高考数学 数列 专题复习100题(含答案详解)

【高考专题】2018年高考数学数列专题复习100题
1.已知等差数列{a
}与等比数列{b n}满足，，，且{a n}的公差比{b n}的公比
n
小1.
（1）求{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}满足，求数列{c n}的前项和.
2.已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足
，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.
3.已知公差不为0的等差数列{a
}的首项为，且成等比数列．
n
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)对，试比较与的大小．
4.已知数列{a
}的前n项和为，且.
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）定义，其中为实数的整数部分，为的小数部分，且，记，求数列{c n}的前n项和.
5.已知数列{a
}是递增的等比数列，且
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设为数列{a n}的前n项和，，求数列的前n项和。

6.知数列{a
}的前n项和为，且满足，数列{b n}为等差数列，且满足
n
．
(I)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(II)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S．
7.设数列{a
}的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n- S n+1,n∈N*.
n
（Ⅰ）证明：a n+2=3a n
（Ⅱ）求S n
8.等差数列{}中，
（I）求{}的通项公式；
(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
9.已知数列{a
}满足:.(1)设,
n
(1)证明是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)记,问是否存在正整数,使得?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.
10.已知数列{a
}的前项和为，且，．
n
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
11.等差数列{a
}中，a2=4，a4＋a7=15.
n
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
12.已知各项都为正数的数列满足，. （I）求；
（II）求的通项公式.
13.设数列{a
}的前项和为，．已知，，，且当时，
n
．
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列{a n}的通项公式．
14.各项均为正数的数列{a
}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数的图象
n
上，且．
（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；
（2）已知数列{b n}满足b n=4﹣n，设其前n项和为T n，若存在正整数k，使不等式T n＞k有解，且（n∈N*）恒成立，求k的值．
15.已知等差数列{a
}的前n项和为Sn，等比数列{b n}的前n项和为Tn，a1=-1，b1=1，.
n
（1）若，求{b n}的通项公式；
（2）若T=21，求S1.
16.已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，. （I）若成等差数列，求a n的通项公式；
(ii)设双曲线的离心率为，且，证明：.
17.已知数列{a
}与{b n}满足，，，且．
n
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，为数列的前项和，求．
18.已知是各项均为正数的等比数列,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）为各项非零的等差数列,其前n项和S n,已知,求数列的前n项和.
19.设数列满足，；数列的前项和为，且
．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）把数列和的公共项从小到大排成新数列,试写出，，并证明为等比数列．
20.设正项数列的前项和，且满足.
（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.
21.S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a n 2
+2a n =4s n +3.
（Ⅰ）求{a n }的通项公式： （Ⅱ）设1
1+=n n n a a b ,求数列b n }的前n 项和.
22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =2S n +1（n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若b n =（2n ﹣1）•a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
23.设等差数列{a
}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n＋1.
n
(1) 求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n.
24.在等差数列{a
}中，，，
n
（Ⅰ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？
（Ⅱ）求数列前项和．
25.已知数列{a
}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3， a4，a5成等差数列．
n
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和S n，求证：S n＜3．
26.已知数列满足：，。

数列的前n项和为,且
.
⑴求数列、的通项公式；
⑵令数列满足，求其前n项和为
27.已知等差数列的前项和为,求数列的前2012项和.
28.已知在数列{a
}中，S n为其前n项和，若a n＞0，且4S n=a n2+2a n+1（n∈N*），数列{b n}为等比
n
数列，公比q＞1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差数列．
（1）求{a n}与{b n}的通项公式；
（2）令c n=，若{c n}的前项和为T n，求证：T n＜6．
29.已知数列{a
}的前n项和为，且满足=
n
(1)求的值；
(2)求数列{a n}的通项公式及其前 n项和．
30.设等比数列满足a
+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为多少.
1
31.为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x 的最大整数，如.
（I）求；
（II）求数列的前1 000项和.
32.已知{a
}为等差数列，前项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于
n
0,b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4.
(1)求{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).
33.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
34.已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）令.求数列的前n项和.
35.已知数列{a
}满足a1=a，．
n
（Ⅰ）请写出a2，a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，不必证明；
（Ⅲ）请利用（Ⅱ）中猜想的结论，求数列{a n}的前120项和．
36.已知数列的前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：．
37.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
38.已知数列{a
}满足．
n
（1）证明数列是等比数列并求出{a n}通项公式；
（2）若，求数列{b n}的前项和．
39.已知数列{a
}的前n项和为S n，且，数列{b n}满足.
n
（1）求a n,b n；（2）求数列{a n∙b n}的前n项和.
40.已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
41.已知等差数列和等比数列满足a
=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
1
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
42.设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
43.已知数列是等比数列，首项，公比,其前项和为,且
成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
44.已知等比数列{a
}的前n项和为S n=a·2n+b且a1=3.
n
(1)求a、b的值及数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=,求{b n}的前n项和T n.
45.各项为整数的数列的前n项和为，且满足.
（1）求；
（2）设数列的首项为1，公比为的等比数列，求的前n项和.
46.已知数列是等比数列，首项为，公比，其前n项和为，且
成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足为数列前n项和，若恒成立，求的最大值.
47.设等差数列{a
}的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q，已知=-=2，
n
q=d，=100.
（I）求数列,的通项公式;
（II）当d>1时，记=，求数列的前n项和.
48.设等差数列{a
}满足，，
n
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设{a n}的前项和为，求满足成立的值。

49.数列{a
}首项，前项和与之间满足．
n
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值．
50.设数列的前项和为已知
（1）设，证明数列是等比数列
（2）求数列的通项公式.
51.在数列{a
}中，，
n
（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；
（2）证明这个数列的通项公式.
52.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
.
（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和．
53.设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（I）求通项公式；
（II）求数列{}的前项和.
54.对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.
（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；
（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.
55.已知数列{a
}的前n项和为，且．
n
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，数列{b n}的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围．
56.已知数列的各项都为正数，且对任意，都有(为常数).
（1）若，且，成等差数列，求数列的前项和；
（2）若，求证：成等差数列；
（3）已知，(为常数),是否存在常数，使得对任意
都成立？若存在.求出；若不存在，说明理由.
57.已知数列{a
},{c n}满足条件:a1=1,a n+1=2a n+1,c n=.
n
(1)求证数列{a n+1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列{c n}的前n项和T n,并求使得a m>对任意n∈N都成立的正整数m的最小值.
58.等比数列{a
}中，已知a1=2，a4=16．
n
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．
59.设数列的前项和为，，数列的通项公式为．（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，
①求；②若，求数列的最小项的值．
60.设等差数列{a
}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q.已知
n
b1=a1,b1=2,q=d,S10=100．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）当d>1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．
61.已知数列{a
}是公比不为的等比数列，a1=1，且成等差数列.
n
（Ⅰ）求数列{a n}的通项;
（Ⅱ）若数列{a n}的前n项和为，试求的最大值.
62.已知{a
}是正数组成的数列，a1=1，且点（）在函数的图象上.
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足，，求证：.
63.设数列的前项和为，且.
(1) 求的值，并用表示；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 设，求证：.
64.已知数列的前项和为,,,求
.
65.已知数列{a
}是等比数列，为数列{a n}的前项和，且
n
（1）求数列{a n}的通项公式.
（2）设且{b n}为递增数列.若求证：
66.已知数列{a
}满足a1=1，a n+1-a n=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=8．
n
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．
67.已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
68.已知数列{a
}的前n项和为S n，且.
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求{b n}的前n项和T n.
69.数列{a
}的前项和为.
n
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前项和.
70.记.对数列和的子集T，若,定义;若
，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意正整数，若，求证：；
(3)设,求证：.
71.设分别是数列{a
}和{b n}的前项和，已知对于任意，都有，数列
n
{b n}是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c n}的前项和为，求使成立的n的取值范围.
72.已知a>0，函数f(x)=ae2cosx(x[0，+）.记x
为f(x)的从小到大的第n（n∈N*）个极值
e
点.
（Ⅰ）证明：数列{f(x n)}是等比数列；
（Ⅱ）若对一切n∈N*，x n| f(x n)|恒成立，求a 的取值范围.
73.已知{a
}为等比数列，a1=1，a4=27； S n为等差数列{b n} 的前n 项和，b1=3，S5=35．
n
（1）求{a n}和{b n} 的通项公式；
（2）设数列{c n} 满足c n=a n b n（n∈N*），求数列{c n} 的前n 项和T n．
74.已知数列的前项和为，，且满足
（1）求及通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
75.已知数列的前n项和S
=3n2+8n，是等差数列，且
n
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列的前n项和T n.
76.在等差数列中，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
77.函数f（x）=ae2cosx（x∈[0，+∞），记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．（1）证明：数列{f（x n）}是等比数列；
（2）若对一切n∈N*，x n≤|f（x n）|恒成立，求a的取值范围．
78.已知正项等比数列{a
}满足成等差数列，且．
n
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和．
79.单调递增数列{a
}的前项和为，且满足．
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}满足，求数列{b n}的前项和
80.已知等差数列{a
}满足：a2=4，a5－2a3＋2=0.
n
(Ⅰ)求{a n}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b n}满足：b n=(－1)n a n＋n(n∈N*)，求{b n}的前n项和S n.
81.已知数列{a
}的各项均为正数，前项和为，且，
n
（1）求证：数列{a n}是等差数列；
（2）设，是数列的前项和，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
82.设数列A：， ,… (N≥2)。

如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”。

记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。

（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
(2)证明：若数列A中存在使得>，则G（A）≠；
(3）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。

83.数列{a n }满足：*,224...2121N n n na a a n n ∈+-
=+++-. (1)求a 3的值；
(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；
(3)令)2()1...31211(,111≥+++++=
=-n a n n T b a b n n n ,证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足.
84.在公差不为0等差数列的{a n }中，已知
，且，，成等比数列. （1）求
； （2）设
，求数列{b n }的前项和.
85.已知数列{a n }的前项和满足，其中．
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）设
，求数列{b n }的前n 项和为．
86.已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=S n +1，其中q ﹥0，n ∈N +. (Ⅰ)若a 2，a 3，a 2+ a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线1222=-
n a x 的离心率为e n ，且e 2=2，求e 12+ e 22+…+e n 2，
87.设数列{a
}前n项和，且，令
n
（I）试求数列{a n}的通项公式；
（II）设，求数列{c n}的前n项和.
(Ⅲ)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.
88.已知公差为d（d＞1）的等差数列{a
}和公比为q（q＞1）的等比数列{b n}，满足集合{a3，a4，
n
a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}
（1）求通项a n，b n；
（2）求数列{a n b n}的前n项和S n；
（3）若恰有4个正整数n使不等式成立，求正整数p的值．
89.设各项均为正数的数列{a
}的前项和为,满足且
n
构成等比数列.
(1) 证明:;
(2) 求数列{a n}的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
90.已知数列{a
}的前项和为，且满足.
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设函数，数列满足条件，，，若，求数列的前项和
91.已知等差数列{a
}满足a1＋a2=10，a4－a3=2.
n
(Ⅰ)求{a n}的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列{b n}满足b4=a3，b5=a7，问：b7与数列{a n}的第几项相等？
92.已知等比数列{a
}的所有项均为正数，首项且成等差数列.
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列的前n项和为若求实数λ的值.
93.设数列{a
}满足a1=2，a n+1=2a n+2n+1（n∈N*）．
n
（1）若b n=，证明：数列{b n}为等差数列，并求出数列{b n}的通项公式；
（2）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．
94.已知数列{a
}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数
n
列.
(1)求q的值和{a n}的通项公式;
(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.
95.已知数列{a
}的前n项和，数列{b n}满足=．
n
(I)求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}}的通项公式；
(Ⅱ)设，数列{}的前n项和为T n，求满足的n的最大值。

96.在等差数列{a
}中，，．
n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求{b n}的前项和．
97.已知是等比数列，前n项和为，且.
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
98.已知数列，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列，求证 .
99.等差数列{a
}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足，
n
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）令c n=a n∙b n,设数列{c n}的前n项和为,求.
100.已知等差数列{a
}的前n项和为S n，满足S3=6,S5=15.
n
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）求数列{}的前n项和T n．。