第二章 拉伸与压缩 (上)
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材料力学第2章 轴向拉伸和压缩
18
为研究轴向拉（压）杆沿轴线方向的线应变， 可沿轴线方向在x截面处任取微段Δx（见图2.13）， 微段变形后其长度的改变量为Δu，比值Δu/Δx为微 段Δx的平均线应变。当Δx无限缩短而趋于零时， 其极限值
图2.13
19
拉（压）杆的变形与材料的性能有关，只能通 过试验来获得。试验表明，在弹性变形范围内，杆 件的变形Δl与轴力FN及杆长l成正比，与横截面面 积A成反比，即
1
概 述
图2.1
图2.2
2
第二节 轴力 轴力图 无论对受力杆件作强度或刚度计算时，都需首 先求出杆件的内力。关于内力的概念及计算方法， 已在上一章中阐述。
3
第三节 拉（压）杆截面上的应力 内力是由外力引起的，仅表示某截面上分布内 力向截面形心简化的结果。而构件的变形和强度不 仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以 及内力在截面上的分布情况。为此，需引入应力 （stress）的概念。
图2.11
13
设产生应力集中现象的截面上最大应力为ζ max，同一截面视作均匀分布按净面积A0计算的名 义应力为ζ0，即ζ0=FN/A0，则比值
14
第四节 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比 工程构件受力后，其几何形状和几何尺寸都要 发生改变，这种改变称为变形（deformation）。 当荷载不超过一定的范围时，构件在卸去荷载后可 以恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸去后只 能部分地复原，而残留一部分不能消失的变形。在 卸去荷载后能完全消失的那一部分变形称为弹性变 形（elastic deformation），不能消失而残留下来 的那一部分变形称为塑性变形（ductile deformatio n）。
15
现以图2.12所示等截面杆为例来研究轴向拉 （压）杆的变形。在轴向外力F的作用下，杆件的 轴向、横向的尺寸均会发生改变。设杆件变形前原 长为l，横向尺寸为d，变形后长度为l′，横向尺寸 为d′，称 为轴向变形，称
第二章_直杆的拉伸和压缩
F
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN2 A2
20103 152 106
89106Pa 89MPa
2.1.3 应变的概念
绝对变形ΔL， 相对变形或线应变：
L
L
伸长时ε为正，缩短时ε为负
2.2 拉伸和压缩时材料的力学性能
2.2.1 拉伸和压缩试验及材料的力学性能
1、强度校核：
max
N A
2、设计截面：
A
N
3、确定许可载荷： NA
目录
塑性材料 ：以材料的屈服极限作为确定许用应力的基础。 变形特征：当杆内的最大工作应力达到材料的屈服极限时，沿 整个杆的横截面将同时发生塑性变形，影响杆的正常工作。 许 用内力的表示为：
对于一般构件的设计，ns规定为1.5到2.0 脆性材料 ：以材料的断裂极限作为确定许用应力的基础。 变形特征：直到拉断也不发生明显的塑性变形，而且只有断裂 时才丧失工作能力。许用内力的表示为：
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1 A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N 1 P A P B P C P D 0
N 1 5 P 8 P 4 P P 0N1 2P
N2
BC
D
PB 同理，求得AB、BC、 CD段内力分别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
2.1.3 拉伸和压缩时横截面上的应力
FN F
AA
应力集中：在截面突变处应力局部增大的 现象
应力集中系数：k=σmax/σ
材料力学第二章
材料的塑性也可用试样断裂后的横截面面积塑性收缩率 来
衡量，即
A A1 100%
A
（2-9）
式中，A1 为试样被拉断后，在缩颈处测得的最小直径所对应的横截
面面积；A 为原横截面面积； 为断面收缩率。低碳钢的 值为 60%
左右。
如果将试样从 e 点卸载后再加载，直到试样断裂，所得的 加载曲线就如图 2-14 中 O1edf 所示。将该曲线与图 2-12 中的 Oabcdf 相比较，则可看出，图 2-14 所示的试样比例极限提高了， 拉断后的塑性变形减小了，这种现象称为冷作硬化。
过了屈服阶段，曲线又继续上升，即材料又恢复了抵抗变形 的能力。这说明当材料晶格滑移到一定程度后，又产生了抵抗滑 移的能力，这种现象称为材料的强化。这个阶段相当于图 2-12 中 的 cd 段。
载荷达到最高值时，名义应力 也达到最高值，相当于图 2-12 中曲线的最高点 d。这个名义应力的最高值 b 称为材料的强 度极限。低碳钢的 b 约为 400 MPa。
将式（2-2）和式（2-4）代入式（2-5），得
E
（2-6）
式（2-6）为胡克定律的另一表达形式。由此，胡克定律可表述为：若应力不超
过某一极限值，则杆的纵向应变 与正应力 成正比。
上述应力的极限值，称为比例极限，常用 p 表示。各种材料的比例极
限值，可由实验得到。
比例常数 E，称为弹性模量，它表示在拉伸（压缩）时，材料抵抗弹性变
力学知，该平行力系的合力 FN 等于上述无限多个微内力 dFN 之和，即
由此可得
FN
dA
A
dA A
A
FN
A
（2-2）
我们将拉伸中的应力称为拉应力，压缩中的应力称为压应力。计算应力时，只要将 轴力 FN 的代数值，代入式（2-2），所得 的正负，就表示它是拉应力或是压应力。
衡量，即
A A1 100%
A
（2-9）
式中，A1 为试样被拉断后，在缩颈处测得的最小直径所对应的横截
面面积；A 为原横截面面积； 为断面收缩率。低碳钢的 值为 60%
左右。
如果将试样从 e 点卸载后再加载，直到试样断裂，所得的 加载曲线就如图 2-14 中 O1edf 所示。将该曲线与图 2-12 中的 Oabcdf 相比较，则可看出，图 2-14 所示的试样比例极限提高了， 拉断后的塑性变形减小了，这种现象称为冷作硬化。
过了屈服阶段，曲线又继续上升，即材料又恢复了抵抗变形 的能力。这说明当材料晶格滑移到一定程度后，又产生了抵抗滑 移的能力，这种现象称为材料的强化。这个阶段相当于图 2-12 中 的 cd 段。
载荷达到最高值时，名义应力 也达到最高值，相当于图 2-12 中曲线的最高点 d。这个名义应力的最高值 b 称为材料的强 度极限。低碳钢的 b 约为 400 MPa。
将式（2-2）和式（2-4）代入式（2-5），得
E
（2-6）
式（2-6）为胡克定律的另一表达形式。由此，胡克定律可表述为：若应力不超
过某一极限值，则杆的纵向应变 与正应力 成正比。
上述应力的极限值，称为比例极限，常用 p 表示。各种材料的比例极
限值，可由实验得到。
比例常数 E，称为弹性模量，它表示在拉伸（压缩）时，材料抵抗弹性变
力学知，该平行力系的合力 FN 等于上述无限多个微内力 dFN 之和，即
由此可得
FN
dA
A
dA A
A
FN
A
（2-2）
我们将拉伸中的应力称为拉应力，压缩中的应力称为压应力。计算应力时，只要将 轴力 FN 的代数值，代入式（2-2），所得 的正负，就表示它是拉应力或是压应力。
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
材料力学 第二章 轴向拉伸和压缩
明德行远 交通天下
材料力学
2. 轴力的正负规定 FN 与外法线同向,为正轴力(拉力)
FN
FN F N > 0
FN与外法线反向,为负轴力(压力)
FN
FN
二、轴力图--表明构件不同截面轴力的变化规律
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定最大轴力的数值及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
斜截面外法线方向为正，反之为负。
明德行远 交通天下
材料力学
a pa cosa cos2 a
pa
a
pa
sin a
cosa sin a
1
2
sin 2a
讨 论：
当a = 0°时， (a )max (横截面上正应力最大)
当a = 90°时，
( a )min 0
当a
=
±
45°时，| a
|max
2
结果表明，杆件的最大工作应力在BC段，其值为0.75MPa。
明德行远 交通天下
材料力学
二、斜截面上的应力
k
F
F
设有一等直杆受拉力F作用，横截面面积为A。
求：斜截面k-k上的应力。
F
αk
Fα
解：截面法求内力。由平衡方程：
Fa=F
F
则：pa
Fa Aa
Aa：斜截面面积；Fa：斜截面上内力。
由几何关系：
A
材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
明德行远 交通天下
材料力学
主要内容
• §2-1 轴向拉伸与压缩的概念 • §2-2 轴力及轴力图 • §2-3 应力 • §2-4 轴向拉伸或压缩杆件的变形及节点位移 • §2-5 材料拉伸和压缩时的力学性能 • §2-6 轴向拉伸和压缩杆件的强度计算 • §2-7 轴向拉（压）杆的超静定问题
C 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩 第一部分
基于下列实验现象有“平面假设”
现象： 直线保持为直线。 相互垂直的直线依旧相互垂直。->无切应变 纵向线段伸长，横向线段缩短。 长度相等的纵向线段伸长后依旧相等。 长度相等的横向线段缩短后依旧相等。 即变形分布均匀，依据胡克定律应力分布也 均匀。
平面假设
根据表面变形情况，可以由表及里的做出 假设，即横截面间只有相对移动，相邻横 截面间纵线伸长相同，横截面保持平面， 此假设称为平面假设（Plane CrossSection Assumption）。
问题
（1）图示的曲杆，问公式 （2-2）是否适用？
2）图示杆由钢的和铝牢固 粘接而成，问公式（2-2） 是否适用？
（3）图示有凹槽的杆，问 公式（2-2）对凹槽段是否 适用？
σ
变截面杆横截面上的应力
F
F
应力集中 (Stress Concentration)
例：图示杆1为横截面为圆形的钢杆，直径d=16mm，杆2 为横截面为正方形的木杆，边长为100mm。在节点B处作 用20kN的力，试求1、2杆中的应力。
r ∆r o
θ
∆s
s
应力与变形的一般关系
正应力在正应力方向引起线应变，不引 起切应变 切应力引起切应变，在切应力方向不引 起线应变 这里作为结论直接给出，感兴趣可在课 后研究证明之。
轴拉伸实验
平面假设（基于实验观察）
a d e a a d e a b c b b c c d e b c d e
例 题
解：1、2杆都为二力杆，是简单拉 压问题，取节点B进行受力分析： 由节点B的平衡可得：
F N1 3 = G = 15kN 4 F N2 5 = − G = −25kN 4
A 2m
1.5m 1 2 C FN1 FN2 B G
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
拉伸和压缩
解 （1）计算AB杆和BC杆的轴力
d
A
B
30
取结点B为研究对象，其受力如图所示。由 平衡方程
Fx 0, FNBC cos 30 FNAB 0
Fy 0, FNBC sin 30 F 0
C aa FNAB
F
B AB
FNAB
3F，FNBC
2F
（2）校核AB杆和BC杆的强度
FNAB AAB
3F d2 /4
3
二、内力与应力
1、内力
杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的 作用力称为内力。这种内力将随外力增加而增 大。当内力增大到一定限度时，杆件就会发生 破坏。内力是与构件的强度密切相关的，拉压
杆上的内力又称为轴力。
F
FN
2、求内力的方法—截面法
将受外力作用的杆件假想地 切开，用以显示内力的大 小，并以平衡条件确定其 合力的方法，称为截面法。 它是分析杆件内力的唯一 方法。具体求法如下：
例 图示支架中，杆①的许用应力[]1＝100MPa，杆②的许用 应力[]2＝160MPa，两杆的面积均为A=200mm2,求结构的许
可载荷[F]。
解 （1）计算AC杆和BC杆的轴力
B 取C铰为研究对象，受力如图所示。列平衡
方程
A ① 45 30 ②
§2-2 拉伸和压缩
一、拉伸与压缩时的应用与特点
实验：
F
ac
a
c
F
b
d
bd
1.变形现象
横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线;
结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力 也相同。 2.平面假设
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保
持为平面，且仍垂直于轴线。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
材料力学第2章
第二章
轴向拉伸和压缩
1
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用于杆上的外力合力的作用线与直杆的轴线 重合时，杆的主要变形是纵向伸长或缩短，这类 构件称为拉杆或压杆。 如图 所示三 角架中的AC 杆为拉杆， BC杆为压杆 。
2
右图所示的桁架 中的杆也是主要 承受拉伸或压缩 变形的。
轴向拉力和轴向压力的 概念可由右图给出，上 图为轴向拉力；下图为 轴向压力。
若设BC段内立柱的单位长度自重为q2、横截面面 积为A2，则:
q2 γ A2 19kN/m 0.37m 0.37m 2.6kN/m
3
15
例题 2.2
(b)图：这是在集中荷载单 独作用下，柱的轴力图。图 中的负号表示轴力为压力。
(c)图：这是在自重荷载单 独作用下，柱的轴力图。即 在B处的轴力为:
①画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基 线； ②将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点； ③用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力； 画轴力图时，截面轴力一般先假设为正的，这样 ，计算结果是正的，则就表示为拉力，计算结果 是负的，就表示为压力。 ④按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基 线两侧，并在图上表示出数值和正负号。
7
例题 2.1
图a所示等直杆，求各段内截面上的轴力并作出 轴力图的轴力图。
8
例题 2.1
解: (1) 求约束反力
由平衡方程求出约束力 FR=10 kN。 (2)求各杆段截面轴力 杆件中AB段、BC段、CD段、DE段的轴力是不 同的。分别用四个横截面：1-1、2-2、3-3、4-4 ，截杆并取四个部分为研究对象。
25kN
(e)
20kNFxFra bibliotek 0 : FN 3 F3 F4 0
轴向拉伸和压缩
1
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用于杆上的外力合力的作用线与直杆的轴线 重合时，杆的主要变形是纵向伸长或缩短，这类 构件称为拉杆或压杆。 如图 所示三 角架中的AC 杆为拉杆， BC杆为压杆 。
2
右图所示的桁架 中的杆也是主要 承受拉伸或压缩 变形的。
轴向拉力和轴向压力的 概念可由右图给出，上 图为轴向拉力；下图为 轴向压力。
若设BC段内立柱的单位长度自重为q2、横截面面 积为A2，则:
q2 γ A2 19kN/m 0.37m 0.37m 2.6kN/m
3
15
例题 2.2
(b)图：这是在集中荷载单 独作用下，柱的轴力图。图 中的负号表示轴力为压力。
(c)图：这是在自重荷载单 独作用下，柱的轴力图。即 在B处的轴力为:
①画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基 线； ②将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点； ③用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力； 画轴力图时，截面轴力一般先假设为正的，这样 ，计算结果是正的，则就表示为拉力，计算结果 是负的，就表示为压力。 ④按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基 线两侧，并在图上表示出数值和正负号。
7
例题 2.1
图a所示等直杆，求各段内截面上的轴力并作出 轴力图的轴力图。
8
例题 2.1
解: (1) 求约束反力
由平衡方程求出约束力 FR=10 kN。 (2)求各杆段截面轴力 杆件中AB段、BC段、CD段、DE段的轴力是不 同的。分别用四个横截面：1-1、2-2、3-3、4-4 ，截杆并取四个部分为研究对象。
25kN
(e)
20kNFxFra bibliotek 0 : FN 3 F3 F4 0
材料力学第2章-拉压2
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
应用截面法，可以确定AD、 DEB、BC段杆横截面上的轴力 分别为：
FNAD＝－2FP＝ －120 kN； FNDE＝FNEB＝－FP＝ －60 kN； FNBC＝FP＝60 kN。
F
K
p
A
(a)
K
(b)
ΔF p ΔA
(1)应力定义在截面内的一点处； (2)应力是一个矢量。 正应力, 切应力
ΔF dF p lim Δ A 0 Δ A dA
单位：Pa (N/m2)， MPa (106 N/m2)
第二章 轴向拉伸和压缩 上节回顾 轴向拉伸和压缩杆件横截面上只有正应力。
A A ＝ cos
FP x＝ A
其中，x为杆横截面上的正应力; Aθ 为斜截面面积
第二章 轴向拉伸和压缩 上节回顾
＝ x cos
2
1 ＝ xsin 2 2
由于微元取得很小，上述微元斜面上的应力， 实际上就是过一点处不同方向面的应力。因此，当 论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方向面 上的应力。
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
绝对变形
弹性模量
FPl FN l Δl EA EA
当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要 先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形， 各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)：
FNi li Δ l i EAi
第二章 轴向拉伸和压缩
机械设计基础第2章拉伸与压缩
第一节 概述 第二节 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力 第三节 应力的概念 拉（压）杆横截面上的应力 第四节 拉（压）杆的变形
胡克定律
第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能 第六节 拉（压）杆的强度条件及其应用
概述
在静力学分析时，受力体是作为刚体来考虑的。
物体在载荷作用下应该有足够的强度、刚度和稳定
分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。
直接利用外力计算轴力的规则 杆件承受拉伸（或压缩）时，杆件任一横截面上的轴力等 于截面一侧（左侧或右侧）所有轴向外力的代数和。外力背 离截面时取正号，外力指向截面时取负号。
截面法、轴力与轴力图
例2 钢杆上端固定，下端自由，受力 如图所示。已知l = 2m，F = 4 kN, q = 2 kN/m，试画出杆件的轴力图。
解：（1）计算D端 支座反力。由整体受力 图建立平衡方程：
Fx 0
FD F1 F2 F3 0
FD F2 F3 F1 14kN
(2）分段计算轴力 将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分 别用FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设 为拉力，由平衡方程分别求得：
第三节 应力的概念 拉（压）杆横截面上的应力
m
取左段： F n F FN` FN F F
Σ FX = 0
FN – F = 0 FN = F 取右段：FN `= F
轴力（内力） FN 是一个代数量，其正负与它在空间的方向无关。 而与它对杆件的作用方向有关。规定：杆件受拉伸（轴力方向 离开截面）时为正，受压缩（轴力方向指向截面）为负。
＊轴力：由于外力的作用线与杆的轴线重 合，内力的作用线也必通过杆件的轴线并 与横截面垂直，故轴向拉伸或压缩时杆件 横截面上的内力称为轴力。
胡克定律
第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能 第六节 拉（压）杆的强度条件及其应用
概述
在静力学分析时，受力体是作为刚体来考虑的。
物体在载荷作用下应该有足够的强度、刚度和稳定
分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。
直接利用外力计算轴力的规则 杆件承受拉伸（或压缩）时，杆件任一横截面上的轴力等 于截面一侧（左侧或右侧）所有轴向外力的代数和。外力背 离截面时取正号，外力指向截面时取负号。
截面法、轴力与轴力图
例2 钢杆上端固定，下端自由，受力 如图所示。已知l = 2m，F = 4 kN, q = 2 kN/m，试画出杆件的轴力图。
解：（1）计算D端 支座反力。由整体受力 图建立平衡方程：
Fx 0
FD F1 F2 F3 0
FD F2 F3 F1 14kN
(2）分段计算轴力 将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分 别用FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设 为拉力，由平衡方程分别求得：
第三节 应力的概念 拉（压）杆横截面上的应力
m
取左段： F n F FN` FN F F
Σ FX = 0
FN – F = 0 FN = F 取右段：FN `= F
轴力（内力） FN 是一个代数量，其正负与它在空间的方向无关。 而与它对杆件的作用方向有关。规定：杆件受拉伸（轴力方向 离开截面）时为正，受压缩（轴力方向指向截面）为负。
＊轴力：由于外力的作用线与杆的轴线重 合，内力的作用线也必通过杆件的轴线并 与横截面垂直，故轴向拉伸或压缩时杆件 横截面上的内力称为轴力。
材料力学第五版第二章 1
第二章 轴向拉伸和压缩
例 一等直杆受力情况如（a）图所示。试作杆的轴力图。
解：1.先求约束力。
由平衡方程
∑F
x
=0
得：FRA = 20KN
第二章 轴向拉伸和压缩
2. 计算各段的轴力。 AB段： 得 BC段： 得 CD段： 得
∑F
x
=0
FN1 = FRA = 20KN
∑F
x
=0
FN 2 = −30KN
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的正应力：
σα = pα cosα = σ cos α
2
斜截面的切应力：
τα = pα sin α = σ cosα sin α =
σ
2
sin 2α
α正负的规定：以 x 轴为起点，逆时针转向者为正，反之为负。
第二章 轴向拉伸和压缩
α = 0o 时
σα = σα max = σ τα = 0
∑F
x
=0
− FN 3 = 40KN
第二章 轴向拉伸和压缩
3.绘制轴力图
第二章 轴向拉伸和压缩
应力﹒ §2-3 应力﹒拉（压）杆内的应力 通常情况下，受力构件不同截面上内力是不相同的， 通常情况下，受力构件不同截面上内力是不相同的， 就是在同一截面各个点上内力也是不相同的。例如， 就是在同一截面各个点上内力也是不相同的。例如，图中 吊架横梁各个横截面上的内力是不相同的； 吊架横梁各个横截面上的内力是不相同的；就 是过 A 、B 两点的同一个截面上，各点的内力 两点的同一个截面上， 大小也不相同， 两点上的内力最大。 大小也不相同， A 、B 两点上的内力最大。 可见，在研究构件强度时， 可见，在研究构件强度时，对构件内各 个点受力情况十分关心，要引入应力这个概 个点受力情况十分关心，要引入应力这个概 应力 念。
第2章 轴向拉伸与压缩
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
(5) 塑性材料承受动载荷的能力强，脆性材料承 受动荷载的能力很差，所以承受动载荷作用的构 件多由塑性材料制做。
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
对于脆性材料，当应力达到其强度极限σb 时， 构件会断裂而破坏；对于塑性材料，当应力达到 屈服极限σs时，将产生显著的塑性变形，常会 使构件不能正常工作。
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段__弹性极限σe BC:屈服阶段__屈服极限σs CD:强化阶段__强度极限σb DE:颈缩阶段
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段---弹性极限σe OA:线性阶段---比例极限σP
σ=Eε 胡克定律
E: 弹性模量 σe≈σP
伸长率
Fbs
Fbs
Fbs
实际挤压面
挤压应力：
2.8.2 挤压和挤压强度计算
smaxBiblioteka dFbs(a)
smax
(b)
t
(b)
ssj bs
(c) (c)
挤压面 计算挤压面积 =dt
两种材料的极限应力分别是？ 许用应力=？
2.6 拉压杆的变形
2.6 拉压杆的变形
例： 已知等截面直杆横截面面积A＝500mm2,弹性模量 E＝200GPa，试计算杆件总变形量。
6KN
8KN 5KN
3KN
1m
2m
1.5m
ΔL=？
2.8 拉压杆接头的计算
2.8 拉压杆接头的计算
2.8.1 剪切和剪切强度计算
(1) 多数塑性材料在弹性变形范围内，应力与应 变成正比关系，符合胡克定律；多数脆性材料在 拉伸或压缩时σ-ε图一开始就是一条微弯曲线， 即应力与应变不成正比关系，不符合胡克定律， 但由于σ-ε曲线的曲率较小，所以在应用上假设 它们成正比关系。
材料力学课件第2章拉伸、压缩-1
F
d
F
h
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
二、低碳钢试件的拉伸图(P - l图)
sF A
L L
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(s - 图)
e
d
c b a
(1) 低碳钢拉伸的弹性阶段(oa 段) 1、oa -- 比例段:
sp -- 比例极限
s
E
Etga
e
d
c b a
1.伸长率： 2.断面收缩率：
L1LL10000 AAA110000
3.脆性、塑性及相对性
以 500为界
s
s 0.2
0.2
s
s bL
四、无明显屈服现象的塑性材料
名义屈服应力： s 0.2 ，即此类材
料的失效应力。 %
五、铸铁拉伸时的机械性能
sｂL -- 铸铁拉伸强度极限（失效应力）
paF Aa aF Acosascosa斜截面上的应力：pa scosa
斜截面上的应力：pa scosa F
k
F
分解：
a
sapacosascos2a F
k
k
pa ap asin a sc o sasin a s 2sin2 a
a
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
d
F
h
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
二、低碳钢试件的拉伸图(P - l图)
sF A
L L
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(s - 图)
e
d
c b a
(1) 低碳钢拉伸的弹性阶段(oa 段) 1、oa -- 比例段:
sp -- 比例极限
s
E
Etga
e
d
c b a
1.伸长率： 2.断面收缩率：
L1LL10000 AAA110000
3.脆性、塑性及相对性
以 500为界
s
s 0.2
0.2
s
s bL
四、无明显屈服现象的塑性材料
名义屈服应力： s 0.2 ，即此类材
料的失效应力。 %
五、铸铁拉伸时的机械性能
sｂL -- 铸铁拉伸强度极限（失效应力）
paF Aa aF Acosascosa斜截面上的应力：pa scosa
斜截面上的应力：pa scosa F
k
F
分解：
a
sapacosascos2a F
k
k
pa ap asin a sc o sasin a s 2sin2 a
a
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
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(１)极限应力 1) 材料的强度遭到破坏时的应力称为极限应力。 2) 极限应力通过材料的力学性能试验测定。 3) 塑性材料的极限应力 s
4) 脆性材料的极限应力 b
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/三 拉压杆的强度条件 (２)安全系数n １) 对材料的极限应力打一个折扣,这个折扣通常用 一个大于１的系数来表达,这个系数称为安全系数。 ２) 为什么要引入安全系数 ①准确性 ②简化过程和计算方法的精确性 ③材料的均匀性 ④构件的重要性 ３) 安全系数的大致范围
F
F
F
FN=F
FN=F
F
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
2 求内力的方法—截面法 (3)应用截面法求内力时应注意：刚体模型适用的概念、 原理、方法,对变形固体的可用性与限制性。例如:力系 的等效与简化;平衡原理与平衡方法等。
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
2 求内力的方法—截面法 请判断下列 简化在什么情形 2 求内力的方法 — 截面法 下是正确的，什 么情形下是不正 确的：
1
10KN 10KN 1 6KN
2
3
6KN
2
3
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆的横截面上的内力 4 轴力图： 轴力与截面位置关系的图线称为轴力图.
1 F A 1 B 2
3F
2 2F C 4KN
9KN
3KN 2KN
F 2F
4KN 2KN 5KN
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆的横截面上的内力
F F 2F 2F
33 20MPa
20kN
二 拉压杆横截面及斜截面上的应力/例题
A
d
图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm， BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm， P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的 正应力。
FNAB sin 300 F
FNAB
300
C
B
FNAB cos 300 FNBC
(3)轴力的正负号规则
F
FN FN
F
拉力为正
FN
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
3 轴力及其符号规定
F
FN
FN
F
压力为负
FN
(4)轴力的单位: N(牛顿)
KN( 千牛顿)
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆的横截面上的内力
截面法求轴力例题1 20KN 1 2
20KN
40KN
20KN 20KN
2F
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆的横截面上的内力 图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370×370mm2， 砖砌体的容重γ =18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN， 试做此砖柱的轴力图。 F y 350 n n
F Ny
F
G Ay
50KN
F Ay FNy 0
FNy F Ay 50 2.46 y
圣维南原理:力作用于杆端的分布方式的不同，只影响杆 端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1~2个 杆的横向尺寸。
F
F
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力 3 拉(压)杆斜截面上的应力
F F
n
F
FN A
设一悬挂在墙上的弹簧秤，施加初拉 力将其钩在不变形的凸缘上。 若在弹簧的下端施加砝码，当所加砝 码小于初拉力时，弹簧秤的读数将保 持不变；当所加砝码大于初拉力时， 则下端的钩子与凸缘脱开，弹簧秤的 读数将等于所加砝码的重量。 实际上，在所加砝码小于初拉力时， 钩子与凸缘间的作用力将随所加砝码 的重量而变化。凸缘对钩子的反作用 力与砝码重量之和，即等于弹簧秤所 受的初拉力。
一 拉压杆横截面上的内力 二 拉压杆横截面及斜截面上的应力
三 拉压杆的强度计算
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
1 内力的概念 (1)内力的本义: 变形固体内部各质点间本身所具有的
吸引力和排斥力。 (2) 材料力学研究的内力:
变形引起的物体内部附加力,简称内力。 (3) 内力特点: 内力不能是任意的,内力与变形有关。
FNAB 150MPa A
a
a
二 拉压杆横截面及斜截面上的应力/例题
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。 已知CD杆为φ 28的圆钢，BC杆为φ 22的圆钢。
D
以AB杆为研究对像 以CDE为研究对像 20kN
m m
A
0 FNAB 9 18 5 0 FNBC 10kN 0 FNCD 40kN
FN A
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力
(4) 实验验证
FN A
的适用条件:
① 只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。 ② 只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力
内力必经满足平衡条件
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
2 求内力的方法—截面法 (1)截面法的基本思想: 用假想的截面将物件截开,取任一部分为脱离体,用 静力平衡条件求出截面上内力。
F1 F3
F2
Fn 假想截面
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
2 求内力的方法—截面法 (2)截面法的步骤: 截开、取段、代力、平衡
α
X
FN 2 cos cos p cos A A
A cos
p
p sin
1 cos sin sin 2 2
σα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应力
二 拉压杆横截面及斜截面上的应力/3 拉压杆斜截面上的应力 讨论：
1) 00
max
0
2) 45
max
min
1 2 轴向拉压杆件的最大切应力发生在与
1 杆轴线成450截面上。 2
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横 截面上。
45
F
0
45
0
45
0
45
0
切应力互等定理
3) 900 90 0 90
F F
二 拉压杆横截面及斜截面上的应力/例题
长为b、内径d=200mm、壁厚δ =5mm的薄壁圆环，承受p=2MPa的内 压力作用，如图a所示。试求圆环径向截面上的拉应力。
d
d
b
P
P
二 拉压杆横截面及斜截面上的应力/例题
d
d
b
y
P
P
FR d
m m FN
d pbd FR 0 ( pb d ) sin 0 sind pbd 2 2
1 1
2 40KN
FN 1
FN 2
FN 1 0
1
FN 2 40kN
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆的横截面上的内力 截面法求轴力例题2
2F F 1 2F F 2
1
2F
2
2 F
2
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆的横截面上的内力 截面法求轴力课堂练习题1：
1 F
2
3
F
2
1
3
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆的横截面上的内力 截面法求轴力课堂练习题2：
2 拉压杆横截面上的应力 (2)作出假设:横截面在变形前后均保持为一平面——平面假设 横截面上每一点的轴向变形相等。
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力 (3)理论分析 横截面上应力为均匀分布，以表示。
F F F FN=F
F
A
根据静力平衡条件： FN dF d A A 即
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
2 求内力的方法—截面法 请判断下列 简化在什么情形 下是正确的，什 么情形下是不正 确的：
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/一 拉压杆横截面上的内力
3 轴力及其符号规定 (1)轴力— 轴向拉压杆的内力,其作用线与杆的轴线重合。
(2)轴力的符号用 FN 表示
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力 2 拉压杆横截面上的应力 研究方法： 实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
(1)实验观察
F
a a b b
c d
c d
F
变形前：
ab // cd
变形后： ab // cd // ab // cd
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力 F1
ΔFQy
DF
ΔA
Δ FN
1 应力的概念
ΔFQz
F2
全应力
p lim
DF DA
DA0
(3)全应力及应力分量
正应力 lim DFN dFN DA0
DA dA
剪应力 lim DA0
DFQ dFQ DA dA
Ⅱ拉(压)杆的强度计算/二 拉压杆横截面及斜截面上的应力 1 应力的概念 (4) 应力的单位 应力是一向量，其量纲是[力]/[长度]²。应力的国际单 位为牛顿/米²，称为帕斯卡，简称帕(Pa). 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa＝1N/mm2 1GPa=109Pa
材 料 力 学
讲授:顾志荣
材料力学
第二章 拉伸与压缩