2014年高考数学(文)二轮复习精品教学案：专题05_数列(解析版)

一．考场传真1.【2013年安徽文】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） A.6- B.4- C.2- D.22.【2013年新课标I 文】设首项为1，公比为错误！未找到引用源。

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.21n n S a =-B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =-3.【2013年辽宁文】下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列.其中的真命题为（ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p4.【2012年新课标全国文12】数列{}n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则{}n a 的前60项和为（ ）A.3690B.3660C.1845D.18305.【2012年四川文12】设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则=++721a a a （ ）A.0B.7C.14D.216.【2013年福建文】已知等差数列}{n a 的公差d =1，前n 项和为n S .(I)若131,,a a 成等比数列，求1a ；(II)若519S a a >，求1a 的取值范围.7.【2013年广东文】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．8.【2012年江苏卷20】已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．若1a11>，于是123b<b<b,二．高考研究1.考纲要求：（5）数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决一．基础知识整合1.等差数列知识要点：（1）通项公式要点：1(1)()n n m n ma a n d a a n m d a a d n m ⎧⎪=+-⎪=+-⎨⎪-⎪=-⎩*(,,)m n N m n ∈≤.（2）前n 项和公式要点：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .（3）通项公式的函数特征：n a 是关于n 的一次函数形式n a An B =+(A 、B 为常数)，其中1d Aa A B =⎧⎨=+⎩； 前n 项和公式的函数特征：n S 是关于n 的常数项为0的二次函数形式S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，其中12d A a A B =⎧⎨=+⎩.（5）常用性质：①如果数列{}n a 是等差数列m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+（,,,m n p q *∈N ），特别地，当n 为奇数时，121=2n n a a a a a -+=+=中…….②等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列. ③等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为A n ，B n ，则2121n n n n a A b B --=. ④等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{}nS n仍是等差数列. （6）等差数列的单调性设等差数列{}n a 的公差为d ，当0d >时，数列{}n a 为递增数列；当0d <时，数列{}n a 为递减数列；若0d =，则数列{}n a 为常数数列.2.等比数列知识要点：（1）通项公式要点：11n n n mn m n m nm a a q a a qa q a ---⎧⎪=⋅⎪⎪=⋅⎨⎪⎪=⎪⎩*(,,)m n N m n ∈<. （2）前n 项和公式要点：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨≠⎪--⎩或. （3）通项公式的函数特征：n a 是关于n 的函数nn a c q =⋅（c ，q 都是不为0的常数n *∈N ，）；前n 项和公式的函数特征：前n 项和n S 是关于n 的函数nn S kq k =-（k 为常数且0k ≠，0,1q ≠）.（4）判断方法：①定义法：1n na q a +=（n *∈N ）；（证明方法） ②等比中项法：21111(1,0)n n n n n n a a a n n a a a *-+-+⋅=>∈⋅⋅≠N 且；（证明方法） ③通项公式法：(0,0)nn a A B A B =⋅≠≠；④前n 项和公式法：(0,0,1)nn S A B A A B =⋅-≠≠或(0)n S An A =≠. （5）常用性质：①如果数列{}n a 是等比数列m n p q m n p q a a a a +=+⇒⋅=⋅（,,,m n p q *∈N ），特别地，当n 为奇数时，2121=n n a a a a a -⋅=⋅=中…….②等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23243,,,,n n n n n n n S S S S S S S --- 成等比数列（其中232,,,n n n n n S S S S S -- 均不为0）.（7）等差与等比数列的转化①若{}n a 为正项等比数列，则{log }(0,1)c n a c c >≠为等差数列； ②若{}n a 为等差数列，则{}(0,0)n ac c c >≠为等比数列； ③若{}n a 为等差数列又等比数列{}n a ⇔是非零常数列. 3.数列常见通项公式的求法： （1）累加法：1()n n a a f n +-= （2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： nn n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按第（3）种情况求解.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列.（7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）. 解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. （11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.进行求解.4.数列求和的主要方法：（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分1q =或1q ≠.（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． （3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． （5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式如下： ①分式型1111111()(1)1(21)(21)2212111111111()(2)22(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =-=-++-+-+⎡⎤=-=-⎢⎥+++++++⎣⎦，，，②三角函数型()111tan tan tan tan 1tan n nn n n n a a a a a a +++-=-- ,③根式型=（6）并项求和法：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．二．高频考点突破考点1 等差数列、等比数列的通项及基本量的求解【例1】已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是（ ） 1515A.(,2)B.[,2)C.(2,)D.(,2)77-∞----+∞--【规律方法】等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【举一反三】【2013年大纲全国文】已知数列{}n a 满足130,n n a a ++=24,3a =-则{}n a 的前10项和等于（ ）A.()-10-61-3 B.()1011-39C.()-1031-3D.()-1031+3考点2 等差数列、等比数列的性质【例1】 【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题（文科）】等差数列{}n a 的前n 项和为5128,11,186,n S a S a ==则= ( ) A ．18 B ．20C ．21D ．22【举一反三】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（文科）】等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是（ ）A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S 答案:B解析：610623a a a a =++为定值，611111611211()1122a a a S a ⨯+===为定值.【例2】【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119SS ＝( )A.1B.－1C. 2D.12【规律方法】(1)条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别.(2)等差中项在等差数列求和公式中的应用．在等差数列{a n }中，如n ＝2k ＋1(k ∈N *)，则a 1＋a n ＝2a k ＋1，所以11()2n n k n a a S na -+==. 【举一反三】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考文】n S 为等差数列{}n a 的前n项和，若24121n n a n a n -=-，则2n n S S = ．考点3 判断和证明等差数列、等比数列【例1】【2013年陕西文】设S n 表示数列{}n a 的前n 项和. (Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n, 有11nn q S q-=-. 判断{}n a 是否为等比数列. 并证明你的结论.【规律方法】(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇒{a n}是等差数列；a n＋1a n＝q(q是非零常数)⇒{a n}是等比数列；(2)等差(比)中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇒{a n}是等差数列；a2n＋1＝a n·a n ＋2(n∈N*，a n≠0)⇒{a n}是等比数列；(3)通项公式法：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇒{a n}是等差数列；a n＝a1·q n－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇒{a n}是等比数列．(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn (A ，B 为常数)⇒{a n }是等差数列；S n ＝Aq n －A (A 为非零常数，q ≠0,1)⇒{a n }是等比数列. 【举一反三】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（文科）】已知数列{}n a 及其前n 项和n S 满足：nn n S S a 22311+==-，（2≥n ，*n N ∈）.(1）证明：设n nn S b 2=，{}n b 是等差数列；（2）求n S 及n a .考点4 等差数列与等比数列的综合应用【例1】【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（文）】已知数列{n a ｝是公差为3的等差数列，且124,,a a a 成等比数列，则10a 等于( ) A. 30 B. 27 C.24 D.33【举一反三】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考文】公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S =（ ）. A. 18 B. 24 C. 60 D. 90考点5 一般数列的性质【例1】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______.【规律方法】（1）在处理数列大单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列{}n a 是递增数列⇔11,n n n a a +∀≥≥恒成立”；（2）数列()n a f n =的单调性与(),[1,)y f x x =∈+∞的单调性不完全一致；（3）当数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.【举一反三】已知数列{}n a 是递增数列，且对*n N ∈，都有2=+n a n n λ，则实数λ的取值范围是（ ） 7A.(,)B.[0,)C.[2,)D.(3,)2-+∞+∞-+∞-+∞考点6 一般数列的通项及求和【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】 设数列{}n a 满足12a =，248a a +=,且对任意*n N ∈，函数 1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅ ，满足'()02f π=(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若122nn n a b a =+（），求数列{}n b 的前n 项和n S .【规律方法】（1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中10种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解.【举一反三】【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【例2】【2012高考安徽文21】设函数）（x f =2x+x sin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为}{n x .（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式；（Ⅱ）设}{n x 的前n 项和为n S ，求n S sin .论.【规律方法】数列求和中若是出现了三角函数，要对三角函数中的n 进行讨论，如若2sinn n a mπ=，则n 按(1),(2),n mk m n mk m n mk =--=--= 进行讨论. 【举一反三】【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（文）】数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2013S = ．【例3】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *∈满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11, 321 n n n a a n c n -+⎧⎪=⎨⨯+⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【规律方法】若数列求和中分奇偶项，常用的方法是算出奇数项的和或者将奇、偶用数学符号代替2,21n k n k ==-.【举一反三】【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（文）】已知数列{a n }的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…，有a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3a n＋5，a n 为奇数，a n 2k ，其中k 是使a n ＋1为奇数的正整数，a n 为偶数．（Ⅰ）当a 3＝5时，a 1的最小值为 ； （Ⅱ）当a 1＝1时，S 1＋S 2＋…＋S 10＝ ．.考点7 存在探索与证明性问题【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线3x ＋2y－3＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{}3n nS n λλ++为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【规律方法】本题的特点是先从特殊的情况得出λ值，在这个λ值下，一般结论也成立，这是解决含有参数的等差数列、等比数列证明的一个重要方法，其实质是一般与特殊的数学思想方法的运用，也是合情推理与演绎推理的有机结合．【举一反三】已知数列{a n }满足a 1＝－12，1＋a 1＋a 2＋…＋a n －λa n ＋1＝0(λ≠0且λ≠－1，n ∈N *)．(1)若a 22＝a 1·a 3，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列？若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．考点8 数列与不等式的综合应用【例1】 【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明13*)61(n n S n S +≤∈N .【规律方法】数列与不等式交汇命题，不等式常作为证明或求解的一问呈现，解答时先将数列的基本问题解决，再集中解决不等式问题，注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用.【举一反三】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷文】已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：*22()n n S a n n N =-∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 的满足2log (2)n n b a =+，n T 为数列{}2n n b a +的前n 项和，求证：12n T ≥.考点9 数列的实际应用【例1】某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的本校课程．要求每个学生都参加，且第一次听“音乐欣赏”课的人数为m(400<m<600，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a n，b n分别表示在第n次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．(1)若m ＝500，分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的人数a 2，a 3； (2)①证明数列{a n －600}是等比数列，并用n 表示a n ；②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过 5 800，求m 的取值范围．由已知S 10≤5800，即6000＋(m －600)×1023512≤5800，【规律方法】解决数列实际应用问题的关键是把实际问题随着正整数变化的量用数列表达出来，然后利用数列知识对表达的数列进行求解(求和、研究单调性、最值等)，根据求解结果对实际问题作出答案．【举一反三】为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干年时间更换车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．所以a ≥3 08221. 三．错混辨析1.忽视n 的取值范围致误【例1】已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项的和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项．求通项a n .2.求等比数列的公比时忽视隐含条件致误【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116，第2,3项的和为2，求这个等比数列的公比．3.解数列问题时由思维定势导致错误【例3】已知等比数列{}n a 中21a ，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)1.【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考文】若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试文】若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；（2）数列{}n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；（3）若{}n a 是等差数列（公差0d ≠），则120k S S S ⋅= 的充要条件是120.k a a a ⋅=（4）若{}n a 是等比数列，则120(2,)k S S S k k N ⋅=≥∈ 的充要条件是10.n n a a ++= 其中，正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3.【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考文】已知数列{}na 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=,n *N ∈．数列{}nb 满足11n n n b a a +=⋅,n *N ∈， n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⨯-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,(1)m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n的值；若不存在，请说明理由．。