chap2c

解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应 为 t ≥ 0 +时的方程的解，初始条件
d n −1 r ( 0 + ) d r (0 + ) d 2 r (0 + ) r (0 + ) , , , L, 2 dt dt d t n −1
标注了状态变量的中耳电 路模型
⎧ dim 5 ⎪ La dt = u m 5 − u m 4 − Rm im 5 ⎪ ⎪ L dim 6 = u ( 2 ) − u ( 3) − u − i R m6 m6 0 ⎪ 0 dt ⎪ ⎪ L dim 7 = u + R (i − i − i ) m8 d 2 m4 m0 m7 ⎪ d dt ⎨ ⎪C du m 4 = i m5 ⎪ p dt ⎪ du ⎪C1 m 5 = im 4 − im 5 − u m 5 / Rm dt ⎪ ⎪ du ⎪C 0 m 6 = im 6 dt ⎩
2）中耳模型
中耳是将声音从气体传导向液体振动转换的中介。一端通过鼓 膜与耳道相连，另一端通过镫骨脚板与耳蜗的卵圆窗相连，其 间锤、砧、镫三块听小骨组成的听骨链将这两端连接起来。声 音从耳道到耳蜗的传递是通过鼓膜及听骨链进行的.声音振动 从鼓膜到锤骨，以及从砧骨到镫骨的传递是有衰减的。
声音在中耳的传递过程
∂w( x, t ) ⎧ ∂p ( x, t ) − = m0 ⎪ ∂x ∂t ⎪ ⎨ ∂w( x, t ) 1 ∂p ( x, t ) ⎪− = p ( x, t ) + k 0 ⎪ ∂x ∂t r0 ⎩
电声学等效关系
等效电学量（单位） 声学量（单位） 声强(dyn/cm2) 体速度(cm3/s) 声阻(dyn·s/cm5) 声质量(g/cm4) 声顺(cm5/dyn) 电压（V） 电流（A） 电阻（Ω） 电感（H） 电容（F）
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.６ §2.７ 简介线性系统时域分析方法 简介 求解系统微分方程的经典法 起始点的跳变 零输入响应和零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积 卷积的性质
§2.1 简介线性系统时域分析方法 简介
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分 、积分方程式，这种方法直观，物理概念比较清楚 系 统 分 析 过 程
(2)
当e (t ) = e t时, 很明显 , 可选 r (t ) =Be t。 这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Be t + 2 Be t + 3 Be t = e t + e t 1 B= 3 1 t 于是，特解为 e 。 3 上面求出的齐次解 rh (t )和特解 rp (t )相加即得方程的完全解
中耳被划分成5个功能块，将每个功能块用其相应的 等效电路来表示即可获得整个中耳的电路模型。
中耳功能图
中耳模型
标注了状态变量的中耳电路模型 模型中共有3个独立的电感，8个独立的电容，因此其可 以用11个状态变量来描述，其中3个是电感电流 （im 5 ~ im 7），另外8个是电容电压（ u m 4 ~ u m11 ）
若将其用每段长度均为 Δx的M段集总参数电路来近似，则其第 n段（n=1~M）可表示成下图所示电路，而整条传输线可由下 图的电路多级级连而成。
总的离散分级数M为4
ρa Lcl = 2 Δx, πacl
2 πacl Δx , C cl = 2 ρac
Rcl =
Lcl / C cl 2α cl Δx
Δx = lcl / M = lcl / 4, α cl 为单位长度耳道的有效衰减因子，
r (t ) = ∑ Ai eα i t + rp (t )
例2-2-2
电阻 电感 电容
求并联电路的端电压 v (t )与激励 i s (t ) 间的关系。
1 iR (t ) = v (t ) R i s (t ) 1 t i L (t ) = ∫ v (τ ) d τ L −∞ d v (t ) iC (t ) = C dt
iR R L iL C ic + a
(α + 2)2 (α + 3) = 0
α 1 = −2(重根 ) , α 2 = −3
因而对应的齐次解为
rh (t ) = ( A1t + A2 )e −2 t + A3e −3 t
例2-2-4
求特解
Байду номын сангаас
d r (t ) d e (t ) d 2 r (t ) +2 + 3r (t ) = + e (t ) 给定微分方程式 2 dt dt dt ( 如果已知：1) e (t ) = t 2 ; (2 ) e (t ) = e t , 分别求两种情况下此
v( t )
−
b
根据KCL
i R (t ) + i L (t ) + iC (t ) = iS (t )
代入上面元件伏安关系，并化简有
d iS (t ) d 2 v (t ) 1 d v (t ) 1 C + + v (t ) = 2 dt R dt L dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
du m 7 = im 4 − im 6 dt du C d 2 m 8 = im 4 − im 6 − im 7 dt du C d 3 m 9 = i m 4 − i m 6 − u m 9 / Rd 3 dt du C s m10 = im 6 − ris1 dt du C c m11 = ris1 dt Cd1
∂i ( x, t ) ⎧ ∂u ( x, t ) ⎪− ∂x = L0 ∂t ⎪ ⎨ ∂i ( x, t ) 1 ∂u ( x, t ) ⎪− u ( x, t ) + C 0 = ⎪ R0 ∂x ∂t ⎩
电学中的均匀传输线方程。由此可见，声学共鸣腔 可等效成电路中的一维传输线。
∂i ( x, t ) ⎧ ∂u ( x, t ) − = L0 ⎪ ∂x ∂t ⎪ ⎨ ∂i ( x, t ) 1 ∂u ( x, t ) 传输线是分布参数的 ⎪− u ( x, t ) + C 0 = ⎪ R0 ∂x ∂t ⎩
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 e(t )与响应信号 r (t )之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n −1 r ( t ) d r (t ) + C1 + L + C n −1 + C n r (t ) C0 n n −1 dt dt dt d m e( t ) d m −1 e ( t ) d e( t ) = E0 + E1 + L + E m −1 + E m e( t ) m m −1 dt dt dt
§2.2 求解系统微分方程的经典法
一．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性 常系数微分方程来描述。
二．微分方程的列写
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
⎧列写方程 : 根据元件约束 ,网络拓扑约束 ⎪ ⎧经典法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 零输入 : 可利用经典法求 ⎨ ⎪ ⎪ 解方程 ⎨双零法 ⎨ 零状态 : 利用卷积积分法求解 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪变换域法 ⎪ ⎩ ⎩
经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与δ (t) 有关的问题有待进一步解决—— h(t)； 卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲 激响应来求。
方程的特解。
(1)
将e (t ) = t 2 代入方程右端 , 得到 t 2 + 2t , 为使等式两端
平衡，试选特解函数式
rp (t ) = B1 t 2 + B2 t + B3
这里 , B1 , B2 , B3为待定系数。将此式代入方程得到
3 B1t 2 + (4 B1 + 3 B2 ) t + (2 B1 + 2 B2 + 3 B3 ) = t 2 + 2t
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
四．求解系统微分方程的经典法
求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。 齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n
Ak eα k t 注意重根情况处理方法。 ∑
k =1
特 全
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
⎧ 3 B1 = 1 ⎪ ⎨4 B1 + 3 B2 = 2 ⎪2B + 2B + 3B = 0 2 3 ⎩ 1
联解得到
1 2 10 B1 = , B2 = , B3 = − 3 9 27
所以，特解为
1 2 2 10 rp (t ) = t + t − 3 9 27
标注了状态变量的耳道的电路模型
⎧ Lc1 dim 0 ⎪ 2 dt = u in − u m 0 − Rm im 0 ⎪ ⎪ L dim1 = u − u m0 m1 ⎪ c1 dt ⎪ ⎪ dim 2 = u m1 − u m 2 ⎨ Lc1 dt ⎪ ⎪ dim 3 ⎪ Lc1 dt = u m 2 − u m 3 ⎪ ⎪ Lc1 dim 4 = u − u (1) m3 ⎪ 2 dt ⎩ du m 0 C c1 dt du m1 C c1 dt du C c1 m 2 dt du C c1 m 3 dt = im 0 − im1 − u m 0 / Rc1 = im1 − im 2 − u m1 / Rc1 = im 2 − im 3 − u m 2 / Rc1 = im 3 − im 4 − u m 3 / Rc1