等腰三角形1
4第四讲 等腰三角形（1）
第四讲等腰三角形（1）（一）等腰三角形的概念1、等腰三角形的腰或底已明确例1、若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A、21cmB、18cmC、18cm或21cmD、13cm或26cm练习：若等腰三角形的底边长是5cm，腰长是6cm，则这个等腰三角形的周长是 .2、等腰三角形的腰或底没明确例2、（1）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长为；（2）已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则其他两边长为.例3、如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为.练习：（1）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于2，则它的周长为；（2）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则其他两边长为 .（二）等腰三角形的性质1、等腰三角形“等边对等角”性质的应用例4、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A、200 B、1200 C、200或1200 D、360例5、如图，在△ABC中，D，E为BC边上的点，BD=AD，AE=EC，∠ADE=800，∠AED=660.求△ABC各内角的度数.例6、等腰三角形一腰上的高与一腰的夹角为200，求等腰三角形的底角的度数.练习：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线.试判断AE与BC的位置关系.2、等腰三角形“三线合一”性质的应用例7、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F. 求证：DE=DF.练习：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=1300.求∠BAC的度数.3、等腰三角形轴对称性质的应用例8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三点分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中影阴部分的面积是 .练习：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点O是AD的中点，若影阴部分的面积为8cm2，则△ABC的面积为 .（三）等腰三角形的判定1、判定等腰三角形的个数例11、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=360，D，E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD.则图中的等腰三角形一共有（）个A、3B、4C、5D、62、等腰三角形判定方法的应用例12、在一次数学课上，王老师在黑板上画出了下图，并写出了四个等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE .要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.例13、如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线交于点F.求证：△ADF是等腰三角形.练习：如图，在△ABC中，∠BAC=900，AD是BC边上的高，BE是角平分线，AD、BE相交于点F. 求证：△AEF是等腰三角形.强化训练：1、已知一个等腰三角形的两个角分别为(2x-2)0,(3x-5)0，求这个等腰三角形各角的度数.2、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点P为AD延长线上一点，问：PB=PC成立吗？请说明理由.3、如图，在△ABC中，∠B=900，AD为角平分线，DE⊥AC，∠C=300，则图中有等腰三角形多少个？并指出来.4、如图，在△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，那么DE于DF 相等吗？请说明理由.5、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于点F. 求证：DF⊥BC.。
第1讲 等腰三角形
第1讲等腰三角形知识点1．等腰三角形⑴定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
⑵性质：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
③等腰三角形是轴对称图形。
⑶判定方法：①等腰三角形的定义；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
2．等边三角形（也叫正三角形）⑴定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
⑵性质：①等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°；②等边三角形是轴对称图形。
⑶判定方法：①等边三角形的定义；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3．等腰直角三角形⑴定义：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
⑵性质：等腰直角三角形的两个锐角都等于45°。
知识点2.线段的垂直平分线：⑴定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线。
⑵性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
⑶判定方法：线段的垂直平分线的定义；⑷重要规律：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等。
知识点3.角的平分线⑴性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
⑵判定方法：角平分线的定义；⑶重要规律：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，，它到三角形的三边的距离相等。
专题1—等腰三角形例1.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．变式练习1：（2012广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°B．75°C．45°或75°D．60°变式练习2：等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，则这个等腰三角形的顶角等于．变式练习3：已知等腰三角形的一个外角等于140°，那么这个等腰三角形的顶角等于．变式练习4：（2012广元）已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是:例2.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形变式练习1：性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分线变式练习2：等腰三角形的对称轴是．例3.（2012铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9变式练习1：（2012孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+变式练习2：（2012黄冈）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为________°.:例4.（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对变式练习1：（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_________。
等腰三角形
等腰三角形【要点梳理】要点一：等腰三角形★等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.等腰三角形“三线合一”的三个结论语言描述书写格式图示等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边∵ACAB=，AD平分∠BAC∴CDBD=，BCAD⊥等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角∵ACAB=，CDBD=∴BCAD⊥，AD平分∠BAC等腰三角形底边上的高平分底边且平分顶角∵ACAB=，BCAD⊥∴CDBD=，AD平分∠BAC要点二：等腰三角形的判定（等角对等边）★定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形.★判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.要点诠释：（1）在等腰三角形中顶角可为锐角或直角或钝角，但底角只能是锐角.（2）若等腰三角形的顶角为α，则底角为)180(21α-︒.【例1】如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，△1＝30°，求△2的度数.【变式1.1】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求△B的度数．【变式1.2】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【变式1.3】已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组⎩⎨⎧=+=-1321134baba．（1）求a 、b 的值．（2）求这个等腰三角形的周长．【变式1.4】若x ，y 满足0)6(32=-+-y x ，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ）A ． 12B ． 14C ． 15D ．12或15【变式】如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE =CF ，BD =CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当△A =40 °时，求△DEF 的度数．【练2.1】如图，DB =DC ，△ABD =△ACD ，试说明：AB =AC .【练2.1】Rt△ABC 中，△ACB =90 °，CD △AB ，垂足为D ．AF 平分△CAB ，交CD 于点E ，CB 于点F ，求证：CE =CF .【练2.1】如图，△ ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边的中点，F 为CA 的延长线上一点，过点F 作FG △BC 于G 点，并交AB 于E 点，试说明下列结论成立的理由：（1）AD △FG ；（2）△AEF是等腰三角形．要点三：等腰直角三角形及其性质★定义：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.★性质：等腰直角三角形是特殊的等腰三角形.等腰直角三角形的每一个底角都是45°.要点四：等边三角形的定义及其性质★定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形，也叫做正三角形.★性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.要点五：等边三角形的判定★定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.★判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.★含30°的直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【例2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分△ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．【变式2.1】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，△ABC＝60°，AD＝CE，求△BPD的度数.【变式2.2】△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，△AQN等于多少度？【变式2.3】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求△AFB的度数.典型例题题型一：等腰三角形的性质【练习1.1】如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【练习1.2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°【练习1.3】如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【练习1.4】已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A ．50°B ．80°C ．50°或80°D ．40°或65°【练习1.5】如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n ﹣1为顶点的底角度数是（ ）A ．（12）n •75°B ．（12）n ﹣1•65°C ．（12）n ﹣1•75°D ．（12）n •85° 【练习1.6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，△BAD ＝35°，则△C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°【练习1.7】如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB ＝AC ，△CAD ＝20°，则△ACE 的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．70°【练习1.8】如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°【练习1.9】如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°【练习1.10】已知实数x，y满足|x−4|+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【练习1.11】一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或17【练习1.12】如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD【练习1.13】如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为（度）．【练习1.14】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．【练习1.15】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．【练习1.16】如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是．【练习1.17】一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为cm．【练习1.18】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．【练习1.19】已知实数x，y满足|x−4|+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．【练习1.20】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝cm．【练习1.21】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．【练习1.22】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为．【练习1.13】如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为度．【练习1.24】已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．【练习1.25】等腰△ABC纸片（AB＝AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B 重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B＝度．【练习1.26】如图，△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE ＝16°，则∠B为度．【练习1.27】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC的度数为．【练习1.28】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．【练习1.29】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．【练习1.30】如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．【练习1.31】如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【练习1.32】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．【练习1.33】操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB 于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．题型二：等腰三角形的判定【练习2.1】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80°D．∠A＝40°，∠B＝80°【练习2.2】已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③【练习2.3】如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【练习2.4】在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【练习2.5】如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个【练习2.6】已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6【练习2.7】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2B．3C．4D．5【练习2.8】如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条【练习2.9】已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【练习2.10】已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【练习2.11】在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△P AB、△PBC、△P AC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【练习2.12】如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【练习2.13】在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【练习2.14】如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（）A．7个B．8个C．10个D．12个【练习2.15】如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【练习2.16】如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．【练习2.17】如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有个，写出其中一个点P的坐标是．【练习2.18】已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．【练习2.19】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有个．【练习2.20】在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为时，△ABC是等腰三角形．【练习2.21】如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ是等腰三角形．【练习2.22】在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝时，△ABC是等腰三角形．【练习2.23】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，则底边长为cm．【练习2.24】在△ABC中，∠A＝50°，当∠B的度数＝时，△ABC是等腰三角形．【练习2.25】如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM ＝60°，当∠OAP＝时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．【练习2.26】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若AD 为4cm，△ABC的周长为26cm，则△BCE的周长为cm．【练习2.27】如图，已知平面直角坐标系中有点A（3，0）和点B（0，﹣4），在x轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则C坐标为．【练习2.28】如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有个．【练习2.29】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的点P有个．【练习2.30】在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则满足条件的点P坐标是．【练习2.31】在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有个．【练习2.32】如图，平面直角坐标系内有一点A（2，﹣2），O是原点，P是x轴上一动点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P的坐标为．【练习2.33】如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）【练习2.34】已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．【练习2.35】已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA 的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．【练习2.36】如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．【练习2.37】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB 于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．【练习2.38】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD 交AC于点E．（1）求证：CB＝CE；（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．【练习2.39】如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．【练习2.40】如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．【练习2.41】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线，求证：△BCD是等腰三角形．题型三：等腰三角形的性质与判定【练习3.1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【练习3.2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7【练习3.3】已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（）A．5B．6C．7D．8【练习3.4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED 的周长为（）A．2B．3C．4D．5【练习3.5】如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC 的面积是（）A ．10B ．8C ．6D ．4【练习3.6】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM +CN ＝9，则线段MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【练习3.7】如图，△ABC 中，AB +BC ＝10，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 和E ，则△BCD 的周长是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．无法确定【练习3.8】如图，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，以下结论正确的有几个？（ ） ①△ABD ≌△ACD ；②AB ＝AC ；③∠B ＝∠C ；④AD 是△ABC 的角平分线．A ．1B ．2C ．3D ．4【练习3.9】如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则△AMN 的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．不确定【练习3.10】如图，AE 垂直于∠ABC 的平分线交于点D ，交BC 于点E ，BC CE 31 ，若△ABC 的面积为2，则△CDE 的面积为（ ）A ．31B ．61C ．81D ．101 【练习3.11】如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE ，AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【练习3.12】如图，BP 是∠ABC 的平分线，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，若△ABC 的面积为1cm 2，则△PBC 的面积为（ ）A ．0.4cm 2B ．0.5cm 2C ．0.6cm 2D ．不能确定 【练习3.13】如图，△ABC 的面积为8cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ．2cm 2B ．3cm 2C ．4cm 2D ．5cm 2【练习3.14】如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（ ）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【练习3.15】已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【练习3.16】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（）A．3B．4C．3.5D．2【练习3.17】如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（）个A．1B．2C．3D．4【练习3.18】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB 于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为．【练习3.19】如图，已知S△ABC＝8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝m2．【练习3.20】如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．【练习3.21】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．【练习3.22】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝．【练习3.23】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若△ABC的周长为15，BC＝6，则△AMN的周长为．【练习3.24】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+12∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）【练习3.25】如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是．【练习3.26】如图，CE平分∠ACB．且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝9，△CBD的周长为14，则DB的长为．【练习3.27】如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB＝60°，OC＝4，则PD＝．【练习3.28】如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是．【练习3.29】如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是（填序号）．【练习3.30】已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝°．【练习3.31】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是．【练习3.32】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【练习3.33】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【练习3.34】如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【练习3.35】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【练习3.36】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，题型四：等边三角形的性质【练习4.1】如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC ＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【练习4.2】如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．64【练习4.3】如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【练习 4.4】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°【练习4.5】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（）A．8B．16C．24D．32【练习4.6】如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为（ ）A ．2B ．2√3C ．√3D ．3【练习4.7】如图，P 为边长为2的等边三角形ABC 内任意一点，连接P A 、PB 、PC ，过P 点分别作BC 、AC 、AB 边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD +PE +PF 等于（ ）A ．√32B ．√3C ．2D ．2√3【练习4.8】等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A ．4√3B ．2√3C ．√3D ．3【练习4.9】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝60°，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．1.5【练习4.10】如图，AE ∥BD ，△ABC 为等边三角形，若∠CBD ＝15°，则∠EAC 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．55°D ．75°【练习4.11】如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n ＝ （用含n 的代数式表示）．所剪次数1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … a n【练习4.12】如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD ＝BE ；②PQ ∥AE ；③AP ＝BQ ；④DE ＝DP ；⑤∠AOB ＝60°． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）【练习4.13】如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2；…，以此类推，则S n ＝ ．（用含n 的式子表示）【练习4.14】三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝ °．【练习4.15】如图所示，已知：点A（0，0），B（√3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于．【练习4.16】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE ＝1，∠E＝30°，则BC＝．【练习4.17】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝．【练习4.18】如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，△B3C2B4面积为S3，则S n ＝．【练习4.19】如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．【练习4.20】如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝．【练习4.21】如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n﹣1BA n，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n，则S n＝．（n≥2，且n为整数）【练习4.22】如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为 ．【练习4.23】在平面直角坐标系中，A （0，3）、B （√3，0）、Q （0，72），C 是x 轴上一点，以AC 为边向右侧作正△ACD ，P 为AD 的中点．当C 从O 运动到B 点时，PQ 的最小值为 ．【练习4.24】如图，AD 是等边△ABC 的中线，E 是AC 上一点，且AD ＝AE ，则∠EDC ＝ °．【练习4.25】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．【练习4.26】一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ ．【练习4.27】如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线OM上，点B1、B2、B3、…在射线ON上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为．【练习4.28】如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【练习4.29】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．(1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；(2)如图2，若点D在AC的延长线上,(1)中的结论是否成立，请说明理由．【练习4.30】如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【练习4.31】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【练习4.32】如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF＝EF；（3）求△BDE的面积．【练习4.33】在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．【练习4.34】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．题型五：等边三角形的性质与判定【练习5.1】在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝60°，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不等边三角形【练习5.2】已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④【练习5.3】如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ周长是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a【练习5.4】下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【练习5.5】将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝（）。
等腰三角形(1)
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
∴设∠A=x0,则∠ABD=x0
∵∠BDC=∠A+∠ABD
∴∠BDC=2x0
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底 角的度数．
2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB＝AC，∠BAC ＝90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C， ∠BAD，∠DAC的度数．图中有哪些相等的线段？
3.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°． 求∠B和∠C的度数．
6.如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交 AC于点D．求∠DBC的度．
10.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分 ∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N， 且MN∥BC．求证：△AMN的周长等于AB＋AC．
∴ ∠B = ∠C ，
B
C
1.（2012?海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平 分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ______．
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为__7_5_°_ , 30°__； ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
课后思考
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
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几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
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知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
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证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
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知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
等腰三角形(一)
【知识要点】等腰三角形性质 （1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； （3）等腰三角形的是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线。
判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形；（3）中线、高、角平分线重合的三角形是等腰三角形。
【典型例题】 例1 如图1，已知等边三角形ABC 边BA 延长线上有一点D ，BC 延长线上有一点E ，且AD=BE ，求证：DC=DE 。
例2 已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5。
（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求出△ABC 的周长。
E 图1∠B ）。
例4 如图3，∠ABD=∠ACD=60，∠ADB=90°－12∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形。
【闯关练习】1．已知等腰三角形ABC 的底边BC=8，AC BC =3，则腰AC 的长为 。
2．若等腰三角形的周长为12，腰长为x ，则腰长x 的取值范围是 。
3．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为 。
4．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为 。
5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a,则其底边上的高是 。
6．如图4，已知等边△ABC 的周长为6，BD 是AC 边上的高，E 是BC 延长线上一点，CD=CE ，求△BDE 的周长。
F AB CM EP1 2 图2 D 图3【疯狂收获】【冲刺练习】1．如图6，△ABC 中，AB=AC ，D ，E ，F ，分别为AB ，BC ，CA 上的高，且BD=CE ，∠DEF=∠B 。
等腰三角形(1)
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠CAB 的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于 E，交AD于F，求证：CD=CF B
分析： CD=CF ∠1=∠2 ∠
1=∠B+∠ ∠1=∠B+∠BAD 2=∠3+∠ ∠2=∠3+∠DAC D
1 2 3
E F A
∠3=∠B ∠ ∠ACB =90°，CE是AC边上高 ° 是 边上高
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角” 等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
A
B
D
C
问题2、 ）、（4）、（ 问题 、结论（3）、（ ）、（ ）用一句话可以归纳为什么？ ）、（ ）、（5）用一句话可以归纳为什么？
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 等腰三角形的顶角平分线、 顶角平分线 和底边上的高互相 简称“三线合一” 和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
B
A
D
C
等腰三角形底边上 等腰三角形底边上 底边 的中线和高线、 的中线和高线、顶 的平分线互相重 角的平分线互相重 合。
例题1
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠ A=∠ABD（等边对等角）. 设 ∠ A=x, A=x,则 ∠BDC=∠ A+∠ABD=2x, 从而 : ∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC 中,有 ∠ A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得: x=36 ° B 在△ABC 中,∠A= 36 °, ∠ABC=∠C =72°.
结论:在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。 结论 在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。 在等腰三角形中 顶角+2 底角=180 +2× =180° ① 顶角+2×底角=180° 顶角=180 =180° ② 顶角=180°－2×底角 底角= 180° 顶角） ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④当已知任意一个内角时,则要分情况讨论 当已知任意一个内角时 则要分情况讨论
八年级上册数学-等腰三角形(一)数学思想与求角
第14讲 等腰三角形（一）数学思想与求角【板块一】 整体思想求角方法技巧1．和为定值时可用整体思想求解单角的度数；也可已知单角度数求角的和或差的度数． 2．在共顶点的双等腰三角形的图形中，关注隐含的三角形全等，运用全等导角． 3．当整体代换不明朗时，可以引入参数x ，y 进行代数运算，整体求值． 【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°，P 为△ABC 内一点，∠PBC ＝∠PCA ，求∠BPC 的度数．A【对练1】如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，∠FDE 的两边分别交直线AC ，BC 于点F ，E ，若AF ＝AD ，BD ＝BE ，∠FDE ＝30°，求∠ACB 的度数．ABF【例2】如图，△ABC 和△DEC 均为等边三角形，∠ADB ＝80°． （1）求证：△DAC ≌△EBC ； （2）求∠DBE 的度数．ACD【例3】如图，OA ＝OB ＝OC ，∠AOB ＝20°，∠BOC ＝2∠BAC ，求∠ACB 的度数．BOAC【例4】如图，∠ACD ＝∠BED ＝90°，AC ＝DC ，BE ＝DE ，点E 在AC 上，求∠CDE ＋∠EBA 的度数．BC AD【对练2】如图，∠ACD ＝∠BED ＝40°，AC ＝DC ，BE ＝DE ，点E 在AC 上，求∠CDE ＋∠EBA 的度数．A针对练习11．已知∠A ＝∠D ，AB ＝AC ，∠DBC ＋∠DCA ＝70°，则∠A 的度数．B AD2．如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠D ＝50°，∠OAD ＋∠OCD ＝2∠ABC ，求∠AOC 的度数．C 3．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，若∠DCA＝130°，求∠BDC的度数．ED4．如图，△ABC于△EDC均为等边三角形，且∠EBD＝70°，求∠AEB的度数．B【板块二】方程思想求角度方法技巧等腰三角形求角度问题主要有一个等腰三角形或多个等腰三角形接力型或共顶点型及镶嵌接力型等．复杂问题要寻找角度之间的联系，巧设未知数，根据几个角的和或两个角之间的关系列方程（组）求解，关注三角形的外角和内角的关系．【例5】如图，△ABC中，∠A＝∠ABC，DE垂直平分BC于点D，交AC于点E．（1）若AB＝5，AC＝8，求△ABE的周长；（2）若BE＝BA，求∠C的度数．BC【例6】如图，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，BD ＝AB ，E 为AD 延长线上一点，DC ＝CE ，AE ＝A C ．（1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AB ＝DE ＋E C ．CBA【例7】如图，∠MAN ＝16°，点A 1在AM 上，在AN 上任取一点A 2，使A 2A 1＝AA 1，再在AM 上取一点使A 3A 2＝A 2A 1，…，如此一直作下去，则不能再作为止．那么作出的最后一点是（ ）A 3A 1OMA ．A 5B ．A 6C ．A 7 DA 8 【例8】如图，在Rt △ACB ＝90°，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，交AB 于点D ，CD ＝DB ，点F 在CD 上，EF ＝E C ． （1）求证：△AEC ≌△BEF ；（2）若∠DFB ＝3∠DBF ，求∠DEB 的度数．CBA针对练习21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ，求∠EDC 的度数．CBA2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数．CB3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，点E 在AB 上，BD ＝BC ＝BE ，AE ＝ED ，求∠C 的度数．BC4．如图，一钢架中，∠A ＝15°，焊上等长的钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2，P 2P 3＝P 1P 2，…，则这样的钢条最多能焊上（ ）．P 3P 1A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条4．如图，△ABD 与△ACE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ． （1）求证：CD ＝BE ； （2）若∠ABE ＝15°，DC 与AB ，BE 分别交于点F ，点O ，DF ＝DB ，求∠BOD 的度数．DE6．如图，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CM ⊥CD ，点M 在AB 的垂直平分线上，AM 交BC 于点O ，MG ⊥AC 于点G ． （1）求证：∠BCM ＝∠GCM ； （2）若CG ＝2，求BC －AG 的长；（3）若点D 在BC 的垂直平分线上，求∠AMB 的度数．GMB【板块三】 分类讨论求角度方法技巧当等腰三角形的底与腰不明，顶角与底角不明，或是三角形的形状不明时，常需要分类讨论． 【例9】（1）等腰三角形两边分别为2，3时，求其周长； （2）等腰三角形两边分别为2，4时，求其周长．【例10】等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个三角形的底角的度数．【例11】平面直角坐标系中，已知A （3，3），B （0，5）．点C 为坐标轴上一点，且△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个 【例12】（2018绍兴）（1）等腰△ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数；（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC 中，设∠A ＝x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．【例13】如图1，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，BC 交DE 于点O ，设∠BAD ＝α． （1）求证：∠BOD ＝α； （2）求证：OA 平分∠BOE ；（3）如图2，设AC 与DE 交于点F ，若△AOF 是等腰三角形，∠C ＝30°，直接写出∠α的度数是 ．EBAEAB针对练习31．等腰三角形的两边长为5和6，则其周长为．2．等腰三角形的两边长为2和5，则其周长为．3．等腰三角形有一个角为50°．其底角为．4．等腰三角形有一个角为100°．其底角为．5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．60°或30°6．△ABC中，AB＝AC，AB垂直平分线与AC所在的直线所得的锐角为50°，则∠B的度数是．7．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）CBA ABCA．4B．5C．6D．79．如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知E是等边△ABC内一点，∠AEB＝100°，∠BEC＝α，以EC作等边△CEF，连接AF，当△AEF为等腰三角形时，试求α的度数．FAB C。
人教版《等腰三角形》ppt课件初中数学1
一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的 三个内角度数或三条边长,或找到角（边）所满足的重要数 量关系,然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法,进行 三角形形状的判断.
初中数学
知识运用
二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算
初中数学
例 如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AB
2、特殊的等腰三角形：等边三角形
本课小结
AE=ED=DB=BC
A
D
C
等腰三角形：△AED,△EDB,△BCD.
初中数学
初中数学
变式: 如图,在△ABC中,∠ABC=120°,点D，E分别在AC和
AB上,且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为x°,则用x的代数
式表示∠C为__3_x_°_,并求∠A=_1_5__°.
初中数学
例 已知三角形△ABC的三边长为a,b,c.
(4)当满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0时,则三角形的形状为 等边三角形 .
分析： ∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0; (a-b)²,(b-c)²,(c-a)²均具有非负性, ∴(a-b)²=0,且(b-c)²=0,且(c-a)²=0. ∴a=b 且 b=c 且 c=a. 根据等边三角形定义,得△ABC是等边三角形.
初中数学
初中数学
例 如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别
为D,E.若AB=8,则BD=____4_,BE=____2_.
分析：
等边三角形△ABC
AB=AC=BC=8 ∠BAC=∠B=∠C=60°
A
AD⊥BC AD: 三线合一
DE⊥AB ∠BED=∠AED=90°
等腰三角形(1)
9.3等腰三角形（1）
课题：等腰三角形
教学目标
1、理解等腰三角形的定义及等腰三角形的相关概念；（知识目标）
2、掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题；
教学重点
掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题。
教学难点
掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题。
教学过程
一）揭示教学目标（学习目标）
二）指导学生自学
自学提示
学生自学课本P82-P83的内容，思考下列问题：（5分钟）：
1、怎样的三角形称为等腰三角形？它有哪些相关概念？
2、等腰三角形有哪些相关的性质？你能用翻折纸的方法得出这些性质吗？
3、结合P83例一想一想，你能用“∵∴”的方法来写出这个题并说出每一步的根据吗？
三）学生练习
P84练习1、2、3
四）点拔、矫正、指导运用。
1、出示多媒体课件用折纸的方法得出等腰三角形“等边对等角”和等腰三角形“三线合一”的性质；
2、围绕自学提纲和学生练习情况进行矫正，培养学生动手能力和运用所学知识解决问题的能力。
五）课堂练习
p86习题1、2
六）课堂小结
由学生自己总结。
等腰三角形的性质(一)
等腰三角形的性质（一）等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
在等腰三角形中，两个边的长度相等，两个底角（与两个边相对的角）也相等。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两条边相等的那两边通常称为“腰”，而较短的那条边则称为“底”。
等腰三角形的底角通常也是相等的。
2. 等腰三角形的性质2.1 两边性质在等腰三角形中，两条腰的长度相等。
这意味着如果我们将等腰三角形的两条腰进行任意交换位置，得到的仍然是一个等腰三角形。
2.2 底角性质在等腰三角形中，两个底角的大小相等。
这也可以理解为等腰三角形的对称性，两个底角相互对应。
2.3 高的性质等腰三角形中的高是腰中线、腰高和底边的三边中最短的边。
高的长度可以通过应用勾股定理或使用三角函数来计算。
2.4 对称性质等腰三角形具有对称性。
如果我们绕等腰三角形的对称轴（通常为高线）旋转180度，等腰三角形将与原来的位置完全重叠。
2.5 直角三角形在等腰三角形中，如果两个底角之一为直角（90度），则这个等腰三角形也是一个直角三角形。
2.6 等边三角形等腰三角形中的特殊情况是等边三角形。
等边三角形即三边长度相等的三角形，也是一种等腰三角形。
3. 等腰三角形的应用等腰三角形在几何学中有广泛的应用。
下面列举一些等腰三角形的应用场景：•建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常用于设计房屋的屋顶或者侧面的装饰图案。
•地理测量：在地理测量中，等腰三角形可用于计算高度、距离和角度等参数。
•航海导航：在航海导航中，等腰三角形可用于计算经纬度、航向和航速等信息。
•数学证明：在数学证明中，等腰三角形的性质常用于推导其他几何定理或性质。
4. 总结等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
在等腰三角形中，两条边的长度相等，两个底角也相等。
等腰三角形的性质包括两边性质、底角性质、高的性质、对称性质、直角三角形和等边三角形等。
等腰三角形在几何学、建筑设计、地理测量、航海导航和数学证明等领域都有广泛的应用。
17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
七年级(下)数学 第13讲 等腰三角形一
等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．【例1】等腰三角形底边长为7cm，它的周长不大于25cm，则它的腰长x的取值范围是____________．【例2】【例3】（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______；（2）等腰三角形一腰上的高于底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________．等腰三角形一内容分析知识结构模块一：等腰三角形性质知识精讲例题解析2 / 15【例4】 已知：AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，那么∠A 的度数为________．【例5】 已知：在三角线ABC 中，D 是AC 上一点，且AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，连接DE ，则∠C 的度数为_________．【例6】 如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（）A ．30°或120°B ．120°或20°C ．30°或20°D ．以上都不正确【例7】 如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AD =BD ，如果∠DBC =15°，那么∠A （）A ．75°B ．37.5°C ．60°D ．以上都不对ABCDEABCDE ABCD【例8】等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2 厘米，则它的腰长为（）A．4厘米B．8厘米C．4厘米或8厘米D．不确定【例9】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，那么△ABC的最大外角为（）A．160°B．140°C．135°D．145°【例10】在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（）A．6个B．7个C．8个D．9个【例11】如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，求∠DAE的度数．AEBCD4 / 15【例12】 如图，在△ABC 中，AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，点E 为BC 边上的一点，EF ⊥AB ，垂足为F ，试说明∠ACD =∠BFE 的理由．【例13】 如图，AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC =∠ACB 的理由．【例14】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 上一点，EC ⊥BC ，EC =BD ， DF =EF ，说明AF ⊥DE 的理由．【例15】 等腰三角形的周长为30cm（1） 若腰长为xcm ，则x 的取值范围是____________cm ； （2） 若底边长为acm ，则a 的取值范围是____________．ABCD E FA B CD E 1 34 2A B CD EFA B CAB CABCEDF E DF DF图1图2图3【例16】 如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________．【例17】 如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．【例18】 已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC ，BC (或它们的延长线)于E 、F ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1)，易证：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．6 / 15如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．【例19】 下列说法中，不正确的是（）A ． 如果三角形ABC 是等腰三角形，那么∠B =∠C B ． 如果△ABC 中，∠B =∠A ，那么△ABC 是等腰三角形 C ． 如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形D ． 有两个角相等的三角形是等腰三角形【例20】 （1）在△ABC 中，如果AB =AC ，∠B =52°，那么∠A =__________；（2）在Rt △ABC 中，如果∠B =45°，那么△ABC 是___________三角形；（3）在△ABC 中，如果∠BCA =30°，∠ABC =50°，那么△ABC 是________三角形 （按角分类）．【例21】 已知AC =BC ，∠ACD =∠BCE ，试说明△CDE 是等腰三角形的理由．模块二：等腰三角形的判定知识精讲例题解析ABCDEED CABF 【例22】 如图：BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF =BE -CF 的理由．【例23】 如图，△ABC 中BA =BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•试说明△DBE 是等腰三角形．【例24】 △ABC 中，在（1）∠1=∠2；（2）AD ⊥BC ；（3）BD =CD ；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB =AC ?证明所有的可能．【例25】 如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点，且BD =CE ，∠DEF =∠B ，说明△DEF 是等腰三角形的理由．A BCDEFABCD1 2A BCDEF8 / 15【例26】 已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形．【例27】 （1）如图，在△ABC 中，已知∠A =36°，∠ABC =72°，CD 平分∠ACB ，交边AB 于点D ．图中那几个是的等腰三角形?为什么?（2）在第（1）小题中，如果再作DE ∥BC ，交边AC 于E ，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?【例28】 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，G 为EF 的中点， 说明AG ⊥EF 的理由．ABCD EFGAB CD120° 40°20° 120° 40°20°【例29】 如图，已知：D 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，DF ∥AC ，交BC 于点F ，如果BC =12cm ，求△DEF 的周长．【例30】 把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像如图所示的那样折叠，重合部分是△BDE ，求△ABE 的周长，并简单说明理由．【例31】 如图，在△ABC 中，∠ACB =45°，∠ABC =60°，AD 、CF 分别是BC 、AB 边上的高，且相交于点P ，∠ABC 的平分线BE 分别交AD 、CF 于点M 、N ，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由．ABCDEFP NM AB CDEC ,ABCDE F10 / 15【习题1】 在△ABC 中，已知AB =3，∠B =52°，如果AC =3，那么∠A =________．【习题2】 等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为__________．【习题3】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，且BD =BE ，∠A =84°，则∠DEC =___________．【习题4】 如图，△ABC 中AB =AC ，CD 平分∠BCA ，CE ⊥AB 于点E ，∠DCE =51°，则∠ACB =________．随堂检测A BCD EABCDE【习题5】 如图，在下列三角形中，若AB =AC ，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）【习题6】 （1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________；（2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 （1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________；（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________．【习题8】 如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥BD ，∠DAB =∠DBA ，又知AC =18，△CBD 的周长为28，求BC 的长．AB CDEABC D36°ABC10890°45°A BBBCCCA A12 / 15【习题9】 如图，已知：△ABC 中∠C 的平分线CD 交AB 于点D ，DE ∥BC 于点E ，若DE =3，AE =4，求AC 的长．【习题10】 如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠BAD =∠CAE ，CE =BD ．说明：（1）△ADE 也是等腰直角三角形；（2）BD ⊥CE 的理由．【作业1】 等腰三角形周长为13㎝，其中一边长为3㎝，则该等腰三角形的底边长为（ ）A ． 7cmB ．3 cmC ．7 cm 或3 cmD ．5 cm课后作业A BCDEFG ABC D E【作业2】已知等腰三角形的周长为24㎝，其中一边长为7㎝，则与它相邻的另一边长（）A．7 cm或10 cm B．8.5 cm或7 cmC．7 cm或10 cm或8.5 cm D．10 cm或8.5 cm.【作业3】在△ABC中，AB=AC．若∠A=50°，则∠B= ，∠C=_____ ；若∠B=45°，则∠A= ，∠C= ；若∠C=60°，则∠A= ，∠B= ；若∠A=∠B，则∠A= ，∠C= ．【作业4】等腰三角形中，AB的长是BC长2倍，三角形的周长是40，求AB的长．【作业5】已知下列语句：①有一个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等．②有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等．③腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等．④底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑤一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑥顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑦底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等．其中不能判断两个等腰三角形全等的方法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个14 / 15【作业6】 如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BC =BD =BE ，则图中等腰三角形共有_________个．【作业7】 如图，在△ABC 中，AB =AC=CE ，D 是BC 上一点，∠ABC =40°，E 是AC 上一点，AE =DE ．求∠EDC 的度数．【作业8】 如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，且MN ∥BC ，若AB =12，AC =18，求△AMN 的周长．【作业9】 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠ABC 的平分线交CD 于点E ，交AC 于点F ，问△CEF 是等腰三角形吗?请说明理由．ABCDE FABCOM NABCDEAB C D E【作业10】 如图，在△ABC 中， AB =AC ，E 在BA 延长线上，AE =AF ，求证：EF ⊥BC ．【作业11】 如图，已知：在△ABC 中，AB >AC ，BD 是∠ABC 的平分线且与∠ACB 的角平分线交于点D ，作ED ∥BC ，问线段EF 、BE 、CF 之间有怎样的数量关系?并说明理由．A BCDEF GA B CEF。
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形(一)-课件
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的高线AD，则
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 7_0_°__,_4_0_°__或____5_5_°__,5_5.°
A
B
D
C
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分
线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪
些相等的线段？
活动5:反馈练习
练习1:小试牛刀
等腰三角形的性质1-P
练习：
6、在△ABC中，已知CD为 ∠ACB的平分线，且∠A=40°， 则∠ACD等于 A
35°
D
B
C
1、等腰三角形的性质： 边：等腰三角形两腰相等。 角：等腰三角形两底角相等。 线段：三线合一
2、等边三角形的性质：
通过等腰三角形的性质 证明你想到了什么？
推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底 边并且垂直于底边.
A
符号语言：
∵AD平分∠ BAC（已知）
∴AD⊥BC，BD=DC
（…….）
BDC
等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合。
练习：
5、在△ABC中，已知AB=AC， D为AC上的一点，且 AD=BD=BC，那么∠A等于
提问：
等腰三角形的定义？
A
顶角
腰
腰
底角 B
底角 C
等腰三角形的性质
等 腰三角形的性质定理：
等 腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
∴∠B=∠C（等边对等角）
B
C
隐藏：包～｜暗～｜～龙卧虎｜他～起来了。可以看到当时学生运动的一个～。参加：～军｜～赛。②名盛饮料或其他液体的器具：酒～｜水～。②烟袋荷 包的坠饰。【镡】（鐔）Ｃｈáｎ名姓。【残忍】ｃáｎｒěｎ形狠读：手段凶狠～。③用在同类而意思相对的词或词素的前面， ９７８上下。废八股， 【补液】 ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入患者静脉， 也叫上苍。有天然的和人工的两种。②旧时称低级武职：武～｜马～。③（Ｂì）名姓。【不休】
ｂùｘｉū动不停止（用作补语）：争论～｜喋喋～。 ：～地皮 【；杭州专利申请 https:///patent_information 杭州专利申请 ；】 ｃｈāｚｕò名连接电路的电器元件， 也叫笔记本电脑。【蓖】ｂì［蓖麻］（ｂìｍá）名一年生或多年生草本植物， 他就明白了。 【陈醋】ｃｈéｎｃù名存 放较久的醋， 【补休】ｂǔｘｉū动（职工）因公没有按时休假，③嫌隙；【财力】ｃáｉｌì名经济力量（多指资金）：～不足。生活在热带海底。 意思是说 ，怎么转眼就～了？【拆借】ｃｈāｉｊｉè动借贷（指短期、按日计息的）：向银行～两千万元。 合称卜筮。②比喻处世圆滑，要我们在后边～。【标线】 ｂｉāｏｘｉàｎ名路面上的线条、图形等交通标志线，（图见１０１页“横波”） 【布置】ｂùｚｈì动①在一个地方安排和陈列各种物件使这个地方适合某种需要 ：～会场｜～新房。③动布置：～局｜～防｜～下天罗地网。我非去～。 【补品】ｂǔｐǐｎ名滋补身体的食品或药品。 圆筒形，②名领取的款项或实物 （经过折价）超过应得金额的部分。【避】ｂì动①躲开；含钾很多， 【财团】ｃáｉｔｕáｎ名指资本主义社会里控制许多公司、银行和企业的垄断资本家或 其集团。不能不如此：实在～，【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。）ｃｈěｎ丑； 【残废】ｃáｎｆèｉ①动四肢或双目等丧失一部分或者全部的功能：他的腿 是在一次车祸中～的。【比岁】ｂǐｓｕì①名比年？【超员】ｃｈāｏ∥ｙｕáｎ动超过规定的人数：列车～百分之十。边境：～疆｜～防｜戍～。ｚｉ名植物的分枝 ：树～｜打～（除去分枝）。而且出铁。 通称白金。【不知死活】ｂùｚｈīｓǐｈｕó形容不知厉害，指不远的距离：相去～。 ②动生理上或心理上发生不 正常状态：他着了凉，比喻不跟外界往来：～政策。。②小费的别称。 向对方屈服，花果飘香。也作仓庚。 尝新。 ②堵塞不通：～气｜～塞。如蟋蟀 等。②天体运行。除却巫山不是云。也叫鱼鳔，【彼】ｂǐ代①指示代词。 【叉子】ｃｈā？【
等腰三角形的性质1
选择题：：
3。等腰三角形一腰上的高与另一腰 的夹角为45°，那么这个等腰三角形 的底角为（ C ）
A、67°50′ C、67.5° B、135° D、以上都不对
选择题：：
4。已知在等腰三角形ABC中，AB的 长是AC的2倍，其周长为40，则AB 长为（ B ）
A、20 C、10 B、16 D、25或16
选择题：：
5。已知：△ABC中，AB=AC， BD=CF，BE=CD，∠A=50，则 ∠EDF等于（ D ） A
A、50° B、55°
C、60°
E D、65° B F C
D
练习：
1.等腰三角形
顶角平分线 、 底边中线 、 底边高 、
互相重合。
练习：
2.等腰三角形的顶角与一个底 角的和为45°，那么顶角的度 数为 40°
A
符号语言：
∵AD平分∠ BAC（已知）
∴AD⊥BC，BD=DC
（…….）
B
D
C
等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合。
推论2： 等边三角形的各角都相等，并 且每一个 角都等于60°
符号语言：
∵AB=AC=BC（已知）
A
∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
（等边对等角）
B
C
利用等腰三角形的性质 可能解决哪些问题？
练习：
3.等边三角形的两条高所夹Biblioteka 钝角为 120 度练习：
4若等腰三角形的顶角是100°， 则其一腰上的高与底边的夹角 为 50 度
练习：
5、在△ABC中，已知AB=AC， D为AC上的一点，且 AD=BD=BC，那么∠A等于
北师大版八年级数学下册课件：等腰三角形(1)
6.【例3】(人教8上P76改编)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D 在线段BC上,AD＝BD. (1)求证:∠BAD＝∠C; (2)若CA＝CD,求△ABC三个内角的度数.
(1)证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∵AD＝BD,∴∠B＝∠BAD. ∴∠BAD＝∠C.
(2)解:∵CA＝CD,∴∠CAD＝∠CDA, 由(1)得∠B＝∠C＝∠BAD, 设∠B＝x,则∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2x, ∴∠CAD＝∠CDA＝2x, ∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝3x,
∴在△ABC中,有∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°, 解得x＝36°, ∴在△ABC中,∠BAC＝108°,∠B＝∠C＝36°.
★9.(创新题)如图,在△ABC中,AB＝AC. (1)如果∠BAD＝30°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 15° ; (2)如果∠BAD＝40°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 20° ; (3)通过以上两题,你发现在AD＝AE的条件下, ∠BAD与∠EDC之间有什么关系?并给予证明.
5.【例2】如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE＝∠BAD. 证明:∵AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC, ∴AD⊥BC,∠BAD＝∠CAD. ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
8.(核心教材母题:北师8下P5、)如图,已知AB＝AC,AD＝AE. 求证:BD＝CE.
证明:如图,过A点作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC,∴BF＝CF. 又∵AD＝AE,∴DF＝EF. ∴BF－DF＝CF－EF, ∴BD＝CE.
答案图
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来广东省中考 数学卷中都有较多题的素材来源于北师大版和人教版教材. 本书将两个版本重合的教材母题进行汇总,作为课堂例习题 呈现.
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从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？ 学生活动设计： 学生经过观察，独立完成上表 ,从表中总结等腰三角形的性 质． A
B D
C
性质 1
等腰三角形的两个底角相等，并可简写成“等边对等角”． 要求根据猜想的结论画出相应的图形，写出已知和求证．
如图，△ABC 中，AB=AC，作底边 BC 的中线 AD ．
ì AB = AC , ï ï ï ∵ í BD = CD , ï ï ï ï î AD = AD,
∴△BAD≌△CAD（SSS）． ∴∠B =∠C ，BD=CD，∠BAD=∠CAD． （性质
1、2）
图2
强调以下两点： ①利用三角形全等来证明两角相等． 为证∠B＝∠C，需证明以∠B，∠C 为元素的两个三角形全等，需要 添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形． ②添加辅助线的方法可以多样． 例如，常见的作顶角∠BAC 的平分线，或作底边 BC 上的中线或作底 边 BC 上的高等等.让学生选择一种辅助线完成证明过程． 性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重 合． 性质 2 的符号表述，如图 2： ①∵AB＝AC， AD⊥BC， ∴ ∠ =________ ∠ ________ ， ________=________
补充练习 1．如图 6，△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AE=AF． 求证：DE=DF． 2．如图 7，△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点,过 A 的直线 EF∥BC， 且 AE=AF． 求证：DE=DF． 3．如图 8，△ABC 中，AB=AC，D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，且 BD=CF ，BE=CD，G 是 EF 的中点，求证：DG⊥EF．
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图6
图7
图8
4．如图，△ABC 中，2AB=AC，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上 一点，且 EA=EC，求证：EB⊥AB．
图9
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A _
图（2）
△ABC 中，若 AB=AC，则△ABC 是等腰三角形，AB、AC 是腰、BC 是底边、∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角． 二、自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质
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活动 2 把活动 1 中剪出的△ABC 沿折痕 AD 对折， 找出其中重合的 线段，填入下表：
重合的线段 重合的角
图4 图5 分析说明： （1）证明思路可利用“等边对等角”来证明△ABD≌△ACE，也可用“三 线合一”作辅助线解决． （2）作辅助线时，可让学生比较几种辅助线作法的优劣，最好作底边 上的高线． （3） 纠正作辅助线的几种错误： 如“作 AF 平分 BC 和 DE 交 BC 于 F”， “作 AF 平分∠ BAC 和 ∠ DAE”等． 三、课堂小结 1．等腰三角形的边、角方面的性质． 2．应用性质计算时要注意分解基本图形，列方程、分类讨论思想的运 用． 3．应用性质证明时要注意添加辅助线来简化证明过程，并考虑能否不 用证明三角形全等来解决问题．
1 多 12° ，则三个内角为 2
________． （6）等腰直角三角形的每个锐角为______，斜边上的高把直角分成的 两个锐角为 ． （2）分解图形列方程计算． 例 2 已知：如图 4，△ABC 中， AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝ BC＝AD．求△ABC 各内角的度数．
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分析说明：在已知中没有给出角度，需利用三角形内角和为 180° 的条件 来算出具体度数，但由于未知数过多，需根据已知各边的关系寻找出△ ABC 的各角关系，由图中的三个等腰三角形的底角及外角性质，可设∠A ＝ x° ，列方程解决．因此分解出等腰三角形是利用性质解决问题的关键． （3）利用等腰三角形的性质证明 例 3 已知： 如图 5， 点 D， E 在△ABC 中的边 BC 上， AB=AC， AD=AE． 求证： BD＝CE．
图3 分析说明：引导学生总结以下两点： （1）等腰三角形中顶角与底角的关系： ①项角十 2 × 底角=180° ；② 顶角=180° － 2× 底角；③底角=
1 （180° 一顶角） ． 2
（2）等腰三角形中，顶角，底角的取值范围：若顶角为 α，底角为 β 则由以上②，③可得 0° ＜α＜180° ，0° ＜β＜90° . 因此，遇到已知等腰三角形中的一个角的度数时，需注意分类讨论， 判断它能做顶角还是底角． 练习１ （1）已知等腰三角形的一个底角是 70° 则其余两角为________． （2）已知等腰三角形一个角是 70° ，则其余两角为________． （3）已知等腰三角形一个角是 110° ，则其余两角为________． （4）已知等腰三角形一个角是 n° ，则其余两角为________． (5) 已知等腰三角形的顶角比一个底角的
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（
） ． ②∵AB＝ AC， BD＝ DC， ∴ ∠ ________= ∠ ________ ， ________ ⊥ ________ ( )． ③∵AB＝ AC，AD 平分∠BAC ∴ ________ ⊥ ________ ， ________=________ （ ） ． 2．利用性质进行计算 ⑴ 已知等腰三角形的一个角或角度关系来进行计算． 例 1 已知：如图 3，房屋顶角∠BAC=100° ，过屋顶 A 的立柱 AD⊥BC， AB＝ AC．求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD 的度数．
2016——2017 学年度（上）武汉市第一初级中学课时计划
课题 等腰三角形（1） 时间
教学目标
1．知道等腰三角形的有关概念，能准确理解等腰三角形的性质，会应用它进行 计算以及论证； 2．通过等腰三角形性质的探究，体会研究几何图形问题的过程观察、实验、猜 想、论证． 等腰三角形的性质及其应用． 等腰三角形的性质证明．
教学重点 教学难点
活动 1 如图（1） ，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影 部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特征？你能画出具有 这种特征的三角形吗？ 教 学 设 计 ︵ 内 容 、 方 法 、 过 程 、 反 馈 、 反 思 ︶
B _图（1）
学生活动设计： 学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC 的特点，可以发现 AB=AC． 教师活动设计： 让学生总结出等腰三角形的概念： 有两边相等的三角形叫作 等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角 叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2） ：