2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理二学案新人教B版必修5201802262344

1.1.1 正弦定理(二) 学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．知识点一 正弦定理的常见变形1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；2.asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝______； 3．a ＝__________，b ＝____________，c ＝__________；4．sin A ＝__________，sin B ＝________，sin C ＝__________.知识点二 判断三角形解的个数思考1 在△ABC 中，a ＝9，b ＝10，A ＝60°，判断三角形解的个数．梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一． 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可求得sin B ＝b sin A a.在由sin B 求B 时，如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一；如果a <b ，则有A <B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个．思考2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理 解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角．其中只有类型(3)解的个数不确定．知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考1 在△ABC中，已知a cos B＝b cos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．思考2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化？类型一判断三角形解的个数例1 在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，解三角形．引申探究若a＝3，b＝1，B＝120°，解三角形．反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1 已知一三角形中a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．类型二 利用正弦定理求最值或取值范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪训练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c b的取值范围．类型三 正弦定理与三角变换的综合例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b,2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．反思与感悟 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式． 跟踪训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，其中a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )A ．45° B．30° C．75° D．90°2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 3．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin B sin C的值．1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．答案精析问题导学知识点一1．a ∶b ∶c 2.2R3．2R sin A 2R sin B 2R sin C4.a 2R b 2R c2R知识点二 思考1 sin B ＝b a sin A ＝109×32＝539， 而32<539<1，所以当B 为锐角时， 满足sin B ＝539的角有60°<B <90°， 故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．思考2 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．知识点三思考1 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A ，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.思考2 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径．故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径．题型探究类型一 判断三角形解的个数例1 解 根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b ＞a ，∴B ＞A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.引申探究解 根据正弦定理，sin A ＝a sin B b＝3sin 120°1＝32＞1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，b sin A ＜a ＜b ，所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 因为b >a ，B >A ，B ∈(0°，180°)，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝4 3或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.类型二例2 解 ∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ，又∵A ∈(0，π2)，sin A ≠0，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C＝cos A ＋sin []π－ B ＋A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2.∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32， 即32<y <32.∴cos A ＋sin C 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.跟踪训练2 解 因为A ＋B ＋C ＝π， C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1，所以1<2cos B <2，又c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<cb <2.类型三例3 解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3，∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3.化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形．跟踪训练3 解 设方程的两根为x 1、x 2， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理，得sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．当堂训练1．C 2.B3．解 由条件得a c ＝sin Asin C ＝15，∴sin A ＝15sin C . 同理可得sin B ＝35sin C . ∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.。