2021版高考数学一轮复习《练案 (54)椭圆》

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2021年高考数学一轮复习 9.3椭圆

A组xx年模拟·基础题组1.(xx山西运城二模,9)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在的直线斜率为( )A. B.- C.2 D.-22.(xx河北衡水一模,8)已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )A.(-2,0)B.(0,1)C.(2,0)D.(0,1)或(0,-1)3.(xx内蒙古包头3月,10)椭圆+=1上有两个动点P、Q,E(3,0),EP⊥EQ,则·的最小值为( )A.6B.3-C.9D.12-64.(xx吉林长春外国语学校期中,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且短轴长为2,F1,F2是椭圆的左右两个焦点,若直线l过F2,且倾斜角为45°,l交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△ABF1的周长与面积.5.(xx北京东城一模,19)已知椭圆G:+=1(a>b>0)过点A和点B(0,-1).(1)求椭圆G的方程;(2)设过点P的直线l与椭圆G交于M,N两点,且|BM|=|BN|,求直线l的方程.B组xx年模拟·提升题组限时:40分钟1.(xx北京石景山一模,8)已知动点P(x,y)在椭圆C:+=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足||=1且·=0,则||的最小值为( )A. B.3 C. D.1(-c,0)、2.(xx辽宁沈阳二模,10)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为( )F2A.(0,-1)B.C. D.(-1,1)3.(xx广东广州执信中学期中,13)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点,B、C在椭圆上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆E的离心率等于.4.(xx北京东城二模,19)已知椭圆+=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.(1)求椭圆方程;(2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.5.(xx山东枣庄一模,20)已知焦点在y轴上的椭圆C1:+=1经过点A(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C1的方程;(2)抛物线C2:y=x2+h(x∈R)在点P处的切线与椭圆C1交于两点M、N,记线段MN与PA的中点分别为G、H,当GH与y轴平行时,求h的最小值.A组xx年模拟·基础题组1.B 设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,∴=-,∴所求斜率k==-.2.D 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|≤=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2,即P的坐标为(0,-1)或(0,1)时,取“=”.3.A 设P点坐标为(m,n),则+=1,所以|PE|===,因为-6≤m≤6,所以|PE|的最小值为.又·=·(-)=-·=||2,所以·的最小值为6.4.解析(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且短轴长为2,∴可得c2=1,a2=4,b2=3,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)设△ABF1的周长为d,则d=|AB|+|BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8.∵直线l过F2(1,0),且直线l的倾斜角为45°,∴l的方程为x-y-1=0.由消去x整理得7y2+6y-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1·y2=-,∴|y1-y2|==.设△ABF1的面积为S,则S=×2c×|y1-y2|=.∴△ABF1的周长与面积分别为8,.5.解析(1)因为椭圆G:+=1(a>b>0)过点A和点B(0,-1),所以b2=1,a2=3.所以椭圆G的方程为+y2=1.(2)显然直线l的斜率存在,且不为0.设直线l的方程为y=kx+.由消去y并整理得x2+3kx+=0,由题意知Δ=9k2-5>0,∴k2>.设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(xQ,yQ),则xQ ==-,yQ==.由|BM|=|BN|,知BQ⊥MN,所以=-,即=-.化简得k2=,满足k2>,所以k=±.因此直线l的方程为y=±x+.B组xx年模拟·提升题组1.A 由椭圆的方程知其右焦点F为(3,0),因为||=1,所以点M的轨迹是以F为圆心,1为半径的圆,由于·=0,所以MP⊥MF.在Rt△PMF中,||==,由于点P(x,y)在椭圆上,所以a-c≤|PF|≤a+c,即|PF|∈[2,8],所以||∈[,3].由此可知||的最小值为,故选A.2.D 根据正弦定理得=,所以由=可得=,即==e,所以|PF1|=e|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,则|PF2|=,又由题意知a-c<|PF2|<a+c,所以a-c<<a+c,即1-<<1+ ,所以1-e<<1+e,即又0<e<1,∴-1<e<1,选D.3.答案解析∵AO所在的直线与x轴重合,四边形OABC为平行四边形,∴BC∥OA,B、C 两点的纵坐标相等,又B、C在椭圆上,∴B、C的横坐标互为相反数,∴B、C两点关于y轴对称.∵OA=a,四边形OABC为平行四边形,所以BC=OA=a.可设B(y>0),则C,代入椭圆方程可得y=b,设D为椭圆的右顶点,因为∠OAB=30°,四边形OABC为平行四边形,所以∠COD=30°.∴tan 30°==,可得a=3b,根据a2=c2+b2得a2=c2+,∴e2=,∴e=,故答案为.4.解析(1)依题意有c=2,=.可得a2=6,b2=2.故椭圆方程为+=1.(5分)(2)由题意知直线l的方程为y=k(x-2).联立消去y并整理得(3k2+1)·x2-12k2x+12k2-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),故x1+x2=,x1x2=,则|AB|=|x1-x2|==.设AB的中点为M(x0,y),连结MP,可得x0=,y=-,直线MP的斜率为-,又xP=3,所以|MP|=·|x0-xP|=·.∵△ABP为正三角形,∴|MP|=|AB|,所以·=·,解得k=±1.故直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.(13分) 5.解析(1)由题意可得(2分)解得a=2,b=1,所以椭圆C1的方程为+x2=1.(4分)(2)设P(t,t2+h),由y=x2+h得y'=2x,故抛物线C2在点P处的切线斜率为k=y'|x=t=2t,所以直线MN的方程为y=2tx-t2+h,(5分)代入椭圆方程得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,化简得4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.又直线MN与椭圆C1有两个交点,故Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,①设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN中点的横坐标为x,则x==,(8分)设线段PA中点的横坐标为x3,则x3=,由已知得x0=x3,即=,②(10分)显然t≠0,所以h=-,③当t>0时,t+≥2,当且仅当t=1时取等号,此时h≤-3,不满足①式,故舍去;当t<0时,(-t)+≥2,当且仅当t=-1时取等号,此时h≥1,满足①式.综上,h的最小值为1.(12分)7]&34403 8663 虣30384 76B0 皰30469 7705 眅Q33148 817C 腼35742 8B9E 讞21539 5423 吣24664 6058 恘31893 7C95 粕]N22347 574B 坋。

2021届高考数学一轮基础过关训练45：椭圆

1．焦点在x 轴上的椭圆＋＝1(m>0)的焦距为4，则长轴长是( ) A ．3 B ．6 C ．2 5D. 5解析：选C.因为椭圆x 2m ＋y 21＝1(m >0)的焦点在x 轴上，所以m ＞1，则a 2＝m ，b 2＝1，所以c ＝a 2－b 2＝m －1，由题意可得2m －1＝4，即m ＝5.所以a ＝ 5.则椭圆的长轴长是2 5.故选C.2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.A ．4B ．6C ．8D ．124．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14B.34C.12D.32 解析：选B.由题可知点P 的横坐标是－c ，代入椭圆方程，有c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，化简得4c 2＋ac －3a 2＝0，即4e 2＋e －3＝0，解得e ＝34或e ＝－1(舍去)．5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.236．与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3，0)，C 2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案：x 225＋y 216＝17．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋（－4）2≥45，所以1≤b <2.又e ＝c a ＝1－b 2a2＝1－b 24，所以0<e ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤0，32 9．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2.(1)求△ABF 2的周长；(2)若AF 2⊥BF 2，求△ABF 2的面积．解：(1)因为F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2. 所以△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝4 2. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 2＋2y 2＝2，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，＝(my 1－2)(my 2－2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－m 2－1m 2＋2－2m ×2mm 2＋2＋4＝－m 2＋7m 2＋2＝0.所以m 2＝7.所以△ABF 2的面积S ＝12×|F 1F 2|×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝89.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .(1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22<e ≤32，求k 的取值范围．解：(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝2 3.又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，所以AF 2⊥BF 2.因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，即－a 2（a 2－9）（1＋k 2）a 2k 2＋（a 2－9）＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2.因为22<e ≤32，所以23≤a <32，12≤a 2<18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－24∪⎣⎡⎭⎫24，＋∞.。

2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第八章第五讲椭圆 Word版含解析

姓名，年级：时间：第五讲椭圆ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝｛M||MF1｜＋｜MF2|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a＞0,c＞0,且a、c为常数，则有如下结论：（1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；（2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;(3)若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2(a,0)B1(0，－b)，B2（0，b）A1（0,－a）,A2(0，a）B1(－b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为__2a__；错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的弦，A(x1，y1)，B（x2,y2）,弦中点M（x0，y0)，则（1)弦长l＝1＋k2｜x1－x2|＝错误!|y1－y2|;(2)直线AB的斜率k AB＝－b2xa2y．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．（多选题)下列结论正确的是（CD )A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆C．方程mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆D．错误!＋错误!＝1(a>b〉0)与错误!＋错误!＝1(a>b>0)的焦距相同题组二走进教材2．（必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于（ C )A．4 B．8 C．4或8 D．12［解析] 当焦点在x轴上时，10－m〉m－2〉0，10－m－（m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时,m－2〉10－m>0，m－2－(10－m）＝4,∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3)过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为（ A )A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三考题再现4．(2019·湖南郴州二模）已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为错误!，则椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1 ．[解析］∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c,∴a－c＝2错误!－2，∵离心率e＝错误!，∴错误!＝错误!，解得a＝2错误!，c＝2,则b2＝a2－c2＝4，∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1．5．(2018·课标全国Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( D )A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1[解析] 设｜PF2|＝x,则｜PF1|＝错误!x，|F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1｜＋｜PF｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2|＝2x,于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!2－1．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 （1)(2019·泉州模拟）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是( B ) A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点,A(1,1）是一定点．则|PA｜＋|PF｜的最大值和最小值分别为6＋错误!，6－错误!．（3）已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为33，则b＝__3__．[解析］（1）如图所示，由题知|PF1|＋｜PF2｜＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1（其中a>b〉0)．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO｜＝a（a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋｜PF1|＝6．∴｜PA｜＋|PF｜＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程错误!＋错误!＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0），∴|AF1|＝2．利用－｜AF1｜≤｜PA|－|PF1｜≤｜AF1｜（当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF|≤6＋错误!,|PA|＋｜PF｜≥6－错误!．故｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋错误!，最小值为6－错误!．(3）｜PF1|＋｜PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1｜2＋｜PF2|2－2|PF1｜｜PF2｜cos60°＝｜F1F2｜2,即（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1|｜PF2｜＝4c2，所以3|PF1｜｜PF2｜＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1｜｜PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!|PF1||PF2|sin60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3.故填3．名师点拨☞(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．（2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|｜PF2|;通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1）(2019·大庆模拟）已知点M（错误!，0），椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!)交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．(2)(2020·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4）,则｜PM|－|PF1｜的最小值为__－5__．[解析］(1)直线y＝k(x＋错误!)过定点N(－错误!，0）．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．(2）由题意可知F2(3,0)，由椭圆定义可知｜PF1|＝2a－｜PF2｜.∴｜PM|－｜PF1|＝｜PM|－(2a－|PF2｜)＝|PM|＋|PF2｜－2a≥|MF2｜－2a，当且仅当M,P，F三点共线时取得等号，又｜MF2|＝6－32＋4－02＝5，2a＝10，2∴｜PM｜－｜PF2｜≥5－10＝－5，即｜PM｜－|PF1｜的最小值为－5．考点二求椭圆的标准方程-—师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；(3)经过点P（－2错误!，1）,Q（错误!，－2）两点；（4)与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点（2,－错误!）．［解析] （1）若焦点在x轴上，设方程为x2a2＋错误!＝1(a>b〉0）．∵椭圆过点A（3,0），∴错误!＝1，∴a＝3。

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆(含答案解析)

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆
1．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3
2，已知点P(0，3
2
)到椭圆的最远
距离是√7，求椭圆的标准方程．
2．设b＞0，椭圆方程为x2
2b2+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2＝8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，
b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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2021版高考数学一轮复习第七章解析几何第5讲椭圆课时作业理

2021版高考数学一轮复习第七章解析几何第5讲椭圆课时作业理1．从椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.322．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．283．点P 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是( )A.57B.56C.45D.354．(2021年新课标Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 通过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.345．(2021年湖南常德模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，线段OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P ，设直线PA ，PB ，PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，若k 1·k 2＝－14，则k 3·k 4＝( )A.32 B ．－83 C ．－38 D ．－4 6．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________.7．(2021年江苏)如图X751，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图X7518．(2020年陕西)如图X752，椭圆E ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)通过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程； (2)通过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.图X7529．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范畴．第5讲椭圆1．C 解析：左焦点为F 1(－c,0)，PF 1⊥x 轴．当x ＝－c 时，c 2a 2＋y 2P b 2＝1⇒y 2P ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a2⇒y P ＝b 2a (负值不合题意，已舍去)，点P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 由斜率公式，得k AB ＝－b a ，k OP ＝－b 2ac.∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ⇒－b a ＝－b2ac ⇒b ＝c .∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c 2a 2＝12⇒e ＝c a ＝22.2．C 解析：方法一，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝2c2＝100，②①2－②，得|PF 1|·|PF 2|＝48.则12PF F S ＝12×48＝24.方法二，利用公式12PF F S ＝b 2tan θ2，得12PF F S＝b 2tan 90°2＝24×tan 45°＝24.故选C. 3．A 解析：设|PF 1|＝m ＜|PF 2|，则由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －m ，而|F 1F 2|＝2c .因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，因此2|PF 2|＝|PF 1|＋|F 1F 2|，即2(2a －m )＝m ＋2c .解得m ＝13(4a －2c )．即|PF 1|＝13(4a －2c )．因此|PF 2|＝2a －13(4a －2c )＝13(2a ＋2c )．又∠F 1PF 2＝90°，因此|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤134a －2c 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤132a ＋2c 2＝(2c )2.整理，得5a 2－2ac －7c 2＝0，解得a ＝75c 或a ＝－c (舍去)．故e ＝c a ＝57.4．A 解析：方法一，设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c.从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c(x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c . 同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c.∵2y N ＝y E ，∴2a ＋c ＝1a －c.∴a ＝3c .∴e＝c a ＝13.方法二，如图D133，设OE 的中点为N ，由题意知 |AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a .图D133∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋c a . 又|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c 2a. ∴a ＝3c .故e ＝c a ＝13.5．C 解析：设P (m ，n )，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由于线段OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P ，因此m ＝a 2.若k 1·k 2＝－14，则n －0a 2－－a ·n －0a2－a ＝－14.解得n ＝34a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，34a .代入椭圆方程，可得14＋316·a 2b 2＝1，即a ＝2b ，则c ＝a 2－b 2＝3b ，则k 3·k 4＝32b b －－3b·32b b －3b ＝341－3＝－38.6．2 120° 解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7.∴|F 1F 2|＝2 7.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－ 2 722×2×4＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.7.63 解析：由题意，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，FB →·FC →＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2＝0，即c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.8．(1)解：由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0. 由已知得Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0.则x 1＋x 2＝4k k －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2.9．解：(1)因为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距是4，因此焦点坐标是(0，－2)，(0,2)．则2a ＝2＋0＋2＋2＋22＝4 2.解得a ＝2 2.又由b 2＝a 2－c 2，得b ＝2.因此椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,2 2)，F (0，－2 2)．则OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设其方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0.则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2.因此OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8.因为0<202＋k 2≤10，因此－8<OE →·OF →≤2.因此OE →·OF →的取值范畴是(－8,2]．。

2021版新高考数学(文科)一轮复习集训52 椭圆及其性质

椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )A.72B.32C.3 D ．4 A [由题意知F 1(－3，0)，把x ＝－3，代入方程x 24＋y 2＝1得34＋y 2＝1，解得y ＝±12，则|PF 1|＝12，所以|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223C [不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.]3．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12C [由题意知，⎩⎨⎧10－m ＞0，m －2＞0，即2＜m ＜10.又2c ＝4，即c ＝2，则(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8，故选C.]4．(2019·呼和浩特模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是椭圆上的动点．若∠A 1P A 2的最大值可以取到120°，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.32D.63D [由题意知，当点P 在椭圆的短轴端点处时，∠A 1P A 2有最大值，则tan 60°＝a b ，即ab ＝ 3.所以e 2＝1－b 2a 2＝1－13＝23，即e ＝63，故选D.]5．△ABC 的周长是8，B (－1,0)，C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29＋y 28＝1(x ≠±3) B.x 29＋y 28＝1(x ≠0) C.x 24＋y 23＝1(y ≠0)D.x 23＋y 24＝1(y ≠0)A [由题意知|BC |＝2，|AB |＋|AC |＝6，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆且2a ＝6，c ＝1，则b 2＝8. 所以顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1(x ≠±3)．] 二、填空题6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为．y 216＋x24＝1[由题意知⎩⎨⎧c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝4，因此所求椭圆方程为y 216＋x 24＝1.]7．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是．2 [由题意知⎩⎨⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝22，则|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2，即PF 2⊥F 1F 2.∴S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|PF 2|＝12×22×1＝ 2.]8．椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是．(－3,0)或(3,0) [记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410， ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，m ＞0.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0， ∴m ＞m m ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3， c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1．(2019·哈尔滨模拟)设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则|AF |＋|BF |的值是( )A ．2B ．23C ．4D ．4 3C [设椭圆的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2.(图略)因为|OA |＝|OB |，|OF |＝|OF 2|，所以四边形AFBF 2是平行四边形，所以|BF |＝|AF 2|，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4.故选C.]2．(2019·衡水模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( )A.45B.23C.12D.25B [由题意知|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理可得 2R ＝|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2c sin π3＝433c ，即R ＝23c3.由余弦定理得4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－3|PF 1||PF 2|，∴|PF 1||PF 2|＝43(a 2－c 2)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin π3＝3(a 2－c 2)3.又S △F 1PF 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)r ＝(a ＋c )r ， ∴3(a 2－c 2)3＝(a ＋c )r ，∴r ＝3(a －c )3. 由R ＝4r 得23c 3＝43(a －c )3，∴c a ＝23，故选B.]3．(2019·揭阳模拟)已知椭圆的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，其在x 轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为．y 24＋x 22＝1 [设椭圆上、下两个焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A . 由题意知|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2 则所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.]4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N|，求a ，b . [解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.把点N (x 1，y 1)代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.1．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55A [由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋c ，b ＜b 2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)，a 2－c 2＜2c ，解得55＜e ＜35.]2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )．由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m )．直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |， S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021年高考数学一轮总复习第八章第3节椭圆练习

2021年高考数学一轮总复习第八章第3节椭圆练习一、选择题1．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对[解析]⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1. [答案] C2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ∶x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 [解析] 由 x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.[答案] A3．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1 [解析] 依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有c2a2＋2c2b2＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因为b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－22(3＋22舍去)，从而e＝2－1.[答案] D4．已知椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1→·MF2→＝0，则点M到y轴的距离为( )A.233B.263C.33D.3[解析] 法一由题意，得F1(－3，0)，F2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.法二由题可知b 2＝1，θ＝π2，c ＝3，代入焦点三角形的面积公式S ＝b 2tanθ2＝c |y P |可得，|y P |＝13，代入椭圆方程得|x P |＝263.[答案] B5．(xx·昆明一中检测) 已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点．若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →·FQ →取得最小值时，t 的值为( )A ．－10017B ．－5017C.5017D.10017[解析] 易知椭圆的左焦点F (－4,0)．根据对称性可设P (t ，y 0)，Q (t ，－y 0)，则FP →＝(t ＋4，y 0)，FQ →＝(t ＋4，－y 0)，所以FP →·FQ →＝(t ＋4，y 0)·(t ＋4，－y 0)＝(t ＋4)2－y 20.又因为y 20＝91－t 225＝9－925t 2，所以FP →·FQ →＝(t ＋4)2－y 20＝t 2＋8t ＋16－9＋925t 2＝3425t 2＋8t ＋7，所以当t ＝－5017时，FP →·FQ →取得最小值．故选B.[答案] B6．在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝0[解析] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y224＝1，①②由①－②，得x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0，因⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 216y 1＋y 2＝－14，所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0.[答案] A 二、填空题7．(xx·嘉兴模拟)已知椭圆x216＋y225＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是________．[解析] 依题意：F1(0，－3)，F2(0,3)．又因为3＜4，所以∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°，设P(x,3)，代入椭圆方程得：x＝±16 5，即点P到y轴的距离为16 5.[答案] 16 58．分别过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是________．[解析] 由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2上．又点P在椭圆内部，所以有c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以有c2＜a2－c2，即2c2＜a2，亦即：c2a2＜12，所以0＜ca＜22.⎝⎭9．如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．[解析] 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，F (a 2－b 2，0)．依题意，得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b a a 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2.所求方程是x 24＋y 22＝1.[答案]x 24＋y 22＝1 三、解答题10．(xx·莆田模拟)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解] (1)由题意可知点A (－6,0)，F (4,0) 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，且y ＞0，由已知得⎩⎨⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0.即2x 2＋9x －18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝532或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝0.(舍)∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532. (2)直线AP 的方程为x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，由题意可知|m ＋6|2＝|m －6|. 又－6≤m ≤6，∴m ＝2，∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15.∴当x ＝92时，d 取得最小值15.11．(xx·兰州模拟)已知椭圆方程为y 22＋x 2＝1，斜率为k (k ≠0)的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0，m )．(1)求m 的取值范围； (2)求△MPQ 面积的最大值．[解] (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y22＋x 2＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.设线段PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2＋2，2k 2＋2，由题意有k MN ·k ＝－1，可得m －2k 2＋2k k 2＋2·k ＝－1，可得m ＝1k 2＋2，又k ≠0，所以0＜m ＜12.(2)设椭圆的焦点为F ，则S △MPQ ＝12·|FM |·|x 1－x 2|＝2m1－m3，所以△MPQ 的面积为2m 1－m3⎝⎛⎭⎪⎫0＜m ＜12.设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2(1－4m )．可知f (m )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上递减．所以，当m ＝14时，f (m )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝27256.即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616.12．(xx·黄山模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．[解] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0.即2e 2＋e －1＝0，所以e ＝12或－1(舍)．(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组 ⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y ＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.精品文档实用文档因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.31680 7BC0 節- `+39186 9912 餒 21495 53F7 号Z23196 5A9C 媜s7。

全国通用近年高考数学一轮复习第八章解析几何课时作业五十四8.6.1椭圆的概念及其性质理(2021年

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十四8.6.1 椭圆的概念及其性质理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十四8.6.1 椭圆的概念及其性质理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业五十四椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2018·承德模拟）椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P,则｜PF2｜= （）A。

B.C。

D。

4【解析】选A。

D。

【解析】选A.由椭圆的定义可得4a=8⇒a=2，又因为c2=a2—b2=1⇒c=1，所以椭圆的离心率e==。

3。

（2018·亳州模拟）已知椭圆+=1(a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条直线(不与x轴垂直）与椭圆交于A,B两点，如果△ABF1恰好为以A为直角顶点的等腰直角三角形，该直线的斜率为（）A。

高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型

高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型下面是编辑教员整理的2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆几何概型，希望对您高考温习有所协助. 【变式训练1】 (1)(2021镇江调研)设函数f(x)=log2x，那么在区间(0,5)上随机取一个数x，f(x)2的概率为________.(2)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，假定在该圆周上随机取一点B，那么劣弧的长度小于1的概率为________. [解析] (1)由log2x2，从而02S2的概率是________.[解析] 由S12S2，AP2PB，即S12S2的概率为.[答案]2.设A为圆周上一点，在圆周上等能够地任取一点与A连结，那么弦长超越半径倍的概率是________.[解析] 如下图，作等腰直角三角形AOC和CAM，B为圆上任一点，那么当点B在上运动时，弦长|AB|R，P=.[答案]3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，那么△PBC的面积大于的概率是________.[解析] 如图，要使S△PBCS△ABC，只需PBAB.故所求概率为P==.[答案]4.在区间[0，]上随机取一个数x，那么事情sin x+cos x发作的概率为________.[解析] 由sin x+cos x1，得sin，由于0，那么，由几何概型概率公式得，所求概率P==.[答案]5.正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC[解析] 当点P究竟面ABC的距离小于时，VPABC由几何概型知，所求概率为P=1-3=.[答案]6.函数f(x)=log2x，x，在区间上任取一点x0，使f(x0)0的概率为________.[解析] 由f(x0)0，得log2x00，x01，因此使f(x0)0的区域为[1,2]，故所求概率为P==.[答案]7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，使四棱锥MABCD的体积小于的概率是________.[解析] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h，那么SABCD，又SABCD=1，h，即点M在正方体的下半局部，所求概率P==.[答案]8.(2021连云港清华园双语学校检测)假定在区间(-1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，那么直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为________.[解析] 直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足1，即4a3b，在平面直角坐标系aOb中，-13b的区域为图中ODCE 的外部，由E，可求得梯形ODCE的面积为，而矩形ABCD的面积为2，由几何概型可知，所求的概率为.[答案]二、解答题9.如图105所示，在单位圆O的某不时径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超越1的概率. [解] 弦长不超越1，即|OQ|.因Q点在直径AB上是随机的，记事情A={弦长超越1}.由几何概型的概率公式得P(A)==.弦长不超越1的概率为1-P(A)=1-.10.在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2+y2=1内的概率.[解] 如下图，不等式组表示的平面区域是△ABC的外部及其边界.又圆x2+y2=1的圆心(0,0)到x+y-=0与x-y+=0的距离均为1，直线x+y-=0与x-y+=0均与单位圆x2+y2=1相切，记点P落在x2+y2=1内为事情A，∵事情A发作时，所含区域面积S=，且S△ABC=2=2，故所求事情的概率P(A)==.[B级才干提升练]一、填空题1.(2021辽宁高考改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长区分等于线段AC，CB的长，那么该矩形面积小于32 cm2的概率为________.[解析] 设AC=x，CB=12-x，所以x(12-x)=32，解得x=4或x=8.所以P==.[答案]2.(2021盐城中学调研)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.[解析] 此题为几何概型，设D为正方形OABC的面积，d为到坐标原点距离大于2的面积，那么P====1-.[答案] 1-二、解答题3.向量a=(2,1)，b=(x，y).(1)假定x{-1,0,1,2}，y{-1,0,1}，求向量ab的概率;(2)假定x[-1,2]，y[-1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率.[解] (1)设ab为事情A，由ab, 得x=2y.基身手情空间为={(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，(2，-1)，(2,0)，(2,1)}，共包括12个基身手情;其中A={(0,0)，(2,1)}，包括2个基身手情.那么P(A)==，即向量ab的概率为.(2)由于x[-1,2]，y[-1,1]，那么满足条件的一切基身手情所构成的区域(如图)为矩形ABCD，面积为S1=32=6.设a，b的夹角是钝角为事情B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2x+y0，且x2y.事情B包括的基身手情所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2=2=2，那么P(B)===.即向量a，b的夹角是钝角的概率是.2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆几何概型曾经呈如今各位考生面前，希望同窗们仔细阅读学习，更多精彩尽在高考频道!。

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分52椭圆

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分52椭圆1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )A．2 3 B．6 C．4 3 D．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4 3.答案：C2．已知2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x2m＋y22＝1的离心率为( )A.22B．3C.22或 3 D.22或62解析：因为2，m,8构成一个等比数列，所以m2＝2×8＝16，即m＝±4.若m＝4，则圆锥曲线方程为x24＋y22＝1，此时为椭圆，其中a2＝4，b2＝2，c2＝4－2＝2，所以a＝2，c＝2，离心率为e＝ca＝22.若m＝－4，则圆锥曲线方程为y22－x24＝1，此时为双曲线，其中a 2＝2，b 2＝4，c 2＝4＋2＝6，所以a ＝2，c ＝6，离心率为e ＝c a ＝62＝ 3.所以选C. 答案：C3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1，显然m －2＞10－m ，即m ＞6且(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8.答案：D4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 答案：C5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.答案：B6．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是__________．解析：设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →＜0，即x 2－3＋y 2＜0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24＜0，34x 2＜2，∴x 2＜83.解得－263＜x ＜263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23. 答案：239．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．解析：∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°， ∴∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M . ∵|MF 1|＝c ，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a －c . ∵|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2.∴c 2＋(2a －c )2＝4c 2，即c 2＋2ac －2a 2＝0. ∴e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1. 答案：3－110．[xx·课标全国Ⅱ]设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12， ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.B 级能力提升练11．[xx·福建]设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2解析：设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2，点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D. 答案：D12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析：因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0，又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74＜2，即点(x 1，x 2)在x 2＋y 2＝2内．答案：A13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，解得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.14．[xx·天津]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解析：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，精品文档实用文档代入①得y 0＝c 3，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即|k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3|k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15.# 21402 539A 厚]25143 6237 户(20147 4EB3 亳N€39177 9909 餉h21486 53EE 叮28184 6E18 渘31309 7A4D 積23188 5A94 媔。

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-，所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时，此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1．故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤，则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径，所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立，所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =，故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即22a =，所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______．【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤，设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增，故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增，故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-，所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<，所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ．故答案为：2xy =-()22-<<x ．例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程；（2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ，又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ，故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-，故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-，代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =，所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△，所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==．综上，||||4PA PB ⋅=．【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

2021版新高考数学一轮复习讲义：第八章第五讲椭圆 (含解析)

第五讲椭圆ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为__2a__；短轴B1B2的长为__2b__焦距|F1F2|＝__2c__离心率e＝ca∈(0,1)a、b、c__c2＝a2－b2__重要结论1．a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径．3．若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． 4．e ＝1－b 2a2． 5．椭圆的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大，椭圆的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大．6．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆C ．方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆D ．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同题组二走进教材2．(必修2P 42T4)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( C )A ．4B ．8C ．4或8D ．12[解析] 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4．当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8． ∴m ＝4或8．3．(必修2P 68A 组T3)过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1题组三考题再现4．(2019·湖南郴州二模)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为 x 28＋y 24＝1 ．[解析] ∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a －c ， ∴a －c ＝22－2，∵离心率e ＝22， ∴c a ＝22，解得a ＝22，c ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1．5．(2018·课标全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( D )A ．1－32B ．2－ 3C ．3－12D ．3－1[解析] 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|F 1F 2|＝2x ，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)x,2c ＝|F 1F 2|＝2x ，于是离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝2x(1＋3)x＝3－1．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1)(2019·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，那么动点M 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值和最小值分别为 6＋2，6－2 ．(3)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°.若△PF 1F 2的面积为33，则b ＝__3__．[解析] (1)如图所示，由题知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，设椭圆方程：x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a >b >0)．连接MO ，由三角形的中位线可得：|F 1M |＋|MO |＝a (a >|F 1O |)，则M 的轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆．(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6．∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6．由椭圆方程x 29＋y 25＝1知c ＝9－5＝2，∴F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2．利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P 、A 、F 1共线时等号成立)． ∴|P A |＋|PF |≤6＋2，|P A |＋|PF |≥6－2．故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－2． (3)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2，即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.故填3．名师点拨 ☞(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1)(2019·大庆模拟)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为__8__．(2)(2020·河北衡水调研)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为__－5__．[解析] (1)直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)．而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8．(2)由题意可知F 2(3,0)，由椭圆定义可知|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10，∴|PM |－|PF 2|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5．考点二求椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．[解析] (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．。

2021年高考数学(江苏版)一轮配套课件：§15.1 椭圆 .ppt

1 4k2
2,
,
4kt 1 4k2
, 1
t 4k2
由已知OH=1可得t2= (1(4*k).2 )2
16k2 1
因为PQ2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2) 64k2t2 16(t2 1)(1 4k2 )
(1 4k2 )2
=(1+k2)16(1, t2 4k2 )
(4k2 1)2
4
则该椭圆的离心,0),F(-c,0).
∵PF⊥x轴,∴|PF|= b2 .
a
因为|PF|= 1 |AF|,所以b2 1=
4
a4
= c =3 .
a4
(a+c),即(3a-4c)(a+c)=0,∵a,c>0,∴3a-4c=0,∴e
答案 3
4
例3
(2015福建文改编,11,5分)已知椭圆E:
5
≥4b ,即b≥4 1,所以e2=
32 (4)2 5
≤ 3,
2
= c=2 a2≤ b2 ,又4 0<b2e<1,3所以0<e
a2
a2
44
即椭圆E的离心率的取值范围是0<e≤ 3.
2
答案 0<e≤ 3
2
方法 3 椭圆中的最值问题
解决椭圆中的最值问题主要运用数形结合、函数与方程两大数学思想,
具体方法有以下几种:
由OH=1可得PQ= 3,
此时S△POQ= 1 OH·PQ= 3 .
2
2
当PQ不垂直于x轴时,
设直线l的方程为y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
x

2021年高考数学一轮复习第二讲椭圆讲练理新人教A版

2021年高考数学一轮复习第二讲椭圆讲练理新人教A 版一、椭圆的定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数．(1)若2a ＞|F 1F 2|，则集合P 为椭圆； (2)若2a ＝|F 1F 2|，则集合P 为线段；(3)若2a ＜|F 1F 2|，则集合P 为空集．二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b －b ≤y ≤b －a ≤y ≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.基础自测1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 【答案】 D2．“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，应满足5－m ＞0，m ＋3＞0且5－m ≠m＋3，解之得－3＜m ＜5且m ≠1，∴“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．【答案】 B3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21【解析】若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 【答案】 C4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________．【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于c a ＝55，故a 2＝5c 2，b 2＝4c 2，椭圆方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，P (－5,4)在椭圆上代入解得c 2＝9，于是所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.【答案】x 245＋y236＝1 考点一椭圆的定义与标准方程例 [xx·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案：43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.方法与技巧 1.1求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法.2确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值.运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程.2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正余弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|整体代换.跟踪练习 (xx·大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 C考点二椭圆的几何性质例 (1)(xx·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知椭圆：x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2→|＋|AF 2→|的最大值为8，则b 的值是( )A ．2 2 B. 2 C. 3 D. 6【思路点拨】 (1)利用余弦定理确定AF ，进而判定△ABF 的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率．(2)因△AF 2B 的周长等于两个长轴长，欲使|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，只需|AB |最小，利用椭圆的性质可求得b 的值．【尝试解答】 (1)在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，有平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.(2)∵F 1、F 2为椭圆x 29＋y 2b2＝1的两个焦点，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6，|BF 1|＋|BF 2|＝6，△AF 2B 的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝12，当|AB |最小时，|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB |最小，此时|AB |＝2b23，故12－2b23＝8，∴b ＝ 6.【答案】 (1)B (2)D方法与技巧 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2.e 与a ，b 间的关系e 2＝c 2a 2 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.跟踪练习 (xx·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】3－1考点三直线与椭圆的位置关系例 [xx·江苏卷] 如图15所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．图15解：设椭圆的焦距为2c, 则 F 1(－c, 0), F 2(c, 0)．(1)因为B (0, b ), 所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0, b ), F 2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b ，所以点 A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2.因为直线 F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2，故e 2＝15，因此e ＝55. 方法与技巧直线与椭圆相交问题解题策略,当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据.跟踪练习已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【解】 (1)由题意得c a ＝22，c ＝2∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆c 的方程为：x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0∵Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜2 3∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 1＝x 0＋m ＝m 3∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，即m ＝±355.∵±355∈(－23，23)，∴所求m 的值为±355.25496 6398 掘9S33618 8352 荒 b29430 72F6 狶d29599 739F 玟` 30046 755E 畞936297 8DC9 跉#。

山东2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5.1椭圆及其几何性质学案含解析.doc

第五节椭圆课标要求考情分析1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题方向方向的热点．2．常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的能力．3．三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题，解答题为高档题.知识点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a<|F1F2|时，M点不存在．知识点二椭圆的标准方程和几何性质离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 2．小题热身(1)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( B ) A.13 B.33C.22D.12(2)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( D )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 (3)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223(4)若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是(3,4)∪(4,5)．(5)已知点M (－2,0)，N (2,0)，点P 是曲线C ：x 24＋y 2＝1(y ≠0)上的动点，直线PM 与PN的斜率之积为－14.解析：(1)由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(3)∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.(4)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5且k ≠4.(5)设P (x 0，y 0)，因为点P 在曲线C 上，所以x 204＋y 20＝1(y 0≠0)，y 20＝1－x 204，直线PM 与PN 的斜率之积为 y 0－0x 0＋2×y 0－0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14.第1课时椭圆及其几何性质考点一椭圆的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3(2)椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C ．16 3D ．32 3【解析】 (1)如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2..所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.(2)由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin60°＝1633.故选A.【答案】 (1)A (2)A 方法技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长和面积、弦长、最值、离心率等.通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.(2)椭圆的定义式|PF 1|＋|PF 2|＝2a 中必须强调2a >|F 1F 2|.1．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝3.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.解析：椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋2.考点二椭圆的标准方程命题方向1 定义法【例2】 (2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】方法1：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.方法2：设|F 2B |＝x (x >0)，则|AF 2|＝2x ，|AB |＝3x ，|BF 1|＝3x ，|AF 1|＝4a －(|AB |＋|BF 1|)＝4a －6x ，由椭圆的定义知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4x ，所以|AF 1|＝2x .在△BF 1F 2中，由余弦定理得|BF 1|2 ＝|BF 2|2＋|F 1F 2|2－2|F 2B |·|F 1F 2|cos ∠BF 2F 1，即9x 2＝x 2＋22－4x ·cos ∠BF 2F 1①，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－2|AF 2|·|F 1F 2|cos ∠AF 2F 1，即4x 2＝4x 2＋22＋8x ·cos ∠BF 2F 1②，由①②得x ＝32，所以2a ＝4x ＝23，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.【答案】 B命题方向2 待定系数法【例3】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为_______．(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________．【解析】 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.【答案】 (1)y 210＋x 26＝1 (2)x 28＋y 26＝1方法技巧(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．1．(方向1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由已知及椭圆的定义知4a ＝43，即a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，b 2＝2，所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(方向2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.考点三椭圆的几何性质命题方向1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例4】已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.【答案】 A命题方向2 椭圆的离心率【例5】设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22D.2＋1【解析】不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca＝2－1.故选A.【答案】 A命题方向3 最值或范围问题【例6】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程．(2)若△OAB 的顶点A ，B 在椭圆上，OA 所在的直线斜率为k 1，OB 所在的直线斜率为k 2，若k 1·k 2＝－b 2a2，求OA →·OB →的最大值．【解】 (1)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝22b ，4a 2＋2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1>0，x 2>0. 由k 1k 2＝－b 2a 2＝－12得k 2＝－12k 1(k 1≠0)，直线OA ，OB 的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 28＋y 24＝1，解得x 1＝221＋2k 21，同理，x 2＝221＋2k 22，所以x 2＝221＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12＝4|k 1|1＋2k 21. 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝12x 1x 2＝42|k 1|1＋2k 21＝421|k 1|＋2|k 1|≤4222＝2，当且仅当|k 1|＝22时，等号成立．所以OA →·OB →的最大值为2. 方法技巧1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围、离心率的范围等不等关系.1．(方向1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( D )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，即长轴长2a 的最小值为2 2.2．(方向2)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1的直线l 与椭圆的一个交点为M ，右焦点F 2关于直线l 的对称点为P ，若△F 1MP 为正三角形，且其面积为3，则该椭圆的离心率为( C )A.32B.22C.12D.33解析：设正△F 1MP 的边长为m ，则34m 2＝3，∴m ＝2. 又由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，又由题可知b ＝3，∴c ＝1，e ＝c a ＝12.故选C. 3．(方向2)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A ) A.55 B.105C.255D.2105 解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55，所以e 的最大值为55. 4．(方向3)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1→＋MF 2→|的最小值是( C )A ．4B ．6C ．8D ．10 解析：设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→＋MF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，|MF 1→＋MF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝4×25⎝⎛⎭⎫1－y 2016＋4y 20＝100－94y 20，因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16，所以当y 20＝16时，|MF 1→＋MF 2→|取最小值为8.。

北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆学案含解析

第5讲椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做01椭圆.这两定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做03焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若04a>c，则集合P表示椭圆；(2)若05a＝c，则集合P表示线段；(3)若06a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围07－a≤x≤08a09－b≤y≤10b11－b≤x≤12b13－a≤y≤14a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为152a；短轴B1B2的长为162b焦距|F1F2|＝172c焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率e＝18ca∈19(0,1)a，b，c的关系c2＝20a2－b21．椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． (4)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.2．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a.3．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.1．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9答案 B解析由4＝25－m 2(m >0 )⇒m ＝3，故选B ．2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 A解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1.∴1m＝2，∴m ＝14.3．(2019·北京高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案 B解析因为椭圆的离心率e ＝c a ＝12，所以a 2＝4c 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2.故选B ．4．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 29＋y 28＝1 答案 D解析依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝13，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8.故椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.5．(2019·西安模拟)已知点P (x 1，y 1)是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是其左、右焦点，当∠F 1PF 2最大时，△PF 1F 2的面积是( )A ．1633B ．12C ．16(2＋3)D ．16(2－3)答案 B解析 ∵椭圆的方程为x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3，∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，∠F 1PF 2最大，此时△PF 1F 2的面积S＝12×2×3×4＝12，故选B ． 6．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________. 答案 1解析方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k＝1.a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k－1＝2，解得k ＝1.核心考向突破考向一椭圆定义及其应用例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PA |＝|PM |＋|PN |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.答案 5解析由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3.∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|，|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．[即时训练] 1.(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．答案x 225＋y 216＝1 解析设动圆的半径为r ，圆心P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r ，所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|，即点P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.2．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于椭圆C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于椭圆C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.考向二椭圆的标准方程例2 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1答案 B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a . 又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________.答案x 29＋y 23＝1 解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c ，然后确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．解题步骤如下：定位置—根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上设方程—根据焦点位置，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1a >b >0或y 2a 2＋x 2b2＝1a >b >0；也可设整式形式的方程：mx 2＋ny 2＝1m >0，n >0，m ≠n寻关系—根据条件列出关于a ，b 或m ，n 的方程组得方程—解方程组，将相应值代入所设方程，写出标准方程[即时训练] 3.(2019·青岛模拟)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1答案 C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －32. ①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22. ②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C ．4．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.考向三椭圆的几何性质例3 (1)(2019·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．23C ．59D ．53答案 D解析设线段PF 1的中点为M ，另一个焦点为F 2，由题意知，|OM |＝b ，又OM 是△F 2PF 1的中位线，∴|OM |＝12|PF 2|＝b ，|PF 2|＝2b ，由椭圆的定义知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2b .又|MF 1|＝12|PF 1|＝12(2a －2b )＝a －b ，又|OF 1|＝c ，在直角三角形OMF 1中，由勾股定理得(a －b )2＋b 2＝c 2，又a 2－b 2＝c 2，可得2a ＝3b ，故有4a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)，由此可求得离心率e ＝c a ＝53，故选D ． (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac <0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 ∵c 2－b 2＋ac <0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac <0，即2c 2－a 2＋ac <0，∴2c 2a 2－1＋c a<0，即2e2＋e －1<0，解得－1<e <12.又0<e <1，∴0<e <12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1．求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a ，c 来求解，通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式关系．[即时训练] 5.(2019·辽宁大连二模)焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23答案 C解析由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C ．6．(2019·郑州市高三预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．2－ 3C ．5－2D ．6－ 3答案 D解析设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c2＝4×(2－2)2a 2＋4×(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝c a＝6－3，故选D ．精准设计考向，多角度探究突破考向四直线与椭圆的位置关系角度1 例4 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m <⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝ x 1－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22. 所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.角度2 切线问题例5 (2019·湖北优质高中联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知|AB |＝3|OF |，且△AOB 的面积为 2.(1)求椭圆的方程；(2)直线y ＝2上是否存在点M ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由|AB |＝3|OF |，△AOB 的面积为2，得 a 2＋b 2＝3c ，12ab ＝2，∴a ＝2，b ＝2，即椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设直线y ＝2上存在点M 满足题意，设M (m,2)，当m ＝±2时，从M 点所引的两切线不垂直．当m ≠±2时，设过点M 向椭圆所引的切线的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －m )＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ＋2，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (mk －2)x ＋2(mk －2)2－4＝0，∵Δ＝0，∴(m 2－4)k 2－4mk ＋2＝0，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝2m 2－4＝－1，∴m ＝±2，即点M 坐标为(2，2)或(－2，2)．角度3 弦长问题例6 (2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14× x 1＋x 22－4x 1x 2＝54－m2.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×54－m2＝m24－m2≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值2.(1)解决有关弦及弦中点问题常用方法是利用根与系数的关系和“点差法”．这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．(2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．(3)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则有|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率，k ≠0)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[即时训练] 7.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则椭圆上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( )A ．22B ． 2C ． 3D ．2答案 B解析由题意，得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)，则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1，令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x C ＝2x 2，又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1，所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2，即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B ．8．(2019·广西联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为4π3，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，线段AB 的中点为P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，0，求k 的值．解 (1)由题中条件，可得过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 43. 设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b －432＋c 2＝43.又因为b >1，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k3＋4k 2.因为P 为线段AB 的中点，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又因为直线PD 的斜率为－1k，所以直线PD 的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 令y ＝0，得x ＝k 23＋4k2，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 23＋4k 2，0，则k 23＋4k 2＝17，解得k ＝±1. 9．(2019·云南昆明模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23，得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k · －4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k2，y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k21＋2k 2，所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝4k21＋2k22＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.1．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析解法一：设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 20≤1，所以当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C ．解法二：由PF 1→＋PF 2→＝PO →＋OF 1→＋PO →＋OF 2→＝2PO →，所以|PF 1→＋PF 2→|＝2|P O →|＝2x 20＋y 20，因为点P 在椭圆上，所以x 20＋2y 20＝2，且0≤y 20≤1，则2x 20＋y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2，当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C ．2．已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2,0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.3．在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ，由点到直线的距离公式得d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋－32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3,2)．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有三种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练1．(2020·青海西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 A解析 ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C (0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|PA |＋|PB |＝4＋|PA |－|PC |≤4＋|AC |＝5，即|PA |＋|PB |的最大值为5.2．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2答案 D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，且－10≤x ≤10，－1≤y ≤1，则圆心(0，6)到点Q 的距离d ＝x 2＋y －62＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50，当y ＝－23时，d max ＝52，P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0,6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)，则|MQ |＝10cos 2θ＋sin θ－62＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D ．3．如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·PA→的最大值为________．答案 4解析设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.所以－2≤x0≤2，－3≤y0≤ 3.因为F(－1,0)，A(2,0)，PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，所以PF→·PA→＝x20－x0－2＋y20＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2.即当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.1、在最软入的时候，你会想起谁。