自动控制

Ki 1 G s Ti s s
积分时间常数
4. 微分环节
t y t Td r
G s Td s
实际系统一般采用具有惯性的微分环节。
Td s G s Ts 1
5. 延迟环节
y t r t
G s e s
6. (二阶)振荡环节
比较点后移
G s
等价于
G s
例5：简化系统框图，求传递函数Y(s)/R(s)。 R(s) b G1(s) G2(s)
氏
傅
反
拉
变
氏
变
反
变
换
氏
拉
系统
换
传递函数
s j
j s
频率特性
2.3
2.3.1 系统框图
信号线
框图模型
R(s)
带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。 引出点 （测量点） 表示信号引出或测量的位置。引出点的 信号与原信号相等。
比较点（综合点，相加点）
表示对两个以上的信号进行加减运算。 加号常省略负号必须标出。 方框（环节）
y Kx
类似的对于多元函数关系
y g ( x1 , x2 , , xn ) 在工作点x10 , x20 , , xn0 处的线性近似方程可以表示成 g y g ( x10 , x20 , , xn0 ) x1 g x2 ( x1 x10 )
x x0
x x0
df 1 d2 f y f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) dx xx 2! dx2
0
x x0
若x=x-x0 很小，忽略二次以上高次项，有：
df y y0 ( x x0 ) dx x x0
线性模型的增量形式
y Kx
线性模型的习惯表示形式
G s U c s Z C s U 0 s Z L s Z R s Z C s 1 1 Cs 1 LCs 2 RCs 1 Ls R Cs
d 2 uc t duc t LC RC U C t U 0 t 2 dt dt
例1: 质量-弹簧-阻尼器系统
解: F1 ky t
根据牛顿定律有
dy t F2 b dt
d 2 y t F M dt 2
d 2 y t r t F1 F2 M dt 2
dy t d 2 y t r t ky t b M dt dt 2
复数域信号 R(s) , Y(s) 频域信号
2.2.1 时域中的数学模型——微分方程
2.2.1.1 描写线性定常系统的微分方程
dn d n1 d qn n y(t ) qn1 n1 y(t ) q1 y(t ) q0 y(t ) dt dt dt dm d m1 d pm m r(t ) pm1 m1 r(t ) p1 r(t ) p0r(t ) dt dt dt
t 2T y t y t r t , 0 1 T 2 y
1 G( s) 2 Ts 2Ts 1
2 n 1 , n G( s) 2 2 s 2 n s n T
n 为无阻尼自然振荡角频率 为阻尼比
T为时间常数
q i ( i 0,1, , n ), p j ( j 0,1, , m ), n m
若m>n，我们就说这是物理不可实现的系统。
用分析法建立系统微分方程的一般步骤：
(1) 确定输入，输出; (2) 根据系统所遵循的基本定律，列写各环节 的微分方程; (3) 消去中间变量，求得输出/输入关系； (4) 化为标准形式。
X(s)
G(s)
Y(s)
表示对信号进行的数学变换，方框中写入 元部件或系统的传函。
系统框图
R(s) E(s) G(s) H(s) B Y(s)
- B(s)
用方框和信号线按信号的传递关系 连接起来得到的有向图形。
系统框图绘制步骤:
① 划分系统，写出各元部件或环节的传递函数。 ② 给出各元部件或环节的结构图。 ③ 系统输入量放在最左边，输出量放在最右 边，按照系统中信号的传递顺序连接起来，构成系 统的结构图。
2.3.2 系统框图的等效变换
原则：输出、输入信号不变。 1. 环节串联
等价于
G1(s)G2(s)
2. 环节并联
等价于
G1(s)G2(s)
3. 环节反馈联接
等价于
Y s GsEs GsRs Bs
G s 1 G s H s
GsRs Y sHs
1 G s H s Y s G s R s
Y s G s W s Rs 1 G s H s
特别地，负反馈系统
闭环传递函数
Y s G s W s Rs 1 Gs H s
G s 1 W K s
r(t) 时域：
系统
y(t)
y t g t r t
s域(复数域)： Y s G s Rs
G s Lg t
传函G(s)可写成
时间常数表示形式
p0 bm s bm 1 s b1 s 1 p0 G s n n 1 q 0 a n s a n 1 s a1 s 1 q0
该二阶系统具有一对共轭复数极点
p1, 2 n j n 1 2

2.2.3 频率域中的数学模型——频率特性
在正弦输入下，系统输出的稳o
jω [s] σ
2.2.4 三种I/O模型的关系
微分方程
换 傅 变 氏 换
def
G(s)=
L[y(t)] L[r(t)]
传递函数： 在零初始条件下，系统输出的拉氏 变换与系统输入的拉氏变换之比。
传函的图示
传递函数的性质:
1）反映系统的输入量与输出量之间的传递关系， 表征了系统本身的动态特性。 2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，而 与输入和初始条件无关。 3)只能描述线性定常系统与SISO系统，无法 反映内部中间变量的变化情况。 4)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不 能反映非零初始条件引起的输出。
1 Y s G s Rs Ms 2 bs k
例4：RLC串联电路（电压U0 为输入量，电 压UC为输出量）。 U s
复阻抗
Z s I s
U 0 t
i
U c t
Z R s R, Z L s Ls , 1 Zc S , Cs
第二章 控制系统的数学模型
2.1 引言 2.2 输入输出(I/O)模型 2.3 框图模型 2.4 控制系统的状态空间模型 2.5 I/O模型与状态空间模型之间的转换 2.6 循序渐进设计示例
2.7 应用MATLAB处理系统数学模型
2.1 引言
数学模型：
描述系统的一个数学结构 系统(动态)特性的数学表达式 控制系统建模： 建立原系统物理模型的数学模型。
s z
i
m
s p
j j 1
i 1 n
-pj——系统极点，-zi ——系统零点
例3: 质量-弹簧-阻尼器系统
d 2 y t dy t M b ky t r t 2 dt dt
Ms 2 bs k Y s Rs
输入
黑盒
输出
灰盒(部分了解的系统)：
可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而 方便地建立系统的数学模型。 数学模型的合理性： 在模型的简化性和分析结果的准确性之间，作 折衷考虑。 线性系统的特点： 叠加性 齐次性 返回
2.2 输入输出(I/O)模型
线性定常系统
输入/输出(I/O)模型：用系统的输入、输出信号或其 变换式所表示的数学模型。 当I/O为： 时域信号 r(t) , y(t) —— 微分方程 —— 传递函数 R(j), Y(j) —— 频率特性
性质不同的系统用不同的数学工具描述其模型 线性定常系统： 常系数线性常微分方程 线性时变系统： 变系数线性常微分方程 非线性系统： 非线性常微分方程
分布参数系统： 偏微分方程 离散系统： 差分方程
线性控制系统描述方法
输入输出描述法 (外部描述法) 状态空间描述法 (内部描述法)
转换 输入输出模型 状态空间模型
m m 1
T s 1
i
m

j 1
i 1 n
j
s 1
零极点表示形式
1 s s b0 pm s bm b1 pm G s 1 n n 1 s a1 s a0 qn s a n qn
m m 1
d 2 y t dy t M b ky t r t 2 dt dt
例2：试求RLC串联电路的微分方程。以电 压U0为输入量，电压UC为输出量。
U 0 t
i
U c t
解:
U L t U R t U C t U 0 t
di t L i t R U C t U 0 t dt
另一方法
2.2.2.2 典型环节的传递函数 1. 比例环节
y t K p r t
Gs K p
比例系数,增益
2. (一阶)惯性环节
增益
t y t Kr t Ty
K G s Ts 1
时间常数
3. 积分环节
增益
t r t Ti y
nm
取拉氏变换（零初始条件）
qn s n qn1 s n1 q1 s q0 Y s pm s m pm 1 s m 1 p1 s p0 Rs