2018年高考数学压轴题数列大题含答案
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（1）求证：数列 为等比数列；
（2）数列 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设 ，其中 为常数，且 ，
，求 .
19．（本题满分14分）在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列 为等差数列；
（ⅱ）求数列 的通项公式.
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）在数列 中是否存在这样一些项： ，这些项都能够构成以 为首项， 为公比的等比数列 ？若存在，写出 关于 的表达式；若不存在，说明理由.
14．（本小题满分12分）设数列 的首项为1，前n项和为Sn，且 （ ）．
20．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝4Sn＋1成立.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log3|an|，数列{ }的前n项和为Tn, 求证：Tn＜ ．
21．(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
（Ⅰ）若数列 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 ；
（Ⅱ）设 ，求数列 的伴随数列 的前30项之和；
（Ⅲ）若数列 的前 项和 （其中 常数），求数列 的伴随数列
的前 项和 ．
16．（本小题满分12分）已知正项数列 的首项 ，前 项和 满足 ．
（1）求证： 为等差数列，并求数列 的通项公式；
2018年高考数学大题压轴题选讲含答案
1．已知数集 具有性质 :对任意的 , ,使得 成立.
（Ⅰ）分别判断数集 与 是否具有性质 ,并说明理由;
（Ⅱ）求证 ;
（Ⅲ）若 ,求数集 中所有元素的和的最小值.
2．已知数列 满足： ， .（其中 为自然对数的底数， ）
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设 ，是否存在实数 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的一个值；若不存在，请说明理由.
（2）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
17．已知数列 的前n项和为 ，设数列 满足 ．
（1）若数列 为等差数列，且 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ， ，且数列 ， 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式 的所有正整数n的集合．
18．（本小题满分18分）已知数列 ， .
(3)试探究当无穷数列 为等差数列时， 、 应满足的条件并证明你的结论
9．已知数列 满足上： ， .
（1）若 ，证明：数列 是等差数列；
（2）若 ，判断数列 的单调性并说明理由；
（3）若 ，求证： .
10．在数列 中， ， ， ，其中 ．
⑴求证：数列 为等差数列；
⑵设 ， ，数列 的前 项和为 ，若当 且 为偶数时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅰ）若 ， ，写出 的值；
（Ⅱ）若在数列 的前2018项中，奇数的个数为 ，Hale Waihona Puke Baidu 得最大值；
（Ⅲ）若数列 中， 是奇数， ，证明：对任意 ， 不是4的倍数.
8．设等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 ，记
，其中 表示 这 个数中最大的数
(1)若 ，求 的值，并猜想数列 的通项公式（不必证明）
(2)设 ，若不等式 对不小于2的一切自然数n都成立，求 的取值范围
⑶设数列 的前 项的和为 ，试求数列 的最大值.
11．（本小题满分16分）已知数列 的奇数项是首项为 的等差数列，偶数项是首项为 的等比数列，数列 前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求正整数 的值；
（3）是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 值，若不存在，说明理由.
3．数列 满足： ， ，
(Ⅰ)判断 与 的大小关系，并证明你的结论；
(Ⅱ)求证： .
4．已知数列 满足 ， ，其中 ， ， 为非零常数.
（1）若 ， ，求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若数列 是公差不等于零的等差数列.
①求实数 ， 的值；
②数列 的前 项和 构成数列 ，从 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.
已知数列 是公差不为 的等差数列， 数列 是等比数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ，记点 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：点 在同一直线 上，并求出直线 方程；
（3）若 对 恒成立，求 的最小值．
22．（本小题满分15分）已知数列 的前 项和 满足： （ 为常数，且 ）．
（1）设 ，若数列 为等比数列，求 的值；
12．（本小题满分16分）设数列 的前 项和为 ，满足 ．
（1）当 时，
①设 ，若 ， ．求实数 的值，并判定数列 是否为等比数列；
②若数列 是等差数列，求 的值；
（2）当 时，若数列 是等差数列， ，且 ， ，
求实数 的取值范围．
13．（本小题满分13分）已知二次函数 的图象的顶点坐标为 ，且过坐标原点 .数列 的前 项和为 ，点 在二次函数 的图象上.
5．已知数列 ， ， 为数列 的前 项和， ， ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明 为等差数列.
（3）若数列 的通项公式为 ，令 . 为 的前 项的和，求 .
6．已知数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的 ，都有
① ；
② （ ）．
7．在数列 中，若 是整数，且 （ ，且 ）.
（2）在满足条件（1）的情形下，设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式
对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
23．（本题13分）已知数列 中， ， ，当 时， ．
（1）求证 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 若 ， ，试求实数 、 的取值范围．
24．（本小题满分14分）给定正奇数 ，数列 ： 是1，2，…， 的一个排列，定义E（ ，…， ） 为数列 ： ， ，…， 的位差和.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 是数列 的前n项和，求 ．
15．（本小题满分13分）设数列 满足：
① ；
②所有项 ；
③ ．
设集合 ，将集合 中的元素的最大值记为 ，即 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（2）数列 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设 ，其中 为常数，且 ，
，求 .
19．（本题满分14分）在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列 为等差数列；
（ⅱ）求数列 的通项公式.
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）在数列 中是否存在这样一些项： ，这些项都能够构成以 为首项， 为公比的等比数列 ？若存在，写出 关于 的表达式；若不存在，说明理由.
14．（本小题满分12分）设数列 的首项为1，前n项和为Sn，且 （ ）．
20．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝4Sn＋1成立.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log3|an|，数列{ }的前n项和为Tn, 求证：Tn＜ ．
21．(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
（Ⅰ）若数列 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 ；
（Ⅱ）设 ，求数列 的伴随数列 的前30项之和；
（Ⅲ）若数列 的前 项和 （其中 常数），求数列 的伴随数列
的前 项和 ．
16．（本小题满分12分）已知正项数列 的首项 ，前 项和 满足 ．
（1）求证： 为等差数列，并求数列 的通项公式；
2018年高考数学大题压轴题选讲含答案
1．已知数集 具有性质 :对任意的 , ,使得 成立.
（Ⅰ）分别判断数集 与 是否具有性质 ,并说明理由;
（Ⅱ）求证 ;
（Ⅲ）若 ,求数集 中所有元素的和的最小值.
2．已知数列 满足： ， .（其中 为自然对数的底数， ）
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设 ，是否存在实数 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的一个值；若不存在，请说明理由.
（2）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
17．已知数列 的前n项和为 ，设数列 满足 ．
（1）若数列 为等差数列，且 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ， ，且数列 ， 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式 的所有正整数n的集合．
18．（本小题满分18分）已知数列 ， .
(3)试探究当无穷数列 为等差数列时， 、 应满足的条件并证明你的结论
9．已知数列 满足上： ， .
（1）若 ，证明：数列 是等差数列；
（2）若 ，判断数列 的单调性并说明理由；
（3）若 ，求证： .
10．在数列 中， ， ， ，其中 ．
⑴求证：数列 为等差数列；
⑵设 ， ，数列 的前 项和为 ，若当 且 为偶数时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅰ）若 ， ，写出 的值；
（Ⅱ）若在数列 的前2018项中，奇数的个数为 ，Hale Waihona Puke Baidu 得最大值；
（Ⅲ）若数列 中， 是奇数， ，证明：对任意 ， 不是4的倍数.
8．设等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 ，记
，其中 表示 这 个数中最大的数
(1)若 ，求 的值，并猜想数列 的通项公式（不必证明）
(2)设 ，若不等式 对不小于2的一切自然数n都成立，求 的取值范围
⑶设数列 的前 项的和为 ，试求数列 的最大值.
11．（本小题满分16分）已知数列 的奇数项是首项为 的等差数列，偶数项是首项为 的等比数列，数列 前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求正整数 的值；
（3）是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 值，若不存在，说明理由.
3．数列 满足： ， ，
(Ⅰ)判断 与 的大小关系，并证明你的结论；
(Ⅱ)求证： .
4．已知数列 满足 ， ，其中 ， ， 为非零常数.
（1）若 ， ，求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若数列 是公差不等于零的等差数列.
①求实数 ， 的值；
②数列 的前 项和 构成数列 ，从 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.
已知数列 是公差不为 的等差数列， 数列 是等比数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ，记点 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：点 在同一直线 上，并求出直线 方程；
（3）若 对 恒成立，求 的最小值．
22．（本小题满分15分）已知数列 的前 项和 满足： （ 为常数，且 ）．
（1）设 ，若数列 为等比数列，求 的值；
12．（本小题满分16分）设数列 的前 项和为 ，满足 ．
（1）当 时，
①设 ，若 ， ．求实数 的值，并判定数列 是否为等比数列；
②若数列 是等差数列，求 的值；
（2）当 时，若数列 是等差数列， ，且 ， ，
求实数 的取值范围．
13．（本小题满分13分）已知二次函数 的图象的顶点坐标为 ，且过坐标原点 .数列 的前 项和为 ，点 在二次函数 的图象上.
5．已知数列 ， ， 为数列 的前 项和， ， ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明 为等差数列.
（3）若数列 的通项公式为 ，令 . 为 的前 项的和，求 .
6．已知数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的 ，都有
① ；
② （ ）．
7．在数列 中，若 是整数，且 （ ，且 ）.
（2）在满足条件（1）的情形下，设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式
对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
23．（本题13分）已知数列 中， ， ，当 时， ．
（1）求证 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 若 ， ，试求实数 、 的取值范围．
24．（本小题满分14分）给定正奇数 ，数列 ： 是1，2，…， 的一个排列，定义E（ ，…， ） 为数列 ： ， ，…， 的位差和.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 是数列 的前n项和，求 ．
15．（本小题满分13分）设数列 满足：
① ；
②所有项 ；
③ ．
设集合 ，将集合 中的元素的最大值记为 ，即 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．