第二章拉伸压缩、剪切

结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同.
26
(Axial tension & Compression, Shear)
2. 作出假设
1）平面假设：变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持
为平面,且仍垂直于轴线。
2）各纵向纤维的伸长相同 3.内力的分布（理论分析）
均匀分布
F
FN
F 根据静力平衡条件： N
(Axial tension & Compression, Shear)
第二章 轴向拉伸和压缩
§2–1 轴向拉压的概念及实例 §2–2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 §2–3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 §2-4 材料拉伸时的力学性能 §2-5 材料压缩时的力学性能 §2-7 失效、安全因素和强度计算 §2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
0
2
sin 2
127.4 sin 60 55.2MPa 2
39
(Axial tension & Compression, Shear)
m
m FN
m
F
10
(Axial tension & Compression, Shear)
2.轴力符号的规定
F
F
m
（1）若轴力的指向背离截面，
则规定为正的，称为拉力
F
m FN
m
（2）若轴力的指向指向截面，
则规定为负的，称为压力
m FN
F
m
11
(Axial tension & Compression, Shear)
A 600 10
B 300 C 500 50
+
D 400
20
+
E
FN1=10kN （拉力） FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力） FN4=20kN （拉力）
5
FNmax 50(kN) 发生在BC段内任一横截面上
19
(Axial tension & Compression, Shear)
讨论
p cos cos2
p
sin
2
sin 2
（1）当 = 0° 时， max
（2）当 = 45°时，
max
2
F
（3）当 = -45° 时，
min
2
（4）当 = 90°时， 0, 0
n
k
x
k
38
(Axial tension & Compression, Shear)
例 ：直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。
解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
0
P A
4 10000 3.14 102
127.4MPa
max 0 / 2 127.4 / 2 63.7MPa
0 cos2 127.4 cos2 30 95.5MPa
几道课堂练习：
2.请求出下图AB、BC杆的轴力。
d A
300
B
C
a
F
23
(Axial tension & Compression, Shear)
问题提出：求内力画轴力图虽然能确定出危险截面位置， 但并不能判断构件是否具有足够的强度。
F
F
F
F
两杆内力大小相同但是截面小的杆更容易拉断。即杆 的强度（抗破坏能力）不仅与轴力的大小有关，还与横 截面的面积有关。故用应力来衡量材料的强度。
§2-1 轴向拉压的概念及实例
一、工程实例
4
(Axial tension & Compression, Shear)
5
(Axial tension & Compression, Shear) 二、受力特点
外力的合力作用线与杆的轴线重合
三、变形特点
沿轴向伸长或缩短
四、计算简图
P
PP
轴向拉伸，对应的力称为拉力。 轴向压缩，对应的力称为压力。
FRA
A
40kN B
1
55kN 25kN
C
D
20kN E
FRA
FN1
FN1 FRA 0
FN1 FRA 10(kN ) ( )
15
(Axial tension & Compression, Shear)
求BC段内的轴力 FRA
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
D
E
2
FRA
40kN
FN2
2
(Axial tension & Compression, Shear)
§2–9 轴向拉压时的应变能 §2–10 拉伸、压缩超静定问题 §2–11 温度应力和装配应力 §2-12 应力集中的概念 §2-13 剪切和挤压的实用计算
3
(Axial tension & Compression, Shear)
课堂测验：
请画出下图所示 杆的轴力图。
8kN
5kN
3kN
21
(Axial tension & Compression, Shear)
几道课堂练习：
1.请画出下图所示 杆的轴力图。
1
2
10KN
10KN
6KN
3 6KN
1
2
3
2.请求出下图各杆的轴力。
22
(Axial tension & Compression, Shear)
20kN
17
(Axial tension & Compression, Shear)
求DE段内的轴力
FRA
40kN
55kN 25kN
20kN
4
FN4 20(kN) ( )
FN4
20kN
18
(Axial tension & Compression, Shear)
40kN
55kN 25kN
20kN
F
FN = F m
式中：FN 为杆件任一横截
面 m-m上的内力.与杆的轴线
重合，即垂直于横截面并通过 F
其形心,称为轴力
m FN
m
9
(Axial tension & Compression, Shear)
m
若取 右侧为研究对
F
F
象，则在截开面上的轴
m
力与部分左侧上的轴力 F
数值相等而指向相反.
m FN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
杆的轴力图。
q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力为：
O x
O x
q
q(x)
FNx
x
FN
qL
FN
(x)
x
0
k
xdx
1 2
k
x2
–
k L2
FN
( x)m ax
1 2
k L2
2
20
(Axial tension & Compression, Shear)
解: 求支座反力
Fx 0 FRA 40 55 25 20 0
FRA 10kN
40kN
55kN 25kN
20kN
A 600
B
C 300
500
D 400 E
FRA
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
D
E
14
(Axial tension & Compression, Shear)
求AB段内的轴力
6
(Axial tension & Compression, Shear) §2–2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 一、求内力
m F
F m
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,欲求杆件 横截面 m-m 上的内力.
7
(Axial tension & Compression, Shear)
强度计算提供依据。
O
12
(Axial tension & Compression, Shear)
例题 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图.
40kN
55kN 25kN
20kN
A 600 B 300 C 500 D 400 E
13
(Axial tension & Compression, Shear)
dF d A A A
即正应力公式： FN
A
27
(Axial tension & Compression, Shear)
正应力公式
FN
A
式中, FN 为轴力,A 为杆的横截面面积, 的符号与轴力
FN 的符号相同. 当轴力为正号时（拉伸）,正应力也为正号,称为拉应力;
当轴力为负号时（压缩）,正应力也为负号,称为压应力 . 短柱压缩有着相同的应力分布情况，故上式适合拉压变形。28
4.8MPa
FNAB
300
B
FNBC a
F
35
(Axial tension & Compression, Shear)
§2–3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
1. 斜截面上的应力
n
F
FF
αX
FN
A
p
A
pp
c
o
s
A
FNcoscos
A
cos2
p
sin
cos
s in
1
2
sin
2
——斜截面上的正应力；——斜截面上的切应力 36
如图所示.已知F = 50kN，
试求荷载引起的最大工作应力.
解：（1）作轴力图
FN1 F 50kN FN2 3F 150kN
F
A
FF
1
B
2
C
240 33
(Axial tension & Compression, Shear)
（2） 求应力
F
A
1
FN1 A1
50000 0.24 0.24
(Axial tension & Compression, Shear)
危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
max
max(
FN A
)
4. 实验验证：
离杆件受力区域稍远处的轴向拉压杆件的横截面应力 均匀分布。
29
(Axial tension & Compression, Shear)
24
(Axial tension & Compression, Shear)
三、横截面上的正应力
研究方法：
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
ac
F
F
25
bd
(Axial tension & Compression, Shear)
1.变形现象（实验观察）
ac
F
a
c
F
b
d
bd
（1） 横向线ab和cd仍为直线,且仍然垂直于轴线; （2） ab和cd分别平行移至a'b'和c'd' , 且伸长量相等.
FN2 FRA 40 0
FN2 FRA 40 50(kN ) ( )
16
(Axial tension & Compression, Shear)
求CD段内的轴力
FRA
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
3
20kN E
FN3 25 20 0 FN3 5(kN ) ( )
FN3 25kN
(Axial tension & Compression, Shear)
2.符号的规定 （1）α角
k
F
F
逆时针时 为正号
自 x 转向 n
顺时针时 为负号
拉伸为正
F
（2）正应力 压缩为负
k
n k
x
k pα
（3）切应力 对研究对象任一点取矩 顺时针为正 逆时针为负
pα
37
(Axial tension & Compression, Shear)
例题3图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm， BC杆为正方形截面杆， 其边长a=60mm， P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的正应力。
解：（1）求轴力
FNAB sin 3 0 0 F
A
d
FNAB cos 300 FNBC
（2） 求应力
AB
FNAB AAB
28.3MPa
C
BC
FNBC ABC
1.截面法
（1）截开
m
在求内力的截面m-m
F
F
处，假想地将杆截为两部分. m
Baidu Nhomakorabea
（2）代替 取左部分部分作为研 F
究对象.弃去部分对研究对
象的作用以截开面上的内
力代替，合力为FN .
m FN
m
8
(Axial tension & Compression, Shear)
（3）平衡
m
对研究对象列平衡方程 F
FF
1
B
0.87 106 N/m2 0.87MPa
2
2
FN 2 A2
150000 0.37 0.37
C
1.1 106 N/m2 1.1MPa
50kN 150kN
结论： max 在柱的下段，其
值为1.1MPa，是压应力.
34
240
(Axial tension & Compression, Shear)
二、轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线 的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截面位 置关系的图线,称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧,负的画在x 轴下侧.
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值
FN
及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为
5. Saint-Venant原理：
离开载荷作用处略远距离，应力分布与大小不受外载荷作 用方式的影响。
力作用于杆端的分布方式的不同，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1~2个杆的横向尺寸。
P
a
c
30
(Axial tension & Compression, Shear)
31
(Axial tension & Compression, Shear)
例题1： 等直杆受力如图，截面面积为1m2 ，求各段的应力。
解：① 画轴力图
8kN 5kN
AB
3kN
C
②应力：
5kN +
AB段： FN 5103 Pa
A
BC段： FN 3103 Pa
A
– 3kN
32
(Axial tension & Compression, Shear)
例题2 一横截面为正方形的砖柱分上、下 两段,其受力情况,各段长度及横截面面积