空间中的角080625
立体几何第六讲：空间中的角
第六讲：空间中的角（二）二面角 一，知识点 1，基本概念1）半平面：当两个平面相交时，我们往往只画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。
2）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。
即分别在两个半平面内做交线的垂线，两条射线所成的角为二面角的平面角。
2，范围：],0[π特别：重合为0，共面为π，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。
3，步骤：一找，二证，三计算4，用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
二，典型例题与解读求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点（特殊点），在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！用定义法时，要认真观察图形的特性。
例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
jA B CDP H2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
3、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
空间几何中的角度概念
空间几何中的角度概念角度是几何学中一个重要的概念，它在空间几何中具有广泛的应用。
本文将介绍角度的定义、分类以及与其他几何概念的关系，旨在帮助读者更好地理解和运用角度概念。
一、角度的定义角度是由两条射线共同确定的几何形状，通常用大写字母表示。
我们常用度（°）作为角度的单位进行计量。
例如，当两条射线在同一平面内时，它们之间的夹角即为角度。
二、角度的分类根据角度的大小，我们可以将角度分为三种不同的类型：锐角、直角和钝角。
1. 锐角锐角指的是小于90°的角度。
在平面几何中，锐角通常用尖角符号（<）表示。
例如，当两条射线之间的夹角小于90°时，我们可以称之为锐角。
2. 直角直角是指恰好等于90°的角度。
在平面几何中，直角通常用符号“⊥”或一个小方块表示。
例如，当两条射线之间的夹角等于90°时，我们称之为直角。
3. 钝角钝角是指大于90°但小于180°的角度。
在平面几何中，钝角通常用符号“>”表示。
例如，当两条射线之间的夹角大于90°时，我们可称之为钝角。
三、角度与其他几何概念的关系角度的概念在几何学中与其他几何概念密切相关，下面将介绍一些与角度相关的重要几何概念。
1. 相关性质角度的相关性质是指角度之间的比较关系，主要有对顶角、邻补角和对补角三种。
（1）对顶角对顶角是指两个相邻角度之间的关系，它们的和等于180°。
例如，在三角形中，对顶角之和等于180°。
（2）邻补角邻补角是指两个相邻角度之间的关系，它们的和等于90°。
例如，在直角三角形中，两个锐角是邻补角。
（3）对补角对补角是指两个相互补充的角度之间的关系，它们的和等于180°。
例如，在平行线产生的锐角与对顶角之间的关系就是对补角。
2. 角度的运算在几何学中，角度可以进行加法和乘法运算。
加法运算指的是两个角度进行相加，乘法运算指的是两个角度进行相乘。
高二数学空间中的角知识精讲
高二数学空间中的角【本讲主要内容】空间中的角异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角【知识掌握】【知识点精析】角的计算主要包括：两条异面直线所成的角的计算、直线和平面所成的角的计算、二面角的计算三种类型。
完成这几类计算的主要步骤可以用“作、证、指、算”四个字简单地表述。
所谓“作”就是作出已知或所求的角；“证”是用定义或定理证明所作的角是符合要求的；“指”是指出所作的并已经证明的角即为所求的角；“算”往往是构造三角形后解三角形。
这四个步骤紧密地联系在一起，步步相关一气呵成。
在这四步中“作”和“证”是最关键的。
下面将这三类角的作法总结如下：1. 两条异面直线所成角的作法几何体中给出的两条异面直线，往往是以线段的形式出现。
作两条异面直线所成角的根据是定义，平移变形是主要步骤，确定角的顶点是关键。
一般可从以下两种情况来考虑。
（1）以这两条异面直线段的四个端点的一个点为顶点作角。
一条线段保持不动而平移另一条线段。
（2）以两条异面直线分别所在两个平面的交线上的一点为顶点作角。
两条直线可分别在两个平面内平移。
2. 斜线与平面所成角的作法作斜线与平面所成的角，一般可从以下两种情况考虑。
（1）在斜线上任取一点，过这点作平面的垂线，连接斜足和垂足，即构造一个直角三角形。
这个直角三角形的斜边与在平面内的直角边的夹角即为这条斜线与这个平面所成的角。
（2）过斜线作平面的垂面，则斜线与互相垂直的两平面交线所成锐角即为这条斜线与这个平面所成的角。
3. 二面角的平面角的作法作二面角的平面角有多种方法，常用的方法分为定义法、垂面法、三垂线定理法等。
不过证明的最后一步还是根据二面角的平面角的定义。
下面按作图方法划分为以下常用的三类。
（1）直接作二面角的两边在二面角的棱上取一点，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的射线，此时所作的角即为二面角的平面角。
（2）作二面角棱的垂面过二面角棱上一点，作棱的垂面，与二面角的两个半平面相交于两条射线，这两条射线所成的角即为二面角的平面角。
空间中的角PPT课件
P 3
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A
C
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2020年10月2日
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P
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Ｆ
A
C
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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空间的角有哪几种基本形式？
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
2020年10月2日
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方法：平行平移
a
b
练习：
.O
b1
a1 范围：(0°,90°]
2020年10月2日
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方法：关键是作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
2020年10月2日
练习：
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二面角作法：
方法1：定义 方法2：三垂线定理 方法3：作垂面
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C
O
B
A
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
空间中角的范围
空间中角的范围引言在几何学中，角是指由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。
角的范围是指角度的度量范围，通常以度数或弧度来表示。
在空间中，角的范围涉及到三维几何图形中的角度测量和角度范围的计算。
本文将介绍空间中角的定义、性质以及如何计算和测量角的范围。
空间中角的定义在空间中，角可以由三个点来定义，这三个点分别是角的顶点和两个边的端点。
一般来说，我们用大写字母表示角的顶点，用小写字母表示角的两个边的端点。
例如，角ABC表示由点A、点B和点C所确定的角。
空间中角的性质空间中的角具有以下性质：1.角的度量范围在0度到360度之间。
这意味着角可以是锐角（小于90度）、直角（等于90度）、钝角（大于90度）或者是一个完全的圆周角（等于360度）。
2.对于一个给定的角，它的度量范围是唯一确定的。
即使角的边的长度或位置发生变化，角的度量范围保持不变。
3.角的度量范围可以通过两种方式来表示：度数和弧度。
度数是最常用的表示方式，它将一个完整的圆周分为360个相等的部分。
弧度是一种更为抽象的表示方式，它将一个完整的圆的周长定义为2π，而一个直角的度数对应的弧度为π/2。
4.两个角的度量范围相等，当且仅当它们的度数或弧度相等。
计算空间中角的范围计算空间中角的范围通常涉及到三角函数的使用。
三角函数是一组用于计算角度的数学函数，包括正弦、余弦和正切等。
以下是一些常用的计算角范围的方法：1.使用三角函数计算：根据给定角的边长或比例关系，可以使用三角函数来计算角的度量范围。
例如，已知一个直角三角形的两条边的长度，可以使用正弦函数来计算角的度量范围。
2.使用三角恒等式计算：三角恒等式是一组将一个三角函数表示为其他三角函数的等式。
通过使用三角恒等式，可以将一个角的度量范围转换为其他角的度量范围，从而简化计算过程。
3.使用三角函数表格查找：三角函数表格提供了常见角度的正弦、余弦和正切值。
通过查找表格中的数值，可以确定给定角的度量范围。
空间角问题高三数学知识点
空间角问题高三数学知识点空间角问题是高三数学中的重要知识点之一。
在解决空间角问题时，我们需要熟练掌握一系列概念、定理和计算方法。
本文将系统介绍空间角问题的相关内容，包括空间角的定义、分类和性质，以及求解空间角问题的具体方法和技巧。
一、空间角的定义和分类1.1 空间角的定义空间角是在三维空间中由两条射线形成的角。
它可以看作是平面角在立体空间中的推广。
通常用小写的希腊字母表示空间角，如α、β、γ等。
1.2 空间角的分类根据空间角的大小和位置关系，空间角可以分为以下几种类型：1) 零角：两条射线重合，形成的角为零角。
2) 锐角：两条射线夹角小于90度，形成的角为锐角。
3) 直角：两条射线夹角等于90度，形成的角为直角。
4) 钝角：两条射线夹角大于90度但小于180度，形成的角为钝角。
5) 平角：两条射线夹角等于180度，形成的角为平角。
二、空间角的性质空间角具有一系列重要的性质，掌握这些性质有助于我们解决空间角问题。
2.1 垂直性质若两个空间角互为互补角，则它们所对的两条射线垂直。
2.2 同位角性质若两个空间角由相同的两条射线所形成（其中一条射线相互重合），则这两个空间角互为同位角。
同位角具有以下性质：1) 同位角相等：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角也为α。
2) 同位角的补角关系：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角为180度减α的补角。
2.3 对顶角性质若两个空间角互为对顶角，则它们所对的两条射线互相重合。
三、求解空间角问题的方法和技巧3.1 判断空间角的类型在解决空间角问题时，首先要能够准确地判断空间角的类型。
可以通过观察两条射线的位置关系和夹角的大小来判断空间角是锐角、直角、钝角还是平角。
3.2 应用对顶角和同位角的性质对顶角和同位角的性质在求解空间角问题时经常被应用。
通过利用对顶角和同位角的性质，可以得到空间角的相关信息，进而解决问题。
3.3 运用向量方法在空间角问题的求解中，向量方法也是一种重要的技巧。
空间中角的范围
空间中角的范围
【实用版】
目录
1.空间中角的概念
2.角的范围及其分类
3.空间角的性质和应用
正文
一、空间中角的概念
在数学中，角是由两条射线共同确定的图形部分，通常用一个小圆圈表示。
在空间中，角是由两个射线或两个向量所围成的部分。
与平面上的角类似，空间中的角也可以分为锐角、直角、钝角等不同类型。
二、角的范围及其分类
1.锐角：锐角是指小于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是锐角，那么这两个向量之间的夹角一定是锐角。
2.直角：直角是指等于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是直角，那么这两个向量之间的夹角一定是直角。
3.钝角：钝角是指大于 90 度小于 180 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是钝角，那么这两个向量之间的夹角一定是钝角。
4.平角：平角是指等于 180 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是平角，那么这两个向量之间的夹角一定是平角。
5.优角：优角是指小于 180 度且大于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是优角，那么这两个向量之间的夹角一定是优角。
三、空间角的性质和应用
空间角具有许多重要的性质，例如，任意两个角之和等于它们所夹的
平面角的度数，任意两个角的差等于它们所夹的平面角的补角的度数等。
这些性质在解决空间几何问题时非常有用。
此外，空间角还可以用于解决一些实际问题，例如，在计算机图形学中，空间角常用于计算物体的旋转和翻转，以及确定物体之间的相对位置等。
空间角
形形色色空间角 向量出面把值找知识梳理一、空间角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓广．三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．由于引入了空间向量，三种角的计算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理．二、三种角的概念及范围1．异面直线所成的角：在空间中取一点O ，过O 分别作两异面直线的 线所成的 ，叫做两条异面直线所成的角．其取值范围为(0，π2]．2．直线和平面所成的角：如果直线平行于平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为 ；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为π2；如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的 所成的 角，称之为直线和平面所成的角．因此，直线和平面所成角的范围是[0，π2]．3．二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是 角的二面角叫做直二面角．作二面角的平面角的常用方法有：①定义法；②三垂线法；③垂面法；④向量法等．4．向量法求角 (1)异面直线所成的角设异面直线l 1，l 2的方向向量为a ，b ，l 1与l 2所成的角为θ，则有cos θ＝ .(2)直线与平面所成的角设AP →是直线l 的向量，n 是平面α的法向量，向量AP →与平面α所成的角为θ，则sin θ＝．(3)设n 1，n 2为平面α，β的法向量，两个平面所成的二面角为θ， 则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|，其中θ＝<n 1，n 2>或π－<n 1，n 2>．例题选讲例1如图所示，A1B1C1－ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值．例2如图，在三棱锥P－OCB中，PO⊥平面OCB，OB⊥OC，OB＝OC PC＝4，D为PC中点，求OD与平面PBC所成的角的正弦值．例3如右图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求CD与平面ADMN所成的角．例4如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD＝90°，AB∥CD，又AB＝BC＝PC＝1，PB CD＝2，AB⊥PC.(1)求证：PC⊥平面ABCD；(2)求P A与平面ABCD所成角的大小；(3)求二面角B－PD－C的大小．例5如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，ADEF＝2.(1)求证：AE∥平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°？课后巩固一、选择题1．已知二面角α－l －β的大小为30°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( ) A ．30° B ．90°C ．120°D ．150°解析：∵两异面直线所成的角0°＜α≤90°，故排除B 、C 、D.2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 1的中点，则异面直线A 1E 与CD 1所成的角等于( ) A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：如图，A 1E 与CD 1所成的角等于∠BA 1E ，因为△A 1BC 1为等边三角形，又E 为BC 1中点，所以∠BA 1E ＝30°.故选D.3．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34解析：取BC 的中点为D ，易证面SAD ⊥面SBC .作AO ⊥SD 于O ，则AO ⊥面SBC ，所以∠ABO 为直线AB 与面SBC 所成的角，所以sin ∠ABO ＝AO AB ＝322＝34.4．如图，设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝AC ＝6，AD ＝2，则直线DO 和平面ABC 所成的角等于( )A.π6B.π3C.π4D.π2解析：∵DA ⊥AB ⊥AC ，∴以AB 、AC 、AD 为三条棱补形为一个长方体，DO 所在直线为长方体的体对角线．如图，∠DD ′A 即为DO 与平面ABC 所成的角．又∵AD ＝2，AD ′＝23， ∴tan ∠DD ′A ＝33，故∠DD ′A ＝π6. 5．如图为某一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD ＝PD ＝6，CR ＝SC ，AQ ＝AP ，点S 、D 、A 、Q 及P 、D 、C 、R 共线．沿图中虚线将它们折叠起来，使P 、Q 、R 、S 四点重合为一点P ，则二面角P －AB －D 的大小为( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥， 由PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，得PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . 而AB ⊥AD ，PD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥AD ，AB ⊥P A .∴∠P AD 为二面角P －AB －D 的平面角．又在Rt △PDA 中，PD ＝AD ，故∠P AD ＝π4，∴二面角P －AB －D 的平面角为π4.6．若二面角α－l －β为5π6，直线m ⊥β，则α所在平面内直线与直线m 所成角的取值范围是( )A ．[π6，π2]B ．(0，π2)C ．[π3，π2]D ．[π6，π3]解析：直线m 与α所成的角是π3，所以m 与α内所有直线所成角的范围是[π3，π2]．7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的中点，则二面角C －A 1E －B 的正切值为( ) A.52B.5C. 3D ．2解析：如图所示，过点B 作A 1E 的延长线的垂线，垂足为M ，连结CM ，由CB ⊥平面ABB 1A 1，得CM ⊥A 1E ，所以∠CMB 就是二面角C －A 1E －B 的平面角，设CB ＝2a ，则BM ＝EB sin ∠BEM ＝a ×25＝255a ，在Rt △CMB 中，tan ∠CMB ＝CB BM ＝ 5.8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30解析：如图由条件可知面ABC ⊥面ACD 时，三棱锥体积最大，如右图，∠DBE 为所求的角，DE ＝BE .∴△DBE 是等腰直角三角形，故∠DBE ＝45°.二、填空题9．如图所示，若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是_____ (结果用反三角函数值表示)．解析：连接D 1C .∵AD ∥BC ，∴∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角． 在Rt △BCD 1中，BC ＝2，CD 1＝25， ∴tan ∠D 1BC ＝5，∴∠D 1BC ＝arctan 5.10．在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，则二面角E －BC －D 的余弦值为________．解析：如图取BC 的中点F ，连结EF 、DF ，设正四面体棱长为a ，则BE ＝CE ＝DF ＝32a ， DE ＝CF ＝12a ，∴EF 2＝CE 2－CF 2＝(32a )2－(12a )2＝24a 2，∴EF ＝22a .易知BC ⊥EF ，BC ⊥DF ，∴∠EFD 即为所求二面角的平面角． ∴cos ∠EFD ＝12a 2＋34a 2－14a 22×22a ×32a＝63.11．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是________．解析：如图，取AC 的中点D ，连结BD 、C 1D ，由已知，得BD ⊥AC . 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BD ⊥平面AC 1， ∴DC 1为BC 1在平面AC 1上的射影． ∴∠BC 1D 即为所求角． 易知BD ＝32，C 1B ＝3， ∴sin ∠BC 1D ＝BD BC 1＝12.∴∠BC 1D ＝π6. 12．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于________．解析：如图，取DE 的中点K ，连结NK .∵MN ∥12AB ，EK ∥12AB ，∴四边形MNKE 是平行四边形．∴ME ∥NK . ∴∠ANK 为异面直线EM 、AN 所成的角． 连结AK ，设正方形ABDE 的边长为a ，则AN ＝32a ，AK ＝52a . 在平面ABC 内过N 作NF ⊥AB 交AB 于F ，过F 作FG ⊥DE 交DE 于G ，连结NG ，则∠NFG 为二面角C －AB －D 的平面角，即cos ∠NFG ＝33. ∵NF ＝34a ，FG ＝a ，BF ＝14a ，∴NG 2＝NF 2＋FG 2－2NF ·FG cos ∠NFG ＝316a 2＋a 2－2×34a ×a ×33＝1116a 2 ∵ED ⊥平面NFG ，∴NK ＝NG 2＋KG 2＝1116a 2＋116a 2＝32a . 在△ANK 中，cos ∠ANK ＝AN 2＋NK 2－AK 22AN ·NK ＝34a 2＋34a 2－54a22×32a ×32a＝16.三、解答题13．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝22，M 为棱A 1A 上的点，若A 1C ⊥平面MB 1D 1.(1)确定点M 的位置；(2)求二面角D 1－MB 1－B 的大小．解析：方法一：(1)连结A 1D ，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面ADD 1A 1为矩形，∵A 1C ⊥平面MB 1D 1，∴A 1C ⊥D 1M ， 因此A 1C 在平面AD 1上的射影A 1D ⊥D 1M ，∴△A 1MD 1∽△D 1A 1D ，∴A 1M ＝A 1D 21DD 1＝422＝2，因此M 是A 1A 的中点．(2)作A 1E ⊥B 1M 于E ，连结D 1E ，则A 1E 是D 1E 在平面BA 1上的射影， 由三垂线定理可知D 1E ⊥B 1M ，∴∠A 1ED 1是二面角D 1－MB 1－B 的平面角的补角， 由(1)知，A 1M ＝2，则tan ∠A 1ED 1＝A 1D 1A 1E ＝22×222＋2＝3，∴∠A 1ED 1＝π3，∴二面角D 1－MB 1－B 等于2π3.方法二：如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，AB ＝2，AA 1＝22，则C (2,2,0)，D (0,2,0)，A 1(0,0,22)，B 1(2,0,22)，D 1(0,2,22)，设M (0,0，z )，则MD 1→＝(0,2,22－z )，A 1C →＝(2,2，－22)． (1)∵A 1C ⊥平面MB 1D 1，∴A 1C ⊥D 1M ，∴A 1C →·MD 1→＝0， 即4－22(22－z )＝0，∴z ＝2，∴AM ＝2， 因此M 是A 1A 的中点．(2)∵A 1C ⊥平面MB 1D 1，∴A 1C →＝(2,2，－22)是平面MB 1D 1的一个法向量， 又平面A 1B 的一个法向量为AD →＝(0,2,0)，∴cos 〈A 1C →，AD →〉＝2×24＋4＋8×2＝12.∵二面角D 1－MB 1－B 是钝二面角，∴二面角D 1－MB 1－B 等于2π3.14．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点． (1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E －B 1C －D 的余弦值．解析：解法一：(1)连结A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角．连结A 1E ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1E ＝DE ＝52a ，∴cos ∠A 1DE ＝A 1D 2＋DE 2－A 1E 22·A 1D ·DE ＝105.∴直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值是105. (2)取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF . ∵CD ⊥平面BCC 1B 1，且BF ⊂平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BF . 又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ，∴BF ⊥平面B 1CD . 又∵GF ∥12CD ，BE ∥12CD ，∴GF ∥BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD .∵GE ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . (3)连结EF .∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C .又∵GE ⊥平面B 1CD ，∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角E－B 1C －D 的平面角． 设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中，GF ＝12a ，EF ＝32a ，∴cos ∠EFG ＝FG EF ＝33，∴二面角E －B 1C －D 的余弦值为33.解法二：如图所示建立空间直角坐标系D －xyz ，设D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，则E (2，1,0)． (1)∵DE →＝(2,1,0)，CB 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈CB 1→，DE →〉＝CB 1→·DE →|CB 1→|·|DE →|＝422×5＝105，∴DE 与B 1C 所成角的余弦值是105. (2)取B 1D 的中点F ，连结EF .∵F (1,1,1)，E (2,1,0)，∴EF →＝(－1,0,1)，DC →＝(0,2,0)， ∴EF →·DC →＝0，EF →·CB 1→＝0，∴EF ⊥DC ，EF ⊥CB 1. 又∵CD ∩B 1C ＝C ，∴EF ⊥平面B 1CD . ∵EF ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . (3)设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(1，a ，b )．由 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝(1，a ，b )·(0，2，0)＝2a ＝0，m ·DB 1→＝(1，a ，b )·(2，0，2)＝2＋2b ＝0，解得a ＝0，b ＝－1，∴m ＝(1,0，－1)． 设平面EB 1C 的一个法向量为n ＝(－1，c ，d )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝(－1，c ，d )·(－2，1，0)＝2＋c ＝0，n ·CB 1→＝(－1，c ，d )·(2，0，2)＝－2＋2d ＝0，解得c ＝－2，d ＝1，∴n ＝(－1，－2,1)．∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－22·6＝－33，∴二面角E －B 1C －D 的余弦值为33. 15．如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1. (1)设P 为AC 的中点．Q 在AB 上且AB ＝3AQ .证明：PQ ⊥OA ；(2)求二面角O －AC －B 的平面角的余弦值．解析：解法一：(1)证明：在平面OAB 内作ON ⊥OA 交AB 于N ，连结CN . 在△AOB 中，∵∠AOB ＝120°且OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°. 在Rt △AON 中，∵∠OAN ＝30°， ∴ON ＝12AN .在△ONB 中，∵∠NOB ＝120°－90°＝30°＝∠OBN ，∴NB ＝ON ＝12AN .又AB ＝3AQ ，∴Q 为AN 的中点．在△CAN 中，∵P ，Q 分别为AC ，AN 的中点，∴PQ ∥CN . 由OA ⊥OC ，OA ⊥ON 知：OA ⊥平面CON . 又NC ⊂平面CON ，∴OA ⊥CN . 由PQ ∥CN ，知OA ⊥PQ .(2)连结PN ，PO ，由OC ⊥OA ，OC ⊥OB 知： OC ⊥平面OAB ，又ON ⊂平面OAB ，∴OC ⊥ON . 又由ON ⊥OA 知：ON ⊥平面AOC ， ∴OP 是NP 在平面AOC 内的射影．在等腰Rt △COA 中，P 为AC 的中点，∴AC ⊥OP . 根据三垂线定理，知AC ⊥NP .∴∠OPN 为二面角O －AC －B 的平面角． 在等腰Rt △COA 中，OC ＝OA ＝1，∴OP ＝22. 在Rt △AON 中，ON ＝OA tan30°＝33，∴在Rt △PON 中，PN ＝OP 2＋ON 2＝306， ∴cos ∠OPN ＝PO PN ＝22306＝155.解法二：(1)证明：取O 为坐标原点，以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz (如图所示)．则A (1,0,0)，C (0,0,1)，B (－12，32，0)．∵P 为AC 中点，∴P (12，0，12)，∵AB →＝(－32，32，0)，又由已知，可得AQ →＝13AB →＝(－12，36，0)．又OQ →＝OA →＋AQ →＝(12，36，0)，∴PQ →＝OQ →－OP →＝(0，36，－12)，∴PQ →·OA →＝(0，36，－12)·(1,0,0)＝0，故PQ →⊥OA →.即PQ ⊥OA .(2)设平面ABC 的法向量为n ＝(n 1，n 2，n 3)，则由n ⊥CA →，n ⊥AB →，且CA →＝(1,0，－1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 1－n 3＝0，－32n 1＋32n 2＝0，故可取n＝(1，3，1)．又平面OAC 的法向量为e ＝(0,1,0)，∴cos<n ，e>＝(1，3，1)·(0，1，0)5·1＝35，二面角O －AC －B 的平面角是锐角，记为θ，则cos θ＝155.16．如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3. (1)求直线AM 与平面BCD 所成角的大小；(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．解析：解法一：(1)取CD 中点O ，连接OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD ， 所以MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面．延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角． OB ＝MO ＝3，MO ∥AB ，所以EO EB ＝MO AB ＝12，EO ＝OB ＝3，所以EB ＝23＝AB ，故∠AEB ＝45°.∴直线AM 与平面BCD 所成角的大小为45°. (2)CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线．由(1)知，O 是BE 的中点，则四边形BCED 是菱形． 作BF ⊥EC 于F ，连结AF ，则AF ⊥EC ， ∠AFB 就是二面角A －EC －B 的平面角，即平面ACM 与平面BCD 所成二面角的平面角，设为θ. 因为∠BCE ＝120°，所以∠BCF ＝60°. BF ＝BC ·sin60°＝3， tan θ＝AB BF ＝2，sin θ＝255.所以，所求二面角的正弦值是255.解法二：取CD 中点O ，连结OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD .以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图．由OB ＝OM ＝3，则各点坐标分别为O (0,0,0)，C (1,0,0)，M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)， (1)设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.因AM →＝(0，3，－3)，平面BCD 的法向量为n ＝(0,0,1)．则有sin α＝|cos 〈AM →，n 〉|＝|AM →·n |AM →|·|n ||＝36＝22，所以α＝45°.∴直线AM 与平面BCD 所成角的大小为45°.(2)∵CM →＝(－1,0，3)，CA →＝(－1，－3，23)． 设平面ACM 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1⊥CM →，n 1⊥CA →，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－x －3y ＋23z ＝0， 解得x ＝3z ，y ＝z ，取n 1＝(3，1,1)． 平面BCD 的法向量为n ＝(0,0,1)．则cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1|·|n |＝15. 设所求二面角为θ，则sin θ＝1－(15)2＝255. 所以，所求二面角的正弦值是255.。
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空间中的角080625 一、考题选析：
例1、（07广东）如图1所示，等腰A B C △
的底边AB =高3C D =，点E 是线段B D 上异于点B D ，的动点，点F 在B C 边上，且EF AB ⊥，现沿E F 将B E F △折起到P E F △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P A C F E -的体积．
（1）求()V x 的表达式；
（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？
（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线A C 与P F 所成角的余弦值。
例2、（06全国Ⅰ）如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。
点B A ，在1l 上，C 在2l 上，
A M M
B M N ==。
（Ⅰ）证明AC ⊥N B ；（Ⅱ）若
60O
ACB ∠=，求N B 与平面ABC 所成角的余弦值。
二、考题精练： （一）选择题：
1、（06四川）已知二面角l αβ--的大小为060，
m n 、为异面直线，
m n αβ⊥⊥且，，
m n 则、 所成的角为（ ） （A ）030 （B ）060 （C ）0
90 （D ）0120 （二）填空题：
2、（05浙江）设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________；
图1
P
E
D F B
C
A
3、（06全国Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12
，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________；
4、（06山东）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是11C A 的中点，则直线AD 与平面DC B 1所成角的正弦值为 ；
5、（06四川）在三棱锥ABC O -中，三条棱OC OB OA ，，两两互相垂
直，且OC OB OA ==,M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是______________（用反三角函数表示）； 6、（06辽宁16）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______。
（三）解答题：
7、（06江苏）在正三角形ABC 中，P F E ，，分别是BC AC AB ，，边上的点，满足
2:1:::===PB CP FA CF EB AE （如图1）。
将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，
使二面角B EF A --1成直二面角，连结P A B A 11,（如图2）。
（Ⅰ）求证：BEP E A ⊥1平面；（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小；（Ⅲ）求二面角F P A B --1的大小（用反三角函数表示）
A
F
E
C
B
A 1
E
F
C
P
B。