数学解题中的构造法思想

数学解题中的构造法思想

数学科 庞春英

我们首先从下面例题的解法开始讨论： 例：解方程组 ??

???=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x 解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。

解法二：把原方程组改写为?????=---=---=---0002323

23x cy z c c x by z b b x ay z a a 利用方程根的定义，我

们把a,b,c 看成关于t 的三次方程023=---x yt zt t 的三个根。根据韦达定理得：

x abc y ac bc ab z c b a ==++=++,,，因此原方程组的解为：??

?

??++=++==c b a z ca bc ab y abc

x 。

比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t 的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023=---x yt zt t ”。在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。

在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。

早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数n p p p p 321,,，而构造一个新素数121+n p p p ，从而证明了原命题。另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。

所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样，首先需要感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件；构造法还体现了类比的思想，为了找出解题的途径，很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象；构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加

以处理化为已有的认识，就自然形成了构造模型的方法。除此之外，构造法还渗透着猜想、试验、归纳等数学思想。

那么，如何构造呢？关于构造法解题可以概括如下： 1、分析命题的条件与结论。

2、从命题的结构特征联想熟悉的数学问题或者考虑题目本身的意义，如几何意义，公式变形等。

3、构造新的数学模式（方程、函数、图形……）。

4、研究新的数学模型的性质并求解。

5、然后将求解结论转化到原来的命题。

6、作出结论。

构造法的内涵十分丰富，使用时不存在一个完全固定的模式可以套用，尽管如此，关于构造法的解题过程的模式还是可以用下列框图表示：

构造法在数学领域内有着很普遍的应用，有些数学题目看似困难、繁琐，当搭起构造的“桥”后不仅迎刃而解，而且有时会因构思的奇巧而拍手叫绝，常有一种“柳暗花明又一村”的感觉，因此构造法在许多数学问题的解题过程中显示出令人瞩目的特殊作用。

一、构造法在数学解题中的应用

（一） 优化解题途径

有些数学问题虽不用构造法也可以解，但求解过程繁琐，若用构造法，往往可简化复杂的运算和讨论，使问题简捷获解。

例：使抛物线()012≠-=a ax y 上总有关于直线L ：0=+y x 对称的两点，求a 的范围

析与解：用辅助点法、参数法等方法求解都很繁琐，若利用L ：0=+y x 是第二、四象限角平分线这一特征，构造抛物线12-=ax y 关于直线L 的对称曲线

12-=-ay x ，则可简捷求解，假设对称点存在，那么当且仅当上述两抛物线有

相异交点，由?????-=--=1

1

2

2

ay x ax y 得))((y x y x a y x -+=+，注意到0≠+y x 且0≠a ，a

x y 1

-

=∴ 代入12-=ax y

得011

2=-+

-a

x ax 。此方程应有两个不相等的实根， 其充要条件为0)11(41>--=?a a ，解之得：4

3

>a 。

（二）显露隐含条件

运用构造思想分析题目的结构特征或数量关系，有助于挖掘含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。

例：已知()2

44+=x x

x f ，求

??

? ??++??? ??+??? ??100110001001210011f f f 。 析与解：将待求式看作一个整体，其数字特征提示我们研究())1(x f x f -与之间的关系，从而发现

隐含条件1242

44244244244244)1()(11=++=?+++=+++=-+--x x x x x x x x

x x f x f 构造整体)10011000()10012()10011(f f f S +++= ， 亦有)1001

1

()1001999()10011000(f f f S +++= 将上述两式对应项相加得10002=S

500)10011000()10012()10011(=+++f f f （三） 沟通条件和结论的关系

许多问题仅利用已知条件难于直接求解，需要按一定目标构造某种数学模型（如式、线、形、体等等）作为桥梁，沟通条件与结论之间的逻辑关系，才能求得结论。

例：设R b a ∈,，并且方程01234=++++ax bx ax x 至少有一个实数解，试求22b a +的最小值。

解：设0x 是方程的一个实根， 则00≠x 代入方程可得01

20

002

0=++++x x a b ax x ， 构造直线和圆（b a ,作变量），

011202000=???

?

?

?+++???? ??+x x b a x x ，222R b a =+， 依题意直线和圆必有公共点，

因此，圆心到直线的距离小于（或等于）半径，从而有

R x x x x ≤+???? ?

?++1

11200202

0 即

2202

02

2020311R x x x x ≤++???? ??+， 4

543211

31112

202

02

2

02=+≤

???

? ?

?++

+

≤∴x x x x R

， 时等号成立，即，当且仅当11540202

02±==≥∴x x x R ，

并代入方程得??

?

??=+-=+542

22

2b a b a 和 ??

?

??=+-=-542

22

2b a a b ， 解之即可知，当52,54-=±=b a 时，()5

4

22=+最小b a 。

（四） 促进数学相关知识的转化

解综合题时，经常用到的构造图形解代数题，构造方程解几何题，构造函数求线段长或几何图形的最大值、最小值等方法，都能促进数学相关知识的相互转化。

例：设c b d a d c b a +=+<≤<<且0 求证c b d a +<+。

证明：利用条件c b d a +=+构造如图的两个

边重合。记d AB c AD b DC a BC ====,,,βα=∠=∠=DAC BAC r AC ,,，

则?≤<

()()?+=+=+∴452αααrSin Cos Sin r d a ， ()()?+=+=+∴452βββrSin Cos Sin r c b ，

?≤?+

()()?+

A

D

B C

诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等，分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现，可见，运用构造思想能强化基本数学思想方法的运用。

例：求函数3

21)(2

x x x f -+=的值域。

解：构造函数3

212

x y -=通过平方变形为方程)0(13

12122≥=+y y x ， 此方程表示：中心在原点的椭圆的上半部分，

并与x 轴交于???

? ??????

??-0220,22，，B A 两点， 设b y x =+它表示斜率为－1的动直线，显然，当它过第一象限与曲线相切时， b 取得最大值，当它过A 点时，b 取得最小值，

由???=+=+1322

2y x b y x 得013652

2=-+-b bx x ， 由()()

01354622

=-?--b b ，得),6

5

(65舍-==

b b ， 将点），（－

022A 坐标代入b y x =+得2

2

-=b ， ∴函数()3212

x x x f -+=的值域为??????-65,2

2。 综上所述，构造法不仅可以拓宽思路，创设出新的情境，提高分析问题和解

决问题的能力，而且还能丰富我们的想象力，优化整体意识和创造思维。不仅如此，构造法内涵丰富、形式多样，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。因此，我们还是可以从所构造的对象进行分类，使特点更为突出，规律更为明显。

二、从所构造的对象不同进行分类

（一） 构造命题

1、构造等价（或接近）命题

如果遇到的数学问题直接证明（或求解）较困难时，可以构造其等价（或接近）命题，并通过证明其等价（或接近）命题成立，从而使原命题成立。 例：求证：面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖。 分析：我们将命题译成数学语言：“若2,1<=?ABCD PQ R S S ，则PQR ?不在四

边形ABCD 内部。

此题若直接证明，不易找出它的证题思路，若转化为它的等价命题，问题就简化了。

其等价命题是：若PQR ?在四边形ABCD 内部，则ABCD PQR S S 2

1

≤?。

证明：如图，只要过P 作MN ∥AB ， ABMN ABMN PQE PQE h MN S h PE S ?=?=??,2

1， ∵ ，ABMN PQ E h h

同理DCMN PRE S S 2

1

所以等价命题得证，从而原命题得证。 2、构造辅助命题

在解答数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么，我们可以证明了辅助命题是真命题，原命题就迎刃而解了。

例：正数a 为何值时，函数x x a y -++=632的最大值为210？ 分析：在中学数学中，没有定理可以直接对例题作出回答， 我们注意到在已知函数式中，有06,02,03,0≥-≥+>>x x a ， 且

(

)(

)

862

2

2

=-++x

x （定值），于是构造一个辅助问题：设b a ,都是正数，

变量0,0≥≥v u 且m v u =+22（定值），求函数bv au y +=①的最大值。

解：将①式两边平方可得

()()()()

()2

2222222av bu m b a av bu v u b a y --+=--++=，显然，

当0=-av bu 时，2y 取最大值为()

()

m b a y 22max

2

+=，注意到0≥y 这时，

y 取最大值为()

m b a

y 22

max +=

②，

由此可得辅助命题：设b a ,都是正数，变量m v u v u =+≥≥220,0且（定值），则函数bv au y +=的最大值为()

m b a

y 22

max +=

，

根据辅助命题，只需令8,3,210max ===m b y 代入②，解得4=a ，这就是例题的解。

（二） 构造数学关系

有些问题可由题设给的数量关系，构造一种新的函数、方程和辅助式等具体

MN

PE <

数学关系，使问题在新的关系下实现转化，这样的方法称为构造数学关系法。

1、构造方程

一般说来，利用辅助方程法的关键就是构造辅助方程，通常有这几种构造方法：

（1）将条件等式或变形后的条件等式中的一个或几个数（或字母）看成未知数，使等式变成方程（组）。 例：设c b a ,,为正数，其中至少有一个不等于1，且

1===y x z x z y z y x c b a c b a c b a ，求证：0=++z y x 或z y x ==。

析与解：由条件1===y x z x z y z y x c b a c b a c b a 转化为对数式

得??

?

??=++=++=++0lg lg lg 0lg lg lg 0lg lg lg c y b x a z c x b z a y c z b y a x 把上式看成关于c b a lg ,lg ,lg 的齐次线性方程组，则方程组必有非零解。故0=y

x

z

x z y

z y x

， 即()()()()[]

02

2

2

=-+-+-++x z z y y x z y x ，

0=++∴z y x 或z y x ==。

（2） 设置参数构造方程，这是对于代数中有些求值、化简或证明类型的问题常

用的构造方法。 例：化简335252-++。

析与解：这是化简问题，设y =-++335252①， 显然问题变成求y ，把①变形

得y y 34525252523525233333-=??? ??-++-++-++=，

得辅助方程：0433=++y y ②，

现在问题关键已从化简变为求②的方程了，因式分解得()()

0412=++-y y y ， 由于方程()

042=++y y 没有实数根，所以1=y ，即

1525233

=-++。

（3）如果条件式符合或通过变形符合一元n 次方程韦达定理的形式，则通过韦

达定理的逆定理来构造辅助方程，可使数学问题获得巧妙解决。

如对称形方程组???==+b

xy a

y x 一般都是把y x ,看成一元二次方程

02=+-b az z 的两根，再通过解一元二次方程而获得原方程的解。

（4）当题设或结论出现形如)0(042<≥-或ac b 的关系式时，则可构造一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，从判别式来研究。

例：求证()()

()全为实数）p n m c b a cp bn am p n m c b a ,,,,,(2

222222++≥++++

证明： 构造方程()()()

022222222=+++++-++p n m x cp bn am x c b a ， 即()()()02

2

2

=-+-+-p cx n bx m ax ① ，

若存在实数k 使ck p bk n ak m ===,,， 则

()()

()2

222222

cp bn am p n m c b a

++=++++，

如果不存在实数k 使ck p bk n ak m ===,,，则①没有实数解， 故()[]()()

0422222222

<++++-++-=?p n m c b a cp bn am ，

即()()

()2

222222cp bn am p n m c b a ++>++++。

（5）对于某些几何问题，常常利用图形的性质，结合几何定理、面积或体积公

式，三角形中的正余弦定理来构造辅助方程。

例：如图，圆内三条两两相交的弦，若RF QB PC RD QE PA ====,，求证：

PQR ?为等边三角形。

证明：设b PC a PA z QR y PR x PQ =====,,,,，由相交弦定理得

()()()()()()??

?

??+=++=++=+b z a a y b b x a a z b b y a a x b ， 化简得 ??

?

??===bz ay bx az by ax ，

三式相加得())(z y x b z y x a ++=++

从而z y x ==，所以QR PQ PR ==，故PQR ?为等边三角形。

（6）利用三角公式变形把条件中的三角函数式化为关于某个三角函数的方程，

然后利用方程根的性质求解。

例：求7

67472πππCos Cos Cos ++的值。 解：76,74ππ是72π的2倍，3倍，因此利用倍角、三倍角公式都可以化为

72π的三角函数式，设()3,2,127==n n πθ，有θπθ324-=n ，

θθ34Cos Cos =∴化成关于θCos 的形式，

得013848234=++--θθθθCos Cos Cos Cos 。

易得1，7

6,74,72π

ππCos Cos Cos

是方程013848234=++--x x x x 的四个根，由韦达定理得847674721=+++πππCos Cos Cos ，2

1767472-=++∴πππCos Cos Cos 。 （7） 有关行列式问题，可以联想齐次方程组的系数行列式，把行列式问题转化

为齐次方程组来研究。

例：求证：()()()

0=+++δγγ

γ

δβββ

δαααSin Cos Sin Sin Cos Sin Sin Cos Sin 证明：要证行列式为0，联想相应的齐次方程组有非零解，因此构造方程组

()()()??

?

??=+++=+++=+++000δγγγδβββδαααzSin yCos xSin zSin yCos xSin zSin yCos xSin 由于这个方程组有非零解1,,-===z Sin y Cos x δδ，因此系数行列式为0，

即()()()

0=+++δγγ

γ

δβββδααα

Sin Cos Sin Sin Cos Sin Sin Cos Sin 2、构造图形

构造图形法是指对问题条件的数学关系有明显的几何意义或以某种方式将问题转化到几何图形中，藉助几何图形的性质，从而获得问题的解决的方法。构造图形法实际上就是用“形”研究“数”的方法，现代数学研究中，数形结合已作为一种重要的数学思想方法，借助图形，可以使许多数量关系，抽象的概念直观化、形象化，免去因计算而带来的冗长与枯燥乏味，下面介绍怎样构造图形解决数学问题。

（1）利用概念的几何意义构造图形

例：解方程()R x x x ∈=-+-353。

解：一般都用零点区间法讨论，但这种解法比较繁，但注意到绝对值c x -的几何意义是数轴上点x 到点c 的距离,则本题可以化为最简单的几何问题解决。在数轴上标出3和5 ，从几何角度看本题的原意，是要在数轴上找到点x,使它

到点3,5距离之和为3, 从图中不难得到所求的根2151=x ,2

1

22=x 。

（2）利用方程的曲线构造图形

方程的曲线是方程性质的直观形象的表现，寻找出代数对应的曲线就可以利用曲线的几何性质简洁求出方程的根，避免繁杂的代数运算过程。

例：解方程685285222=+-+++x x x 。 解：原方程化为

()()

()()

635352

2

2

2

=+-+

++x x ，

令y =3，依几何意义知上式等价于求椭圆12322

22=+y x 与直线3=y 的交

点横坐标问题，解联立方程??

???==+

3

14

92

2y y x ， 不难求得交点横坐标23±=x ，即为原方程的根。

（3） 借助函数图象构造图形

中学许多数学问题可转化为函数问题处理，而函数又有相应的图象，借助函数图象分析，可使代数问题得到几何的直观理解，便于寻找解题途径，有化难为易之功效。

例：求函数Cosx

Sinx

y ++=21的最值。

解：函数可看成()()

21----=

Cosx Sinx y ，它在平面直角坐标系中表示连接()Sinx Cosx M ,和()1,2--P 点的直线的斜率（如图）， 根据解析式的含义，实际上是求割线PM 的斜率的 最值，并且当PM 转到PB 、PA 两切线位置，斜率过到最大值、最小值。由于在PAO Rt ?中，

21

==

PA AO tg α，341222

=-=α

ααtg tg tg ，

即知PA 、PB 和斜率分别为0和34，故3

4

,0max min ==y y 。

（4） 根据代数式特点设计图形

有些代数式的数量关系，可以集中在特定的几何图形上，因此，设法构造出这一特定的图形并借助图形的性质，就可迅速使代数问题获得解决。

例：设ABC ?为锐角三角形，求证：CosC CosB CosA SinC SinB SinA ++>++。

证明：本题用三角法证很繁，今构造图形如图，

由A 作BC AD ⊥，垂足为D ，因为ABC ?

D 必落在B ，C 之间，

则SinA Sin CosB <=β， 同理SinC CosA SinB CosC <<,，

CosC CosB CosA SinC SinB SinA ++>++∴。 3、构造函数

构造函数法是指由题设条件及数量关系构想、组合成一种新的函数关系，使问题在新的关系下实现转化，通过对函数的研究使问题获得解决的方法。 （1）直接法

这种方法就是在审题的基础上，直接运用题目的条件或结论构造一个辅助函数，使问题发生转化，这是一种常用的方法。

例：求证：

()()()()()()()()()()()()

1=--+++--+++--++a b c b a x c x c a b a c x b x b c a c b x a x 。 证明：如把左边的式子通分化简，不但计算量大，且易出错，但依据欲证的等式直接构造二次函数

()()()()()()()()()()()()()

1---+++--+++--++=

a b c b a x c x c a b a c x b x b c a c b x a x x f ， 显然()()()0,0,0=-=-=-c f b f a f ，由定义域可知c b a ≠≠，这说明二次函数

()x f 至少有三个不同的零点，所以()0=x f ，原式成立。

（2）联想定理法

观察题设条件特征，联想有关定理、公式、性质，往往有助于构造函数。

例：试证：()01321

321=--+--n

n n n n n nC C C C 。

证明：由等式左边特点，联想二项式定理，构造函数()()n

x x f +=1

展开得()()n

n n n n n n

x C x C x C C x x f ++++=+= 22101

两边求导得()()

1

23211

321--++++=+='n n n n n n n x nC x C x C C x n x f

令1-=x 得()01=-'f ，()01321321=--+-∴-n

n n n n n nC C C C 。

（3） 量代换法，即对题中的条件施行适当的变换，依据变换的式子构造一个辅

助函数，由此达到求解的目的。

（4） 结构模拟法，即观察题设条件或结论的结构模拟引入辅助函数。

（5）变更条件法，即将题设条件适当变形，再依据变形后的式子构造函数。 （6） 变换结论法，即将结论适当变形，使等式或不等式两边结构相似，然后，

依此构造函数，得到原来题目结论。 （7） 别式法，即根据二次函数()()02>++=a c bx ax x f ，如果0≤?， 则()0≥x f ；反之，如果()0≥x f ，则0≤?的性质，对某些问题可以构造二次函数，利用判别式证得。 4、构造数列

所谓的构造数列法就是根据问题的需要作出一个与原数列或题设条件有某种联系的数列，这个数列称为构造辅助数列。

例：试证：n

n n n n 21

2111211214131211+++++=--++-+- 。

证明：设

() 2,1)21

2111(211214131211=+++++---++-+-=n n

n n n n x n

02

21

121112211211=+-+-+++-+=-+n n n n n x x n n （其中n=1,2……），

{}n x ∴为公差是零的等差数列 于是01==x x n ，等式得证。

我们不难发现，用构造法解题的巧妙之处不是在于直接去解决所给的问题A ，而是构造一个与问题A 有关的辅助问题B ，这里引出问题B 并非为了它本身，而是希望通过它帮助解决问题A ，如果问题B 比问题A 更简单直观，那么这种思考问题的方法就能获得成功。

纵观初等数学问题，在解题过程中读者还会发现构造一个合适的辅助问题，不单纯是前面所提供的几种构造方法，在实际解题过程中有的是需要构造不等式，构造反例，构造子集，构造对偶式，构造定比分点，构造物理模型等等，他们的目标都是为了实现转化。

总之“构造法”是一种综合运用知识解题的方法，但仍是一个探索的课题，有待于进一步探索与研究，使之更臻完善。