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d e 2 K P sin e K P cos e d e 1 1
e
上式称为采用理想积分滤波器的二阶环路的相轨迹方程。
（2）相平面图上相轨迹的特点
相平面图
当 e 很大时，上式右端第二项可以略去，相轨迹近似为 正弦形。

d e 2 K P sin e K P cos e d e 1 1
分析方法主要采用相平面图法
这是一种求解非线性微分方程的图解法， 适用于一阶和二阶环路。
在组成环路的各部件中，仅考虑鉴相器非线性特性。 并假定其特性为正弦函数。
▼
仅讨论一阶环路和采用理想积分滤波器的二阶环路 的捕捉特性。
▼
7.4.2 一阶环路的非线性分析
d e (t ) d1 (t ) K P H F ( p) sin e (t ) 0 dt dt
笫7章
锁相环路
7.1 概 述 7.2 PLL基本原理 7.3 PLL的线性分析 7.4 PLL的非线性分析 7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法 7.4.2 一阶环路的非线性分析 7.4.3 二阶环路的非线性分析 7.5 集成锁相环介绍 7.6 PLL电路实例与应用举例
7.4 PLL的非线性分析 7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
已知： K 3 106 rad / s.V , K d 4V
1 H F ( s) 1 s ( RC 10 4 S )
返回
K P 12 106 rad / s
闭环传递函数： H ( s) 2 ( s) K p H F ( s ) c 1 ( s ) s K p H F ( s ) 令： H c ( j)
（1）研究的问题：捕捉特性和同步特性等。 捕捉特性指环路进入锁定状态的条件、过程及所需的时间等。
▼
条件：当输入信号刚刚加到PLL输入端时，有起始频差：
i 0 o 0 若 超过某个数值 p ，环路将不能进入锁定状态， 称 p 为PLL的捕捉频带。
过程：环路进入锁定状态的过程，一般有两个过程： 频率牵引和相位锁定。
7.4.3 *二阶环路的非线性分析 （1）相轨迹方程
用相图法分析二阶环路较一阶环路复杂，下面以含理想积分 滤波器二阶环路为例说明其原理。
d e (t ) d1 (t ) K P H F ( p) sin( e (t )) 0 dt dt
s 2 1 H F ( s) s 1
e 0 K p sin e
式中 0 i 0 o 0 。该式表示的是误差相位 e 值 不同时，其时间变化率是怎样的。所以，尽管式中没有表 示误差相位是怎样随时间变化的，但却完全可以描述反馈 控制过程中，误差相位的变化情况。

以

e
为横坐标，
e
为纵坐标。据上式可画出
e

～
e
的曲线，如下图所示，称其为相平面图。
e
返回1
Kp
0
0
a
b
返回2
返回3
0


2

3 2
2

c
e
一阶环路的相平面图
7.4.2 一阶环路的非线性分析（续3）
（1）相平面图的特点：
相平面图
曲线上的任何一点都表示系统的一个状态，称曲线上的点 为状态点，称曲线为相轨迹。 相轨迹上状态点的运动方向：在横轴的上方， > 0 ， e 表明误差相位的值将随时间的增加而增加。在横轴下方， < 0，表明误差相位的值随时间而减小。
1 (t ) (i 0 o0 )t i (t ) 0t i (t )
对于一阶PLL:
d e (t ) d1 (t ) K P sin e (t ) 0 dt dt
对于输入频率阶跃
0 时，一阶PLL能锁定。
d e (t ) K P sin e (t ) 0 dt
K01
2、环路带宽。
d
v
F10.0
C
P
v
举例 2：
7-9 某锁相环路采用图所示无源比例积分滤波器，滤波器的 参数为 1 1.25s, 2 10ms 。环路增益 K K d 5104 。 输入信号为 v (t ) V sin( t 0.5 sin t )(V )
p p
0 e () arcsin 2n , n 0,1,2,....... Kp
L P
若
0 K p
0 ，则可得近似式： e () Kp
它与一阶环路在输入信号为频率阶跃时的稳态相差是一致的。
捕捉时间
▼
Tp
相平面图
为计算捕捉时间，可以利用相 图求出与 t 的关系曲线， 然后求捕捉时间。 理论上环路达到稳定平 衡点的时间是无穷长。
▼ ▼
当输入信号频率变化超过某一边界值 H 后，压控振荡器 不再能跟踪它的变化，环路将失锁。通常称 H 为同步频带 或保持频带，它表示了环路的同步特性。 锁相环是一个非线性系统。但是，在锁定情况下的跟踪过程
▼
可以用线性系统近似处理。
(t )

6
(30 o )
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（续2）
进入曲线(2)后为相位锁定过程，它使两者之间的频率差减小 为零，而保持一固定的相差。

（2）相平面图上相轨迹的特点（续2） 返回1
e

返回2
1 4
Bd (t )
0
4 3
A
C
K d sin e ()
t
C



2
e
0

2

（2）相平面图上相轨迹的特点（续3）
有源比例积分滤波器（放大器增益有限）

e
在曲线与横轴的交点，a , b , c …点处， = 0 ， e 称为系统的平衡点。 称 a 和 C 点称为稳定平衡点，b 点为不稳定平衡点。 曲线与横轴相交的情况决定于

0
和
Kp
的值。
（2）一阶环路的非线性分析（相位锁定过程）
相平面图
当 0 K p 时，不论 e 起始为何值，环路总能达到 稳定平衡点。这就是说，只要满足 0 K p ，环路就能 进入锁定状态，所以一阶环路的捕捉带为 K 。 一阶环路的快捕带 L 等于捕捉带。所谓快捕带是指环路 在锁定过程中，误差相位的变化不超过2 的最大起始频差。 稳定平衡点的表示式为：
7.4.2 一阶环路的非线性分析（续1）
一阶环路，其环路方程为：
d e (t ) K P sin e (t ) 0 dt
下面用图解法求解该非线性微分方程。
d e (t ) e ，以 e 为自变数， e 为因变数。 设 e (t ) e , dt
▼
▼
实际上， 当 e 小于某值时，认为达到稳态。
一阶环路的同步带
H 等于捕捉带 P
。
P L H
（3）一阶环路的非线性分析（频率牵引过程）（ 0 K p ） 当 0 K p时，其相图如图7.4.3所示 。 从图中可以看出，在这种情况下，没有 = 0的平衡点， e 当然，也就没有稳定平衡点。 因此，环路不能进入锁定状态，称其为失锁状态。
• 二阶环路的捕捉带为：
P 2 K Pn
• 二阶环路的快捕带为：
L 2 n
( ) / 2
2 3 n
• 环路的捕捉时间近似为： TP
举例 1：
7-8 已知某PLL的
K 3 106 rad / s.V , K d 4V / rad ，
环路滤波器采用RC低通滤波器，如图所示。其元件数值如 图所示。求 R 1、闭环传递函数；
e
值时，具有不同的
e

。
• 所以 e 的时间函数不是具有正斜率的直线。 鉴相器的输出信号是非正弦波形，且正、负值部分不对称， 因此其中存在着直流分量，这个直流分量的大小由下式确定：
2 VP K d [ ( ) 1] KP KP
这个直流分量使压控振荡器的振荡频率向输入信号的频率靠 近，这种现象称为“频率牵引”。
e

2 当 e = 0 时，相轨迹的斜率等于 K P 1 所有相轨迹曲线的斜率相等。
，即在 e 轴上，

相轨迹对呈周期性，周期为 。因此，为了描述环路性能， 只需作出 的图形即可。
2
e
（2）相平面图上相轨迹的特点（续1）
当 e = 0 和 平衡点。
0 i 0 o 0 5 10 3 rad / s
环路锁定后的稳态相差： e () sin ( ) 0.47rad KP 闭环传递函数： H ( s) 2 ( s) K p H F ( s) c 1 ( s ) s K p H F ( s )
失锁状态下 e 和
e
sin e
随时间变化的曲线
4 2
3

sin e
VP 0
0
t1
t 2 t3 t 4
t5
t 6 t 7 t8
t
t
7.4.2 一阶环路的非线性分析（续9）
一阶环路的频率牵引现象
V (t ) i



V
0
0
KP
0
K P 0

相平面图
e 2n （n为整数）时，对应于环路的稳定
当 e = 0 和 e (2n 1) （n为整数）时，对应于环路的 不稳定平衡点。
在起始频差 较大时，相轨迹近似于正弦波。 e 每变 e 化 2 ， 将有所下降，也即频差有所减小。从起始状态 e 到进入曲线(2)以前是频率牵引过程。