整式的恒等变形上海教育版-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
初中联赛题型解读一：整式与恒等变形
, , ,联赛题型解读（一）——整式与恒等变形一、“整式与恒等变形”真题分值分析在近五年初中数学联赛中代数的分值占到了 54%之多,考察的题目数量也在 7 至 9 道 左右。
而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的 知识和技巧。
下面我们通过统计近 16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对 整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。
2001~2016联赛整式分值统计4540414135 323230 272520 21211514141414107147752001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2 道题左右,考察的分值最 高达到 41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟 随几年的低峰。
我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行 2 题左右的考察。
而且近三年的趋 势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。
二、整式中的知识与技巧整式为后续分式和根式提供了方向,代数式是方程的基础,方程是函数的基础,而整式 恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。
整式中的知识大体来说包含了：乘法公式 因式分解及恒等变形三个部分 这里简单的介 绍前两个部分的基础知识。
1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1） 平方差： a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )；2 ⎣; x xa,（2） 平方： (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4） a 2 + b 2 + c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2 ⎤ ；⎦（5） 和（差）的立方： (a + b )3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3 = a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )（8） -a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2 = (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2.因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )( 3 - y 3 )= (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )( 2 - xy + y 2 )；（3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )( x + y ) ；（4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同；（6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )( 2 - ab + b 2 );（7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解；（9） 因式定理：多项式 f ( x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )( z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握后 2 种有兴趣有精力的学生可以选 择性的进行学习。
沪教版(上海)初一数学整式阶段测试9.1——9.12(无答案)
初一数学整式阶段测试（9.1——9.12）班级 姓名 学号 得分一、 填空题：（每题2分，共计24分）1、x 的3倍与y 的和的平方，用代数式表示为 。
2、当3-=x 时，代数式x x 5)2(3-的值为 。
3、243r π是_____次单项式，它的系数是________; 4、将多项式3322562a b ab b a +++-按照字母a 的降幂排列5、已知m b a 223-与57b a n -是同类项，则=-n m 3 。
6、合并同类项：()=---y x y x 347 。
7、用幂的形式表示：()43m m -⋅= 。
8、用幂的形式表示：()[]()=-⋅--322x y y x 。
9、计算：=-32)31(b a 。
10、计算： ()20172016551-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛= 。
11、计算：()=+-y x y x 5)2( 。
12、若49)3(22++=-kx x m x ，则k m = 。
二、选择题：（每题3分，共计12分） 15、在代数式23xy -，22y x -，4b a -，ab b a +，21-中，单项式有 （ ） 个 A 、2个 ；B 、3个； C 、4个； D 、5个。
16、下列计算正确的是………………………………………………………………（ ）A ．633x x x =+B ．623)(a a -=-C ．835)21()21()21(=-⋅-D ．62328)2(n m mn =-17、下列各式中，能用平方差公式计算是（ ）A.)2)(2(b a b a +--B.)2)(2(b a b a ---C.)2)(2(a b b a +-D.)2)(2(b a a b ++18、如图，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a +-=-C ．2222)(b ab a b a ++=+D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+三、计算题：（每题5分，共30分）19、计算：332231()(32)3a a a a a --++- 20、计算：222322)()35(3b a b a b a ---⋅21、计算：2(3)(3)(9)x x x +--22、计算：2(3)(3)(3)x y x y x y --+-23、计算：)12)(12(-++-y x y x24、运用平方差公式计算：10397⨯四、解答题：（第25至29题每题6分，第30题4分，总分34分）25、化简求值：)1(2))(()(2y x x y y x y x ---++-，其中2,1-==y x26、一个多项式加上 32354y y x x ++-，得32323y y x x +-,（1）求这个多项式；（2）当2-=x ，1=y 时，求这个多项式的值.27、已知：6x y -=，4xy =，求（1）22x y +（2）2()x y +28、解不等式：)1-6)(2()52)(23(x x x x -≥--,并求出最大整数解.29、已知：3=m a ，2=n a ，求（1）2m n a +，（2）用a 的幂的式子表示36。
整式恒等变形
第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
沪教版 (上海)数学七年级第一学期 第9章 整式 单元测试卷 (含解析)
七年级（上）数学第9章整式单元测试卷一．选择题（共6小题）1．下列式子，，，中，单项式有个．A．1B．2C．3D．4 2．下列计算正确的是A．B．C．D．3．下列运算中，正确的是A．B．C．D．4．下列式子中，能用平方差公式运算的是A．B．C．D．5．下列从左到右的变形是因式分解的是A．B．C．D．6．若中不含的一次项，则A．B．C．D．二．填空题（共12小题）7．计算：．8．计算：．9．若，则．10．若，，则．11．已知与是同类项，则，．12．把多项式分解因式的结果是．13．计算：．14．如果可以用完全平方公式进行因式分解，则．15．某种衣服售价为元时，每天的销量为件，经调研发现：每降价1元可多卖5件，那么降价元后，一天的销售额是元．16．已知，，则．17．定义一种新运算※．例如※．按照这种运算规定，※，则．18．在边长为的正方形中挖掉一边长为的小正方形，把余下的部分剪成直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是．三．解答题（共7小题）19．计算：．20．分解因式：（1）；（2）．21．先化简，再求值：，其中，．22．已知，，求的值．23．对于任意的有理数、、、，我们规定，例如：．据这一规定，解下列问题：（1）化简；（2）若同时满足，，求的取值范围．24．（1）如图①所示的大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是．（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：．25．对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字相等，则称这个三位数为“对称数”；对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字之和等于十位数字，那么称这个三位数为“平衡数”．（1）直接写出既是“对称数”又是“平衡数”的所有三位数；（2）若一个三位数，交换的百位数字与个位数字得到一个新的三位数，如果既是“对称数”又是“平衡数”，求出符合条件的三位数的个数，井说明理由．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列式子，，，中，单项式有个．A．1B．2C．3D．4解：单项式有，，，共3个，故选：．2．下列计算正确的是A．B．C．D．解：，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确；不能合并，故选项错误；故选：．3．下列运算中，正确的是A．B．C．D．解：、，故原题计算错误；、和不是同类项不能合并，故原题计算错误；、，故原题计算错误；、，故原题计算正确；故选：．4．下列式子中，能用平方差公式运算的是A．B．C．D．解：、中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；、两项都是相同，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；、中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选：．5．下列从左到右的变形是因式分解的是A．B．C．D．解：．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：．6．若中不含的一次项，则A．B．C．D．解：，中不含的一次项，，解得：，故选：．二．填空题（共12小题）7．计算：．解：原式．故答案为：．8．计算：．解：，故答案为：．9．若，则9．解：因为，所以，，所以．故答案为：9．10．若，，则．解：，，．故答案为：．11．已知与是同类项，则2，．解：与是同类项，，解得，故答案为：2；．12．把多项式分解因式的结果是．解：原式，故答案为：13．计算：．解：．故答案为：．14．如果可以用完全平方公式进行因式分解，则1．解：可以用完全平方公式进行因式分解，，故答案为：1．15．某种衣服售价为元时，每天的销量为件，经调研发现：每降价1元可多卖5件，那么降价元后，一天的销售额是元．解：由题意可知，每件衣服降价元后，售价为元，每天的销量为件，根据销售额售价销量，可得销售额为：元．故答案为：．16．已知，，则8．解：，，，故答案为：8．17．定义一种新运算※．例如※．按照这种运算规定，※，则3．解：根据题意得，，，，解得，故答案为：3．18．在边长为的正方形中挖掉一边长为的小正方形，把余下的部分剪成直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是．解：根据题意得，即．故答案为．三．解答题（共7小题）19．计算：．解：原式．20．分解因式：（1）；（2）．解：（1）；（2）．21．先化简，再求值：，其中，．解：原式，当，时，原式．22．已知，，求的值．解：，，．23．对于任意的有理数、、、，我们规定，例如：．据这一规定，解下列问题：（1）化简；（2）若同时满足，，求的取值范围．解：（1）原式；（2），，，解不等式①得：，解不等式②得：，．24．（1）如图①所示的大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是．（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：．解：（1）如图①所示，阴影部分的面积是，故答案为：；（2）根据题意知该长方形的长为、宽为，则其面积为，故答案为：；（3）由阴影部分面积相等知，故答案为：；（4）．25．对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字相等，则称这个三位数为“对称数”；对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字之和等于十位数字，那么称这个三位数为“平衡数”．（1）直接写出既是“对称数”又是“平衡数”的所有三位数；（2）若一个三位数，交换的百位数字与个位数字得到一个新的三位数，如果既是“对称数”又是“平衡数”，求出符合条件的三位数的个数，井说明理由．【解答】解答：（1）既是“对称数”又是平衡数的三位数是121，242，363，484；（2）设的百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，则表示的三位数字为：，交换的百位上的数字与十位上的数字得，即，，既是“对称数”又是“平衡数”，，，，，为自然数，且，，，当时，，此时为121，当时，，此时为242，当时，，此时为363，但不是三位数，故满足条件的三位数有2个．。
2021-2022学年沪教版(上海)数学七年级第一学期期末复习试卷(word版 含答案)
2021-2022学年沪教新版七年级上册数学期末复习试卷一．填空题（共15小题，满分30分，每小题2分）1．如图是一个娱乐场，其中半圆形休息区和长方形游泳池以外的地方都是绿地，已知娱乐场的长为3a，宽为2a，游泳池的长、宽分别是娱乐场长、宽的一半，且半圆形休息区的直径是娱乐场宽的一半，则绿地的面积为．（用含a的代数式表示，将结果化为最简）2．﹣3x2y﹣2x2y2+xy﹣4的最高次项为．3．若单项式与3x5y n+1的和仍是单项式，则mn＝．4．计算4a+2a﹣a的结果等于．5．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于．6．计算：2a2b•（﹣3a3b2）＝．7．如果10x＝7，10y＝21，那么102x﹣y＝．8．当x＝时，分式的值为零．9．计算：（﹣1）2020+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2＝．10．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为．11．化简：＝．12．计算：＝．13．如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝°．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为．15．已知x2n＝2，则（x3n）2﹣（x2）2n的值为．二．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）16．若a•24＝28，则a等于（）A．2B．4C．16D．1817．下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．18．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若EC＝1，则△ABC移动的距离是（）A．B．﹣1C．D．1﹣19．下列计算正确的是（）A．（﹣2x）3＝﹣6x3B．3x2+2x2＝5x4C．D．20．已知：，则的值是（）A．B．C．5D．﹣5三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）21．整式除法：（6x5﹣9x4+7x2﹣20x+3）÷（2x2﹣x﹣5）．（列竖式计算，并写成带余形式）22．计算：（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）．23．计算：（1）；（2）（）2•．24．分解因式：x4﹣10x2+9．25．已知x、y满足xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）x+y．26．解方程：（1）＝；（2）＝+1．四．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）27．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．（1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称；（2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2；（3）直接写出点B关于点C对称点的坐标．28．先化简，再求值：．其中x是满足不等式5x﹣1≤3（x+1）的正整数．29．某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这种T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价打八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同．请用含a的代数式表示b．30．已知：点O是正方形ABCD对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接DP，将DP以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段DQ，连接AQ，CP．E、F分别是AQ，CP的中点，连接EF，OF．（1）在图1中补全图形；（2）直接写出图1中∠OFE＝°；（3）当点P在正方形外，当0°＜∠CDP＜90°时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（4）如图2，若AB＝4，DP＝3，点M是AD中点，点N是线段PQ上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段MN长度的最小值为，最大值为．31．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.2×9.8；②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．参考答案与试题解析一．填空题（共15小题，满分30分，每小题2分）1．解：由题意知游泳池的面积为a•a＝a2，半圆形休息区面积为•π•（）2＝a2，则绿地面积为2a•3a﹣a2﹣a2＝a2，故答案为：a2．2．解：﹣3x2y﹣2x2y2+xy﹣4的最高次项为：﹣2x2y2．故答案为：﹣2x2y2．3．解：∵单项式与3x5y n+1的和仍是单项式，∴单项式与3x5y n+1是同类项，∴2m﹣3＝5，n+1＝4，解得：m＝4，n＝3，∴mn＝3×4＝12，故答案为：12．4．解：4a+2a﹣a＝（4+2﹣1）a＝5a．故答案为：5a．5．解：∵x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，∴m﹣3＝±3，解得：m＝6或0．故答案为：6或0．6．解：原式＝2×（﹣3）a2+3b1+2＝﹣6a5b3．故答案为：﹣6a5b3．7．解：∵10x＝7，10y＝21，∴102x﹣y＝102x÷10y＝（10x）2÷10y＝72÷21＝＝．故答案为：．8．解：由分子x2﹣4＝0⇒x＝±2；由分母x+2≠0⇒x≠﹣2；所以x＝2．故答案为：2．9．解：原式＝1+1+4＝6．故答案为：6．10．解：数据0.000000125用科学记数法表示为1.25×10﹣7．故答案为：1.25×10﹣7．11．解：原式＝＝．故答案为：．12．解：原式＝﹣＝，故答案为：13．解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，∵点D正好落在BC边上，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠CAD＝180°﹣2×80°＝20°，∵∠BAE＝∠EAD﹣∠BAD，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠EAB＝20°．故答案为：20．14．解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，BH＝AB•sin30°＝1，AH＝BH＝，在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，∴CH＝BH＝1，∴AC＝CA′＝1+，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，设CA′交AB的延长线于K．在Rt△ACK中，CK＝AC•sin30°＝，∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA ﹣2S△ABC＝﹣2××（1+）×1＝（1+）π﹣1﹣．故答案为：，（1+）π﹣1﹣．15．解：∵x2n＝2，∴（x3n）2﹣（x2）2n＝（x2n）3﹣（x2n）2＝8﹣4＝4．故答案为：4．二．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）16．解：∵a•24＝28，∴a＝28÷24＝24＝16．故选：C．17．解：A、＝，故不是最简分式，不合题意；B、是最简分式，符合题意；C、＝＝，故不是最简分式，不合题意；D、＝＝，故不是最简分式，不合题意；故选：B．18．解：由平移的性质可知，EH∥AB，∴△CHE∽△CAB，∵重叠部分的面积是△ABC面积的一半，∴＝，∵EC＝1，∴BC＝，∴BE＝BC﹣EC＝﹣1，即△ABC移动的距离是﹣1，故选：B．19．解：A选项，原式＝﹣8x3，故该选项错误，不符合题意；B选项，原式＝5x2，故该选项错误，不符合题意；C选项，原式＝＝＝4，故该选项错误，不符合题意；D选项，原式＝（2÷）（x3÷x）（y÷y）＝8x2，故该选项正确，符合题意．故选：D．20．解：∵，∴b﹣a＝﹣ab，∴＝﹣＝﹣5；故选：D．三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）21．解：（6x5﹣9x4+7x2﹣20x+3）÷（2x2﹣x﹣5）列竖式如下：∴（6x5﹣9x4+7x2﹣20x+3）÷（2x2﹣x﹣5）＝3x3﹣3x2+6x﹣1…9x﹣2．22．解：（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）＝（x﹣3）2﹣y2＝x2﹣6x+9﹣y2．23．解：（1）原式＝＝＝．（2）原式＝＝＝＝＝．24．解：原式＝（x2﹣1）（x2﹣9）＝（x+1）（x﹣1）（x+3）（x﹣3）．25．解：∵xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，∴xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（xy﹣1）＝65，∴x﹣y＝5，∴（1）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝53；（2）∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝81，∴x+y＝±9．26．解：（1）去分母得：x+2＝4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解；（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．四．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）27．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）点B关于点C对称点的坐标为（0，﹣2）．28．解：＝＝＝，由不等式5x﹣1≤3（x+1）可得，x≤2，∵x是满足不等式5x﹣1≤3（x+1）的正整数且（x+2）（x﹣2）≠0，∴x＝1，当x＝1时，原式＝＝．29．解：（1）设3月份购进x件T恤衫，则4月份进了这种T恤衫2x件，由题意得：﹣＝10，解得：x＝150，经检验，x＝150是原分式方程的解，则2x＝300，答：4月份进了这种T恤衫300件；（2）每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），由题意得：（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b），化简，得：b＝75﹣．30．解：（1）补全的图见图1（加的线条为实线）；（2）∠OFE＝45°，故答案为45，理由见（3）；（3）如图1，连接OE、CQ、AP，设AP交CQ于点R，CQ交DP于点S，∵四边形ABCD为正方形，故AD＝CD，∵DP＝DQ，∵∠ADP＝90°+∠CDP＝∠QDC＝∠QDP+∠CQP，即∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ，∠ADP＝∠DQC（即∠RSP＝∠DSQ），∴∠RSP＝∠PDQ＝90°，即SR⊥PR，即AP⊥CQ，∵点F是CP的中点，点O是AC的中点，∴OF∥AP，OF＝AP，同理可得，OE∥CQ，OE＝CQ，∵AP⊥CQ，AP＝CQ，∴OE＝OF，OE⊥OF，即△OEF为等腰直角三角形，∴∠OFE＝45°，∴，故的值不变；（4）如图2，过点D作DH⊥PQ于点H，以点D为圆心，分别以DH、DP为半径作圆，则点N在图示的圆环部分，∵AB＝4，DP＝3，点M是AD中点，则PQ＝DP＝3，DH＝PQ＝，MD＝AB＝2，∴MN min＝DH﹣DM＝；MN max＝DM+DP＝2+3＝5，故答案为，5．31．解：（1）图1这个长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b）；图2阴影部分的面积为a2﹣b2；根据图1，图2阴影部分的面积相等，可以得到公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①10.2×9.8＝（10+0.2）×（10﹣0.2）＝102﹣0.22＝100﹣0.04＝99.96；②原式＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）＝4m2﹣n2+2np﹣p2．。
第9章 整式 知识梳理-七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷(沪教版,上海专用)
第9章整式知识梳理【知识网络】【知识点梳理】一、整式的相关概念1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．要点：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．二、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；①相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；①与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“＋”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“－”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．三、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.四、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++五、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.六、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次. 2222)(b ab a b a +-=-。
沪教版(上海)七年级第一学期 第九章 整式运算检测卷(一)
整式运算检测卷（一）一、填空题1.用代数式表示：m 与n 的差的平方 。
2.若nyz x 554是8次单项式，则n= 。
3.将多项式856133322+-+-y x xy y x 按字母x 升幂排列为 。
4.在代数式x x xy 1,0,513,92+中，单项式是 。
5.计算：a a 312+= ，a a 312-= ，523)2(y x -= ，20132013)57()75(⨯-= 。
6.多项式ab a 34+减去ab a 232--的差是 。
7.计算：()xy y x x 1232412-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-= ，()()y x y x +⋅+24= 。
8.计算：2y y y y ⋅++= ，()()512-⋅+-t t t = 。
9.计算：()()()22323a a a a -⋅-⋅-⋅-= 。
10.已知：B-A=1323-+x x ，B=241223-+-x x ，则A= 。
11.计算()()45105.2102.7⨯⨯⨯的结果，用科学计数法表示为 。
12.如果a 、b 、m 均为整数，且()()152++=+⋅+mx x b x a x ，则所有的m 的和为 。
13.已知3,27==nma a ，则nm a += ，m 与n 之间的数量关系是 。
14.如下图，在边长为m 的正方形中挖去一个边长为n 的小正方形（m>n ），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形中阴影部分面积，验证了一个等式，请写出这个等式 。
二、选择题15.设长方形的长是宽的2倍，若设宽为a ，用a 表示长方形的面积正确的是（ ） A 、2a 2 B 、3a C 、6a D 、6a16.下列各组代数式，同类项是（ ）A 、2x 与2x 2B 、-5a 2 b 2 与-1.5x 2 y 2C 、-a 5与a 5D 、4b 与3a 17.下列计算正确的是（ ）A 、5x 2 +7x 2 =12 x 4B 、-2a b+3ab=abC 、11x 3-6x 3=5D 、3a 3·5a 3=15a 3 18.设A 是关于x 的四次多项式，B 是关于x 的五次多项式，则（ ） A 、A+B 是关于x 的九次多项式 B 、B-A 是关于x 的一次多项式 C 、A+B 是关于x 的五次多项式 D 、A ·B 是关于x 的二十次多项式 19.下列各式与a 3m+1相等的是（ ）A 、（a 3）m+1B 、（a m+1 ）3C 、a ·a 3·a mD 、a ·(a 3)m 三、简答题：20. 计算：324223314321⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x21.计算：()[]41223222-+---x x x x22.计算：()[]()()[]5223y x x y y x -⋅-⋅-（结果用幂的形式表示）23.计算：3(2x-1)(x-3)-2(3x-2)(2x-3)24.解方程：（x-1）(2x-3)-(1+2x)(1+x)=825.若单项式24125-+-n m y x 与m n y x 431+是同类项，求m 、n 的值。
初中数学竞赛——整式的恒等变形(二)
第5讲 整式的恒等变形（二）典型例题一. 基础训练【例1】 当341x y z -+=，222x y z +-=时，化简：222232108x xy y xz yz z --++-的结果是（ ）(A ) 1 (B ) 0 (C ) 2x - (D ) 2x -【例2】 若222214()(23)a b c a b c ++=++，求::a b c .【例3】 设a 、b 、c 为有理数，且0a b c ++=，3330a b c ++=.求证：对任意正奇数n ，都有0n n n a b c ++=.【例4】 已知x y z a ++=，xy yz zx b ++=，xyz c =，用a 、b 、c 表示22222xy x y yz y z z x ++++2x z +.【例5】 设32x mx nx r +++是x 的一次式的完全立方式，求证：23mr n =.【例6】 求证：222-121(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a a a +++++-=++++++++.【例7】 求证：44422222[()()()][()()()]y z z x x y y z z x x y -+-+-=-+-+-.【例8】 已知：0a b c ++=，求证：555333222532a b c a b c a b c ++++++=⋅.【例9】 设abb c =，求证：2222()2()()a b c a b c a b c a c +++++=+++【例10】 已知实数a b 、满足0ab ≠，且22333233()()8a b a b a b +=++，求b a a b+的值.【例11】 设有多项式43224442(1)(1)A x px qx p m x m =-+++++，求证：如果A 的系数满足244(1)0p q m --+=，那么A 恰好是一个二次三项式的平方.二. 巩固提高【例12】 已知221m n +=，221p q +=，0mp nq +=，求证：221m p +=，221n q +=，0mn pq +=.【例13】 已知a 、b 、c 两两不等，且满足关系式：222222a b mab b c mbc c a mac ++=++=++.（1）求m 的值； （2）求证：222222()a b c a b mab ++=++.【例14】 设a b c abc ++=，求证：222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a b c b c a c a b abc --+--+--=.【例15】 证明：33333333333()()()()x y z xyz yz zx xy xyz x y z y z z x x y ++-++=++-++.【例16】 已知：0ax by +=，220cx dxy cy ++=且0,0x y ≠≠，求证：22a c b c abd +=.三. 数论中的应用【例17】 设x 、y 、z 都是整数，且11整除725x y z +-，求证：11整除3712x y z -+.【例18】 若a 、b 、c 都是自然数，且满足54a b =，54c d =，且19c a -=，求d b -的值.【例19】若x是自然数，设432=++++，则y x x x x2221(A) y一定是完全平方数（B）存在有限个x，使y是完全平方数（C）y一定不是完全平方数（D）存在无限多个x，使y是完全平方数【例20】已知0++++++=的整数a、b、c的值.abc ab cb ca a b ca b c>>>，求适合等式1989【例21】证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式2++总取整数值，那么2a、a bax bx c+和c都是整数，并且反过来也成立.【例22】证明：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的平方和.思维飞跃【例23】 若a 、b 、c 、d 是整数，且22m a b =+，22n c d =+，求证：mn 可以表示成两个整数的平方和.【例24】 已知m 、n 都是自然数，且m n ≠，求证：444m n +一定可以表示为四个自然数的平方.【例25】 已知直角三角形勾、股、弦长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是整数，a 为质数，求证：2(1)a b ++是完全平方数.【例26】 已知0an bm -≠，0a ≠，20ax bx c ++=，20mx nx p ++=.求证：2()()()cm ap bp cn an bm -=--.【例27】 设()()()()()()a b b c c d d a a b c d bcd cda dab abc ++++=++++++.求证：ac bd =.作业1. 已知222222a b b c c a ab bc ca ++=++，试求()()()a b b c c a ---的值.2. 多项式444222()2()m n m n m mn n +++-++的值为（ ）(A)等于零 (B)大于零 (C)小于零 (D) 无法确定3.求证：248215++++=++++.x x x x x x x(1)(1)(1)(1)14.若正整数a、b、c满足222+=且为质数，那么b、c两数应（）a b c(A)同为奇数 (B)同为偶数 (C)一奇一偶 (D) 同为合数5.求证：222a b a c b c b a c a c b b c c a a b--+--+--=-+-+-.2()()2()()2()()()()()6.若x为自然数，则42-+是质数还是合数？证明你的结论.39x x7.已知22221+=+=，0a b c d+的值.+=，求ab cdac bd8.求证：222++-+-+-+++-= ()()()()()()4a b b c a c a b a b a b c a b c abc。
整式恒等变形一览
初中数学中的整式恒等式一览表草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类.【课内涉及的恒等式】（1）平方差公式()()22a b a b a b +-=-()()22a b a b b a ---=-（2）完全平方和、差公式222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+（3）平方和与完全平方和差的关系()2222a b a b ab +=+-()2222a b a b ab +=-+（4）完全平方和差的关系()()224a b a b ab +--=()()()22222a b a b a b ++-=+（5）三项和完全平方公式()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++（6）两项轮换差的完全平方和()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦ （7）十字相乘法()()()2x p x q x p q x pq ++=+++（8）分组分解法()()ax by ay bx a b x y +++=++【自招中涉及的公式】（1）立方和、差公式2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-（2）完全立方和、差公式33223()33a b a a b ab b +=+++33223()33a b a a b ab b -=-+-（3）立方和差与完全立方和差的关系()()3333a b a b ab a b +=+-+()()3333a b a b ab a b -=-+-（4）杨辉三角()554322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ()554322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+-（5）四项和完全平方公式()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++【几个比较有名的配方公式】（1）()()()()()()22222222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式. （2）()()2444222a b a b a ab b +++=++（3）()()()222222111n n n n n n +⋅+++=++（4）()()()2224444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+-该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()22123131x x x x x x ++++=++该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）()()()()()22222223122a b b c c a a b c a b c -+-+-=++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】.当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。
全国初中数学联赛 4.整式恒等变形
整式恒等变形一、配方法 (1)二、降次 (6)三、整体思想 (8)四、其他 (8)一、 配方法1. （1985年全国初中数学联赛1试）设2-=a b ，2-=b c 222++---a b c ab bc ca 的值为_______．【难度】 ★★【解析】15 令222S a b c ab bc ca =++---，则2222222222S a b c ab bc ca =++---222()()()a b b c c a =-+-+- ((222224=+++30=．∴130152S =⨯=．即22215a b c ab bc ca ++---=．2. （1986年全国初中数学联赛1试）设a ，b ，c ，d 都是整数，且22m a b =+，22n c d =+，则mn 也可表示成两个整数的平方和，其形式是：mn =__________．【难度】 ★★【解析】22()()ac bd ad bc -++或填22()()ac bd ad bc ++- 2222()()mn a b c d =+⋅+ 22()()ac bd ad bc =++- 22()()ac bd ad bc =-++填出以上两种形式的任何一种都是正确的．3. （1992年全国初中数学联赛1试）若21310x x -+=，则44x x -+的个位数字是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【难度】 ★★ 【解析】D 由21310x x -+=知0x ≠， 所以113x x -+=，222133167x x -+=-=， 4421672x x -+=-．从而4421672x x -+=-的个位数字为927-=． 故选D ．4. （1992年全国初中数学联赛1试）若a ，b 都是正实数，且1110a b a b--=+，则33b a a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 【难度】 ★★★【解析】∵1110a b a b --=+，即1b a a b -=，而b a a b +．∴33333b a b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. （1994年全国初中数学联赛1试）设a ，b ，c 是不全相等的任意实数，若2x a bc =-，2y b ca =-，2z c ab =-，则x ，y ，z （ ）A ．都不小于0B ．都不大于0C ．至少有一个小于0D ．至少有一个大于0【难度】 ★★★【解析】D 很容易可以联想到这样的公式；2222222()()()()a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-， 所以有：2222()2()x y z a b c ab bc ca ++=++--- 222()()()0a b b c c a =-+-+->，即0x y z ++>，故x ，y ，z 中至少有一个大于0． 故选D ．6. （1998年全国初中数学联赛1试）设a ，b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是_______． 【难度】 ★★★ 【解析】 1-222a ab b a b ++-- ()2212a b a b b =+-+-2213312424b a b b -⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭()221311124b a b -⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭≥ 当102b a -+=，10b -=， 即0a =，1b =时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为1-．7. （1999年全国初中数学联赛1试）已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，则b ca+=__________． 【难度】 ★★★【解析】2 本题主要考查的是因式分解和一些常用的公式，首先反整个等式展开：∵()()()24b c a b c a -=--，即22224444b b c ac bc ab a -+=-+-， ∴22244420a b c ac ab bc ++--+=，很显然应该对上式逐步配方，然后即可得a b c ，，之间的关系： ∴()()22440b c a b c a +-++=， ∴()220a b c -+=⎡⎤⎣⎦， ∴2a b c =+， ∴2b ca+=．8. （2000年全国初中数学联赛1试）实数x ，y 满足1x y ≥≥和22540x xy x y --++=，则x y +=________．【难度】 ★★★【解析】4 解法一：对于二元的方程，要求未知数我们一般考虑方程的判别式，但对于本题来说，我们应该利用条件所给的不等式，通过配方来分析．2254x xy x y --++()()2244x x x xy x y =-++--+()()()221x x y x =-+--0=．又0x y -≥，1x -≥0，()220x -≥，所以()()()2210x x y x -=--=． 故2x y ==，4x y +=． 解法二：由已知条件条形得()()225411x x y x x x -+=--≤，即2440x x -+≤．()2202x x -⇒=≤．代回原式得到2y =． 得4x y +=．9. （2001年全国初中数学联赛2试）在直角坐标系中有三点(01)A ，，(13)B ，，(26)C ，；已知直线y ax b =+上横坐标为0，1，2的点分别为D ，E ，F ．试求a ，b 的值使得222AD BE CF ++达到最小值．【难度】 ★★★【解析】 D ，E ，F 的坐标为()0D b ，，()1E a b +，，()22F a b +，， 由图象可知：()()()2222221326AD BE CF b a b a b ++=-++-++-22563302046a ab b a b =++--- ()2563032046a b a b b 2=+-+-+2236532155a b b b ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3305506a b b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52a =，56b =，最小值为16．10. （2001年全国初中数学联赛2试）求实数x ，y 的值，使得222(1)(3)(26)y x y x y -++-++-达到最小值．【难度】 ★★★【解析】 ()()()2221326y x y x y -++-++-22563302046x xy y x y =++--+()2563032046x y x y y 2=+-+-+2223353533204655x y y y y ⎛⎫⎛⎫=+---+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2236532155x y y y ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566x y y ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3305506x y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52x =，56y =，最小值为16．11. （1995年全国初中数学联赛1试）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是_________．【难度】 ★★【解析】1， 这个题目是将二次函数2y x x =-与反比例函数1y x=作叠加，前面已经说过要求极值一般情况下是要配方的，这里出现了1x，可以联想到公式212x x +-=，这样我们进行两次配方可得：()()22211111y x x x x =-++-=-++． 因而1x =时，y 有最小值1．12. （2013年全国初中数学联赛1试）已知实数x ，y ，z 满足4x y +=，|1|29z xy y +=+-，则23x y z ++=________． 【难度】 ★★【解析】4 由题意：4x y =-，∴()()22|1|29429693z xy y y y y y y y +=+-=-+-=-+-=--， ∴310y z -=+=，∴131x y z ===-，，，∴234x y z ++=．13. （2013年全国初中数学联赛2试）已知实数a b c d ，，，满足222222323()6a c b d ad bc +=+=-=，求2222()()a b c d ++的值．【难度】 ★★★★【解析】 设22m a b =+，22n c d =+，则222223223312m n a b c d +=+++=．因为22(23)(23)2424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，所以6mn ≤① 又因为222222222222()()mn a b c d a c b d a d b c =++=+++222()()()6ac bd ad bc ad bc =++--=≥② 由①，②可得6mn =，即2222()()6a b c d ++=．注：符合条件的实数a b c d ，，，存在且不唯一，a 1b =，c =，d =14. （2013年全国初中数学联赛1试）如果实数x ，y ，z 满足222()8x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示||x y -，||y z -，||z x -的最大值，则A 的最大值为________．【难度】 ★★★不妨设x y z >>，则A x z =-，令x y a -=，y z b -=，则x z a b -=+，由222()8x y z xy yz zx ++-++=可知，()()()222182x y y z z x ⎡⎤-+-+-=⎣⎦， ∴()22216a b a b +++=，228a b ab ++=，∵()2223830a b a b ab ab ab -=++-=-≥，∴83ab ≤，∴()2832833a b ++=≤，∴a b +．二、 降次15. （1994年全国初中数学联赛1试）当x =32001(419971994)x x --的值为（ ） A ．1B ．1-C ．20012D ．20012-【难度】 ★★【解析】B因为x ()2211994x -=，即24419930x x --=． 于是，()20013419971994x x --()()2001224419934419931x x x x x ⎡⎤=--+---⎣⎦()200111=-=-．故选B ．16. （1986年全国初中数学联赛1试1试）若x =，则分式4322621823815x x x x x x --++=-+_________． 【难度】 ★★【解析】5 ∵4x ==∴28130x x -+=．且分式的分母除以2813x x -+后余2，分式的分子除以2813x x -+后余10． ∴原式值为5．17. （1995年全国初中数学联赛1试1试）已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值等于_______．【难度】 ★★【解析】20这类问题一般都先化简后代值，直接把a =代入将导致复杂的计算． 由已知，有214a a +=，① 原式()()()()2221111a a a a a a -++=-+ ()()222211142014a a a a +++===⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 同学们在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将2a a +作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．由①有3214a a a +=，②54314a a a +=③由②-①，得 ()3114a a a -=-④由③-②并将④代入，得()()54323111416a a a a a a a +--=-=-．⑤ ()()32111611612014116a a a a -⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭-原式18. （2008年全国初中数学联赛1试）设a ，则5432322a a a a a a a+---+=-________．【难度】 ★★ 【解析】 2-∵221a a ==-⎝⎭，∴21a a +=，∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a --+--===-=-++=-+=-⋅----．19. （2009年全国初中数学联赛1试）设1a ，则32312612a a a +--=（ ） A ．24B ．25 C．10 D．12【难度】 ★★ 【解析】A 由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=三、 整体思想四、 其他20. （1996年全国初中数学联赛1试）设333199519961997x y z ==，0xyz >，且，则111x y z++=________．【难度】 ★★★ 【解析】1 设333199519961997x y z k ===，显然0k ≠，所以： 333199519961997k k kx y z ===，，，带入方程可得：333=．即：33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． ∵0k ≠，∴111x y z=++． 由已知可得0x >，0y >，0z >， ∴1111x y z++=.21. （1997年全国初中数学联赛1试）若实数a ，b ，c 满足2229a b c ++=，代数式222()()()a b b c c a -+-+-的最大值是（ ） A ．27B ．18C ．15D ．12【难度】 ★★ 【解析】A ()()()()()22222222a b b c c a a b c ab bc ca -+-+-=++-++，考虑到等式()()22222a b c a b c ab bc ca ++=+++++， 将两个等式相加得到()()()()()2222222327a b b c c a a b c a b c -+-+-+++=++=，当0a b c ++=时，()()()222a b b c c a -+-+-有最大值27． 故选A ．22. （2002年全国初中数学联赛1试）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【难度】 ★★ 【解析】D22m n =+，22n m =+，两式相减得到()()2210m n n m m n m n -=-⇒-++=．又m n ≠，所以1m n +=-，由立方和公式()()332222m mn n m n m mn n mn -+=+-+- ()222m mn n mn =--+-22m mn n =---()2m m n n =-+-2m n =-．又由已知条件22n m =+，所以33222m mn n m n -+=-=-，故选择D ．23. （2004年全国初中数学联赛1试）已知0abc ≠，且0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【难度】 ★★【解析】A 本题利用基本恒等式来变形： 原代数式222333a b c a b c bc ca ab abc++++=． 又()()3332223a b c a b c a b c ab bc ca abc ++=++++---+． 由已知0a b c ++=，故33330a b c abc ++-=．即3333a b c abc ++=，代回原式得到2223333a b c a b c bc ca ab abc++++==，选A ．24. （2012全国初中数学联赛1试）已知实数a b ，满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ ） A ．18- B ．0 C ．1 D ．98 【难度】 ★★★【解析】B ()()22244222219221248a ab b a b a b ab ab ab ab ⎛⎫++=+-+=-++=--+ ⎪⎝⎭， 又∵()20a b +≥，()20a b -≥，故1122ab -≤≤， ∴当12ab =-时，44a ab b ++取最小值0．。
2024-2025学年沪教版七年级数学上册期中测评试卷(基础卷二)
2024-2025学年沪教版七年级数学上册期中测评试卷（基础卷二）1.下列说法正确的是（）A ．2不是代数式B．是单项式C．的一次项系数是1D ．1是单项式2.下列合并同类项正确的是（）A．B．C．D．3.2101×0.5100的计算结果正确的是（）A ．1B ．2C ．0.5D ．10 4.的计算结果是（）A．B．C．D． 5.如果一个两位数的个位、十位上的数字分别是、，那么这个数可用代数式表示为（）A．B．C．D ． 6.有一列数、、，…，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则为（）A ．2007B ．2C．D ．7.计算：______8.计算：_______9.计算：=______.10.把整式按字母x 的降幂排列是_______11.因式分解：______12.已知圆的周长为，用含的代数式表示圆的半径，应是_______13.铅笔每支m 元，小明用10元钱买了n 支铅笔后，还剩下____________元.14.当a=－2时，代数式的值等于_____.15.整式_____与的和是16.如果与是同类项，那么=______.17.如果，那么_______18.计算：______（结果用幂的形式表示）．19.计算：20.计算：21.因式分解：．22.因式分解：．23.已知：，求下列各式的值（1）（2）24.先化简，再求值：已知，求代数式的值．25.第一小队与第二小队队员搞联欢活动，第一小队有人，第二小队比第一小队多人．如果两个小队中的每个队员分别向对方小队的每个人赠送一件礼物，求：(1)所有队员赠送的礼物总数（用的代数式表示）；(2)当时，赠送礼物的总数为多少件？26.小李在一个长为a厘米、宽为b厘米的长方形纸板的四角各剪去一个边长为x厘米小正方形，折成无盖纸盒，求：(1)无盖纸盒的表面积；(2)无盖纸盒的容积（纸板厚度不计，结果用含a、b、x的代数式表示）．27.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案．(1)第个图案中有根小棒；第个图案中有根小棒；第个图案中有根小棒(2)第个图案中有根小棒；(3)是否存在某个符合上述规律的图案，由根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，请说明理由．。
15.初中数学习题集-整式的恒等变形
初中数学习题集-整式的恒等变形目录初中数学习题集-整式的恒等变形 (1)一、配方思想 (3)二、因式分解思想 (14)三、整体思想 (15)四、赋值法 (21)五、降次思想 (22)六、特殊技巧题型 (23)一、配方思想1. 【易】（10年北京西四期中）用配方法解方程2670x x ++=,下面配方正确的是（ ）A ．2(3)2x +=-B ．2(3)2x +=C ．2(3)2x -=D ．2(3)2x -=-【答案】B2. 【易】（广东深圳中考）用配方法将代数式245a a +-变形，结果正确的是（ ）A ．()221a +- B ．()225a +- C ．()224a ++D ．()229a +-【答案】D3. 【易】（朝外初二章测）若2212x ax x b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，则a 、b 的值是（ ）A ．114a b ==，B ．114a b ==-，C ．102a b ==-，D ．2a =，12b =【答案】B4. 【易】（2011年顺义区一摸）代数式221x x --的最小值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D5. 【易】（怀柔区2011二模）将方程221x x -=进行配方，可得（ ）A ．2(1)2x +=B ．2(2)5x -=C ．2(1)2x -=D ．2(1)1x -=【答案】C6. 【易】（朝外初二章测）若2222220a b c ac bc +++-=，则a b +的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．不确定 【答案】A 7. 【易】（2011莲花中学初一下期中）已知3x y -=，1xy =，则22x y +的值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】A8. 【易】（2010石厦中学初一下期末）已知：7a b +=，3ab =-，则22a b +的值是（ ） A ．55 B ．43 C ．20 D ．13 【答案】A9. 【易】（2010深圳外国语初一下测试）已知222450a b a b +-++=，则a ，b 的值分别是（ ） A ．1-，2 B ．1，2- C ．1-，2- D ．1，2 【答案】B10. 【易】（2010深圳外国语分校初一下期末）已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果不正确的是（ ）A ．()281x y -=B ．2265x y +=C ．()()1116x y --=-D ．2263x y -=【答案】A11. 【中】（2003年山西省太原市初中数学竞赛试卷）已知a 、b 是实数，2220x a b =++，()42y b a =-．则x 、y 的大小关系是（ ）A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y ＜D ．x y ＞【答案】B12. 【中】（2009年全国初中数学联赛）设1a ，则22312612a a a +--=（ ）A．24B ．25C ．10D ．12【答案】A13. 【中】（2012年全国初中数学联赛）已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ ） A ．18-B ．0C ．1D ．98【答案】B14. 【中】（2011-2012北京十四中学初一第二学期期中）若()()()222323a b a b +=-+，则括号内的式子是（）A ．6abB ．24abC ．12abD ．18ab【答案】B15. 【中】（2011-2012北京十四中学初一第二学期期中）21x x ++的值（ ）A ．大于34 B ．不小于34 C ．小于34D ．无法确定 【答案】B16. 【中】（09年北京东直门期中）若a 、b 、c 是三角形三边的长，则代数式2222a ab c b --+的值（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．以上均有可能【答案】C17. 【中】（2012—西安—高新一中—七年级数学（下）—期末考试试卷．）若三角形三边a 、b 、c 满足222++1068+50=0a b c a b c ---，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】C18. 【中】（天津市和平区2009-2010学年度第一学期八年级数学学科期末质量调查试卷）如果a b c ，，为互不相等的实数，且满足关系式2224166b c a a +=++与2247bc a a =++，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a -＞ B ．1a ＞ C ．1a -≥ D ．1a ≤ 【答案】C19. 【中】（天津耀华嘉诚2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）若实数x 、y 满足2222220x x x y xy ++++== ．【答案】()()22222222110x x x y xy xy x ++++=+++=11x y ∴=-=， 12=20. 【难】（2011年全国初中数学竞赛）已知x y z 、、为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为（ ）A ．111B ．0C ．5D ．5411【解析】由253x y z +-=、25x y z --=-可知，31x z =-、2y z =+，代入222x y z ++得：2222215454112511111111x y z z z z ⎛⎫++=-+=-+ ⎪⎝⎭≥【答案】D21. 【易】（朝外初二章测）若2(1)()7a a a b ---=-，则222a b ab +-的值是 ． 【答案】49222. 【易】（朝外初二章测）已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，则x y -的值等于 ． 【答案】123. 【易】（2011罗湖外国语初一下期中）若10m n +=，24mn =，则22m n += ． 【答案】5224. 【易】（2011深圳外国语分校初一下期中）若()()213x x x y --+=，则222x y xy ++= ． 【答案】9225. 【易】（2011深圳外国语初一下期末）已知：9xy =，3x y -=-，则223x xy y ++= ．【答案】5026. 【易】（2011深圳中学整体实验初一下期末）222450a b a b +-++=，则a b +的值为 ． 【答案】1- 27. 【易】（年北京二中期中）若2264130m n n m +-++=，则22n m -=_________． 【答案】5-28. 【易】（郑州一中教育集团2010—2011学年上期期中考试）对于代数式()212x +-，当x =_____时取到最小值，最小值是_______． 【答案】1-，2-29. 【易】（延庆县2012年初三第二次模拟试卷）若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是 【答案】530. 【易】（2012房山二模）把代数式241m m +-化为()2m a b ++的形式，其中a 、b 为常数，则a b += ． 【答案】3-31. 【易】（2010年北京五中期中）将一元二次方程式2650x x --=化成2()x a b +=的形式，则b = ． 【答案】1432. 【中】（2012江苏泰州市）若代数式232x x ++可以表示为()()211x a x b -+-+的形式，则a b +的值是 ． 【答案】1133. 【易】(八中2011-2012学年第二学期期中考试初一年级数学)若9m n +=，16mn =，则22m n += ．34. 【易】(平谷区2010)已知2x y xy +==，那么22x y += ．【答案】635. 【易】(2010-2011重庆初一下期中)已知4xy =，5x y -=，则225x xy y ++=__________． 【答案】5336. 【中】(2011-2012重庆南开中学初一下期中)已知2330x xy -+=，270y xy +-=，则x y -的值为 。
整式恒等变形
第8 讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝____________ 【例1】（第14 届“希望杯”邀请赛试题练1】（1990 年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7 的值．题型二整体代入消元法【例2】（第14届希望杯1 试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值．【练2】当x－y＝1 时，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值．题型三换元法强化挑战【例3】化简（y＋z－2x）2＋（z＋x－2y）2＋（ x＋y－2z）2－3（y－z）2－3（x－y）2－3（x－z）2．【练3】已知x，y，z 为有理数（y－z）2＋（z－x）2＋（x－y）2＝（y＋z－2x）2＋（x＋z－2y）2＋（x＋y－2z）2，求yz 1 zx 1 xy 1 的值．x2 1 y2 1 z2 1模块二题型一恒等变形→因式分解与不定方程因式分解基础夯实【例4】（1）已知a5－a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3的值等于（2）若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝______________ ．【练4】（1）若x满足x5＋x4＋x＝－1则x＋x2＋x3＋⋯＋x2012＝______________ ．（2）已知15x2－47xy＋28y2＝0，求x的值．y强化挑战【例5】已知：a、b、c 为三角形的三条边，且a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0，求证：2b＝a＋c．练5】（1）在三角形ABC 中，a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0，其中a，b，c 是三角形的三边，求证：a＋c ＝2b．(2)已知△ ABC 三边a、b、c，满足条件a2c－a2b＋ab2－b2c＋c2b－ac2＝0，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．题型二不定方程【例6】(1)方程xy－2x－2y＋7＝0 的整数解(x≤y)为_____________ ．(2)已知a> b> c≥0，求适合等式abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c＝2011 的整数a，b，c的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm，它的两边长x，y 均为整数，且满足x－y－x2＋2xy－y2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．例7】(2000 年联赛)实数x，y 满足x≥y≥1 和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝_________2练7】当x 变化时，分式3x 6 x 5的最小值是 ___________________1 x2 x 12模块三恒等变形→配方法【例8】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y．练8】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y．例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．例10】已知实数a、b、c 满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则b的值等于a练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝__________模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：（1）（a＋b）（a－b）＝．2 ____________________ （2）（a－b）2＝．2、三元二次：（3）（a＋b＋c）2＝_____ ．222（4）a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ __ ．3、二元三次：3（5）（a＋b）3＝___________ ．（6） ___________________a3＋b3＝．4、三元三次：（7）（a＋1）（b＋1）（c＋1）＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1（8）（a＋b）（b＋c）（c＋a）＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc2 2 2 2 2 2（9）（a＋b＋c）（ab＋bc＋ca）＝a b＋b c＋c a＋ab ＋bc ＋ca ＋3abc（10）a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－bc－ca）5、三元四次：3 4 4 2 2 2 2 2 2（11）（a＋b＋c）（a＋b－c）（b＋c－a）（ c＋a－b）＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2 6、二元n 次：（12）a n－b n＝（a－b）（a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋⋯＋ab n－2＋b n－1）（13）a n＋b n＝（a＋b）（a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋⋯－ab n－2＋b n－1）（n 为奇数）7、n 元二次：（14）（ a1＋a2＋⋯＋a n）2＝a12＋a22＋⋯＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋⋯＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋⋯＋2a n－1a n．2 2 1 2 2（15）a1 ＋⋯＋a n ＋a1a2＋⋯＋a1a n＋a2a3＋⋯＋a2a n＋⋯＋a n－1a n＝[（a1＋a2）＋⋯＋（a n－1＋a n） ]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．2【练11】（第6 届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995（ x 17 ＋y）＋6xy－（ a＋b）的值．2例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝__________________【例13】（2009 年北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．（1）求ab＋bc＋ca 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝8，3 （1）求abc 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x 2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013第8 讲课后作业习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11 的值．习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc 的值．习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m（）A ．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数习4】正整数a、b、c 是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有（） A．1 个B．2个C．3 个D．4 个习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值（）A ．恒正B ．恒负C．可正可负 D ．非负习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．2 2 2 2习7】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．习9】（1999 年北京市初二数学竞赛）若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010 的值．习10】（第18 届希望杯初一）有理数a，b，c 满足a：b：c＝2：3：5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（十八届希望杯初二二试）已知a1，a2，a3，⋯，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋⋯＋a2006）（a2＋a3＋⋯＋a2007），N＝（ a1＋a2＋⋯＋a2007）（a2＋a3＋⋯＋a2006），试比较M、N 的大小．习12】（2013 年联赛）已知实数x，y，z 满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝____________ 习13 】（2013 年竞赛）已知正整数a、b、c 满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc 的最大值为习14】（2001年联赛）求实数x，y 的值，使得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋（2x＋y－6）2达到最小值．。
第1讲：整式的恒等变形
第一讲 整式的恒等变形【专题知识点概述】把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。
通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。
整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。
整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。
其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：（1）3223333)(b ab b a a b a ±+±=±（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++（3）))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：一、运用运算性质和法则➢ 例1.设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x+2y-5z ，求证：11整除3x-7y+12z 。
➢ 例2.已知d cx bx ax y +++=35，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y 的值。
➢ 例3.若a 、b 、c 都是自然数，且满足2345d c b a ==、,且c-a=19，求d-b 的值。
二、灵活应用乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
➢ 例4.计算1)12()12)(12)(12(3242+++++➢ 例5.已知整数a 、b 、（a-b ）都不是3的倍数，试证33b a +是9的倍数。
上海市七年级数学上学期期中模拟卷(上海专用,沪教版2024七上第10~12章：整式的加减)解析
2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷（上海专用）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2024七上第10~12章（整式的加减、整式的乘除、因式分解）。
5．难度系数：0.69。
第一部分（选择题 共18分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列说法错误的是( )A ．221x x y ++是二次三项式B ．133xy +是二次二项式C ．34x x y +是五次二项式D ．x y z ++是一次三项式【答案】A【解析】221x x y ++是三次三项式，故选项A 符合题意；133xy +是二次二项式，故选项B 不合题意；34x x y +是五次二项式，故选项C 不合题意；x y z ++是一次三项式，故选项D 不合题意．故选：A ．2．下列各式中，去括号或添括号正确的是( )A ．22(2)2a a b c a a b c--+=--+B ．321(321)a x y a x y -+-=+-+-C ．3[5(21)]3521x x x x x x ---=--+D ．21(2)(1)x y a x y a ---+=--+-【答案】B【解析】A 、22(2)2a a b c a a b c --+=-+-，故错误；B 、321(321)a x y a x y -+-=+-+-，故正确；C 、3[5(21)]3521x x x x x x ---=-+-，故错误；D 、21(2)(1)x y a x y a ---+=-++-+，故错误；只有B 符合运算方法，正确．故选：B ．3．下列各式计算正确的是( )A ．336a a a +=B ．33(3)9a a =C ．224()a a -=D ．2229(3)3a a a ¸=【答案】C【解析】A ，33362a a a a +=¹，计算错误，不符合题意；B ，33333(3)3279a a a a =×=¹，计算错误，不符合题意；C ，222224()(1)a a a ´-=-×=，计算正确，符合题意；D ，2229(3)33a a a ¸=¹，计算错误，不符合题意；故选：C ．4．下列从左到右变形，是因式分解的是( )A ．22322(25)25a a ab b a a b ab +-=+B ．22(5)(5)25x y x y x y +-=-C ．22()()x y x y x y -=+-D ．2231(231)x x x x -+=-+【答案】C【解析】A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，但是分解错误，故本选项不符合题意；故选：C ．5．如果14,2m n n xx +==，那么2m x 的值是( )A ．4B ．8C ．64D ．16【答案】C【解析】4m n x +=Q ，1n x =，1482m m n n x x x +\=¸=¸=，222()864m m x x \===．故选：C ．6．图（1）是一个长为2a ，宽为2()b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )A ．abB ．2()a b +C ．2()a b -D ．22a b -【答案】C 【解析】中间部分的四边形是正方形，边长是2a b b a b +-=-，则面积是2()a b -．故选：C ．第二部分（非选择题 共82分）二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）7．单项式2325x y z -的系数是 ，次数是 ．【答案】25-，6．【解析】单项式2325x y z -的系数是25-，次数是：2316++=．故答案为：25-，6．8．如果单项式1235m n x y -与3354n x y +-是同类项，那么mn = ．【答案】12【解析】由题意知，13m -=，32n n +=，解得4m =，3n =，则4312mn =´=，故答案为：12．9．计算：（﹣2a 2b ）•（﹣4a 2b 3）＝ ．【答案】8a 4b 4．【解析】原式＝﹣2×（﹣4）•（a 2•a 2）•（b •b 3）＝8a 4b 4．故答案为：8a 4b 4．10．计算：248(21)(21)(21)(21)++++= ．（结果中保留幂的形式）【答案】1621-．【解析】248(21)(21)(21)(21)++++248(21)(21)(21)(21)(21)=-++++2248(21)(21)(21)(21)=-+++448(21)(21)(21)=-++88(21)(21)=-+1621=-，故答案为：1621-．11．因式分解：22()3()x y y x ---= ．【答案】()(233)x y x y --+．【解析】原式22()3()()(233)x y x y x y x y =---=--+，故答案为：()(233)x y x y --+．12．计算：64331111()34612m m m m +-¸= ．【答案】3432m m +-．【解析】64331111()34612m m m m +-¸634333111111312412612m m m m m m =¸+¸-¸3432m m =+-，故答案为：3432m m +-．13．计算：20212022( 1.25)0.8-´= ．【答案】0.8-．【解析】原式2021[( 1.25)0.8]0.8=-´´2021(1)0.8=-´10.8=-´0.8=-．故答案为：0.8-．14．若225x mx ++是完全平方式，则m = ．【答案】10±【解析】225x mx ++Q 是完全平方式，10m \=±，故答案为：10±15．因式分解：()()a a b b b a ---= ．【答案】()()a b a b -+．【解析】原式()()()()a a b b a b a b a b =-+-=-+，故答案为：()()a b a b -+．16．若24b a =-，则代数式219(2)91022a b b a --++的值是 ．【答案】36【解析】24b a =-Q ，24a b \-=，原式2194(2)1022a b =´+-+984102=+´+81810=++36=．故答案为：36．17．（2022秋•长宁区校级期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文®密文（加密）；接收方由密文®明文（解密）．已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d ，对应密文23a +，31b +，45c +，2d c -，当接收方收到密文11，16，29，13时，解密得到明文a ，b ，c ，d ，则a b c d +++= ．【答案】64【解析】由题意可得，2311a +=，3116b +=，4529c +=，213d c -=，解得，4a =，5b =，6c =，49d =，4564964a b c d \+++=+++=，故答案为：64．18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了()(n a b n +为非负数）展开式的各项系数的规律．如：222()2a b a ab b +=++，它的系数分别为1，2，1．若4(1)y x =-展开得43243210y a x a x a x a x a =++++，那么01234a a a a a -+-+的值为 .【答案】16【解析】4432(1)4641y x x x x x \=-=-+-+，即01a =，14a =-，26a =，34a =-，41a =，012341(4)6(4)116a a a a a -+-+=--+--+=，故答案为：16．三、解答题（本大题共9小题，满分58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：23322332()()()()x x x x ++-+-【解析】23322332()()()()x x x x ++-+-6666x x x x =+-+·····（3分）62x =·····（2分）20．（5分）计算：33263(2)()a a a a a -¸+-×．【解析】33263(2)()a a a a a-¸+-×33261318a a a ´-++=-+-·····（3分）7748a a a =-+-747a a =--．·····（2分）21．（5分）简便计算：2201120072015-´．【解析】原式22011(20114)(20114)=--+222011(201116)=--·····（3分）16=．·····（2分）22．（5分）化简：22(2)(2)(2)8a b a b a b b -+--+．【解析】原式222224448a b a ab b b =--+-+·····（3分）4ab =．·····（2分）23．（5分）分解因式：22(4)4()a b a b +-+．【解析】22(4)4()a b a b +-+22(4)(22)a b a b =+-+(422)(422)a b a b a b a b =++++--·····（3分）(63)(2)a b a b =+-3(2)(2)a b a b =+-．·····（2分）24．（8分）先化简再求值22[2()()][()()2]x x y x y x y x y y -+----++，其中13x =，1y =.【解析】22[2()()][()()2]x x y x y x y x y y -+----++222222[2()][()2]x x y x y y =---+2222()()x y x y =++222()x y =+·····（6分）将1,13x y ==代入，原式2221100[()1]138=+=．·····（2分）25．（8分）已知关于x 的整式21A x mx =++，232(B nx x m m =++，n 为常数）．若整式A B +的取值与x无关，求m n -的值．【解析】21A x mx =++Q ，232B nx x m =++，222132(1)(3)12A B x mx nx x m n x m x m \+=+++++=+++++，·····（4分）Q 整式A B +的取值与x 无关，10n \+=，30m +=，解得：1n =-，3m =-，则3(1)312m n -=---=-+=-．·····（4分）26．（8分）阅读下列解题的过程．分解因式：464x +解：442264166416x x x x +=++-222(8)16x x =+-22(84)(84)x x x x =+++-请按照上述解题思路完成下列因式分解：（1）44a +；（2）42244381x x y y -+．【解析】（1）44a +422444a a a =++-222(2)4a a =+-22(22)(22)a a a a =++-+；·····（4分）（2）42244381x x y y -+422422188125x x y y x y =-+-22222(9)25x y x y =--2222(95)(95)x y xy x y xy =-+--·····（4分）27．（9分）阅读理解：若x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值．解：设(80)x a -=，(60)x b -=，则(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，所以222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-´=．解决问题（1）若x 满足(30)(20)10x x --=-，求22(30)(20)x x -+-的值；（2）若x 满足22(2019)(2017)4042x x -+-=，求(2019)(2017)x x --的值；（3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，1AE =，2CG =，长方形EFGD 的面积是5，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．【解析】（1）设(30)x a -=，(20)x b -=，则(30)(20)10x x ab --==-，(30)(20)10a b x x +-+-=，所以222222(30)(20)()210210120x x a b a b ab -+-=+=+-=+´=；·····（3分）（2）设(2019)x a -=，(2017)x b -=，则(2019)(2017)2a b x x -=---=，因为22(2019)(2017)4042x x -+-=，所以22222(2019)(2017)()24042x x a b a b ab -+-=+=-+=，即222(2019)(2017)4042x x +´--=，(2019)(2017)2019x x --=；·····（3分）（3）根据题意可知，1ED AD AE x =-=-，2DG DC CG x =-=-，因为长方形EFGD 的面积是5，所以(1)(2)5x x --=，设1x a -=，2x b -=，则(1)(2)1a b x x -=---=，5ab =，所以222()212511a b a b ab +=-+=+´=，因为四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，所以阴影部分的面积为：222222(1)(1)(2)(2)(1)(2)111021ED ED DG DG DH QD x x x x x x a ab b ab +×++×=-+--+-+--=+++=+=．·····（3分）。
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整式的恒等变形上海教育版-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-
初中数学试卷-试卷下载
初一（下）数学练习卷（六）
班级：_____________姓名：_______________学号：_____________得分：_____
一、填空题：
1、计算：=____________________________。
2、计算：=______________________。
3、计算：=_______________________。
4、计算：= __________________________。
5、，，中的公因式为_________________________。
6、若，则=____________________。
7、要使=1成立的条件是___________________________。
8、。
9、若正方形的面积为，（0<x<6），则它的周长为_________________。
10、因式分解：=________________________________。
11、因式分解：=________________________________。
12、若定义a*b = a + 2b，= 2a –
b，计算（3*x）@2 =
_____________________。
13、若在整数范围内能分解成两个一次因式的乘积，
则m = ____________。
14、已知：a + b = 9，a2
+ b2 = 5，则ab = ______________________。
15、简便计算：=_____________________________。
16、如果，那么=________________________________。
17、如果，那么a + b = _____________________。
18、=___________________________。
二、选择题：
1、若二次三项式x2 – ax – 1可分解为（x – 2）（x + b），则a + b的值为（）（A）– 1；（B）1；（C）– 2；（D）2.
2、已知是完全平方式，则m的值为
（
）
（A）2；（B）；（C）4；
（D）.
3、下列多项式分解因式正确的是（
）
（A）（；（B）；
（C）；（D）.
4、已知多项式f（x）与g（x），它们的积是一个八次多项式，它们的商是一个二次多项式，则它们的和的次数为（）
（A）三次；（B）四次；（C）五次；（D）六次.
5、若（x2
+ ax + 3）·（x2 + bx – 2）的展开式中没有二次项和三次项，则a，b的值为
（）
（A）
a = 1，
b = 1；
（B） a = 1，b = – 1；
（C）
a = – 1，
b = 1；
（D） a = – 1，b = –1.
三、计算题：
1、2、
3、4、若x2n = 7求的值。
四、因式分解：
（1）xy – 1 + y2 – xy2（2）
（3）（4）xy（x2– y2）+ yz（y2
– z2）+ zx（z2
– x2）
五、解答题：
1、已知：
求的值
2、a，b，c为三角形的三边长，若，求三角形的形状，并说明理由。
3、若，求代数式的值。
4、把一个正方形的一边增加4厘米，另一边减少1厘米，则新的长方形的面积比原来正方形的面积增加了20平方厘米，求原来正方形的边长。
5、已知且，，求的值。
6、已知M = 。
当x，y取何值时，M有最小值，并求出这个最小值。
7、若x + y = 4，xy = 12，则求（1）x3 + y3；（2）x – y的值。
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