数学解题中的构造法思想
解答数学问题的七种思想方法
数学解题思想方法透视一、配方思想配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1·a5+2a3·a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 5]B. [5,+∞)C. (－1,5]D. [5,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
数论专题：构造
数论专题：构造法解题梁久阳前言：“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。
数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。
构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。
本文可能并不仅仅局限于数论方面，对函数也有一定的涉及。
一．构造法解题过程的大致模式二．经典例题（1） 构造辅助函数 ①构造一次函数【例1】已知x,y,z ∈（0，1），求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1（第15届俄罗斯数学竞赛题）题前分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。
例7还给出了它的另一种构造方法。
特点：一题两构，各有千秋证明：构造函数f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)，∵y,z ∈(0,1),∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz ＞0，而f(x)是一次函数，其图象是直线，∴由x ∈(0,1)恒有f(x)＞0即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)＞0，整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1。
题后分析：由上题我们可以看出，理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。
很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。
而这构造的只是一次函数，还有更高次的函数等着我们去构造。
②构造二次函数我们大家都在初中学过一元二次方程。
我们都知道，一元二次方程根的判别式原本是用来讨论一元二次方程的实根情况，然而它的作用远不止此.在有些证明中，将题目或结论适当变形，再依据变形后的式子构造二次函数来解决问题，是一种十分巧妙的方法。
浅议构造法在数学中的作用
浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。
在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。
构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。
通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。
构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。
构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。
通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。
构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。
它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。
构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。
构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。
通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。
构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。
构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。
通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。
构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。
2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。
在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。
一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。
通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。
大学课件--探索构造法解题模式-论文
探索构造法解题模式【关键字】构造法数学模型【摘要】本文通过一些实例探讨构造法在信息学竞赛解题中的应用，首先阐述了数学方法在解题中的巧妙应用，引进了数学建模的思想。
较详细地讨论建立模型的方法，包括直接构造问题解答的模型，图论模型，网络流模型以及组合数学模型。
介绍了构建模型的基本方法和基本思路。
同时也分析了数学模型的类型和作用。
【正文】引言“构造法”解题，就是构造数学模型解决问题。
信息学竞赛中，它的应用十分广泛。
构造恰当的模型或方法，能使问题的解决，变得非常简洁巧妙。
就我们现在所能接触的问题而言，构造的数学模型，从数学方法的分类来看，它是属初等模型、优化模型这两种。
一般地，数学模型具有三大功能：1．解释功能：就是用数学模型说明事物发生的原因；2．判断功能：用数学模型判断原来的知识，认识的可靠性。
3．预见功能：利用数学模型的知识、规律和未来的发展，为人们的行为提供指导或参考。
构造法解题的思路或步骤可以归纳为：问题假设建模分析实现检验、修改本文的目的，在于利用构造数学模型的思想，构建我们对问题的解法。
数学的巧妙应用数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性，而且在于它应用的广泛性。
我们讲数学方法是指把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的方法。
我们以具体的问题为例析，解释这些观点的应用，通过这些问题展示了数学的奇妙作用，让我们体会利用数学方法来解决问题时的一种乐趣。
〖问题1〗跳棋问题设有一个n×n方格的棋盘，布满棋子。
跳棋规则如下：1.每枚棋子跳动时，其相邻方格（有公共边的方格）必须有一枚棋子为垫子，才能起跳；2.棋子只能沿水平或垂直方向跳动；3.棋子跳过垫子进入同一方向的空格，并把垫子取出棋盘。
把n×n方阵棋盘扩展成m×m，试求出最小的m，使得棋子能依规则跳动，直到棋盘内只剩下一枚棋子，并给出一种跳棋方案。
本题若用盲目搜索法解决，对n=4,5或许能行，但也要很高的费用。
数学竞赛中的构造方法及猜想方法
要体现 “ 求什么， 给什么， 用什么， 要什么” 是常规的
阶梯模式和解题思路， 而用 ‘ 造思想” 构 解题， 则
是另辟蹊径．
＝
＋
厨 ） ， 厨 ） ．
，
在解题中， 根据所给条件或结论的结构特征， 或形式上 的某些相似性， 目的地构造一定特征 有
要证 明 ＜ ， ＞ 可利用二次 函数图象 ， 的性质， 证明 ＜ —＋ｐ ＜ ｆ ａ ｐ ＜ ， ａ 一 ＋ ０ ｆ １
故 ＜
＜
理推想． 数学方法理论 的倡导者波利亚曾说： “ 在 数学 的领域 中， 猜想是合理的、值得尊重 的、是
负责任的态度． ”他还认为， 在有些情况下， 教猜 想 比教证 明更为重要．数学猜想作为一种科学
）Ｘ 言 ＋Ｓ ＝２ ｐ 言 一ｘ
＝ 一－ （ ＋Ｙ ＋ ＋ｙ ＋ ） ４ ｘ ＋ ） （ ｘ ｚ
使不同学生的差异性充分体现出来． 任务（ 中， 仅仅是评价方式的转变， ２ ） 更多的是通过转变评 ①题的要求只是对 （ 中各题的反思、归纳． １ ） 说 价方式改善学生的学习 方式， 促进学生个性的健
明在 Ｚ ＯＮ等 于正多边形 的 内角时， Ｂ ＡＢＣＭ 和 ＡＣＤＮ才会全等， 能得到 ＢＭ ＝ Ｃ ② 才 Ｎ； 题是对命题 ③ 的拓展． 励学 生根据上面三个 鼓 命题进行探索延伸， 这是 一个让程度稍好的学生 康发展， 为每个学生个性 的充分展示创造空间． 在 ‘ 养学生学会 自主学习、 自主探 究”的新课 培 程理念下， 有关研究型学习的试题必将成为今后 中考数学 的热点题型之一．
－ ｓ的两根， ４云 其中
且 Ｉ 十Ｖ 一互 『 ＞ ｐ Ｊ ． 因， ） ， （ ＝０ｆ ） 二次 （ ＝０ ， ） ， （ 的 项系数 ｔ 分析 显 ： 然将Ｐ （４Ｙ ， ＝２ ｙ 为１所以， ＝４ ）Ｓ （ ｘ ４ － － ｚ４ － ， （ ｌ ０又 ＜ ，
构造性方法解题——简约而不简单
（ ＋ ＋ ） ［ ＋） ＝ （ ＋ ａ ａ
例 ４ 已知 ０￣１ ￣１ ２ ， ／ 一ｂ ＋ｂ ／ 一ａ ＝１
求证 ： ＋ｂ ＝１ ０ ．
（＋） 詈 （２） 詈詈＋ ＋）譬 ＋ ２３． （ 】 ２＋＝
故命题得证．
６ 逆 向构造
分析 由 １ ０ １ ， ｌ 一ａ ＞ ， 一ｂ ≥０ 知 ｌ １ ａ≤ １ Ｉ ≤１从结论容易联想 到 ｓ ，ｂ ｌ ， ｉ 口＋ＣＳ ｎ Ｏ口 ＝１据此构造 ａ＝ ｉａ ｂ ｓ ｆ ， ｓ ， ＝ｉ ｎ ｎ ｌ
ｂ ， ＝ ＢＨ ＝ ｂ， ｌ ＡＧ ＢＥ ＝
构造问题的原形 ， 从整体上把握问题的实质．
Ｏ２
例 １ 设 ｎ为正整数 ， 明： ≤ｃ ＜ 证
● ，
２ｎ ２
．
分析
把 ｃ 看成 （ ＋Ｙ 展开 式 中 ）
第 ｎ 项的二项式系数 ， ｃ ＋１ 且 是展开式 中
分析 此 题 通 过 构 造 性 思 维 发 现 可 把
口 】ｂ１Ｃ １ 看成三个矩形 的面积． ６， ， 均 ｃ ａ ｋ 可 以看作边长为 ｋ的正方形的面积 ， 从中构造 出前面的这三个矩形 ． 构造 边长 为 ｋ的正 方形 Ａ Ｃ 如 图 １ ， Ｂ Ｄ（ ） 且 令 Ｄ Ｆ＝ａ Ｄ ， Ｇ＝Ａ ＝ Ｈ
１ ． 口 ： 所以 ０＋ ２ ｓ２＋ 显然 ＋ 詈． ２ ｂ；ｉｄ ｎ
’
例 ６ 求和 ： ・ ・ ＋２ ３ ４＋… ＋ Ｓ ＝１ ２ ３ ・ ・
／ ／＋１ （＇ ） ＇ ＇ ） ／＋２ ． ｔｔ （ ｔ
ｓ ２ ＝ ｉ ａ ｃｓ ＝１ ｉ＂ ｓ ２ ＋ ｏ ａ ． ｎｆ ｎ ｌ ２ ５ 联 想构造
维普资讯
２ ０ 年第 ２ ０６ 期
构造法在中学数学问题中的解题应用
构造法在中学数学问题中的解题应用摘要：本文主要是在前人研究的基础上通过收集大量资料，对用构造法解题的形式进行分类，介绍在中学数学中用构造思想方法解题的典型例子，并归纳整理出构造法在代数和几何中的应用,使得构造法在解题的应用有一个比较系统、清晰且全面的结论。
关键词：构造法中学数学问题思想方法应用一、构造法在代数问题中的应用1.构造函数解代数问题。
如何构造一个函数，构造一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想。
(1)构造函数证明不等式。
根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，是一种常用的构造方法。
构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法，它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等式关系，从而合理选择恰当的函数模型。
利用构造函数证明不等式，不仅能使解题过程简捷、明快，而且使解题方法新颖、精致，使数学解题思路突破常规，具有很强的创造性，体现独特的数学价值。
(2)构造函数证明等式。
例2 已知 a，b，c互不相等，求证：分析：如果把式子左边展开来证，是非常繁琐的,注意到a，b，c互不相等这一特性，巧构函数f(x)能富有创造性地证明本题.证明：构造函数f(x)=由于a，b，c互不相等，可知-a，-b，-c也互不相等。
因为f(x)是二次函数，而f(-a)=f(-b)=f(-c)=0，故f(x)=0恒成立，即原式成立。
2.构造方程解代数问题。
在应用方程思想解题时，主要是运用方程的两个性质，即韦达定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式。
根据韦达定理及其逆定理构造一元二次方程解代数题。
有些数学问题未必是方程问题，但我们可以构造辅助的方程进行求解。
用方程思想构造方程解题非方程问题有一定的规律性：已知两个或多个数之和、之积的对称式，利用韦达定理的逆定理构造两次或高次方程；当问题中出现形如“b2-4ac”的式子时，可构造出以“b2-4ac”为判别式的二次方程ax2+bx+c=0的形式。
中学数学中常用的七类构造法
1.构造法概述1.1 一个简单例子证明存在两个无理数y x ,，使y x z =是有理数[1]传统证明方法是，假设对于任何两个无理数y x ,，都有y x z =是无理数。
那么就有()22一定是无理数，进而()222⎥⎦⎤⎢⎣⎡也是无理数，而()2)2(2222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡是有理数，所以假设不成立 而我们如果令9log ,22==y x ，我们已知2和9log 2都是无理数，此时 32)2(3log 9log 22===y x 是有理数，问题得证。
上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。
1.2构造法的发展历史到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。
引用韦尔（H.Weyl ）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。
”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。
除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。
构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。
19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。
但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。
随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。
但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。
直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。
时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。
[3]1.3 中学数学需要数学构造法除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。
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数学解题中的构造法思想数学科 庞春英我们首先从下面例题的解法开始讨论： 例：解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x 解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。
解法二：把原方程组改写为⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---000232323x cy z c c x by z b b x ay z a a 利用方程根的定义，我们把a,b,c 看成关于t 的三次方程023=---x yt zt t 的三个根。
根据韦达定理得：x abc y ac bc ab z c b a ==++=++,,，因此原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧++=++==c b a z ca bc ab y abcx 。
比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t 的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023=---x yt zt t ”。
在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。
在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。
早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数n p p p p 321,,，而构造一个新素数121+n p p p ，从而证明了原命题。
另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。
上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。
所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。
构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样，首先需要感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件；构造法还体现了类比的思想，为了找出解题的途径，很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象；构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加以处理化为已有的认识，就自然形成了构造模型的方法。
除此之外，构造法还渗透着猜想、试验、归纳等数学思想。
那么，如何构造呢？关于构造法解题可以概括如下： 1、分析命题的条件与结论。
2、从命题的结构特征联想熟悉的数学问题或者考虑题目本身的意义，如几何意义，公式变形等。
3、构造新的数学模式（方程、函数、图形……）。
4、研究新的数学模型的性质并求解。
5、然后将求解结论转化到原来的命题。
6、作出结论。
构造法的内涵十分丰富，使用时不存在一个完全固定的模式可以套用，尽管如此，关于构造法的解题过程的模式还是可以用下列框图表示：构造法在数学领域内有着很普遍的应用，有些数学题目看似困难、繁琐，当搭起构造的“桥”后不仅迎刃而解，而且有时会因构思的奇巧而拍手叫绝，常有一种“柳暗花明又一村”的感觉，因此构造法在许多数学问题的解题过程中显示出令人瞩目的特殊作用。
一、构造法在数学解题中的应用（一） 优化解题途径有些数学问题虽不用构造法也可以解，但求解过程繁琐，若用构造法，往往可简化复杂的运算和讨论，使问题简捷获解。
例：使抛物线()012≠-=a ax y 上总有关于直线L ：0=+y x 对称的两点，求a 的范围析与解：用辅助点法、参数法等方法求解都很繁琐，若利用L ：0=+y x 是第二、四象限角平分线这一特征，构造抛物线12-=ax y 关于直线L 的对称曲线12-=-ay x ，则可简捷求解，假设对称点存在，那么当且仅当上述两抛物线有相异交点，由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y 得))((y x y x a y x -+=+，注意到0≠+y x 且0≠a ，ax y 1-=∴ 代入12-=ax y得0112=-+-ax ax 。
此方程应有两个不相等的实根， 其充要条件为0)11(41>--=∆a a ，解之得：43>a 。
（二）显露隐含条件运用构造思想分析题目的结构特征或数量关系，有助于挖掘含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。
例：已知()244+=x xx f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛100110001001210011f f f 。
析与解：将待求式看作一个整体，其数字特征提示我们研究())1(x f x f -与之间的关系，从而发现隐含条件124244244244244244)1()(11=++=⨯+++=+++=-+--x x x x x x x xx x f x f 构造整体)10011000()10012()10011(f f f S +++= ，亦有)10011()1001999()10011000(f f f S +++=将上述两式对应项相加得10002=S500)10011000()10012()10011(=+++f f f （三） 沟通条件和结论的关系许多问题仅利用已知条件难于直接求解，需要按一定目标构造某种数学模型（如式、线、形、体等等）作为桥梁，沟通条件与结论之间的逻辑关系，才能求得结论。
例：设R b a ∈,，并且方程01234=++++ax bx ax x 至少有一个实数解，试求22b a +的最小值。
解：设0x 是方程的一个实根， 则00≠x 代入方程可得01200020=++++x x a b ax x ， 构造直线和圆（b a ,作变量），011202000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x b a x x ，222R b a =+， 依题意直线和圆必有公共点，因此，圆心到直线的距离小于（或等于）半径，从而有R x x x x ≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1112002020 即2202022020311R x x x x ≤++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 45432113111220202202=+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤∴x x x x R， 时等号成立，即，当且仅当1154020202±==≥∴x x x R ，并代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+542222b a b a 和 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-542222b a a b ， 解之即可知，当52,54-=±=b a 时，()5422=+最小b a 。
（四） 促进数学相关知识的转化解综合题时，经常用到的构造图形解代数题，构造方程解几何题，构造函数求线段长或几何图形的最大值、最小值等方法，都能促进数学相关知识的相互转化。
例：设c b d a d c b a +=+<≤<<且0 求证c b d a +<+。
证明：利用条件c b d a +=+构造如图的两个边重合。
记d AB c AD b DC a BC ====,,,βα=∠=∠=DAC BAC r AC ,,，则︒≤<<︒450βα ，()()︒+=+=+∴452αααrSin Cos Sin r d a ， ()()︒+=+=+∴452βββrSin Cos Sin r c b ，︒≤︒+<︒+<9045450βα ，()()︒+<︒+∴4545βαSin Sin ，c b d a +<+∴。
（五） 加强数学思想的运用诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等，分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现，可见，运用构造思想能强化基本数学思想方法的运用。
例：求函数321)(2x x x f -+=的值域。
解：构造函数3212x y -=通过平方变形为方程)0(1312122≥=+y y x ， 此方程表示：中心在原点的椭圆的上半部分，并与x 轴交于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0220,22，，B A 两点， 设b y x =+它表示斜率为－1的动直线，显然，当它过第一象限与曲线相切时， b 取得最大值，当它过A 点时，b 取得最小值，由⎩⎨⎧=+=+13222y x by x 得0136522=-+-b bx x ， 由()()01354622=-⨯--b b ，得),65(65舍-==b b ， 将点），（－022A 坐标代入b y x =+得22-=b ， ∴函数()3212x x x f -+=的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,22。
综上所述，构造法不仅可以拓宽思路，创设出新的情境，提高分析问题和解决问题的能力，而且还能丰富我们的想象力，优化整体意识和创造思维。
不仅如此，构造法内涵丰富、形式多样，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。
因此，我们还是可以从所构造的对象进行分类，使特点更为突出，规律更为明显。
二、从所构造的对象不同进行分类（一） 构造命题1、构造等价（或接近）命题如果遇到的数学问题直接证明（或求解）较困难时，可以构造其等价（或接近）命题，并通过证明其等价（或接近）命题成立，从而使原命题成立。
例：求证：面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖。
分析：我们将命题译成数学语言：“若2,1<=∆ABCD PQR S S ，则PQR ∆不在四边形ABCD 内部。
此题若直接证明，不易找出它的证题思路，若转化为它的等价命题，问题就简化了。
其等价命题是：若PQR ∆在四边形ABCD 内部，则ABCD PQR S S 21≤∆。
证明：如图，只要过P 作MN ∥AB ， ABMN ABMN PQE PQE h MN S h PE S ⋅=⋅=∆∆,21， ∵ ，ABMN PQE h h <∆， ∴ABMN PQE S S 21<∆，同理DCMN PRE S S 21<∆，所以等价命题得证，从而原命题得证。
2、构造辅助命题在解答数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么，我们可以证明了辅助命题是真命题，原命题就迎刃而解了。
例：正数a 为何值时，函数x x a y -++=632的最大值为210？ 分析：在中学数学中，没有定理可以直接对例题作出回答， 我们注意到在已知函数式中，有06,02,03,0≥-≥+>>x x a ， 且()()86222=-++xx （定值），于是构造一个辅助问题：设b a ,都是正数，变量0,0≥≥v u 且m v u =+22（定值），求函数bv au y +=①的最大值。