为时间 t 的函数， C 是圆盘与轨道的接触点，由于圆盘作 纯滚动，得到：
自然轴系
s+
b
s-
n
T(切线)
P－空间曲线上的动点； T－ 过动点P的密切面内的切线， 其正向指向弧坐标正向； N－ 密切面内垂直于切线的直线， 其正向指向曲率中心； B－ 过动点P垂直于切线和主法 线的直线，其正向由下式确定。
P t
密切面
b τ n
以上三相互正交的轴线构成了 随时间变化的直角坐标系，称为 自然轴系。 前述述关于速度和加速度的公 式和结论均成立。而且，加速度 在副法线方向的投影恒为零。
2
2
5.1 点的运动学
描述质点运动的直角坐标法
例题1
P点的运动方程： x 2l d cos 2l d cos t y d sin d sin t P点的速度：
vx x ω (2l d )sin ωt ωd cosω t vy y P点的加速度： ω2 (2l d )cosωt ax x
密切面： 过曲线上一点 P 点， 与运动轨迹相切的平面。
5.1 点的运动学
自然轴系P－TNB
自然轴系
自然轴系的特点 跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。
5.1 点的运动学
例题2
半径为 R 的圆盘沿直线轨道无 滑动地滚动（纯滚动），设圆盘 在铅垂面内运动，且轮心A的速度 为v0（常矢量） 。 试求： 1.圆盘边缘一点 M的速度、加速度； 2.M点轨迹曲线弧坐标表示的运动 方程； 3.M点轨迹的曲率半径。