八年级下学期期末复习一元二次方程
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
八年级数学期末复习(一)一元二次方程 人教版
一. 教学内容：期末复习（一）一元二次方程二. 重点、难点重点：一元二次方程的解法，列方程解应用题难点：一元二次方程根的判别式三. 具体内容1. 一元二次方程的定义2. 一元二次方程的解法3. 实际问题与一元二次方程【典型例题】[例1] 填空（1）关于x 的方程06)1(2=+-+x m mx 是一元二次方程的条件是。
（2）方程02=-x x 的一次项系数为，常数项为。
（3）关于x 的方程0132=++x x 实根。
（填写“有”或“没有”）（4）已知2=x 是方程062=+-a x x 的一个根，则此方程的另一根为。
（5）已知关于x 的方程02=++c bx ax （0≠a ），且0=+-c b a ，则此方程必有一根为。
（6）已知a 是方程0232=--x x 的一个根，则=-+--11)1(23a a a 。
（7）已知方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共根，则=m ，公共根为。
（8）若一个三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为。
解：（1）0≠m（2）1-；0（3）有（∵0549>=-=∆）（4）4（∵026)2(2=+⨯-a ∴8=a ∴0862=+-x x ∴21=x ，42=x ） （5）1-（∵1-=x 时，0)1()1(2=+-+-c b a ∴1-=x 为方程的根） （6）2（231)3)(1(1)1)(1()1(11)1(22323=-=---=--+--=-+--a a a a a a a a a a a a a ）（7）3-；1设公共根为0x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(02)1(02020020m x x mx x（1）－（2）得2)2(0-=-m x m由题意2≠m ∴10=x 代入（1）得3-=m（8）6或10或12∵0862=+-x x ∴21=x 42=x∴三角形三边可能有如下情况2，2，2；2，4，4；4，4，4∴周长为6，10，12[例2] 解下列方程（1）0342=--x x （2）0)3(2)3(2=-+-x x x 解：（1）1=a ，4-=b ，3-=c 028121642>=+=-=∆ac b ∴a ac b b x 242-±-= ∴7227241+=+=x 7227242-=-=x（2）原方程可化为0)33)(3(=--x x 即0)3)(1(3=--x x∴11=x 32=x[例3] 阅读下面的例题，请参照例题解方程0112=---x x 解方程022=--x x 例解：（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x解得：21=x ，12-=x （不合题意舍去）（2）当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得：11=x （不合题意舍去）22-=x ∴原方程的根是21=x ，22-=x∴原方程的根是21=x ，22-=x解：（1）当1≥x 时，原方程化为01)1(2=---x x 即02=-x x 解得11=x ，02=x （不合题意舍去）（2）当1<x 时，原方程化为01)1(2=--+x x 即022=-+x x 解得21-=x ，12=x （不合题意舍去）∴原方程的根是11=x ，22-=x[例4] 填空（1）已知关于x 的方程01)12()2(2=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值X 围是。
苏科版八年级数学下册《一元二次方程》期末考试复习(含答案)
第一章《一元二次方程》期终复习【知识回顾】1.一元二次方程的概念：形如：__________________________练习：若方程2227m m x mx --+=（）是关于的一元二次方程，求m 的值。
2.一元二次方程的根的判别式：________________________________ （1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
练习：1.下列方程中，有两个不相等实数根的是 ( ) Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++= Ｄ．2210x x +-= 2．一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是 ( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根 3.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：①4x 2-1=0 ②(2x ＋3)2－25＝0 ③81(x-2)2=16（2）配方法：④x 2-2x+6=0 ⑤2x 2-12x+5=0配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）的一般步骤是： ①二次项系数为___，即方程两边同_______；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为_______项； ③配方，即方程两边都加上_______________________； ④化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤如果n ≥0就可以用____________求出方程的解； 如果n ＜0，则原方程__________________（3）因式分解法：⑥x 2-4x=0 ⑦2x 2=5x ⑧02)2(=-+-x x x因式分解法的步骤是：①方程右边化为___________；②将方程左边分解为______________；③令每个因式等于0，得到两个__________，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．若方程20ax bx c ++=的两个根分别为x 1，,x 2，那么方程可以写成______________ （4）公式法：求根公式:____________________x =（条件：在240b ac -≥时有解）⑨2x 2+x-6=0 ⑩210x x -+=注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 补充内容：根与系数关系（韦达定理）如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是1x 、2x ，那么21x x +=_____________，21x x ⋅=__________.证明：因为当042≥-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是=1x _____________，=2x ____________,所以，21x x +=_________________________________________； 21x x ⋅=______________________________________________________________. 1．下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是( )A ．x 2＋2x －3＝0；B ．x 2－2x ＋3＝0；C ．x 2－2x －3＝0；D ．x 2＋2x ＋3＝0 2．设一元二次方程x 2－2x －4＝0的两个实根为x 1和x 2，则下列结论正确的是( ) A ．x 1＋x 2＝2 B ．x 1＋x 2＝－4 C ．x 1x 2＝－2 D ．x 1x 2＝43．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是( )A ．a ＝－3，b ＝1；B ．a ＝3，b ＝1；C ．3=2a -，b ＝－1； D ．3=2a -，b ＝1 4．若一元二次方程x 2＋kx －3＝0的一个根是x ＝1，则该方程的另一个根是( ) A ．3 B ．－1 C ．－3 D ．－25．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．36．已知m ，n 是方程x 2＋＋1＝0的值为( ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．57．已知方程x 2－4x －7＝0的根是x 1和x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________. 8．若方程x 2－2x ＋a ＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是__________，a ＝__________. 9．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 12＋3x 1x 2＋x 22的值为__________．10．已知方程x 2＋3x －1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值． (1)α2＋β2； (2)α3β＋αβ3； (3)βααβ+.4.用方程解决实际问题：1.变化率问题：若原始数为a ，增长率或下降率为x ，经第一次变化后数据为: ___________________________， 第二次变化后为： ______________________________求出x 后，依据0＜x ＜1的条件，选出符合题意的答案。
初二数学下《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)+巩固练习
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=【答案】C ；【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误；B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程； 故本选项错误；C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】 【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1. 【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0． ∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0． ∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（ •荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ．a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1． 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去． ∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【总结升华】设小正方形的边长为x cm ，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%． 举一反三：【变式】（ 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少 m?【答案】解：设AB=x 米，则BC=（50﹣2x ）米． 根据题意可得，x （50﹣2x ）=300， 解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25， 故x 1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20． 答:BC 的长为20m ．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元? 【答案与解析】设每床每晚提高x 个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张， 根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x 2-5x+6＝0． 解得，x 1＝2，x 2＝3． ∴ 当x ＝2时，2x ＝4； 当x ＝3时，2x ＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x 个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张， 则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定 2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8 3．（ •濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2% B ． 5% C ． 10% D ． 20%4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4 5．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ． 10．（ 秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=-，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________．15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（ •十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣ba解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×， 整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5， ∵20﹣2x ＞0，∴x＜10， ∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ． 11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a -≠，所以1a =-. 12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解. 14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x --=的两实数根， ∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211*********(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34. 【解析】由于a ，b 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2+a+a+b ，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%； 【解析】设该校捐款的平均年增长率是x ，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵ ①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
一元二次方程章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义解析版
ab x a b x -21==，第04讲 一元二次方程章节分类总复习一 一元二次方程及其解法 知识点睛：1. 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2. 一元二次方程的解法：解法 适用范围 步骤直接开方法符合)0(2≠=a b ax 型 的一元二次方程1) 两边分别开方，得：b x a ±=；2) 两边同除以系数a ，得，因式 分解法化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程 (1) 将一元二次方程化成一般是 (2) 将“=”左边的部分因式分解(3) 让各部分因式分别=0(4) 各部分因式分别=0的x 的值即为方程的解配 方 法适用二次项系数为1的一元二次方程1) 将一般形式的常数项移到“=”右边2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到b ax =2式的一元二次方程 3) 利用直接开方法求解方程(1) 将方程写成一般式【易错警示】➢ 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；➢ 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；➢ 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a 、b 、c 以及b 2-4ac 的值，之后再带入计算；1．（2021秋•西城区校级期中）若方程（m ﹣1）x |m |+1﹣2x ＝3是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ B ） A ．1B ．﹣1C ．±1D ．不存在【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0， 解得：m ＝﹣1， 故选：B ．2．（2021春•宁乡市期末）把方程2x （x ﹣1）＝3x 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ B ） A ．2，5，0B ．2，﹣5，0C ．2，5，1D ．2，3，0【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可． 【解答】解：方程2x （x ﹣1）＝3x ， 整理得：2x 2﹣5x ＝0，则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为0． 公 式 法适用所有一元二次方程2=++c bx ax ；(2) 分别写出a 、b 、c 的表达式，带入求出根的判别式ac b 42-的值；(3) 将数据带入公式）（042422≥--±-=ac b aac b b x ，得到方程的两个解21x 、x故选：B．3．（2021春•亳州期末）把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（A）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2+5x﹣2＝0C．x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．【解答】解：将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，故选：A．4．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（A）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣8【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，故选：A．5．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（A）A．（x﹣）2＝B．（x+）2＝C．（x﹣9）2＝62D．（x+9）2＝62【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2﹣9x+19＝0，∴x2﹣9x＝﹣19，∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，故选：A．6．解方程：（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；（2）x2﹣x﹣＝0；（3）（x﹣5）2＝16；（4）2y2+4y＝y+2；（5）x2﹣2x﹣4＝0；（6）x2+5x+4＝0．【分析】（1）先移项，变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用公式法求解即可．（3）开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）分解因式后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（5）配方后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（6）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵2（x﹣3）2＝x2﹣9，∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣9）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝9；（2）∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，∴Δ＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝4＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．（3）（x﹣5）2＝16，开方得：x﹣5＝±4，∴x1＝9，x2＝1；（4）2y2+4y＝y+2，2y2+3y﹣2＝0，（2y﹣1）（y+2）＝0，∴2y﹣1＝0或y+2＝0，∴y1＝，y2＝﹣2；（5）x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝1+4，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（6）x2+5x+4＝0，（x+4）（x+1）＝0，∴x+4＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣1．7．（2021秋•昭阳区期中）阅读例题，解答问题：例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．令y＝|x|，∴y2﹣y﹣2＝0解得：y1＝2，y2＝﹣1当|x|＝2，x＝±2；当|x|＝﹣1时（不合题意，舍去）∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2，仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0．【分析】原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，得y2﹣5y﹣6＝0，再利用因式分解法求解即可．【解答】解：原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，∴y2﹣5y﹣6＝0，解得y1＝6，y2＝﹣1，当|x+1|＝6，x+1＝±6，x＝5或x＝﹣7，当|x+1|＝﹣1时（不合题意，舍去），∴原方程的解是x 1＝5，x 2＝﹣7．二 根的判别式 知识点睛：对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， (1) 042＞ac b - 方程有两个不相等的实数根 (2) 042=-ac b 方程有两个相等的实数根 (3) 042＜ac b - 方程没有实数根 ➢ 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； ➢ 当042≥-ac b 时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知类题训练1．（2021秋•永春县期中）不解方程，判别方程x 2﹣3x +2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等实根 B ．有两个相等实根 C ．没有实根 D ．无法确定 【分析】由方程的系数结合根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，可得出Δ＞1，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：a ＝1，b ＝﹣3，c ＝2， ∵Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程x 2﹣3x +2＝0有两个不相等的实数根． 故选：A ．2．（2021•雨花区一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠0B ．m ≤C ．m ＜D ．m ＞【分析】由方程有实数根即Δ＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得． 【解答】解：根据题意得，Δ＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：m ≤， 故选：B ．3．（2021•河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）＝m2+4m+8＝（m+2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出n的取值范围，再根据n的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，解得：n＞2，∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．5．（2021秋•寿光市期中）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为．【分析】讨论：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得到m的值；当a＝b时，利用判别式的意义得到Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17．【解答】解：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；当a＝b时，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；综上所述，m的值为16或17．故答案为：16、17．6．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式Δ＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【解答】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为5．①当b＝c时，Δ＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．综上所述，该三角形的周长是13或14．7．（2020•亳州模拟）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．【分析】（1）根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围；（2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0，得到关于一元二次方程的解析式，然后把m代入该方程，求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m＝1，将m＝1代入原方程，得x2﹣2x＝0x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．8．（2020秋•沁阳市月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+3时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由方程的系数结合根的判别式、b＝a+3，可得出Δ＝（a+1）2+8＞0，进而可找出方程ax2+bx+1＝0有两个不相等实数根；（2）由根的判别式Δ＝b2﹣4a＝0，可得出：若b＝2，a＝1，则原方程为x2+2x+1＝0，解之即可得出结论．【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a，∵b＝a+3，∴Δ＝（a+3）2﹣4a＝a2+6a+9﹣4a＝（a +1）2+8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴b 2﹣4a ＝0，即b 2＝4a ， 取a ＝1，b ＝2， 则方程为x 2+2x +1＝0， ∴x 1＝x 2＝﹣1．9．（2021秋•台州期中）关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为5，求m 的值及方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）代入x ＝5可求出m 的值，再解方程，即可求出方程的另一个根． 【解答】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴b 2﹣4ac ≥0， ∴1﹣4m ≥0， ∴m ≤；（2）把x ＝5代入方程x 2﹣x +m ＝0得25﹣5+m ＝0， ∴m ＝﹣20，解x 2﹣x ﹣20＝0得x 1＝5，x 2＝﹣4， 所以m ＝﹣20，另一个根为﹣4．三 根与系数的关系（韦达定理）知识点睛：1.若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有abx x -21=+，ac x x =•21 2.两根关系的常见变形：2122122212-1x x x x x x ）（）（+=+212212214--2x x x x x x ）（））（（+=212122112212-3x x x x x x x x x x ）（）（+=+212121114x x x x x x +=+）（ 类题训练1．（2021秋•义马市期中）已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，则m 2+mn +n 2的值为（ ）A ．﹣1B ．9C ．27D ．23【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m +n 与mn 的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【解答】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴m +n ＝5，mn ＝﹣2，则原式＝（m +n ）2﹣mn ＝52﹣（﹣2）＝25+2＝27．故选：C ．2．（2021•遵义一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，则x 12+x 22的值是（ ）A ．﹣7B ．7C ．2D ．﹣2【分析】先利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，再利用完全平方公式得到x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，所以x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×1＝7．故选：B ．3．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，则+的值是（ ） A ． B ．﹣ C ．﹣ D ．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3， ∴+＝＝＝＝﹣．故选：C．4．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m＝1．故选：D．5．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0C．x1+x2＝2D．x1•x2＝2【分析】由根的判别式Δ＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．6．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（）A．﹣1B．1或﹣1C．1D．2【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，由题意可知：m2＝1，∴m＝±1，当m＝1时，Δ＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，Δ＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，故选：C．7.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，则x12+x22＝．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×1＝23．故答案为：23．8．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【分析】（1）根据m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，由根与系数的关系得出m+n和mn的值，再把要求的式子进行变形，再把m+n和mn的值代入即可；（2）先把m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，再根据（1）得出的m+n和mn的值，代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，∴m+n＝，mn＝﹣，∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．9．（2021秋•惠安县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1＝2x2，求k的值．【分析】（1）根据题意可得Δ≥0，从而可以求得k的取值范围；（2）根据根与系数的关系和x1＝2x2，可以求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4k≥0，解得k≤，即k的取值范围是k≤；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝9，x1x2＝k，∵x1＝2x2，∴3x2＝9，∴x2＝3，∴x1＝6，∴k＝18．四一元二次方程的实际应用类题训练：1．如图，在南河公园有一个矩形的花坛，长10米，宽7米（阴影部分）．在花坛的周围是等宽度的石子路，路的面积为84平方米．则石子路的宽度为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【分析】设石子路的宽度为x米，将四周的路面计算在内，则新矩形的长和宽分别为（10+2x）米和（7+2x）米，可知新矩形的面积减去花坛的面积等于路的面积，列方程求出x的值即可．【解答】解：设石子路的宽度为x米，根据题意得（10+2x）（7+2x）﹣10×7＝84，整理得2x2+17x﹣42＝0，解得x1＝2，x2＝﹣10.5（不符合题意，舍去），∴石子路的宽度为2米，故选：C．2．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升．某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口翠月平均增长的百分率为x，则可根据题意列出的方程是（）A．200000（1+x）2＝728000B．200000（1+x）3＝728000C．200000（1+x）+200000（1+x）2＝72800D．200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000【分析】设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据第二季度完成728000个零件的生产任务，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据题意得：200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000．故选：D．3．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝81【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后有81人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝81．故选：C．4．有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝100，整理得：x2+2x﹣99＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．5．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设彩条的宽度为xcm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的四分之一列出方程即可．【解答】解：设彩条的宽度为xcm，根据题意列方程得，，故选：B．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．7．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．8．工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为．【分析】根据题意表示出装裱后的长与宽，进而得出等式求出答案．【解答】解：设上面留白部分的宽度为xcm，则左右空白部分为2x，可列得方程为：（120+4x）（40+2x）＝7000．故答案为：（120+4x）（40+2x）＝7000．9．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．11．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．12．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，∴x＝10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．13．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据题意列出方程，并解答．【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．故答案是：48000；37；（2）设每个公司租出的汽车为x辆，两公司的月利润分别为y甲，y乙，则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850．当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y甲﹣y乙＝18400，即[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850＝18400，整理，得x2﹣36x+331＝0此方程无解．故此情况不存在；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y乙﹣y甲＝18400，即3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850＝18400，整理，得（x﹣45）（x+9）＝0，解得x1＝45，x2＝﹣9（舍去）所以当每个公司租出的汽车为45辆时，两公司月利润差恰为18400元．。
八年级下册数学 一元二次方程根与系数的关系复习专题(附答案)
八年级下册数学 一元二次方程根与系数的关系复习专题（附答案）一、单选题1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则关于x 的一元二次方程ax 2-bx-c=0的根为（ ）. A. -2,-3 B. -6,1 C. 2,-3 D. -1,62.一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a>0，b<0，c<0，则这个方程根的情况是（ ）A. 有两个正根B. 有两个负根C. 有一正根一负根且正根绝对值大D. 有一正根一负根且负根绝对值大3.已知一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)=0(a≠0，x 1≠x 2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x 1 ， 若一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则( )A. a(x 1-x 2)=dB. a(x 2-x 1)=dC. a(x 1-x 2)²=dD. a(x 2-x 1)=d4.已知方程x 2-2x-5=0，有下列判断：①x 1+x 2=-2；②x 1•x 2=-5；③方程有实数根；④方程没有实数根；则下列选项正确的是（ ）A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①②④ 5.若x 1 ， x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根，则x 1x 2的值是（ ）A. -2B. -3C. 2D. 36.已知A ，B 是两个锐角，且满足 sin 2A +cos 2B =54t ， cos 2A +sin 2B =34t 2 ，则实数t 所有可能值的和为（ ） A. - 83 B. - 53 C. 1 D. 113 7.下列各式计算正确的是（ ）A. a 3⋅a 2=a 6B. a 5+a 5=a 10C. (−2a 3)3=−8a 9D. (a −1)2=a 2−1 8.若多项式2x 2+3y+3的值为8，则多项式6x 2+9y+8的值为（ ）A. 1B. 11C. 15D. 239.已知实数a ，b 分别满足a 2−6a +4=0,b 2−6b +4=0 ， 且a≠b ，则b a +a b 的值是( )A. 7B. －7C. 11D. －1110.已知实数 m 、n 满足 x 2−7x +2=0 ，则 n m +m n 的值是（ ）A. 452B. 152C. 152 或2D. 452 或2 二、填空题11.已知关于x 的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是________12.设m 、n 是方程x 2+x-1001=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为________。
八年级数学期末复习：一元二次方程
期末复习：一元二次方程一、内容综述：二、例题分析：例1.选择简便的方法解下列方程：(1) (3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)(2) 4x2-20x+25=7(3) 2(1+x)2=20.48(4) 3x2-4x-1=0解：(1)(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)(3x-1)(x-2)-(4x+1)(x-2)=0(x-2)(3x-1-4x-1)=0(x-2)(-x-2)=0∴x1=2, x2=-2.注意：方程的左、右两边都有因式(x-2)，不能把方程两边同时除以(x-2)，这样变形会丢根，若把括号打开，整理成一般式再去解，较为麻烦，应选用因式分解法解。
(2)方程左边是完全平方式，利用直接开平方法解较为简便。
(2x-5)2=7, 2x-5=或2x-5=-∴x1= , x2= .(3)方程左边不能打开括号，化为一般式，较为复杂，应把方程两边同除以2，再用直接开平方法求解：(1+x)2=10.24,1+x=±3.2,∴1+x=3.2 或1+x=-3.2,x=2.2 或x=-4.2.(4)方程左边在有理数范围内不能进行因式分解，用公式法，3x2-4x-1=0，x= = .∴x1= ,x2= .例2.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析：根的存在性由根的判别式确定，所以先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2∵不论m取任何实数(m2+2)2>0∴-4(m2+2)2<0,即Δ<0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
例3.在ΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为ΔABC的三边，且a-b=2, b∶c=3∶5,且二次方程x2-2(k+1)x+k2+12=0两实根的平方和是ΔABC斜边的平方，求k的值。
沪科版数学八下期末复习：一元二次方程习题课件(29张)
解：由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得 t1＝0(舍去)，t2＝2. 当 t＝2 时，PQ 的长度等于 5 cm.
(3)是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2？若 存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
(2)选购期间发现该品牌跳绳在两个文体用品商场有不同的促销 方案：甲商场买十送一，乙商场全场九折，试问去哪个商场 购买更优惠？
解：∵100×1110＝1 10100≈90.9(根)， ∴在甲商场需购买 91 根． 在甲商场购买所需费用为 36×91＝3 276(元)， 在乙商场购买所需费用为 36×100×0.9＝3 240(元)， 3 276＞3 240. 答：去乙商场购买更优惠．
(1)求 2017 年到 2019 年该品牌跳绳单价平均每年增长的百分率；
解：设 2017 年到 2019 年该品牌跳绳单价平均每年增长的百分率 为 x，依题意得 25(1＋x)2＝36， 解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)． 答：2017 年到 2019 年该品牌跳绳单价平均每年增长的百分率为 20%.
例：解方程： 2 x－3＝0. 解：设 x＝t(t≥0)，则原方程可化为 2t－3＝0. ∴t＝32，∴ x＝32，即 x＝94. 请利用上述方法，解方程：x＋2 x－8＝0.
解：设 x＝t(t≥0)，则 x＝t2， ∴原方程可化为 t2＋2t－8＝0， 解得 t1＝－4(舍去)，t2＝2， ∴x＝4. 即原方程的解为 x＝4.
5．[中考·随州]已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋3)x＋k2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.
沪科版八年级数学下册期末专题复习二【一元二次方程及其解法】
期末专题复习二【一元二次方程及其解法】一、教学目标1．理解一元二次方程的概念；2．理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程． 二、教学重难点重点：一元二次方程的解法难点：选择合适的方法解一元二次方程 三、知识梳理 1．一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程． 2．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠．3．一元二次方程的解法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧因式分解公式法配方法直接开平方4．一元二次方程的解法技巧：一般先考虑直接开平方法与因式分解法，再考虑公式法，一般不采用配方法，有些较复杂的方程，如果无法直接判断用什么方法，可先观察方程特点，或者将方程化为一般形式后，再考虑选用合适的解法． 四、精讲例题题型一：一元二次方程的定义【例1】判别下列方程哪些是一元二次方程（1）2370x +=； （2）20ax bx c ++=； （3）2(2)(3)1x x x -+=-；（4）240x -=； （5）2(10x -+=； （6）24360x x-+= 【变式1】若05)3(72=+---mx x m m是关于x 的一元二次方程，则=m ．题型二：一元二次方程的根【例2】关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为 ．【变式2】已知a x =是方程0120172=+-x x 的一个根，求12017201622++-a a a 的值．题型三：一元二次方程的解法 ── 直接开平方法 【例3】解下列方程（1）09)12(42=--x （2）22)21()23(9x x -=-【变式3】解关于x 的方程：22)13(9)52(4-=-x x题型四：一元二次方程的解法 ── 配方法 【例4】用配方法解下列方程（1）8632+-=x x （2）031612=-+x x【变式4】已知实数n m ,满足12=-n m ，则代数式14222-++m n m 的最小值等于 ． 题型五：一元二次方程的解法 ── 公式法【例5】用配方法解方程：20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）．【变式5】用公式法解下列方程（1）23p += （2）235(21)0x x ++=题型六：一元二次方程的解法 ── 因式分解法 【例6】解下列方程（1）24)12(3+=+x x x （2）0)13()2(422=---x x（3）15)3)(1(=++x x （4）02)12(3)12(2=++++y y【变式6】解关于x 的方程 012)1(2=++--a ax x a ．五、巩固练习1．设y x ,为实数，代数式4284522++-+x xy y x 的最小值为 . 2．如果63)122)(122(=-+++b a b a ，则b a +的值是 . 3．已知a 是一元二次方程0122=--x x 的根，求：（1）a a 1- （2）221aa + （3）523322+-+-a a a4．已知052422=+-++b a b a ，求45322-+b a 的值.六、课后练习1．选择恰当的方法解下列方程（1）4)31(92=+x （2）062=--x x（3）0132=+-y y （4）02161322=--x x（5）0)34()45(22=---x x （6）03522=-+x x（7）)72(5)72(+=+x x x （8）12)3)(1(=+-x x2．已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一个根，求代数式11)1(23-+--a a a 的值．七、课堂反馈。
八年级(下册)一元二次方程讲义全
一元二次方程的应用
题型1：增长率（降低率）问题
例1某市政府为了解决看病贵的问题决定下调药品价格，某种药品经过连续两次降价之后，由每盒200元下降到128元，这种药品平均降价的百分率是多少？
题型二：定价问题
例2，益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
5,常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
三、课堂达标检测
检测题1：一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）
A．x
1
=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2 检测题2：一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）
A
．
有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根D
．
没有实数根。
八下复习专题--一元二次方程
景宁县2013学年24.一元二次方程 X • X -1 = 0的根的情况是A •有两个不相等的实数根 C .没有实数根7•用配方法解一元二次方程 x 2 6x ^0时，方程变形正确的是A . (x 3)2 =14B . (x 3) =4C .(X-3)2 =14 9.如图1,有一张长40cm ，宽25cm 的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折青田县2013学年25 .一元二次方程 （X • 6）=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ^4，则另一个一元一次方程是C. x 6 = 4D. x 6 = -4212. 已知x= - 2是方程x+mx -6=0的一个根，则方程的另一个根是 _▲遂昌县2013学年7.下列一元二次方程中，没有实数根的方程是(▲)A . (x - 2)2 - 4 = 0B . X 2 4x =0C . x 2 4x-5=0D . -x 2 4x-5=029.用配方法解方程 2x -4x -1=0时，下列配方结果正确的是(▲)222329成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是 X cm ,则下列方程正确的是2A. 40 25 -4x =450B. 40 25 _2x 2 =450C.40 -x 25-x =450D . 40-2x 25-2x =450450 cm 2 ,设纸盒的高为图1图2B .有两个相等的实数根 D .不能确定D .(X-3)2 =4A. x - 6 = -4A . (x -2)^5B . (x-1)2=2C . (x -1)D . (x-1)=2 213 .已知x = -1是关于x的方程2x2■ ax -3 = 0的一个根，则a= ▲_.22. (本题10分)为了深化我县课堂教学改革，政府逐年给我县学校配备了电子白板，且自2010年起逐年增加.据统计，我县2010年共配备640套电子白板，2012年共配备1000套电子白板.(1 )若我县前四年配备的电子白板的年平均增长率相同，问我县2013年共配备多少套电子白板？(2)2014年我县根据实际情况，需购 A , B两种型号的电子白板共1200套，要求总价不超过2500万元.若A型电子白板售价1.8万元/套，B型电子白板售价2.4万元/ 套，请通过计算，求出我县2014年A型电子白板至少需配备多少套？(3)若我县2014年B型电子白板配备数不少于560套，则在(2)的条件下，我县为了节约开支，至少需花多少钱配备这1200套电子白板？云和县2013学年4. 一元二次方程x(x -1)-0的解是(▲)A .无解B . x=0 C. x=1 D . x=0 或x=15. 一元二次方程2x2-3x-1 =0的根的情况( ▲)A .没有实数根B .有两个不相等的实数根C .有两个相等的实数根D .无法判断13 .若关于x的一元二次方程2x2-mx-m =0的一个根是1,则m的值是▲.22.(本题8分)云和某房产开发商准备以每平方米8000元的均价对外出售，由于国务院有关房地产新政策出台后，购房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元出售.(1 )求平均每次下调的百分率；(2)某人准备购买一套100平方米的房子，开发商还给予下列两种优惠方案供选择：①打9.8折；②不打折，送两年物业管理费(物业管理费为每平方米每月 1.5元).请问哪种方案更优惠？4.将一元二次方程x26^3配方后，原方程变为............................. ( ▲)A. (x 3)2=5B. (x 6)2=7C. (x 3)2=12D. (x 6)^1212 .已知实数x、y 满足(x2+y2) (x2+y2-1 ) =2，贝U x2+y2的值为▲莲都区2013学年2.下列方程为一元二次方程的是A . x+ 5= 0 B. x2—2014= 0 C. x+ y= 0 D. x——=0x27.关于x的一元二次方程ax —4x+3=0有实数根，则整数a的最大值是A. —1B. 0C. 1D. 212.已知关于x的方程x2+ 2x+ m=0的一个根是1,则m的值是▲.23. （本题6分）甲、乙两家自行车商店对同一款单价为1600元的自行车实行促销：甲商店规定：购买一辆，单价为1560元；购买两辆，每辆都为1520元•依此类推，即每多买一辆，所买每辆车单价均减少40元，但最低单价不得低于880元.乙商店规定：一律按原单价打7.5折.某自行车运动协会欲在两商店活动期间购买一批此款自行车，请思考解决下列问题：（1）若此协会需购买6辆该款自行车，去哪家商店购买合算？（2）若此协会在同一家商店购买了若干辆自行车恰好花费15000元，请通过计算说明购买的方案？龙泉市2013学年1.下列方程属于一元二次方程的是（▲）A . 10x =9B . 22x -3x-1 =0 C . xy 2 = 2(x -1)D . 2-空0x x7.用配方法解方程2x2-4x -1 =0时，下列配方结果正确的是（▲)A.(X-2)2=52B . (x -1)2 3=2 C . (x-1)2 =D . (x -1)2_ 92212•任意写出一个有一个根为2的一元二次方程▲22.（本题6分）村里有一堵长为8米的废弃墙体，王大伯想用12米长的篱笆靠墙围成一个矩形的菜地, 使矩形的面积为10平方米，请你帮王大伯求一求这个菜地的较长边为几米？3.方程x（x 2^x的根是（▲）A. x - -1 B . x-^ = 0, x2_ -2 C . x = 06. 若关于y的方程ay2-4y+2=0有实数根,则a的取值范围是(▲)A . a< 2B . a< 2 且a* 0C . a v 2 且a* 0D . a > 27. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为X,则可列方程为( ▲)2 2 2 2A. 48 ( 1- x) =36B. 48 (1+x) =36C. 36 (1 - x) =48D. 36 ( 1+x) =4813. 若m是一元二次方程x2• x _5 =0的一个解，则n i+m+2014的值为17.某超市经销一种销售成本为每件40元的商品.据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件.要使得一周的销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？(1)________________________________________________________________________ 设销售单价为x元(x>50),可列出方程为：________________________________________________ . (2)____________________________________________________________ 设上涨了x元，可列出方程为：_________________________________________________________ .25.(本题8分)某汽车租赁公司拥有195辆汽车.据统计，当每辆车的年租金为12. 1万元时，可全部租出；当每辆车的年租金每增加1万元，未租出的车将增加10辆.租出的车每辆每年的维护费为 1. 1万元，未租出的车每辆每年只需维护费5000元.(1)_____________________________________________________ 当每辆车的年租金上涨x 万元时，公司每年能租出__________________________________________ 辆车.(用含x的代数式表示)；(2)当每辆年租金上涨多少万元时，租赁公司的年收益为2265万元？(3 )当每辆年租金上涨多少万元时，租赁公司的年收益最大？最大是多少万元？松阳2013学年6 .方程xx-2=x-3化简成一般形式后，二次项系数和常数项分别是................ (▲)A. 1, 3 B . 1,—3 C . - 1, 3 D . - 3, 312.抛物线y =x2+bx+1经过点(1,0),贝U b的值是▲.22.(本题10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利50元。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
(完整版)八年级数学一元二次方程知识点总结及典型习题
一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x =2的方程的解法：当0>n 时，n x ±=;当0=n 时，021==x x ;当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式；④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； 当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
八年级下学期期末复习一元二次方程
《一元二次方程》（概念、解法与判别式）知识梳理：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根的判别式.考点一、一元二次方程的概念一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)1．以下方程中①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y ,一元二次程是（ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和③2．关于x 的方程(a 2-a -2)x 2+ax +b =0是一元二次方程的条件是（ ）A ．a ≠-2且a =1B ．a ≠2C ．a ≠2且a ≠-1D ．a =-1考点二、一元二次方程的根1．已知关于x 的一元二次方程（k +4）x 2+3x +k 2+3k -4=0的一个根为0，求k 的值．2．已知t 是方程x 2－x －1=0的一个解，则－t 3＋2t 2＋2 002的值为（ ）．A ．2 001B ．2 002C ．2 003D ．2 0043．设t 是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实数根，则24N b a c =-与2(2)M at b =+的大小关系是（ ）． A ．N M < B ．N M = C ．N M > D ．不能确定考点三、一元二次方程的解法直接开平方法:x 2=p(p ≥0) (mx+n)2 =p(p ≥0)配方法公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=01．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x （3）03612=+y （4）0)31(2=-m（5）20.010y -= （6）210.503x -= （7）2(31)90x +-= （8）85)13(22=+x2．用配方法解下列各方程：（1）2280x x --= （2）0152=++y y（5）22300x -= （6）211063x x +-=3．用公式法解下列各方程：（1）2220x x --= （2）2227x x +=（3）23412y y =- （4）3(32)1x x -=-4．用因式分解法解下列各方程：（1）09412=-x （2）230x =（3）02172=-x x （4）04542=-+y y（7）2(1)2(1)3x x +-+= （8）224(3)25(2)x x +=-5．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）3)13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）22)3(144)52(81-=-x x6．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x(3)n m nx x n m -=++2)(2（0≠+n m ）(4)x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-考点四、一元二次方程根的判别式知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且0≠a ，注意分类讨论；2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围；4．解决一元二次方程的整数根问题.5．进行有关的证明,1．不解方程，判别方程根的情况：（1）4x x x 732=+-（2）x x 4)2(32=+（3）x x 54542=+2．已知关于x 的二次方程0962=+-x kx ，那么：（1）当k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）当k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）当k 满足 时,方程无实数根.3．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是 ．4．如果关于x 的方程02=++k x x 没有实数根，则k 的取值范围为 ．5．已知关于x 的方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k ．6．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有两个实根，则m 的取值范围是 ．7．若关于x 的方程2430k x x -+=有实根，则k 的非负整数值是 .8．已知0k >，且方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k 的值等于（ ）．A ．B ．±C ．3或4-D ．39．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．10．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根.11．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有两个不相等的实数根.12．已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x ． （1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．13. 若关于x 的二次方程)1(2)1(22x c bx x a -=++有两个相等实根，则以正数a 、b 、c 为边长的三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形14．已知a b c 、、是三角形的三条边长，且关于x 的方程2()2()()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．15．当k 是什么整数时, 方程(k 2–1)x 2–6(3k –1)x +72=0有两个不相等的正整数根.16．已知正整数k ，且关于x 的方程230x x k ++=有整数解，解这个方程．17．设m 为整数，且404<<m 时，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m 的值及方程的根.知识点五：根与系数的关系关系: x 1+x 2=-b/a x 1 x 2=c/a已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,求与方程的根有关的代数式的值,求作一元二次方程,已知两数的和与积,求此两数判断方程两根的特殊关系,知识点六：实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,。
八年级数学下册《期末复习二 一元二次方程》同步练习 浙教版(2021年整理)
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期末复习二一元二次方程复习目标要求知识与方法了解一元二次方程的概念，一元二次方程根与系数的关系理解方程解的定义会选合适的方法解一元二次方程运用用一元二次方程解决实际问题配方法求最值必备知识与防范点一、必备知识：1．关于x的一元二次方程（m－4）x2+x+m2－16=0有一根为0,则m＝。
2．（雅安中考）已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m 的值分别为( ）A． 4,-2 B．—4，-2C． 4,2 D． -4，23．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A． a=c B． a=bC． b=c D． a=b=c4．某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买器材的投资的年平均增长率为x,则可列方程。
5． 某超市销售一种商品,每件商品的成本是20元． 当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件． 在此基础上，假设这种商品的单价每降低2元,每天就会多售出15件．（1）设商品的单价为x 元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： ;(2）设商品降价2y 元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： .二、防范点:1． 一元二次方程二次项系数不为0；2． 运用韦达定理时注意Δ≥0,a ≠0；3． 求二次三项式最值可运用配方法，也可用Δ。
第二章《一元二次方程》期末复习卷(含答案)2020-2021学年浙教版数学八年级下册
2021年浙教版数学八年级下册《一元二次方程》期末复习卷一、选择题1.下列方程中是一元二次方程的是( )A.3(x＋1)2=2(x－1)B.1x2＋1x－2=0 C.ax2＋bx＋c=0 D.x2＋2x=(x＋1)(x－1)2.下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）A.（x﹣1）2=16B.3（x﹣2）2=27C.5x2﹣3x=0D. x2+2x=83.已知x=3是关于x的方程x2+kx﹣6=0的一个根，则另一个根是（）A.x=1B.x=﹣1C.x=﹣2D.x=24.方程(x+2)2=9的适当的解法是( )A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法5.一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是( )A. B.C. D.6.用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是( )A.x=B.x=C.x=D.x=7.方程9(x+1)2﹣4(x﹣1)2=0正确解法是( )A.直接开方得3(x+1)=2(x﹣1)B.化为一般形式13x2+5=0C.分解因式得[3(x+1)+2(x﹣1)][3(x+1)﹣2(x﹣1)]=0D.直接得x+1=0或x﹣l=08.下列方程中两实数根互为倒数有（）①x2﹣2x﹣1=0；②2x2﹣7x+2=0；③x2﹣x+1=0．A.0个B.1个C.2个D.3个9.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A.0B.1C.2D.310.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A．(32－2x)(20－x)=570B．32x＋2×20x=32×20－570C．(32－x)(20－x)=32×20－570D．32x＋2×20x－2x2=57011.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( )A.1 000(1＋x)2=1 000＋440B.1 000(1＋x)2=440C.440(1＋x)2=1 000D.1 000(1＋2x)=1 000＋44012.三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解,则这个三角形的周长是（）．A.8B.8或10C.10D.8和10二、填空题13.若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8=0不含一次项，则a= .14.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．15.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则b a的值是 .16.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______.17.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．18.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．三、计算题19.用直接开平方法解方程：(x﹣2)2=3；20.用配方法解方程：x2=3﹣2x21.用公式法解方程：6x2－11x＋4=2x－2；22.用因式分解法解方程：3x(x－2)=2(x－2).四、解答题23.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．（1）求a的值；（2）求出该一元二次方程的两实数根．24.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值.25.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？26.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）参考答案1.答案为：A.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：A.5.答案为：B.6.答案为：D.7.答案为：C.8.答案为：B ．9.答案为：A.10.答案为：A11.答案为：A12.答案为：C13.答案为：-2.14.答案为：6．15.答案为：0.25.16.答案为：m ＜0.2.17.答案为：百分率为20%．18.答案为：（9﹣2x ）•（5﹣2x ）=12． 19.解：x ﹣2=±，∴，x 2=2﹣， 20.解：x 2+2x=3，配方得：x 2+2x+1=3+1，(x+1)2=4，开方得：x=﹣1±2，x 1=1，x 2=﹣3；21.解：原方程可化为6x 2－13x ＋6=0.a=6，b=－13，c=6.Δ=b 2－4ac=(－13)2－4×6×6=25. x=13±252×6=13±512， x 1=32，x 2=23. 22.解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)=0，即(3x －2)(x －2)=0，∴x 1=23，x 2=2. 23.解：（1）∵x 1+x 2=a ，x 1x 2=2，又x 1x 2=x 1+x 2﹣2，∴a ﹣2=2，a=4；（2）方程可化为x 2﹣4x+2=0，∴（x ﹣2）2=2，解得：x ﹣2= 或x ﹣2=﹣，∴x 1=2+，x 2=2﹣． 24.解：(1)∵方程有实数根，∴△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；(2)∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2(x 1+x 2)+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：(﹣2)2﹣4×(﹣2)+m=0，解得：m=﹣12.25.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则1＋x ＋x(x ＋1)=64.解得x 1=7，x 2=-9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)64×7=448(人)．答：第三轮将又有448人被传染．26.解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27−0.1×（3−1）＝26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28−[27−0.1（x −1）]＝（0.1x ＋0.9）（万元），当0≤x ≤10，根据题意，得x •（0.1x ＋0.9）＋0.5x ＝12，整理，得x 2＋14x −120＝0，解这个方程，得x 1＝−20（不合题意，舍去），x 2＝6，当x ＞10时，根据题意，得x•（0.1x＋0.9）＋x＝12，整理，得x2＋19x−120＝0，解这个方程，得x1＝−24（不合题意，舍去），x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去．答：需要售出6部汽车．。
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《一元二次方程》
知识梳理：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解
法（开平方法、配方法、公式法、
分解因式法），一元二次方程根的判别式.
考点一、一元二次方程的概念一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)
1．以下方程中①13122=-
x x ②05222=+-y xy x ③0172
=+x ④022=y ,一元二次程是（ ）
A ． ①和②
B ． ②和③
C ． ③和④
D ． ①和③
2．关于x 的方程(a 2-a -2)x 2+ax +b =0是一元二次方程的条件是（ ）
A ．a ≠-2且a =1
B ．a ≠2
C ．a ≠2且a ≠-1
D ．a =-1
考点二、一元二次方程的根
1．已知关于x 的方程x 2－kx －6=0的一个根为x=3,则实数k 的值是( ）
2.设a, b 是方程 x 2+x －2009=0 的两个实数根，则 a 2+2a+b 的值为
( )
考点三、一元二次方程的解法
直接开平方法:x 2=p(p ≥0) (mx+n)2 =p(p ≥0)
配方法
公式法:
因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0
1．开平方法解下列方程：
（1）196x 2 －1=0
（2）
4x 2＋12x ＋9=0 （3）20.010y -=
（4）
2(31)90x +-=
2用配方法解下列各方程：
（1）2280x x --=
(2)x 2+5x+7=0
3．用公式法解下列各方程：
（1）2220x x --= （2） 2x 2+3x=3
(3)x 2－7x －1=0
4用因式分解法解下列各方程：
（1）094
12
=-x (2) x (2x －5)=4x －10
(3) x 2+10x+21=0 (4) 3x 2+6x －4=0
考点四、一元二次方程根的判别式(b2－4ac)
知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且0≠a ，
注意分类讨论；
2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；
3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围；
1,若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0 有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是( )
2若关于x 的一元二次方程－x 2+(2k+1)x +2－k 2=0 有实数根，则k 的取值
范围是( )
3若关于x 的一元二次方程x 2－x +k=0 有两个相等的实数根，则k 的值是
( )
知识点五：根与系数的关系
关系: x1+x2=-b/a x1 x2=c/a
已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,
求与方程的根有关的代数式的值,
求作一元二次方程,
已知两数的和与积,求此两数
判断方程两根的特殊关系,
3若关于x 的一元二次方程x2－x +k=0 两个实数根是x1 x2，则
（1）x1+x2的值是？
（2）X1 * x2的值是？
2若关于x 的一元二次方程x2+(k+3)x +k=0 的一个跟的值是－2，，则(1)k 的值是？
（2方程的另一个根是？。