2019年浙江省高考数学试卷(原卷答案解析版)
2019年浙江省高考数学试卷(原卷版)
18.设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
19.如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
20.设等差数列 前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每 成等比数列.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
参考公式：
若事件 互斥，则
若事件 相互独立，则
若事件 在一次试验中发生的概率是 ,则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
14.在 中， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则 ____； ________.
15.已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_______.
16.已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的最大值是____.
17.已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时， 的最小值是________；最大值是_______.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
2019年高考数学浙江卷含答案
数学试卷
第1页（共20页）
数学试卷
第2页（共20页）
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江省）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150,考试时间120分钟.
参考公式：
若事件A ,B 互斥,则()()()
P A B P A P B +=+若事件A ,B 相互独立,则()()()
P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是P ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生
k 次的概率()C (1)
(0,1,2,,)k k n k
n n P k p p k n -=-=
台体的体积公式121
()3
V S S h =+,其中12,S S 分别表示台体的上、下底面
积,h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高
锥体的体积公式1
3
V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高
球的表面积公式2
4S R =π球的体积公式34
3
V R =π,其中R 表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B =I ð(
)
A .{}1-
B .{}0,1
C .{}
1,2,3-D .{}
1,0,1,3-2x ±y =0的双曲线的离心率是(
)A
.
2
2
B .1
C .
D .2
3.若实数x ,y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}
5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ）
A. ∅
B. }2{
C. }5{
D. }5,2{
（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是
A. 902cm
B. 1292cm
C. 1322cm
D. 1382cm
4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移
4π个单位 B.向左平移4
π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12
π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）
D. 210
6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）
A.3≤c
B.63≤
C.96≤
D. 9>c
7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ）
A. ∅
B. }2{
C. }5{
D. }5,2{
（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是
A. 902cm
B. 1292cm
C. 1322cm
D. 1382cm
4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）
A.向右平移4π个单位
B.向左平移4π
个单位
C.向右平移12π
个单位 D.向左平移12π
个单位
5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）
D. 210
6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）
A.3≤c
B.63≤<c
C.96≤<c
D. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析(总11页)
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ 【答案】B 【解析】
.},2{},4,,3{},4,3,2{B A C A U u 选=∴==
（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2
=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 .
.∴.1-,1∴,2),2),1.
1-,1.
22,0-∴22-)2222222A b a b a i bi a i bi a b a b a b a ab b a i abi b a bi a 选件综上，是充分不必要条不是必要条件，
或（是充分条件，（或（=====+=+∴======∴===+=+
（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm
【答案】D 【解析】
.
138.93*3.186*3.363*4*3.
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}
5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{
（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2
=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm
4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）
A.向右平移4
π
个单位 B.向左平移4
π
个单位 C.向右平移
12π个单位 D.向左平移
12π
个单位
5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n
m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）
（ ）
A.45
B.60
C.120
D. 210
6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(2
3
≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）
A.3≤c
B.63≤<c
C.96≤<c
D. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）
2019年浙江省高考数学试卷
2019年浙江省高考数学试卷
一、选择题
1. 已知全集U={−1, 0, 1, 2, 3}，集合A={0,1,2},B={−1,0,1}，则(∁U A)∩B=( )
A.{−1}
B.{0,1}
C.{−1,2,3}
D.{−1,0,1,3}
2. 渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
A.√2
2
B.1
C.√2
D.2
3. 若实数x, y满足约束条件{x−3y+4≥0,
3x−y−4≤0,
x+y≥0,
则z=3x+2y的最大值是( )
A.−1
B.1
C.10
D.12
4. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sℎ，其中S是柱体的底面积，ℎ是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是( )
A.158
B.162
C.182
D.324
5. 若a>0，b>0，则$``a + b \leq 4"$是$``ab \leq 4"$的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6. 在同一直角坐标系中，函数y=1
a x ，y=log a(x+1
2
)，(a>0且a≠0)的图象可能是( )
A. B.
C. D. 7. 设0
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
8. 设三棱锥V−ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC 所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P−AC−B的平面角为γ，则( )
(完整word版)2019年浙江省高考数学试卷
2019年浙江省高考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()
(U A B =
)
A ．{1}-
B ．{0，1}
C ．{1-，2，3}
D ．{1-，0，1，3}
2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( ) A ．
22
B ．1
C ．2
D ．2
3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪
--⎨⎪+⎩
，则32z x y =+的最大值是( )
A ．1-
B ．1
C ．10
D ．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是( )
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
5．若0a >，0b >，则“4a b +”是“4ab ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．在同一直角坐标系中，函数1x y a
=，1
1()2a y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
X 0 a
1 P
13
13
13
A ．()D X 增大
B ．()D X 减小
C ．()
D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大
8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则( ) A ．βγ<，αγ<
2019年浙江省高考数学试卷和答案
2019年浙江省高考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）
A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}
2．（4分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．B．1C．D．2
3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最
大值是（）
A．﹣1B．1C．10D．12
4．（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）
A．158B．162C．182D．324 5．（4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1og a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
7．（4分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
X0a1
P
则当a在（0，1）内增大时，（）
A．D（X）增大B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大8．（4分）设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱V A上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）
浙江省2019年高考数学试题及答案
浙江省2019年高考数学试题及答案
（满分150分，考试时间
120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()
()
P A B P A P B 若事件A ，B 相互独立，则
()
()()P AB P A P B 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n
次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()
C (1
)(0,1,2,,)k k
n k
n n
P k p p k n 台体的体积公式
1
12
21()3
V
S S S S h
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表
示台体的高
柱体的体积公式V
Sh
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式13V
Sh
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
球的表面积公式2
4S
R
球的体积公式
3
43
V
R
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共
10小题，每小题
4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。1．已知全集
1,0,1,2,3U ，集合0,1,2A
，1,0,1B ，则()
U A B e =
A ．
1B ．
0,1
C ．
1,2,3
D ．
1,0,1,3
2．渐近线方程为x ±y=0的双曲线的离心率是
2019年浙江卷数学高考试题(含答案)
2019年浙江卷数学高考试题(含答案)
2019年浙江省高考数学试卷
一、选择题：
1.已知全集 $U=\{-1,0,1,2,3\}$，集合 $A=\{0,1,2\}$，
$B=\{-1,1\}$，则 $(U-A) \cap B=$（）。
A。$\{-1\}$。B。$\{0,1\}$。C。$\{-1,2,3\}$。D。$\{-1,1,3\}$
2.渐进线方程为 $x^2-y^2=4$ 的双曲线的离心率是（）。
A。$\sqrt{2}$。B。$1$。C。$2$。D。$\sqrt{2}/2$
3.若实数 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}3x-y\leq 4 \\ x+y\geq 1\end{cases}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值是（）。
A。$-1$。B。$1$。C。$10$。D。$12$
4.XXX是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势
既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体
的体积公式$V_{\text{柱体}}=sh$，其中$s$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高。若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体
积是（）。
A。$158$。B。$162$。C。$182$。D。$324$
5.若 $a>0,b>0$，则“$a+b^4$ 是 $ab^4$ 的”（）。
A。充分不必要条件。B。必要不充分条件
C。充分必要条件。D。既不充分也不必要条件
6.在同一直角坐标系中，函数 $y=\dfrac{11}{a^2x}$，
$y=\log_a(x+1)$，$(a>0,a\neq 1)$ 的图象可能是（）。
浙江省2019年高考数学试题及答案
浙江省2019年高考数学试题及答案
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()C (1)
(0,1,2,,)k k n k
n n P k p p k n -=-=
台体的体积公式121
()3V S S h =
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式1
3
V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π
球的体积公式
34
3
V R =π
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U
A B =
【精选】2019年浙江高考数学试题及答案解析
2019年浙江省高考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =（ ）
A ．{1}-
B ．{0，1}
C ．{1-，2，3}
D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．
2
B ．1
C ．2
D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪
--⎨⎪+⎩
，则32z x y =+的最大值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．10
D ．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +”是“4ab ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1x
y a =
，11()2a
y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（ ）
7．设01a <<．随机变量X 的分布列是
X 0 a 1 P
1
3
13
13
A ．()D X 增大
B ．()D X 减小
C ．()
D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析(可编辑修改word版)
D. min{| a b |2,| a b |2} | a |2 | b |2
【答案】D
【解析】
(a
±b)2
=
a
2
2
+b
±
2ab，⇒
2
不论ab正负零，a
2
+b
+
2ab和a
2
2
+b
-
2ab中总有一个
≥
a2 +b2.即max{(a+b)2 , (a - b)2} ≥ a2 +b2.其它都不对.选D.
C. {5}
D. {2,5}
【答案】B 【解析】
U ={2,3,4}, A ={3,,4},∴ Cu A ={2},选B.
（2）已知 i 是虚数单位， a, b R ,则“ a b 1 ”是“ (a bi)2 2i ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
A. p1 p2, E 1 E 2
B. p1 p2, E 1 E 2
C. p1 p2, E 1 E 2
D. p1 p2, E 1 E 2
【答案】A 【解析】
令m = 3, n = 3
(1)从乙中取1个后，甲中的红球可能是1,2，概率均为
1 2
2019年浙江省高考数学试卷
2019年浙江省高考数学试卷
试题数：22.满分：150
1.（单选题.4分）已知全集U={-1.0.1.
2.3}.集合A={0.1.2}.B={-1.0.1}.则（∁U A ）∩B=（ ）
A.{-1}
B.{0.1}
C.{-1.2.3}
D.{-1.0.1.3}
2.（单选题.4分）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）
A. √22
B.1
C. √2
D.2
3.（单选题.4分）若实数x.y 满足约束条件 {x −3y +4≥0，
3x −y −4≤0，x +y ≥0，
则z=3x+2y 的最大值是（ ）
A.-1
B.1
C.10
D.12
4.（单选题.4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同.则积不容异”称为祖暅原理.利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积.h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ）.则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A.158
B.162
C.182
D.324
5.（单选题.4分）若a＞0.b＞0.则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.（单选题.4分）在同一直角坐标系中.函数y= 1
a x .y=log a（x+ 1
2
）（a＞0且a≠1）的图象可
能是（）A.
B.
C. D.
7.（单选题.4分）设0＜a ＜1．随机变量X 的分布列是 X
a 1 P 13
13 13
A.D （X ）增大
B.D （X ）减小
C.D （X ）先增大后减小
D.D （X ）先减小后增大
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C.当 D.当
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.复数 （ 为虚数单位），则 ________.
12.已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点 ，则 _____， ______.
13.在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题通过讨论 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当 时，函数 过定点 且单调递减，则函数 过定点 且单调递增，函数 过定点 且单调递减，D选项符合；当 时，函数 过定点 且单调递增，则函数 过定点 且单调递减，函数 过定点 且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
锥体的体积公式
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.渐近线方程为 的双曲线的离心率是（ ）
14.在 中， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则 ____； ________.
15.已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_______.
16.已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的最大值是____.
17.已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时， 的最小值是________；最大值是_______.
【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
5.若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
19.如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
20.设等差数列 前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每 成等比数列.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】 ，则
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.渐近线方程为 的双曲线的离心率是（ ）
A. B.1
C. D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
A.当 B.当
C.当 D.当
【答案】A
【解析】
【分析】
本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.
【详解】选项B：不动点满足 时，如图，若 ，
排除
如图，若 为不动点 则
选项C：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，
排除
选项D：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，排除.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 的斜率，进一步得到其方程，将 代入后求得 ，计算得解.
【详解】可知 ，把 代入得 ，此时 .
【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
13.在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论 的不同取值范围，认识函数的单调性.
7.设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时（ ）
A. 增大B. 减小
C. 先增大后减小D. 先减小后增大
【答案】D
【解析】
【分析】
研究方差随 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
6.在同一直角坐标系中，函数 且 的图象可能是（ ）
11.复数 （ 为虚数单位），则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题先计算 ，而后求其模.或直接利用模的性质计算.容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】 .
【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.
12.已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点 ，则 _____， ______.
【详解】方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
8.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A. B.1
C. D.2
3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. B. 1
C 10D. 12
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
试题1-5+解析5-28页
参考公式：
若事件 互斥，则
若事件 相互独立，则
若事件 在一次试验中发生的概率是 ,则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
（2）当 时，分三种情况，如图 与 若有三个交点，则 ，答案选D
下面证明： 时，
时 ， ，则 ，才能保证至少有两个零点，即 ，若另一零点在
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..
10.设 ，数列 中， ， ,则（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
【详解】原题可转化为 与 ，有三个交点.
当 时， ，且 ，则
（1）当 时，如图 与 不可能有三个交点（实际上有一个），排除A，B
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图 为 中点， 在底面 的投影为 ，则 在底面投影 在线段 上，过 作 垂直 ，易得 ，过 作 交 于 ，过 作 ，交 于 ，则 ，则 ，即 ， ，即 ，综上所述，答案为B.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察 的幂指数，使问题得解.
方法2：由最小角定理 ，记 的平面角为 （显然 ）
由最大角定理 ，故选B.
法2：（特殊位置）取 为正四面体， 为 中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
选项A：证明：当 时， ，
处理一：可依次迭代到 ；
处理二：当 时， ，则则
，则 .
故选A
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 的可能取值，利用“排除法”求解.
Βιβλιοθήκη Baidu非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以 为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数 经过平面区域的点 时， 取最大值 .
【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 ，其中 是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.
注： 为自然对数的底数.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
参考公式：
若事件 互斥，则
若事件 相互独立，则
若事件 在一次试验中发生的概率是 ,则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高
A. 158B. 162
C. 182D. 32
5.若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.在同一直角坐标系中，函数 且 图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时（ ）
A. 增大B. 减小
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
21.如图，已知点 为抛物线 ，点 为焦点，过点 的直线交抛物线于 两点，点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧.记 的面积为 .
（1）求 的值及抛物线的标准方程；
（2）求 的最小值及此时点 的坐标.
22.已知实数 ，设函数
A.158B.162
C.182D.32
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.
【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为 .
【详解】因为双曲线的渐近线为 ，所以 ，则 ，双曲线的离心率 .
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. B.1
C.10D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
C. 先增大后减小D. 先减小后增大
8.设三棱锥 底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
10.设 ，数列 中， ， 则（ ）