江苏省响水中学高中数学第二章第三课时分段函数及函数的值域学案苏教版必修

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江苏省涟水中学苏教版高中数学必修一学案：2.1函数的定义域和值域

§9 函数的定义域和值域一、教学重难点：常见函数的定义域、值域的求法二、新课导航1．问题展示{}01)1(),0;(4)1f x x x R x ∈≠求函数定义域的一般原则（现在已经学过的）（）如果为分式，其定义域是使分母不为0的实数构成的集合；（2）如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数构成的集合；（3)f(x)=x 的定义域是且如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义。

2）求函数定义域的一般步骤（）列出使函数有意义的自变量所满足的式2(0)________________;(3)(0)k k xy ax bx c a ≠≠=++≠子（往往是一个不等式组）；（2）解这个不等式组；（3）把不等式组的解集表示成集合（或区间）的形式即为函数的定义域。

3）常见函数的值域（已经学过的）（1）一次函数y=kx+b(k 0)的值域是_____________;(2)反比例函数y=的值域是二次函数的值域，当a>0时，函数值域是___________ 当a<0时，函数值域是___________.三、.基础测评1)_____________;2)_____________.函数函数的值域为四、合作探究活动1、求定义域（1）x x x y -+=2)1( （2）11y x =+- （3）y =活动2、（1）函数2y x =的定义域是)5,2[)1,( -∞，其值域是（2）函数)0()(≥-=x x x x f 的最大值是（3）函数()11x f x x +=-的值域为______________________________活动3、作函数121-++=x x y 的图象，并求该函数的值域。

活动4、[)3+y =∞已知函数，，求a 的值。

高中数学第二章函数 2.1.2 函数的值域及图象教案苏教版必修1(2021年整理)

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2。

1函数的值域及图象（预习部分）教学目标1．理解函数图象的意义；2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；4．从“形"的角度加深对函数的理解．教学重点1. 会画简单函数的图象，并能利用图象判断函数值的变化趋势；2. 能求一些简单函数的值域。

教学难点1. 会画简单函数的图象，并能利用图象判断函数值的变化趋势；2。

掌握求函数的函数值,掌握函数值域的几种常用求法．四．教学过程(一）创设情境,引入新课见必修一教材第23页实例3.（二）推进新课1．函数图象的定义：将函数()()y f x x A =∈自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ．当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为()(){},|x f x x A ∈，即()(){},|,x y y f x x A =∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．注意:函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系是：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域,在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的值域．2．几个基本函数的图象函数图象常数函数()()f x a a R =∈一次函数()()0f x kx b k =+≠二次函数()()20f x ax bx c a =++≠反比例函数()()0k f x k x =≠3。

高中数学第二章《二分法求方程的近似解》导学案苏教版必修1

江苏省响水中学高中数学第二章《二分法求方程的近似解》导学案苏教版必修11.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.2.能够借助计算机或计算器求方程的近似解.3.掌握函数零点与方程根之间的关系,初步形成用函数观点处理问题的能力.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如果沿着线路一小段一小段查找,非常困难,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长,大约有200多根电线杆.问题1:请你帮他设计一个较为简便的维修方案来迅速查出故障所在.利用二分法的原理进行查找,如图,记两地分别为A,B,首先从中点C开始查,用话机向两端测试,若AC正常,则断定故障在BC,再到BC的中点D向两侧查找,这次若发现BD正常,则故障在CD段,再到CD的中点E去查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,就可将故障发生的范围缩小到50~100 m之间,即一两根电线杆附近.问题2:什么是二分法?对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.问题3:用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤是怎样的?(1)首先要有初始“解区间”[a0,b0],验证满足f(a0)·f(b0)<0,给定精确度ε,其方法一般有、、等;(2)求区间(a0, b0)的中点x1;(3)计算f(x1).①,则x1就是函数的零点;②若,则令b=x1(此时零点x0∈(a0,x1));③若,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b0));(4)判断是否达到精确度要求.若将a、b按四舍五入法精确到要求的ε所得到的值相同,则就认为达到要求的精确度.否则重复(2)(3)(4).以上求函数f(x)零点近似值的方法也称为二分法.问题4:二分法蕴含的数学思想有、补集(正难则反)等重要数学思想,但二分法的计算量大,不利于人工计算,在计算机未发明之前不被人重视,但随着科技的不断发展,计算机计算能力越来越精密、快速,二分法得到了广泛的应用,一些求方程的根的难题都迎刃而解了.1.对于连续函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下:f(2007)<0,f(2008)<0,f(2009)>0,则下列叙述正确的是.①函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点;②函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点;③函数f(x)在(2008,2009)内存在零点,并且仅有一个;④函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点.2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是下列区间中的.①[-2,1];②[-1,0];③[0,1];④[1,2].3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01),验证f(2)·f(4)<0,取区间[2,4]的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在区间是.4.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,得到的参考数据如下:f(1.6000)=0.20f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067f(1.5625)=0.003 f(1.55625)=-0.029f(1.5500)=-0.060据此数据,求f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01).二分法的概念下列关于二分法的叙述,正确的是.①二分法可求函数所有零点的近似值;②利用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位有效数字;③二分法无规律可循,无法在计算机上实施;④只在求函数零点时,才可用二分法.利用二分法求函数的近似零点或方程的近似解借助计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解为.(精确到0.1)利用二分法思想在实际问题中的应用在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为.借助计算器,用二分法求函数f(x)=2x+0.5,g(x)=7x的图象交点的横坐标(精确到0.1).从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点?1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的近似值的是.2.若函数f(x)满足f(1)·f(2)<0,用二分法逐次求f(x)零点的近似值,下一步应该求的值是.3.设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为(区间长度0.25).4.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).已知函数f(x)=ln x+2x-6.(1)求证:函数f(x)在其定义域上是增函数;(2)求证:函数f(x)有且只有一个零点;(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过.(不能用计算器)考题变式(我来改编):第11课时二分法求方程的近似解知识体系梳理问题3:(1)估测法列表法图象法(3)①若f(x1)=0②f(a0)·f(x1)<0③f(x1)·f(b0)<0问题4:分类讨论基础学习交流1.④f(2007)·f(2008)>0不能说明函数f(x)在(2007,2008)内无零点,①错;又∵f(2009)>0,∴f(2008)·f(2009)<0,故f(x)在(2008,2009)内存在零点,但不能说明仅有一个零点,故②③错;④正确.2.①∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.3.(2,3)∵f(2)·f(4)<0,f(2)·f(3)<0,∴f(3)·f(4)>0,∴x0∈(2,3).4.解:由表中f(1.5625)=0.003,f(1.55625)=-0.029,因为1.5625与1.55625精确到0.01的近似值都为1.56,所以该函数的零点的近似值为1.56.重点难点探究探究一:【解析】用二分法求零点的函数必须满足函数图象在零点附近是连续不断的,且在该零点左右的函数值异号,故①错;二分法是有规律可循的,可以通过计算机来执行,故③错;求方程的近似解也可用二分法,故④错.【答案】②【小结】应用二分法求函数的近似零点的前提条件是函数存在零点,并且满足零点存在性定理,也就是函数连续不断,且在零点左右两侧函数值异号,不满足这些特征的函数是无法利用二分法来求解的.探究二:【解析】原方程可化为2x=7-3x,在同一坐标系中画出函数y=2x与y=7-3x的图象(如图),由图可知交点的横坐标在1、2之间,考察函数f(x)=2x+3x-7,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33,因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).依次可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),此时区间(1.375,1.4375)的两个端点值精确到0.1的近似值都是1.4,所以原方程精确到0.1的近似解为x≈1.4.【答案】x≈1.4【小结】用二分法求解方程的近似解要注意熟记步骤,同时要注意解的精确度.探究三:【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.【答案】4【小结】二分法思想在本题中还不是最佳方法,这类题目采用三分法思想能更加有效地发现假币,即三分26枚硬币,不能整除则第3组少一枚,即分为9、9、8,把硬币数9枚的两组硬币的放天平两端,若相等,则假币在8枚硬币的组里,若不相等,则假币在较轻的硬币组里,三分法思想能更快地发现假币,但二分法思想更具有普遍性.思维拓展应用应用一:4,3图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以能用二分法求解的个数为3.应用二:令h(x)=f(x)-g(x)=2x-7x+0.5.∵h(0)=0.5,h(1)=-4.5,∴h(0)·h(1)<0.∴函数h(x)的零点x0∈(0,1).取区间(0,1)的中点x1=0.5,借助计算器计算得h(0.5)≈-0.732,∴h(0.5)·h(0)<0,∴函数h(x)的零点x0∈(0,0.5),同理可得,x0∈(0.25,0.5),x0∈(0.25,0.375),x0∈(0.25,0.3125),由于区间(0.25,0.3125)两端点值精确到0.1的近似值都是0.3.∴函数h(x)精确到0.1的零点值为0.3,即已知函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为0.3.应用三:先检查中间的1个接点,若正常,则可断定故障在其另一侧的7个接点中;然后检查这一段中间的1个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的3个接点中;最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.基础智能检测1.②从图象上可以看出②中图象在零点左右两边都大于零,所以不能用二分法求函数零点的近似值.2.f(1.5)由题意,下一步应求f(1.5),即区间[1,2]的中点的函数值.3.(1.25,1.5)∵f(1)<0,f(1,25)<0,f(1.5)>0,故方程的根落在(1.25,1.5)上.4.解:由于f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数f(x)是单调增函数,所以函数在区间(1,2)内有唯一零点,不妨设零点为x0,则x0∈(1,2).下面用二分法求解.区间中点的值中点函数的近似值(1,2) 1.5 1.328 (1,1.5) 1.25 0.128 (1,1.25) 1.125 -0.444 (1.125,1.25)1.1875 -0.160(1.875,1.25)1.21875 -0.016(1.21875,1.25) 1.2343750.056所以x0∈(1.21875,1.234375),又1.21875与1.234375精确到0.1的近似值都为1.2,所以函数在(1,2)内的零点的近似值为1.2.全新视角拓展(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),设x1<x2,则ln x1<ln x2,2x1<2x2.∴ln x1+2x1-6<ln x2+2x2-6,∴f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在(0,+∞)为增函数.(2)∵f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0.∴f(2)·f(3)<0,∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点.由(1)知f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,从而f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.(3)由f(2)<0,f(3)>0,∴f(x)的零点x0∈(2,3).取x1=,∵f()=ln-1=ln-ln e<0,∴f()·f(3)<0,∴x0∈(,3).取x2=,∵f()=ln-=ln-ln >0,∴f()·f()<0,∴x0∈(,).而|-|=≤,∴(,)即为符合条件的区间.思维导图构建f(a)·f(b)<0c。

江苏省响水中学高中数学第2章《统计》平均数及其估计导学案苏教版必修3

江苏省响水中学高中数学第2章《统计》平均数及其估计导学案苏教版必修3
学习目标
1.理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平.
2.初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究,提高统计的准确性和科学性.
一、基础知识导学
某校高二（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度。

全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据：9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计?
二、基础学习交流
1．平均数的定义：
2. 可用样本平均数估计总体水平的理论依据:
3．平均数的特性：
探究二
下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率颁表（单位：小时），试估计该学生的日平均睡眠时间.
睡眠时间人数频率
[6，6.5） 5 0.05
[6.5，7）17 0.17
[7，7.5）33 0.33
[7.5, 8）37 0.37
[8，8.5） 6 0.06
[8.5，9] 2 0.02
合计100 1
探究三
某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000、40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%、15%、20%、25%、15%、10%、、5%，试估计该单位职工的平均年收入.。

江苏省响水中学高中数学第二章《函数的单调性》导学

江苏省响水中学高中数学第二章《函数的单调性》导学案苏教版必修11.能利用函数的图象研究函数的单调性.2.理解并掌握函数单调性的概念及其几何意义,会求函数的单调区间.中国传奇女子网球巨星李娜截止到2014年元旦世界排名第3,夺得了7个冠军,制造了中国网球多项纪录,她的打球特点是力量大、速度快、落点准,球在空中划过一道精美的曲线,上图是李娜的一记S球的电脑数据,我们把球在运动时的高度绘制成关于运动时间的函数图象.问题1:依据网球上升和下降的路径变化可以把图象分为部分,总体上看函数图象的变化是先上升后降再,最后,利用函数的可以研究函数图象上升与下降的变化过程.问题2:(1)①增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的两个自变量的值x1,x2,当时,都有,那么就说f(x)在区间D 上是增函数,区间D称为y=f(x)的.②减函数:如果对于区间D上的两个自变量的值x1,x2,当时,都有,那么就说f(x)在这个区间上是减函数,区间D称为y=f(x)的.(2)如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么我们说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,称函数y=f(x)为.问题3:增函数和减函数的图象有什么特征?在单调区间上增函数的图象从左到右是的、减函数的图象从左到右是的.问题4:基本函数的单调性质(1)一次函数f(x)=kx+b(k≠0):当k>0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间;当k<0时,y=f(x)的单调增区间,单调增区间为.(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):当a>0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间为.当a<0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间为.(3)反比例函数f(x)=(k≠0):当k>0时,y=f(x)的单调增区间,单调减区间为,上述的单调减区间不能用并集连接,小组讨论原因.当k<0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间.1.右图是函数y=f(x),x∈R的图象,则函数f(x)在R上单调递.2.函数y=的减区间是.3.已知函数f(x)=(5a-1)x+2在R上是增函数,则a的取值范围是.4.下图是定义在区间[-4,7]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数.利用图象研究函数的单调区间画出下列函数的图象,求下列函数的单调区间并指出每一个单调区间上函数的单调性.(1)y=-5x+2;(2)y=3|x|;(3)y=x2+2x-3.基本函数单调性的应用已知二次函数y=ax2+bx+1的单调递减区间是[-2,+∞).则一次函数y=bx+a的图象大致是.由函数的单调性求参数的取值范围已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范围.画出下列函数的图象,并指出函数的单调区间及每一个单调区间上函数的单调性.(1)y=|x-1|;(2)y=x2-2|x|+1.若一次函数f(x)=kx+k满足f()<f(),则该函数的图象不可能经过的象限是第象限.已知函数y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,试比较f()与f(a2-a+1)的大小.1.已知函数f(x)=-x2,则函数f(x)的单调增区间是.2.若函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则f(a2+1)f(a)(填“>”“<”或“=”).3.下列函数在区间(0,2)上为增函数的是.①y=-3x+1;②y=;③y=x2-4x+3;④y=.4.画出函数y=|x2-4x+3|的图象并指出其单调区间.(2013年·浙江卷)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则().A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0考题变式(我来改编):第4课时函数的单调性知识体系梳理问题1:4上升下降单调性问题2:(1)①任意x1<x2f(x1)<f(x2)单调递增区间②任意x1<x2f(x1)>f(x2)单调递减区间(2)单调函数问题3:上升下降问题4:(1)R不存在不存在R(2)[-,+∞)(-∞,-)(-∞,-](-,+∞)(3)不存在(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)不存在基础学习交流1.增由图象的“升降”可知函数在R上单调递增.2.(-∞,0),(0,+∞)函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),但是其在定义域上不单调,它有两个单调减区间,应该写为(-∞,0),(0,+∞).3.(,+∞)由5a-1>0,解得a>.4.解:函数y=f(x)的单调区间有[-4,-1.5),[-1.5,3),[3,5),[5,6),[6,7].其中y=f(x)在区间[-4,1.5),[3,5),[6,7]上是减函数,在区间[-1.5,3),[5,6)上是增函数.重点难点探究探究一:【解析】(1)函数y=-5x+2的图象如图所示,其单调区间为R,在R上为减函数.(2)函数y=3|x|=其图象如图所示,单调减区间为(-∞,0),单调增区间为[0,+∞).(3)函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4开口向上,对称轴方程为x=-1,图象如图所示,单调减区间为(-∞,-1),单调增区间为[-1,+∞).【小结】(1)由图象的升降可判断函数的单调性;(2)熟练掌握常见函数的单调性:①一次函数y=kx+b的单调性由参数k决定;②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性与开口方向和对称轴有关.探究二:【解析】依题意可得-=-2,a<0,所以b<0,所以y=bx+a的图象大致为④中的图象.【答案】④【小结】掌握基本函数的单调性是解决本题的关键.探究三:【解析】由题意可知解得0<a<1. ①又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),所以1-a>2a-1,即a<. ②由①②可知,0<a<.故所求a的取值范围是(0,).【小结】解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.若函数y=f(x)在区间D上是增函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),有x1<x2;若函数y=f(x)在区间D上是减函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),有x1>x2,需要注意的是,不要忘记函数的定义域.思维拓展应用应用一:(1)函数可化为y=其图象如图甲,根据图象,可以看出函数y=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.(2)函数y=x2-2|x|+1=其图象如图乙,由图象可以看出,该函数在(-∞,-1)上单调递减,在[-1,0)上单调递增,在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.应用二:一由f()<f()可知一次函数f(x)=kx+k是减函数,所以k<0,与y轴交点为(0,k),所以函数的图象不经过第一象限.应用三:∵a2-a+1=(a-)2+≥,又y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,∴f(a2-a+1)≤f().基础智能检测1.(-∞,0)f(x)的图象开口向下,对称轴为x=0,所以f(x)在(-∞,0)上是增函数.2.< ∵a2+1-a=(a-)2+>0,∴a2+1>a,∴f(a2+1)<f(a).3.②显然①④在(0,2)上为减函数;③中y=x2-4x+3=(x-2)2-1的对称轴为x=2,∴此函数在(0,2)上为减函数.4.解:函数的图象如图所示.由图可知,函数的增区间为[1,2],[3,+∞);减区间为(-∞,1),(2,3).全新视角拓展A由题意可得a>0,结合f(0)=f(4)得c=16a+4b+c,即4a+b=0.思维导图构建f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)。

高中数学第二章函数2.3映射的概念学案苏教版必修108012135

高中数学第二章函数2.3映射的概念学案苏教版必修1080121351．了解映射的概念及表示方法．(重点)2．会判断一个对应是否为映射．(难点)[基础·初探]教材整理映射的概念阅读教材P46至P47“思考”，完成下列问题．1．映射一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记为f ：A→B.2．映射与函数的关系由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A，B为两个非空数集．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)若f 是集合A到集合B的一个映射，则A中每个元素在B中都有象，且象是唯一的．( )(2)映射不一定是函数，但函数一定是映射．( )(3)映射无方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是相同的．( )(4)已知f 是A到B的一个映射，其中A中含2个元素，B中含3个元素，则这样的映射共有8个．( )【解析】(1)符合映射的定义，正确．(2)函数是特殊的映射，正确．(3)映射有方向性，从A到B的映射与从B到A建立的映射不同．(4)从A到B可以建立32＝9个映射．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×2．下图给出的四个对应中是从A到B的映射的是________．(填序号)【解析】①不是映射，因为元素2在B中没有元素与之对应；②是映射，满足单值对应；③不是映射，因为元素3在B中有两个元素与之对应；④是映射，满足单值对应．【答案】②④[小组合作型]映射的判定(1)在如图所示的对应中是A到B的映射的是________．(填序号)(2)在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？①A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}，对应法则f ：“加1”；②A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f ：“求平方根”；③A＝N，B＝N，对应法则f ：“3倍”；④A＝R，B＝{正实数}，对应法则f ：“求平方的倒数”；⑤A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应法则f ：A中的元素对应它的内接矩形．【精彩点拨】紧扣映射的定义进行判断，看A中元素是否均有对应元素且对应形式是多对一或一对一．【自主解答】 (1)结合映射的定义，对于①②，集合A 的元素在集合B 中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而③，④符合要求，能构成映射．【答案】 ③④(2)①集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然对应关系f 是A 到B 的映射．②集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应关系f 不是A 到B 的映射．③集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f 是从A 到B 的映射．④当x ＝0∈A 时，1x2无意义，故关系f 不是从A 到B 的映射．⑤一个圆可以有多个内接矩形，故f 不是从A 到B 的映射．1．判断f ：A →B 是否是A 到B 的映射，须注意两点： (1)明确集合A ，B 中的元素；(2)判断A 中的每个元素是否在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应． 2．映射须满足：A 中元素不剩且一对一或多对一．3．若对应f ：A →B 不是映射，只需举一个反例，说明A 中的元素在B 中无对应元素或A 中的元素在B 中有两个或两个以上的对应元素即可．[再练一题]1．判断下列对应是否是映射，是否是函数． (1)A ＝N ，B ＝N *，f ：x →|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；(2)A ＝R ，B ＝{1,2}，f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ≥0，2x <0；(3)A ＝{平面M 内的三角形}，B ＝{平面M 内的圆}，对应法则是“作三角形的外接圆”．【解】 (1)∵1∈A ，在f 作用下，1→|1－1|＝0∉B ， ∴不是映射，故也不是函数．(2)对于A 中元素x ≥0时与B 中的元素1对应，而当x <0时与B 中的元素2对应，因此能构成映射，又A ，B 均为数集，因此也能构成函数．(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆唯一，因此能构成从A 到B 的映射，但由于A ，B 都不是数集，因此不能构成函数．映射概念的应用给定从集合A 到集合B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，集合A ，B 都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射f 下，对应到集合B 中元素(3,1)的A 中的元素是________，若(3,1)在A 中，则(3,1)对应的B 中元素为________.【精彩点拨】分清(3,1)在A 中还是在B 中．若(3,1)在A 中，则直接代入对应法则．若(3,1)在B 中，则可以采用方程(组)思想求解．【自主解答】令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴B 中元素(3,1)对应A 中元素(1,1)．令x ＝3，y ＝1，则x ＋2y ＝5,2x －y ＝5， ∴A 中元素(3,1)对应B 中元素(5,5)．【答案】 (1,1) (5,5)求对应元素的一般思路若已知A 中的元素a ，求B 中与之对应的元素b ，这时只要将元素a 代入对应法则f 求解即可；若已知B 中的元素b ，求A 中与之对应的元素a ，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个．[再练一题]2．在映射f ：A →B 中，A ＝R ，B ＝R ，且f ：x →|2x ＋3|，则与B 中的元素5对应的A 中的元素为________，A 中元素2对应的B 中元素为________．【解析】令|2x ＋3|＝5，∴2x ＋3＝±5，∴x ＝1或－4. 当x ＝2时，|2x ＋3|＝7. 【答案】 1或－4 7[探究共研型]映射的个数探究1 若A ＝{a 1，a 2，a 3}，B ＝{b 1}，则从A 到B 可以建立多少个映射？试写出来．【提示】共1个映射．探究2 若A ＝{a 1，a 2，a 3}，B ＝{b 1，b 2}，则从A 到B 可以建立多少个映射？试写出来．【提示】共8个．探究3 若A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．【提示】共9个．探究4 从以上三个探究中，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A到B可以建立的映射有多少个？【提示】从前三个探究看，A中元素个数分别为3,3,2，B中元素个数分别为1,2,3，则从A到B建立的映射个数为1,8,9，∵1＝13,8＝23,9＝32，故从A到B建立的映射个数为n m.已知集合A＝{a，b，c}，B＝{2,3,4}，映射f ：A→B满足A中元素a 在B中对应的元素为4，则这样的映射有________个．【精彩点拨】可将问题转化为集合{b，c}向集合B建立映射的个数．【自主解答】因为A中的元素a对应B中的元素4已经确定，故所有从A到B建立的映射便与集合{b，c}到B＝{2,3,4}建立的映射个数相同，共有32＝9个．【答案】91．设集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N共可建立n m个不同映射；从N到M共可建立m n个不同映射．2．对于有限定条件的映射个数问题，常采用列举法求解，当然也可以在已考虑已知限制条件的情况下，将问题转化为无约束条件的第1类问题．[再练一题]3．设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}， (1)求从M 到N 的映射个数；(2)从M 到N 的映射满足f (a )>f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数．【解】 (1)M 中元素a 可以对应N 中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M 中元素b ，c 也各有3种对应方法．因此从M 到N 的映射个数为3×3×3＝27.(2)满足f (a )>f (b )≥f (c )的映射是从M 到N 的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表)：f (a )f (b )f (c )0 －2 －2 2 －2 －2 2 0 －2 2故符合条件的映射有4个.1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是________．(填序号) ①A 中的每一个元素在B 中必有元素与之对应； ②B 中每一个元素在A 中必有元素与之对应； ③A 中的一个元素在B 中可以有多个元素与之对应； ④A 中不同元素在B 中对应的元素可能相同．【解析】根据映射的定义，只有①④符合．【答案】 ①④ 2．以下四个对应：(1)A ＝N ＋，B ＝N ＋，f ：x →|x －3|；(2)A ＝Z ，B ＝Q ，f ：x →2x；(3)A ＝N ＋，B ＝R ，f ：x →x 的平方根；(4)A ＝N ，B ＝{－1,1,2，－2}，f ：x →(－1)x .其中能构成从A 到B 映射的为________．(填序号)【解析】 (1)当x ＝3时，|x －3|＝0∉N ＋，所以(1)不能构成从A 到B 的映射；(2)当x＝0时，2x不存在，即在B 中不存在与0对应的项，所以(2)不能构成从A 到B 的映射；(3)当x ＝4时，x 的平方根为±2，即集合A 的元素4，在集合B 中有两个元素和它对应，所以(3)不能构成从A 到B 的映射；(4)当x 为偶数时，(－1)x ＝1∈B ；当x 为奇数时，(－1)x＝－1∈B ，所以(4)能构成从A 到B 的映射．【答案】 (4)3．已知集合A 到B 的映射f ：x →y ＝2x ＋1，那么集合A 中元素2在B 中对应的元素是________．【解析】将x ＝2代入y ＝2x ＋1，得y ＝5. 【答案】 54．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }，则从A 到B 可以建立不同的映射个数为________．【解析】从A 到B 的不同映射的个数为23＝8个．【答案】 85．集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f ：(x ，y )→(x 2＋y 2，xy )，求B 中的元素(5,2)所对应A 中的元素.【解】依题可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，xy ＝2，①②①＋2×②，得(x ＋y )2＝9，∴x ＋y ＝±3. 于是，原方程组可化为如下的两个方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，xy ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝2；⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝1；⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝－2；⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝－2，y 4＝－1，∴B 中的元素(5,2)对应A 中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)．。

高中数学第二章函数 2.1.1 函数的概念和图象(3)学案(无答案)苏教版必修1(2021年整

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函数的概念和图象（3)【学习目标】1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念,进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义,会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考。

【课前导学】1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A 为函数的定义域，集合B 的作用是什么呢？【课堂活动】一、建构数学：1．函数的值域：(1)按照对应法则f ，对于A 中所有x 的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域;（2）值域是集合B 的子集．2.反比例函数、一次函数、二次函数的值域:（1）函数1y x =的值域为 ;函数()0k y k x=≠的值域为。

（2）函数y kx b =+，当x R ∈时，函数的值域为；当0k >，[],x m n ∈时，函数的值域为。

(3)已知函数2y ax bx c =++，当0a >时，值域为；当0a <时，值域为 .3．函数值域的求法函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的,因此,要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析,常用的方法有:(1）观察法；(2）图象法；(3)配方法；(4）换元法.二、应用数学：例1 已知函数f (x ）＝x 2＋2x ，求 f （－2），f (－1），f (0)，f（1）．例2 根据不同条件,分别求函数f (x ）＝(x -1）2＋1的值域．(1）x ∈｛－1,0，1,2，3}；（2）x ∈R；(3）x ∈［－1，3］；（4）x ∈(－1，2］；（5)x ∈（－1，1)．例3 求下列函数的值域:①y ＝24x + ②y 24x -．③=y 1+x x； ④=y 2211x x +-；⑤=y 12-+x x三、理解数学：课本P 31—5，8，9．四、作业高一（）班姓名学号1.函数y =)1(1>x x的值域是2.下列函数中，值域是（0,∞+）的是——-----—--———-—-—--—-—---—-——---［ ]A ．y = 132+-x xB ．y =21+x （)0>xC ．12++=x x yD ．21xy = 3。

江苏省响水中学高中数学第二章《函数单调性的应用》导学案苏教版必修1

江苏省响水中学高中数学第二章《函数单调性的应用》导学案苏教版必修11.会利用作差法判断或证明函数的单调区间.2.能根据函数的单调性求函数的最值及函数的值域.基本函数的单调性可以根据函数的图象归纳其单调性,那么还有很多函数不是基本函数,而是由几个基本函数通过加减等各种运算复合而成的,它们的图象我们并不熟悉,那么这类函数的单调性怎么判断?问题1:(1)比较两个数a,b的大小可以通过作差来判断,即a-b<0⇔,a-b=0⇔,a-b>0⇔,形如这样比较大小的方法称为作差比较法.(2)判断函数f(x)在区间D上的单调性,可以先给出区间D上的任意两个数x1,x2,假设x1<x2,再作差f(x1)-f(x2),通过化简、因式分解(若有分母,则先通分)等方法进行变形,判断出f(x1)-f(x2)的符号,若f(x1)-f(x2)<0恒成立,则f(x)在区间D上是,若f(x1)-f(x2)>0恒成立,则f(x)在区间D上是,以上通过作差法判断单调性的步骤可以简化为3个环节,即作差→变形→定号.问题2:函数的最大值与最小值是如何定义的?(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有;②存在x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.(2)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有;②存在x0∈I,使得,那么,称M是函数y=f(x)的最小值.问题3:函数最值定义中的不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数;这个函数的图象特征是有,并且最高点的是M.f(x)≥M反映了函数y=f(x)的所有函数值不小于实数;这个函数的图象特征是有,并且最低点的是M.问题4:函数的值域与最值有何区别?(1)函数的值域是一个集合,而函数的最值属于这个集合.(2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小)值.例如,函数y=,x∈(0,+∞)的值域为(0,+∞),它并不存在最大(小)值.1.若a>b>1,M=a+,N=b+,则M,N的大小关系是.2.已知函数f(x)=ax+b在R上是增函数,那么函数f(x)=x2+2ax+b在(0,+∞)上单调递.3.函数y=-3x2+2在区间[-1,2]上的最大值为.4.求函数f(x)=的最大值.函数单调性的判断与证明利用函数单调性的定义,证明函数f(x)=在区间[0,+∞)上是增函数.利用单调性求函数的值域或最值求函数y=在区间[3,7]上的最大值和最小值.应用问题中的最值问题当季节交替时,季节性服装价格也会有一定的变化.设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t∈N+,试问该服装第几周每件销售利润最大?最大值是多少?(注:每件销售利润=售价-进价)画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.(1)函数f(x)=在区间[2,4]上的最大值为,最小值为.(2)求函数f(x)=2x2-4x+5在区间[-3,2]上的值域.某旅行团去风景区旅游,对机票费用有如下规定:若每团人数不超过30人,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠,每多1人,机票每张减少10元.每个团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元,假设一个旅行团体不能超过70人.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数式.(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?1.函数y=-x2+4x(-1≤x≤3)的最大值和最小值分别是.2.函数f(x)=则f(x)的最大值和最小值分别为.3.函数y=(≤x<1)的值域是.4.已知m≠0,f(x)=mx-1(≤x≤)的最大值和最小值异号,求实数m的取值范围.(2013年·四川卷)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .考题变式(我来改编):第5课时函数单调性的应用知识体系梳理问题1:(1)a<b a=b a>b (2)增函数减函数问题2:(1)①f(x)≤M ②f(x0)=M(2)①f(x)≥M ②f(x0)=M问题3:M 最高点纵坐标M 最低点纵坐标基础学习交流1.M>N M-N=a+-b-=(a-b)-=,因为a>b>1,所以a-b>0,ab-1>0,ab>0,所以M-N>0,即M>N.2.增因为函数f(x)=ax+b在R上是增函数,所以a>0,函数f(x)=x2+2ax+b的对称轴是x=-a<0,所以在(0,+∞)上是增函数.3.2函数y=f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(0)=2.4.解:当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.重点难点探究探究一:【解析】任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x 1)-f(x2)=-==,∵0≤x 1<x2,∴x1-x2<0,+>0.从而知f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=在区间[0,+∞)上是增函数.【小结】对于本题,很可能会认为由0≤x 1<x2可直接得到0≤<,这种做法在高一初学阶段的理由是不充分的,因为这个结论的得出恰恰是利用了函数f(x)=的单调性,而此点是需要证明的.探究二:【解析】y==2+,设3≤x1<x2≤7,则有f(x1)-f(x2)=-==.∵3≤x1<x2≤7,∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间[3,7]上是减函数.∴当x=3时,函数y=在区间[3,7]上取得最大值f(3)=3;当x=7时,函数y=在区间[3,7]上取得最小值f(7)=.【小结】如果函数在区间[a,b]上是单调函数,则可利用单调性求出该函数在区间[a,b]上的最大(小)值.探究三:【解析】(1)P=(2)二次函数最值分3种情况计算:若t∈[0,5](t∈N+),L=10+2t+0.125(t-8)2-12,则当t=5时,L max=9.125元;若t∈(5,10](t∈N+),L=20+0.125(t-8)2-12,则当t=6或10时,L max=8.5元;若t=(10,16](t∈N+),L=40-2t+0.125(t-8)2-12,则当t=11时,L max=7.125元.故第五周每件销售利润最大,最大值为9.125元.【小结】①解实际应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围.②实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决,本题转化为二次函数求最值,利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.思维拓展应用应用一:函数图象如图所示.由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1]上是递增的,在[-1,0]和(1,+∞)上是递减的,最高点是(±1,4),故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;函数在[-1,0],(1,+∞)上是减函数.函数的最大值是4.应用二:(1)(1)∵f(x)===1-,∴函数f(x)在[2,4]上是增函数,∴y min=f(2)==,y max=f(4)==.(2)∵f(x)=2x2-4x+5=2(x-1)2+3,∴二次函数f(x)的对称轴为直线x=1.由二次函数的性质可知f(x)在[-3,1]上为减函数,在[1,2]上为增函数.∴当x=1时,f(x)取得最小值3;当x=-3时,f(x)取得最大值35.∴f(x)的值域是[3,35].应用三:(1)设旅行团的人数为x,机票价格为y元,则y=即y=(2)设旅行社可获得利润为Q元,则Q=即Q=当x∈[1,30]时,Q max=900×30-15000=12000(元),当x∈(30,70]时,Q=-10(x-60)2+21000,即当x=60时,Q max=21000(元),故当每团人数为60时,旅行社可获得最大利润21000元.基础智能检测1.4和-5f(x)的最大值为f(2)=4,最小值为f(-1)=-5.2.10和6当-1≤x<1时,6≤x+7<8,当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10,∴f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10.3.(1,2]y=在[,1)上单调递减,故值域为(1,2].4.解:∵f(x)=mx-1在[,]上单调,∴依题意有f()·f()<0,即(-1)(-1)<0,∴(m-2)(m-3)<0.则有或∴2<m<3.即m的取值范围是(2,3).全新视角拓展36∵f(x)在x=3处取得最小值,a>0,x>0,该函数为“双勾函数”,∴f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.又f(x)=4x+=(2-)2+4,∴当2=,且x=3时,f(x)取最小值,解得a=36.思维导图构建f(b)f(a)f(b)f(a)。

高中数学第二章《函数性质的综合应用》导学案苏教版必修1

高中数学第二章《函数性质的综合应用》导学案苏教版必修1 江苏响水中学数学第二章“函数性质的综合应用”指导案例苏教育版必修11。

归纳函数的单调性、奇偶性和判断方法。

2。

利用函数的单调性和奇偶性解决综合问题。

3年，我们通过结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性，总结了一些特殊函数的性质。

在之前，我们学习了函数的单调性、奇偶性和最大值。

对于单调性，我们主要需要掌握增函数和减函数的定义和证明，图像特征，以及单调性的综合应用。

对于奇偶性，应掌握奇偶性的定义、判断方法和图像特征。

寻找最大值的方法是这一部分的重点之一。

应该注意通过一些典型的话题来掌握一些常用的方法。

在学习性质上的综合应用是本部分的重点和热点。

这堂课将讨论性质的综合应用。

问题1:函数单调性的证明或判断方法的归纳:(1)定义(差分法)；→号码固定；(2)直接使用已知函数的单调性(如，，反比例函数等。

)；(3)如果f(x)是区间D上的增(减)函数，那么f(x)也是任何非空区间D上的增(减)函数；(4)图像法:根据图像的上升或下降趋势判断函数的单调性；(5)对称单调性区间中奇数函数的单调性和对称单调性区间中偶数函数的单调性。

问题2:判断函数的奇偶性:(1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称；如果域关于原点不对称，函数f(x)；(2)在定义域关于原点对称的前提下，研究了f(x)与f(-x)或-f(x)之间的关系。

如果是这样，函数f(x)是一个偶数函数；如果是这样，函数f(x)就是奇数函数。

问题3:求函数f(x)的值域或最大值的常用方法有:、、单调性判断法等。

问题4:两个重要函数的性质:(1)y=ax+(a>0，b>0的性质):这个函数的定义域是，满足f(-x)=-f(x)，所以这个函数是，当x>0时，函数可以变形为y=(-)2+2≥2，并且当且仅当x=且定义域为时，才获得最小值如果f(m)+f(m-1)>0，则现实数的取值范围m.已知函数f(x)=取值范围。

江苏省响水中学高中数学第二章《函数的概念》课件苏教版必修1

(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2. 故函数的定义域为{x|x≠2}. (2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.
3 a 3 时,函数的定义域为{x|x≤ }. a
当 a>0 时,函数的定义域为{x|x≥ }; 当 a<0
问题2
设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系任意一个 f,使对于集合A中的唯一确定数x,在集合B中都
有
的数y和它对应,那么就称f:A→B为从
定义域 .其 ;
y=f(x),x∈A 集合A到集合B的一个函数 .记作
中x叫作
自变量 ,x的取值集合叫作函数的 ,函数值的集合函数值
与x值域的值相对应的y值叫作叫作函数的 .
定义域对应关系的元素 y与之对应 .
、
值域
和
一个函数的构成要素: ,简称为函数的三要素.
(2)如果两个函数的定义域和对应关系分别
相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:
只要两个函数的定义域和那么这两个函数就相等.
问题4
对应关系分别相同,
如何求函数的定义域? 函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组) 来求解,定义域要用集合或区间表示. 求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母不能为 0 ;②偶次根式的被开方数非负 ;③0次 0 ;④实际问题中定义域要
【解析】(1)要使函数有意义,需满足 x-2≠0, 故函数的定义域为 x≠2. (2)要使函数有意义,需满足 ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥ }.
a 3
[问题]上面两个题目的解答正确吗? [结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.

高中数学第二章函数值和简单函数的值域导学案苏教版必修1(学生版)

2.函数的值域：若A是函数的定义域，则对于A中的_________________,都有一个输出值与之对应。我们将所有输出值组成的集合称为函数的__________。
3.函数值：对于函数，自变量在其定义域内任取一个确定的值时，对应的函数值用符号来表示。
想一想：与的区别与联系_______________________________________________
函数的值域:_________________________
学后反思
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7．若，则的值域为____________________．
8．函数的值域是
9．函数的定义域是，则其值域为

高中数学第二章《指数函数的图象与性质》导学案苏教版必修

江苏省响水中学高中数学第二章《指数函数的图象与性质》导学案苏教版必修11.理解指数函数的概念和意义.2.能画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的性质并会简单应用.将一张厚度为1个单位的纸进行对折,对折一次后厚度变为原来的2倍,即纸的厚度变为了2个单位;然后再将其对折,这样第二次对折后纸的厚度变为了22,第三次对折后变为了23,假设可以无限次地对折.问题1:(1)那么第x 次后纸的厚度y 与x 的函数解析式为 .(2)一般地,函数叫作指数函数,其中x 叫自变量,函数的定义域为 .(3)判断一个函数是否是指数函数,一看底数是否是一个大于0且不为1的常数,二看自变量x 是否是在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.问题2:指数函数的图象有何特点?有哪些性质?函数 y=a x (0<a<1) y=a x (a>1)图象性质定义域值域过定点单调性在R 上是减函数在R 上是增函数问题3:为什么指数函数的概念中规定a>0,且a ≠1?因为当a=0时,a x总为或 ;当a<0时,如a=-2,x=,a x=(-2=显然没意义;当a=1时,a x恒等于,没有研究必要.因此规定a>0,且a≠1.问题4:(1)函数y=2x与函数y=()x的图象有什么特点?(2)函数y=a x(a>0,a≠1)随着底数a的变化,图象有什么变化?随着底数取值的不同,函数的增长情况也不同,你能得出什么规律呢?(3)y=a x与y=a x+m(a>0,a≠1,m∈R)之间有什么关系?(1)函数y=2x的图象与函数y=()x的图象关于对称.(2)当a>1时,底数越大,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴.(3)y=a x+m的图象可以由y=a x的图象变换而来.当m>0时,y=a x的图象向移动m个单位得到y=a x+m的图象.当m<0时,y=a x的图象向移动|m|个单位得到y=a x+m的图象.1.下列以x为自变量的函数中属于指数函数的是.①y=(a+1)x(a>-1且a≠0,a为常数);②y=(-3)x;③y=-2x;④y=3x+1.2.函数y=2-x的图象是图中的.3.函数y=的定义域为.4.已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1).若f(x)的图象如图所示,求a,b的值.指数函数的概念函数y=(a2-3a+3)a x是指数函数,求a的值.对指数函数图象和性质的简单应用若函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三四象限,则一定有.①0<a<1,且b>0;②a>1,且b>0;③0<a<1,且b<0;④a<1,且b>0.(2)比较下列各题中两个值的大小;①3π与33.14;②0.99-1.01与0.99-1.11;③1.40.1与0.90.3.指数函数的实际应用问题某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x的本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.若函数y=(4-3a)x是指数函数,则实数a的取值范围为.(1)函数y=a x-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点.(2)设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则三者间的大小关系为.(3)指数函数①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系是.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,求y关于x的函数解析式.1.函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是.①a>1,b<0;②a>1,b>0;③0<a<1,b>0;④0<a<1,b<0.2.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A B.3.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是.4.已知指数函数y=f(x)的图象过点M(3,8),求f(4),f(-4)的值.(2012年·四川卷)函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是().考题变式(我来改编):第2课时指数函数的图象与性质知识体系梳理问题1:(1)y=2x(x∈N*)(2)y=a x(a>0,且a≠1)R问题2:R(0,+∞)(0,1)问题3:0没有意义 1问题4:(1)y轴(2)上升右下降左(3)左右基础学习交流1.①根据指数函数的定义判断,填①.2.②y=2-x=()x.3.[3,+∞)由题意可知x-3≥0,即x≥3.4.解由图象得,函数f(x)过点(2,0),(0,-2),所以解得重点难点探究探究一:【解析】由y=(a2-3a+3)a x是指数函数,可得解得∴a=2.【小结】判断一个函数是否为指数函数或求指数函数中未知数的值或取值范围时,要紧扣指数函数的概念,特别要注意底数的取值范围.探究二:【解析】(1)根据题意画出函数y=a x+b-1(a>0,且b<0)的大致图象(如图), 所以0<a<1且1+b-1<0,即0<a<1且b<0,故填③.(2)①构造函数y=3x,由a=3>1,知y=3x在(-∞,+∞)上是增函数.而π>3.14,故3π>33.14.②构造函数y=0.99x,由0<a=0.99<1,知y=0.99x在(-∞,+∞)上是减函数.而-1.01>-1.11,故0.99-1.01<0.99-1.11.③分别构造函数y=1.4x与y=0.9x.由1.4>1,0<0.9<1,知y=1.4x与y=0.9x在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数.由0.1>0,知1.40.1>1.40=1.由0.3>0,知0.90.3<0.90=1,而1.40.1>1>0.90.3,故1.40.1>0.90.3.【答案】(1)③【小结】(1)如果本题改为函数y=a x+b-1(a>0且a≠1)过第一、三、四象限那么参数a,b 会取怎样的值呢?事实上,应满足a>1且b<0.当然本题也可按照我们后面将要研究的图象平移变换的规律来考虑.(2)注意③的指数式的底数和幂指数都不同,可考虑引入中间值进行比较.探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r);2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2;3期后的本利和为y=a(1+r)3;…x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N*.(2)将a=1000元,r=2.25%,x=5代入上式得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1.117.68(元),即5期后本利和约为1117.68元.【小结】指数型函数,形如y=ka x(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,它是一个常见的指数增长模型,如设原有量为N,平均增长率为P,则经过时间x后的总量为y=N(1+P)x.思维拓展应用应用一:{a|a<且a≠1}y=(4-3a)x是指数函数,需满足:解得a<且a≠1,故a的取值范围为{a|a<且a≠1}.应用二:(1)(3,4)(2)y1>y3>y2(3)b<a<1<d<c(1)(法一)因为指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y=a x-3+3中,令x=3得y=1+3=4,所以函数的图象过定点(3,4).(法二)将原函数变形,得y-3=a x-3,然后把y-3看作是(x-3)的指数函数,所以当x-3=0时,y-3=1,即x=3,y=4,所以原函数的图象过定点(3,4).(2)y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.因为函数y=2x在R上是增函数,且1.8>1.5>1.44,所以y1>y3>y2.(3)作直线x=1,与四个图象分别交于A、B、C、D四点,由于x=1代入各个函数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知b<a<1<d<c.应用三:设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克.1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数量为M(1+1.2%),则人均一年占有粮食为千克,2年后,人均一年占有粮食为千克,……x年后,人均一年占有粮食为y=千克,即所求函数解析式为y=360()x(x∈N*).基础智能检测1.④由图知函数f(x)是减函数,∴0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是由y=a x向左平移所得,∴-b>0,即b<0,故选④.2.⫋集合A表示函数y=2x的值域为(0,+∞),集合B表示函数y=x2的值域为[0,+∞),所以A⫋B.3.(1,2)由题意可知,0<2-a<1,即1<a<2.4.解:设指数函数是y=a x(a>0,且a≠1),则有8=a3,∴a=2,∴y=2x.从而f(4)=24=16,f(-4)=2-4=.全新视角拓展D(法一)当a>1时,函数单调递增,由于0<<1,函数图象应该向下平移不超过1个单位,根据选项排除A、B;当0<a<1时有>1,此时函数图象向下平移超过1个单位,也即是与y轴交点应该在x轴下方,所以选择D.(法二)由解析式知函数图象过点(-1,0),所以选D.思维导图构建减函数增函数R(0,1)。

江苏省响水中学高中数学第三章《第2课时指数函数的图象与性质》导学案苏教版必修1

第2课时指数函数的图象与性质1.理解指数函数的概念和意义.2.能画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的性质并会简单应用.将一张厚度为1个单位的纸进行对折,对折一次后厚度变为原来的2倍,即纸的厚度变为了2个单位;然后再将其对折,这样第二次对折后纸的厚度变为了22,第三次对折后变为了23,假设可以无限次地对折.问题1:(1)那么第x次后纸的厚度y与x的函数解析式为.(2)一般地,函数叫作指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域为.(3)判断一个函数是否是指数函数,一看底数是否是一个大于0且不为1的常数,二看自变量x 是否是在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.问题2:指数函数的图象有何特点?有哪些性质?函数y=ax(0<a<1) y=ax(a>1)图象性质定义域值域过定点单调性在R上是减函数在R上是增函数问题3:为什么指数函数的概念中规定a>0,且a≠1?因为当a=0时,ax总为或;当a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2=显然没意义;当a=1时,ax恒等于,没有研究必要.因此规定a>0,且a≠1.问题4:(1)函数y=2x与函数y=()x的图象有什么特点?(2)函数y=ax(a>0,a≠1)随着底数a的变化,图象有什么变化?随着底数取值的不同,函数的增长情况也不同,你能得出什么规律呢?(3)y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间有什么关系?(1)函数y=2x的图象与函数y=()x的图象关于对称.(2)当a>1时,底数越大,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴.(3)y=ax+m的图象可以由y=ax的图象变换而来.当m>0时,y=ax的图象向移动m个单位得到y=ax+m的图象.当m<0时,y=ax的图象向移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.1.下列以x为自变量的函数中属于指数函数的是.①y=(a+1)x(a>-1且a≠0,a为常数);②y=(-3)x;③y=-2x;④y=3x+1.2.函数y=2-x的图象是图中的.3.函数y=的定义域为.4.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).若f(x)的图象如图所示,求a,b的值.指数函数的概念函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.对指数函数图象和性质的简单应用若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三四象限,则一定有.①0<a<1,且b>0;②a>1,且b>0;③0<a<1,且b<0;④a<1,且b>0.(2)比较下列各题中两个值的大小;①3π与33.14;②0.99-1.01与0.99-1.11;③1.40.1与0.90.3.指数函数的实际应用问题某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x的本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.若函数y=(4-3a)x是指数函数,则实数a的取值范围为.(1)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点.(2)设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则三者间的大小关系为.(3)指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系是.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,求y关于x的函数解析式.1.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是.①a>1,b<0;②a>1,b>0;③0<a<1,b>0;④0<a<1,b<0.2.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A B.3.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是.4.已知指数函数y=f(x)的图象过点M(3,8),求f(4),f(-4)的值.(2012年·四川卷)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是().考题变式(我来改编):第2课时指数函数的图象与性质知识体系梳理问题1:(1)y=2x(x∈N*)(2)y=ax(a>0,且a≠1)R问题2:R(0,+∞)(0,1)问题3:0没有意义 1问题4:(1)y轴(2)上升右下降左(3)左右基础学习交流1.①根据指数函数的定义判断,填①.2.②y=2-x=()x.3.[3,+∞)由题意可知x-3≥0,即x≥3.4.解由图象得,函数f(x)过点(2,0),(0,-2),所以解得重点难点探究探究一:【解析】由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得解得∴a=2.【小结】判断一个函数是否为指数函数或求指数函数中未知数的值或取值范围时,要紧扣指数函数的概念,特别要注意底数的取值范围.探究二:【解析】(1)根据题意画出函数y=ax+b-1(a>0,且b<0)的大致图象(如图),所以0<a<1且1+b-1<0,即0<a<1且b<0,故填③.(2)①构造函数y=3x,由a=3>1,知y=3x在(-∞,+∞)上是增函数.而π>3.14,故3π>33.14.②构造函数y=0.99x,由0<a=0.99<1,知y=0.99x在(-∞,+∞)上是减函数.而-1.01>-1.11,故0.99-1.01<0.99-1.11.③分别构造函数y=1.4x与y=0.9x.由1.4>1,0<0.9<1,知y=1.4x与y=0.9x在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数.由0.1>0,知1.40.1>1.40=1.由0.3>0,知0.90.3<0.90=1,而1.40.1>1>0.90.3,故1.40.1>0.90.3.【答案】(1)③【小结】(1)如果本题改为函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)过第一、三、四象限那么参数a,b会取怎样的值呢?事实上,应满足a>1且b<0.当然本题也可按照我们后面将要研究的图象平移变换的规律来考虑.(2)注意③的指数式的底数和幂指数都不同,可考虑引入中间值进行比较.探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r);2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2;3期后的本利和为y=a(1+r)3;…x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N*.(2)将a=1000元,r=2.25%,x=5代入上式得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1.117.68(元), 即5期后本利和约为1117.68元.【小结】指数型函数,形如y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,它是一个常见的指数增长模型,如设原有量为N,平均增长率为P,则经过时间x后的总量为y=N(1+P)x.思维拓展应用应用一:{a|a<且a≠1}y=(4-3a)x是指数函数,需满足:解得a<且a≠1,故a的取值范围为{a|a<且a≠1}.应用二:(1)(3,4)(2)y1>y3>y2(3)b<a<1<d<c(1)(法一)因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y=ax-3+3中,令x=3得y=1+3=4,所以函数的图象过定点(3,4).(法二)将原函数变形,得y-3=ax-3,然后把y-3看作是(x-3)的指数函数,所以当x-3=0时,y-3=1,即x=3,y=4,所以原函数的图象过定点(3,4).(2)y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.因为函数y=2x在R上是增函数,且1.8>1.5>1.44,所以y1>y3>y2.(3)作直线x=1,与四个图象分别交于A、B、C、D四点,由于x=1代入各个函数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知b<a<1<d<c.应用三:设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克.1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数量为M(1+1.2%),则人均一年占有粮食为千克,2年后,人均一年占有粮食为千克,……x年后,人均一年占有粮食为y=千克,即所求函数解析式为y=360()x(x∈N*).基础智能检测1.④由图知函数f(x)是减函数,∴0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是由y=ax向左平移所得,∴-b>0,即b<0,故选④.2.⫋集合A表示函数y=2x的值域为(0,+∞),集合B表示函数y=x2的值域为[0,+∞),所以A⫋B.3.(1,2)由题意可知,0<2-a<1,即1<a<2.4.解:设指数函数是y=ax(a>0,且a≠1),则有8=a3,∴a=2,∴y=2x.从而f(4)=24=16,f(-4)=2-4=.全新视角拓展D(法一)当a>1时,函数单调递增,由于0<<1,函数图象应该向下平移不超过1个单位,根据选项排除A、B;当0<a<1时有>1,此时函数图象向下平移超过1个单位,也即是与y轴交点应该在x轴下方,所以选择D.(法二)由解析式知函数图象过点(-1,0),所以选D.思维导图构建减函数增函数R(0,1)。

江苏省响水中学高二数学第2章《统计》频率分布直方图与折线图导学案

2
江苏省响水中学高中数学第 2 章《统计》频率分布直方图与折线图导学案苏教版必修 3
学习目标 1 学会用频率分布表作频率直方图和频率折线图的方法. 2 会用频率直方图对总体分布规律进行估计.
二、基础知识交流
1 条形图：
问题 1：下表是某学校一个星期中收交来的失物件数，请将 5 天中收交来的失物数用
的频率是 0.125,那么第 8 组的频数是__________,频率是_______. 4.在样本的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,已知中间一个小长方形面积是其余 4 个
2
2
小长方形面积之和的 1/3,且中间一组的频数为 10,则这个样本的容量是_________.
2
95
107 101
102 108 117
99பைடு நூலகம்
118 106 119
97
126 108
123 119
98
121 101 113 102 103 104 108
(1)编制频率分布表;
(2)绘制频率分布直方图;
(3)估计该片经济林中底部周长小于 100 厘米的树木约占多少?周长不小于 120 厘米的树木
约占多少?
105 123 111 103 105
92
114 108 104 102
129 126
97
100 115 111 106
117 104 109
111
89
110 121
80
12 0 121 104 108 118
129
99
90
99
121 123 107 111
91
100
99
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江苏省响水中学高二数学上学期《第3课时函数的单调性和值域》学案

江苏省响水中学2013-2014学年高二上学期数学《第3课时函数的单调性和值域》学案一、【基础训练】1．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.2．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______________．3．函数f(x)＝2xx＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是_________．4．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，那么不等式2()2f x-<<的解集为5．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是__________．二、【重点讲解】1．函数的单调性(1)单调函数的定义：(2)单调区间的定义：（3）函数的单调区间的求法及表示：2．函数的最值三、【典题拓展】例1.试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x (x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．例2．若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围．(1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________．(2)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是____________．例3.已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．四、【训练巩固】1．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调减区间是__________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是____________． 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x x >1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 x ≤1 是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为__________． 4．已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是__________．5．设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0；③f x 1 －f x 2 x 1－x 2>0； ④f x 1 －f x 2 x 1－x 2<0. 其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．(填序号)6．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．7. 若函数2()(1)2f x ax a x =+++是定义在[]2,2-上的偶函数，求此函数的值域.8．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．9．已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，a ∈R )．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．。

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