2016-2017年数学·人教A版选修2-1练习：2.1.1曲线与方

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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1课件：2.1.1+2 曲线与方程求曲线的方程

分段画出该方程的图象，即为 y 轴右侧的图象，再根据对称性，便可以得到方程 y＝
x2－2|x|＋1的图象，如图所示：
第二十二页，编辑于星期五：十六点三十五分。
[探究共研型]
求曲线的方程
探究 1 求曲线的方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解？【提示】建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上； (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
第二十七页，编辑于星期五：十六点三十五分。
1．求曲线方程的一般步骤 (1)建系设点； (2)写几何点集； (3)翻译列式； (4)化简方程； (5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
第二十八页，编辑于星期五：十六点三十五分。
2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．
第二十页，编辑于星期五：十六点三十五分。
[再练一题]
2．方程 xy2－x2y＝2x 所表示的曲线( )
A．关于 x 轴对称
B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称
D．关于 x－y＝0 对称
【自主解答】取 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点，
过 O 与 AB 垂直的直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A(－a，0)，B(a，0)，设动点 C 为(x，y)．

人教版高中数学选修2-1同步练习：2.1 曲线与方程

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 抛物线D. 一个圆3.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()图L2-1-15.若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为()A. x2+y2-12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2-x+4=0D. x2+y2+x+4=06.已知动点P在曲线2y2-x=0上移动,则点A(-2,0)与点P连线的中点的轨迹方程是()A. y=2x2B. y=8x2C. x=4y2-1D. y=4x2-7.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题:①曲线W关于原点对称;②曲线W关于x轴对称;③曲线W关于y轴对称;④曲线W关于直线y=x对称.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是 .9.给出下列说法:①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.其中正确说法的序号是 .10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为 .11.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m= .三、解答题(本大题共2小题,共25分)12.(12分)已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2,0),B(0,-2),点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.注:设△ABC的顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心为G,13.(13分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.14.(5分)若直线y=x+b与曲线y=3-有两个不同的公共点,则实数b的取值范围是 .15.(15分)已知在平面直角坐标系中,动点M到定点F(-,0)的距离与它到定直线l:x=-的距离之比为常数.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)设点A,若P是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA的中点B的轨迹方程.2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程1.B[解析] 设C1的方程为x+y+1=0,C2的方程为2x+2y-1=0,当x=1,y=1时,满足1+1+1=2+2-1,但是点(1,1)并不是两曲线交点,所以由“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”推不出“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”,反之成立,所以“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件,故选B.2.A[解析] 当y≥1时,原式可化为(x-1)2+(y-1)2=1,当y≤-1时,原式可化为(x-1)2+(y+1)2=1,∴方程|y|-1=表示的曲线为两个半圆.故选A.3.C[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C.4.D[解析] 原方程等价于或x2+y2=4,其中表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分.故选D.5.D[解析] 依题意,设P(x,y),∵=,∴=,整理得x2+y2+x+4=0.故选D.6.C[解析] 设点A(-2,0)与点P的连线的中点坐标为(x,y),则由中点坐标公式可得P(2x+2,2y),∵动点P 在曲线2y2-x=0上移动,∴2×(2y)2-(2x+2)=0,即x=4y2-1.故选C.7.A[解析] 曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=,两边平方得2|xy|=-2x-2y+2,即|xy|+x+y=1.①若xy>0,则xy+x+y+1=2,即(x+1)(y+1)=2,∴y=-1,函数的图像是以(-1,-1)为中心的双曲线的一部分.②若xy<0,则xy-x-y+1=0,即(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或y=1(x<0).作出图像如图所示,∴曲线W关于直线y=x对称.故选A.8.2[解析] 方程|x-1|+|y-1|=1可写成或或或图形如图所示,它是边长为的正方形,其面积为2.9.③[解析] 对于①,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线(除掉点(2,0)),所以①错误;对于②,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以②错误;对于③,方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2)四个点,所以③正确.10.x2+y2=16[解析] 设P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),于是·=(-2-x)(2-x)+y2=12,化简得x2+y2=16,即点P的轨迹方程为x2+y2=16.11.-1[解析] ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,∴∴12.解:设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1,则x1=3x+2,y1=3y+2.∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上移动,∴3y+2=3(3x+2)2-1.整理得y=9x2+12x+3.故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.13.解:如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以k AP·k PB=-1.而k AP=(x≠1),k PB=,所以·=-1(x≠1),整理得,x+2y-5=0(x≠1).因为当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.14.1-2<b≤-1[解析] 曲线方程变形为(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),表示圆心为A(2,3),半径为2的下半圆,根据题意画出图形,如图所示.当直线y=x+b过B(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,将B点坐标代入直线方程得3=4+b,即b=-1.当直线y=x+b与半圆相切时,圆心A到直线的距离d=r,即=2,解得b=1-2(舍去正值).故直线与曲线有两个公共点时,b的取值范围为1-2<b≤-1.15.解:(1)设动点M(x,y),由已知可得=,即x2+2x+3+y2=,化简得+y2=1,即所求动点M的轨迹Γ的方程为+y2=1.(2)设点B(x,y),点P(x0,y0),由得由点P在轨迹Γ上,得+=1,整理得+4=1,∴线段PA的中点B的轨迹方程是+4=1.。

人教A版高中数学选修2-1习题：2.1曲线与方程

解设 A(x,y)为轨迹上任一点,
那么
,
整理,得(x-1)2+(y-1)2=29.
因为点 A 不在直线 BC 上,虽然点 C(3,6)及点 C 关于点 B 的对称点 C'(-1,-4)的坐标是这个方
程的解,但不在已知曲线上,
所以所求轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=29(去掉(3,6)和(-1,-4)两个点).
所以
,[来源:Z|xx|]
从而有由 N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求点 P 的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,
但应除去两点:
.
同时以-x 代替 x,-y 代替 y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即 y2-xy-2x=0,所以曲线 C 不关于原
点对称.
B组
1.方程 x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )
解析：由 xy<0 知,曲线在第二、四象限,故选 C. 答案：C 2.设方程 f(x,y)=0 的解集非空,若命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,则下面命题中正确的是( ) A.坐标满足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 B.曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x,y)=0 C.坐标满足 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上 D.一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0 解析：“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”不正确,就是说“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点不都在曲线 C 上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程 f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C. 即一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0,故应选 D. 答案：D[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

高中数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 2.1 曲线与方程 Word版含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：同时以－x替x，以－y替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．答案：C2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()解析：方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故选B.答案：B3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1解析：设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.答案：C4．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则P点的轨迹方程为()A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝ 2.即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：D5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅解析：当0＜a ≤1时，两曲线只有一个交点(如图(1))；当a ＞1时，两曲线有两个交点(如图(2))．答案：A6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0.∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎨⎧ (x －2)2＝0，2(y ＋2)2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2. 从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹方程为________．解析：设圆心C (x ，y )，由题意得 (x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －88．已知l 1是过原点O 且与向量a ＝(2，－λ)垂直的直线，l 2是过定点A (0,2)且与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，λ2平行的直线，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是________，轨迹是________．解析：∵kl 1＝2λ，∴l 1：y ＝2λx ；kl 2＝－λ2，l 2：y ＝－λ2x ＋2，∴l 1⊥l 2，故交点在以原点(0,0)，A (0,2)为直径的圆上但与原点不重合， ∴交点的轨迹方程为x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0)．答案：x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0) 以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)9．已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．解析：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM |＝12|AB |＝3.所以M 的轨迹为以原点O 为圆心，以3为半径的圆，故M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝9.10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN→＝4，求动点P 的轨迹方程．解析：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，∴MN→＝(x ，－2y )， ∴OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.[B 组能力提升]1．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B2．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是点M 的坐标满足方程y ＝－2x 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：点M 在曲线y 2＝4x 上，其坐标不一定满足方程y ＝－2x ，但当点M 的坐标满足方程y ＝－2x 时，则点M 一定在曲线y 2＝4x 上，如点M (4，－4)．答案：B3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN→＝12，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，则PM→＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，－y )．于是PM →·PN→＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12，化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程．答案：x 2＋y 2＝164．直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2，所以x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254.因为点M 应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜165. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜165 5．已知等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个顶点是B (3,5)，求另一个顶点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设另一顶点C 的坐标为(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2.化简，得(x －4)2＋(y －2)2＝10.因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ， C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．①因为B ，C 不重合，所以点C 的坐标不能为(3,5)，②又因为点B 不能为⊙A 的一直径的两个端点，由x ＋32＝4，得x ＝5.点C 的坐标不能为(5，－1)．如图，故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝3y ＝5和⎩⎨⎧x ＝5y ＝－1除外. 点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，除去点(3,5)，(5，－1)．6．已知直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，求实数m 的取值范围．解析：直线y ＝m (x ＋3)过定点(－3,0)，曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示半圆，由图可知m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.。

2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x2＋y2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x2＋y2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】由方程得⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】【解析】由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2，|AB|＝（2x）2＋（2y）2，∴2（x－2）2＋（y－4）2＝4x2＋4y2，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.。

高中数学人教A版选修2-1数学：2.1.1《曲线和方程》测试(新人教A版选修2-1).docx

曲线和方程学习目标：1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题：二、自学课本7573-P 并记下重点，积极思考问题：三、自我检测：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C 。

中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。

四、提问、答疑，共同解决：五、例题分析：1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（）A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上，P 也在曲线(,)0g x y =上，求证：点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上（R λ∈）六、课后作业：1、点)2,1(-A ，)3,2(-B ，)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上？2、解答下列问题，并说明理由：（1）点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上；（2）已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ，求m 的值。

3、（1）求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是。

（2）求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件。

4、（1）已知：[0,2)απ∈，点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是；（2）方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是。

高中数学人教版选修2-1课堂练习：2-1-1 曲线与方程含解析

03课堂效果落实1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2x上．反之点M在y＝－2x上时，点M却一定在y2＝4x上．故选B.答案：B2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C.答案：A3．方程x2|x|＋y2|y|＝1表示的图形是( )A. 一条直线B. 两条平行线段C. 一个正方形D. 一个正方形(除去四个顶点)解析：由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x>0，y>0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.答案：D4．若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.解析：将(2,1)代入方程得22＋k2－3×2－k－4＝0，即k＝－2或3.答案：－2或35．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.证明：(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上任一点，因为点M到x轴的距离为|y0|，到y轴的距离为|x0|，所以|x0|＝|y0|，即y0＝±x0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y＝±x的解．(2)设点M1的坐标为(x1，y1)，且是方程y＝±x的解，则y1＝±x1，即|x1|＝|y1|.而|x1|，|y1|分别是点M1到y轴，x轴的距离，因此点M1到两坐标轴的距离相等，即点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，y＝±x是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程．。

人教A版高中数学选修2-1习题课件：2.1 曲线与方程

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2.1 曲线与方程
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.求曲线方程的常用方法剖析:(1)直接法:建立适当的平面直角坐标系后,设动点坐标为 (x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式. (2)定义法:若所给几何条件正好符合圆等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. (3)相关点法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得动点坐标(x,y)所满足的关系式, 从而确定曲线方程.
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2.1 曲线与方程
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思本题一是要正确理解“不都在”的含义,二是要把握曲线与方程的关系.
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2.1 曲线与方程题型一Fra bibliotek题型二
题型三
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典例透析
【变式训练1】判断下列命题的正误,并说明理由: (1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程为|x|=2; (2)到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x. 解:(1)不正确.过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程是x=2.直线l 上的点的坐标都是方程|x|=2的解,而以|x|=2的解为坐标的点不全在直线l上. (2)不正确.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是第一、第三象限的角平分线(y=x)和第二、第四象限的角平分线(y=-x).以方程y=x 的解为坐标的点都在到两坐标轴的距离相等的直线上,而到两坐标轴的距离相等的点的坐标不全是方程y=x的解.
【做一做2】曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标

人教版高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

2016-2017年数学·人教A版选修2-1课件：2.1.1曲线与方程

解析：因为点 P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3
上，所以(cos α－2)2＋(sin α)2＝3，所以 cos α＝12，又因为 α∈[0，2π)，所以 α＝π3或53π. 答案：π3或53π
第二十七页，编辑于星期五：十七点四十七分。
1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．
[知识提炼·梳理] 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
第四页，编辑于星期五：十七点四十七分。
温馨提示 1．定义中的关系(1)说明曲线上所有点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是曲线的“纯粹性”． 2．定义中的关系(2)说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是曲线的“完备性”．
第五页，编辑于星期五：十七点四十七分。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
第九页，编辑于星期五：十七点四十七分。
4. 点 A(1，－2)在曲线 x2－2xy＋ay＋5＝0 上，则 a ＝________．
解析：由题意可知点(1，－2)是方程 x2－2xy＋ay＋5 ＝0 的一组解，即 1＋4－2a＋5＝0，解得 a＝5.
答案：5
第十页，编辑于星期五：十七点四十七分。
5．方程 y＝ x2－2x＋1所表示的曲线是_________．解析：y＝（x－1）2＝|x－1|＝x－1， x≥1，

人教A版选修2-1第二章第2课时同步练习§2.1.2求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是．7．已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则点P 的轨迹方程为：．８．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．9．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．10．已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．11．设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．12．如图，已知F(1，O)，直线l ：x = -1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．13．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．14．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。

人教A版选修2-1第二章第1课时同步练习§2.1.1 曲线与方程

§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在曲线C 上，那么（）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x,y ）=0B ．凡坐标不适合F （x,y ）=0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合F （x,y ）=0D ．不在C 上的点的坐标有些适合F （x,y ）=0，有些不适合F （x,y ）=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是（）A ．圆B ．直线C ．圆或直线D ．圆或两条射线3、到两定点A （0，0）、B （3、4）距离之和为5的点的轨迹是（）A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹4、如图所示，方程01=-+y x 表示的曲线是（）5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ，曲线2)2()3(22=-+-y x ，则点M （2，1）（）A ．在直线l 上，但不在曲线上B ．在直线l 上，也在曲线上C ．不在直线l 上，也不在曲线上D ．不在直线l 上，但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ，则有（）A ．方程0),(=y x F 表示的曲线是CB ．曲线C 的方程是0),(=y x FC ．点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD ．点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是（）A.．一个点 B ．四条直线 C ．正方形 D ．四个点9、如图所示，方程2x x y =表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是（）A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ，点A （3，0）、B （0，3），求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件（用m 的取值范围表示）。

【金版学案】高二数学人教A版选修2-1同步训练：2.1.1 曲线的方程与方程的曲线 Word版含解析[ 高考]

2．1.1 曲线的方程与方程的曲线基础梳理1．曲线的方程，方程的曲线．在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是________________．(2)以这个方程的解为坐标的点________________________________________________________________________．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．想一想：如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？2．曲线的方程、方程的曲线的判定．(1)判定曲线C 的方程是否为f (x ，y )＝0，需从两个方面进行：首先判定曲线C 上的点的坐标是否是________的解．其次判定方程f (x ，y )＝0的解是否都在________上．(2)已知两条曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，则它们的交点可以由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F （x ，y ）＝0，G （x ，y ）＝0的______来得到．想一想：在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程x －y ＝0有什么关系？基础梳理1．(1)这个方程的解 (2)都是曲线上的点想一想：若点P 在曲线上，则f (x 0，y 0)＝0；若f (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上．∴点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.2．(1)f (x ，y )＝0 曲线C (2)解想一想：直线上任一点M (x 0，y 0)，则x 0＝y 0，即点M (x 0，y 0)是方程x －y ＝0的解；如果(x 0，y 0)是x －y ＝0的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点都在直线上．自测自评1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1，5) D ．(4，4)2．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3两点，则a ＝________，b ＝________．自测自评1．D2．解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B3．解析：分别将A 、B 两点坐标代入方程得⎩⎨⎧4b ＝4，a 4＋3b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1. 答案：4 1基础巩固1．已知直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，3)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上1．解析：将x ＝2，y ＝3代入直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2的方程均成立，故点M (2，3)在直线l 上，也在曲线C 上，故选B.答案：B2．(2014·石家庄高二检测)方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()2．解析：方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．故选C.答案：C3．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x23．解析：主要考虑x，y的取值范围，选项A中y2＝x中y∈R，而y＝x中y≥0；选项B中y＝lg x2中x≠0，而y＝2lg x中x>0；选项C中y＋1x－2＝1中y∈R，x≠2，而lg(y＋1)＝lg(x－2)中y>－1，x>2，故只有D正确．答案：D4．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．4．解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：1能力提升5．(2014·安阳高二检测)曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2公共点的个数为( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2，y ＝－x ＋2，得－x ＋2＝1－x 2，两边平方并整理得(2x －1)2＝0，所以x ＝22，这时y ＝22，故公共点只有一个(22，22)．答案：C6．方程x 2－xy ＝2x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线6．解析：根据x 2－xy ＝2x 得x ＝0或x －y －2＝0，故表示两条直线．答案：C7．已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的一点，则m ＝__________．7．解析：因为点A (a ，2)在直线x －y ＝0上，得a ＝2，即A (2，2)．又点A 在曲线y ＝mx 2上，所以2＝m ·22，得m ＝12. 答案：128．给出下列结论：①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是________．8．解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，所以原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2，0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，所以方程表示四个点，所以③正确．答案：③9．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是什么图形？9．解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧1－y ＝1－|x |，1－|x |≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，|x |≤1，所以它表示的图形是两条线段y ＝－x (－1≤x ≤0)和y ＝x (0≤x ≤1)，如图所示．10．证明圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程是x 2＋y 2＝100，并判断点M 1(8，－6)、M 2(－43，5)是否在这个圆上．10．证明：设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于10，所以x 20＋y 20＝10，也就是x 20＋y 20＝100，即(x 0，y 0)是方程的解．设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝100的解，那么x 20＋y 20＝100，两边开方取算术根，得x20＋y20＝10，即点M(x0，y0)到原点的距离等于10，点M(x0，y0)是这个圆上的点．综上可知，x2＋y2＝100是圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程．把点M1(8，－6)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边相等，(8，－6)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－43，5)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边不相等，(－43，5)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．。

人教版A版高中数学高二选修2-1作业 2.1曲线与方程

A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠± )
解析：设动点M(x，y)，
则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．由 · ＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，
即x2＋y2＝1.故选A.
答案：A
3．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是()
解析：由题意知，∴a＝2，m＝ .
答案： 2
9．设P为曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，点P的坐标为(x0，y0)．由题意，知x0＝2x，y0＝2y，代入曲线方程，得x2－4y2＝1，故点M的轨迹方程为x2－4y2＝1.
D．既不充分又不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2 ，但当点M的坐标满足方程y＝－2 时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4,4)时．
答案：B
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得
＝2 ，
整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
S＝πr2＝4π.
答案：B
6．方程(x＋y－1) ＝0所表示的曲线是()
解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.
其中当x＋y－1＝0时，需有意义，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分及圆x2＋y2＝4.

2016-2017年数学·人教A版选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程

第二十二页，编辑于星期五：十七点四十七分。
[变式训练] 已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程．
解：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知 |OM|＝12|AB|＝3.
第二十三页，编辑于星期五：十七点四十七分。
答案：(x－1)2＋y2＝2
第十一页，编辑于星期五：十七点四十七分。
类型 1 直接法求曲线方程(自主研析) [典例 1] 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．
第十四页，编辑于星期五：十七点四十七分。
归纳升华 1．(1)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成 x，y 的形式 F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y)＝0. (2)要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
第七页，编辑于星期五：十七点四十七分。
2．已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(－ 3，0)，
B( 3，0)，顶点 C 的轨迹是( )
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点
D．两个点
答案：B
第八页，编辑于星期五：十七点四十七分。
3．在第四象限内，到原点的距离等于 2 的点 M 的轨迹方程是( )
(3)定义法：若能够确定动点的轨迹满足某类型曲线的定义(如圆的定义)，则根据曲线的定义可以直接写出轨迹方程．
(4)待定系数法：若根据条件能知道曲线方程的类型，则可先设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．

2016-2017学年高中数学人教版选修2-1课件：2.1 曲线与方程

5．一个动点到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍，求动点的轨迹方程．
解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线 x＝8 的距离为|x－8|，到点 A 的距离为 x－22＋y2. 由已知，得|x－8|＝2 x－22＋y2，化简得 3x2＋4y2＝48. 所以动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.
[解] 法一：设点 M 的坐标为(x，y)．
∵M 为线段 AB 的中点． ∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y)． ∵l1，l2 均过点 P(2,4)，且 l1⊥l2， ∴PA⊥PB，当 x≠1 时，kPA· kPB＝－1. 4－0 4－2y 2－y 2 2 2－y 而 kPA＝＝， k ＝＝， ∴ · ＝－1， 1 2－2x 1－x PB 2－0 1－x 1
[解]
(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方
程|x|＝2 的解；但以方程|x|＝2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上．因此，|x|＝2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy＝5；但以方程 xy＝5 的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy＝5.
1 解析：将点 P(2，－3)代入曲线方程得 4－9k＝1，∴k＝ . 3 1 答案： 3
4．设 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA| ＝1，则动点 P 的轨迹方程是________________．
解析：圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心为点 B(1,0)，半径 r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2. ∴P 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2