最优化理论及应用——绪论
合集下载
北邮最优化课件0最优化理论与算法引言-PPT精品文档32页
最优化理论
23
6.结构设计问题
p1
p
2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
最优化理论
24
6.结构设计问题
解：桁杆的截面积为 ： SdB
桁杆的总重量为： W2dBL2h2
负载2p在每个杆上的分力为：p1copsp
L2h2 h
于是杆截面的应力为：
1
p1 s
每股50元的价格出售，则净现金为：
50 ×1000-0.3(50-30)1000-0.1×50 ×1000=39000
最优化理论
16
3 税下投资问题（续）
• 我们的目标是要使预期收益最大。 • Xi：当前抛出股票i的数量。
n
max ri(si xi)
i=1
n
n
n
s.t. pixi 0.30 (pi qi)xi 0.10 pixi c
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
最优化理论
10
最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法
最优化是一门应用十分广泛的学科，它研究 在有限种或无限种可行方案中挑选最优方案，构 造寻求最优解的计算方法。达到最优目标的方案， 称为最优方案，搜索最优方案的方法，称为最优 化方法。这种方法的数学理论，称为最优化理论。
最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年 形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优 化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
组合最优化
在给定有限集的所有具备某些条件的子集中，按某种目 标找出一个最优子集的一类数学规划。又称组合规划。 从最广泛的意义上说，组合规划与整数规划这两者的领 域是一致的，都是指在有限个可供选择的方案的组成集 合中，选择使目标函数达到极值的最优子集。
组合最优化发展的初期，研究一些比较实用的基本上属 于网络极值方面的问题 ，如广播网的设计 、开关电路设 计、航船运输路线的计划、工作指派、货物装箱方案等。 自从拟阵概念进入图论领域之后，对拟阵中的一些理论 问题的研究成为组合规划研究的新课题，并得到应用。 现在应用的主要方面仍是网络上的最优化问题，如最短 路问题、最大（小）支撑树问题、最优边无关集问题、 最小截集问题、推销员问题等。
整数规划
整数规划是指一类要求问题中的全部或一部分变量为 整数的数学规划。是近三十年来发展起来的、规划论 的一个分支. 整数规划问题是要求决策变量取整数值的 线性规划或非线性规划问题。
最优化是一门应用十分广泛的学科，它研究 在有限种或无限种可行方案中挑选最优方案，构 造寻求最优解的计算方法。达到最优目标的方案， 称为最优方案，搜索最优方案的方法，称为最优 化方法。这种方法的数学理论，称为最优化理论。
最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年 形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优 化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
组合最优化
在给定有限集的所有具备某些条件的子集中，按某种目 标找出一个最优子集的一类数学规划。又称组合规划。 从最广泛的意义上说，组合规划与整数规划这两者的领 域是一致的，都是指在有限个可供选择的方案的组成集 合中，选择使目标函数达到极值的最优子集。
组合最优化发展的初期，研究一些比较实用的基本上属 于网络极值方面的问题 ，如广播网的设计 、开关电路设 计、航船运输路线的计划、工作指派、货物装箱方案等。 自从拟阵概念进入图论领域之后，对拟阵中的一些理论 问题的研究成为组合规划研究的新课题，并得到应用。 现在应用的主要方面仍是网络上的最优化问题，如最短 路问题、最大（小）支撑树问题、最优边无关集问题、 最小截集问题、推销员问题等。
整数规划
整数规划是指一类要求问题中的全部或一部分变量为 整数的数学规划。是近三十年来发展起来的、规划论 的一个分支. 整数规划问题是要求决策变量取整数值的 线性规划或非线性规划问题。
优化理论第一章
Fibonacci 法 区间消去法 黄金分割法（0.618法） （一维搜索） 函数逼近法（插值法） （2 （2）直接法（数值解法） 变量轮换法 爬山法 步长加速法 （多维搜索） 方向加速法 单纯形法及随机搜索法
最速下降法 无约束牛顿法及拟牛顿法 梯度法共轭梯度法 变尺度法 以梯度法为基有约束可行方向法 （） 3 础的数值解法梯度法梯度投影法 化有约束序列无约束极小化法(SUMT法) 问题为无 序贯加权因子法(SWIFT法) 约束问题复形法
来自百度文库
综观实例，最优化问题的数学描述， 综观实例，最优化问题的数学描述，应包 括以下几方面的内容： 括以下几方面的内容：
（1）受控动态系统的数学模型，即受控系统动力学特 ）受控动态系统的数学模型， 性的系统状态方程， 性的系统状态方程，它反映了动态系统在运动过 程中所应遵循的物理或化学规律。 程中所应遵循的物理或化学规律。 （2）动态系统的初态和终态，即状态方程的边界条件。 ）动态系统的初态和终态，即状态方程的边界条件。 一个动态过程， 一个动态过程，归根到底是状态空间中从一个状 态转移到另一个状态。 态转移到另一个状态。 （3）目标函数（又称性能指标或性能泛函或目标泛函 ）目标函数（ ），它是一个衡量 控制作用” 它是一个衡量“ 等），它是一个衡量“控制作用”效果的性能指 标。 （4）容许控制的集合。 ）容许控制的集合。
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
R. T. Rockafellar
Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
2020/4/8
3
其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S.
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
2020/4/8
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量 是b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地
Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调 运这些物品才能使总运费最小？
min f (x) x:数
Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
2020/4/8
3
其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S.
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
2020/4/8
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量 是b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地
Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调 运这些物品才能使总运费最小？
min f (x) x:数
最优化原理复习纲要
复习
第一章 绪论
一. 基本概念
二. 知识点
局部极小点、全局极小点、凸集、极点、极方向、凸函数
Farkas Gordan 图解法、点与闭凸集的分离定理、引理、择一定理、凸函数的一阶、二阶充要条件.
第四章 无约束最优化问题的一般结构
方向导数、一维搜索、局部收敛与全局收敛、收敛速率、算法的二次终止性
一. 基本概念
4.1.4.
一阶必要条件、二阶必要条件、二阶充分条件、
定理、最速下降算法二. 知识点
精确一维搜索、非精确一维搜索、单峰函数
黄金分割法.
第五章 一维搜索
一. 基本概念
二. 知识点
共轭方向
Newton Newton 方程、法算法、共轭梯度法、
拟牛顿法的基本性质
第六章 使用导数的最优化方法
一. 基本概念
二. 知识点
KKT Lagrangian 下降方向、可行方向、凸规划、有效约束(起作用约束)、点、函数
第八章 约束问题的最优性条件
一. 基本概念
二. 知识点
KKT 一阶必要条件（条件）、二阶必要条件、
二阶充分条件
第十章 可行方向法
知识点:
Zoutendijk可行方向法、投影阵及其基本性质
(外)罚函数、(内)罚函数、
第十一章 乘子法
一. 基本概念
二. 知识点
()(外)罚函数算法、内罚函数算法、罚函数法相关理论结果
{}{}{}1111(1)(;)(;)(;);(2)()()();(3)()()().k k k k k k k k k k k k P x P x
P x S x S x
S x f x f x f x σσσ++++≤≥≤，即序列非减，即序列非增，即序列非减111100,min{(;}.)k k k k k k x x
最优化第一部分
最优化理论与方法 第一部分 绪论
3. 最优化问题的一般形式 概括地说，后面大部分章节要讨论的问题是如下的最优 化 问题:
最优化理论与方法 第一部分 绪论
容易看出若这个问题的最有决策为：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
生产数量
季度初仓储量
2
0
2
1
2
2
1
2
则第四季度的决策即为季初仓库中存有2艘的最优决 策，第三、四季度的决策即为第三季度初仓库中存有2艘 的最优决策，以及第二、三、四季度的决策即为第二季度 初仓库中存有1艘的最优决策.
最优化理论与方法 第一部分 绪论
以上几种定义中虽然每个定义所强调的侧重点略有不同， 但总的含义是一致的。一般说来，最优化方法的研究对象是各
种有组织的系统（主要是经济组织系统）的经营管理问题，最
优化方法所研究的系统是在一定时空条件下存在，为人所能控 制和操纵，有两个以上行动方案可供选择而需要人们作决策的 系统。最优化方法研究的问题是能用数量表示与系统各项活动 有关而带有运用、策划、使用、安排、控制和规划等方面的问 题。最优化方法的任务就是在现有条件下，根据问题的要求， 对有关活动中的错综复杂的数量进行分析研究，并归纳为一定 的模型，然后运用有关原理和方法求得解决问题的最优途径和
法的目的在于解决实际问题 , 它所使用的全部假设和数学模型
最优化方法绪论
4 选址问题（续1）
利润 cij: i I, j J, 在j处的设施服务顾客i所得的利润 费用 f j : j J, 打开j处设施的费用
每一j J 0-1 变量 x j : x j 1,open j 1, 顾客 i由在 j的设施服务 yij : i I, j J 否则 0,
7.结构设计问题
另外还要考虑到设计变量d和h有界。
从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：
min 2dB L2 h 2 重量 2 2 p L h s.t. 0 应力要求 dhB 2 E d 2 B 2 p L2 h 2 0 稳定要求 2 2 dhB 8 L h d max d d min h h h min max
5选址问题（续2）
max s.t.
c
iI jJ ij
i j ij
y f jx j
jJ
y
jJ
1
i I; i I, j J; j J; i I, j J.
yij x j , x j {0,1}, yij {0,1},
6负载平衡(续1)
线性规划、整数规划、非线性规划、目标规划、
动态规划 ( 五规划 ) 对策论、存储论、排队论、决策论、图论 ( 五论 )
运 筹 学
最优化首先是一种理念,其次才是一种方法. 运筹学的“三个代表”
最优化理论 第一章
1-1 绪论
1.优化的含义 优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最 优的方案。
优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际 问题中的应用，便是优化问题。
（1）来源：优化一语来自英文Optimization， 其本意是寻优的过程；
（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取 极大值（以max表示)或极小(以min表示)的过程。 优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进 行决策及确定最优解的数学。
2.优化的发展概况 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊 的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出： 在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。 十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一 些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而， 在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要 考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。 直到上世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运 筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问 题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。
本课主要内容
最优化概述 最优化的数学基础 线性规划 整数规划 一维最优化方法 无约束多维非线性规划方法 约束问题的非线性规划方法 非线性规划中的一些其他方法
第一章 最优化的基本要素
1-1 绪论
1-2 优化问题的示例 1-3 优化问题的数学模型
最优化理论绪论
2016/5/29 计算机控制技术 19
（3）数字量输入通道 数字量的输入通道是把过程和被控对象的 开关量或通过传感器已转换的数字量以并行或 串行的方式转入计算机。 （4）数字量输出通道 数字量输出通道是将计算机运算、决策之 后的数字信号以串行或并行的方式输出给被控 对象或外部设备，应该强调的是数字量输出通 道输出的信号有时是直接驱动外部设备，其功 率和阻抗的匹配是应该特别注意的。
2016/5/29 计算机控制技术 24
2 应用软件
• 应用软件是用户根据控制对象、控制要求，为 实现高效、可靠、灵活的控制而自行编译的各 种程序。它们包括：数据采集、数字滤波、标 度变换、键盘的处理、过程控制算法、输出与 控制等程序。 • 用于应用软件开发的程序设计语言，一般有： 汇编、C# 、C++、VB、VC 等。 目前也有一 些专门用于控制的引用组态软件，这些软件功 能强，使用方便，组态灵活，具有很强的应用 前景。
2016/5/29 计算机控制技术 26
• 计算机控制系统的分类不是严格的按照其 结构或者功能进行分类的。计算机控制系 统的分类，是根据计算机控制系统的发展 历史和在实际应用中的状态并参考以往的 教材进行分类的。一般分为：操作指导控 制系统、直接数字控制系统、监督控制系 统、集散控制系统、现场总线控制系统和 计算机集成制造系统六大类。
11
2 闭环控制系统
（3）数字量输入通道 数字量的输入通道是把过程和被控对象的 开关量或通过传感器已转换的数字量以并行或 串行的方式转入计算机。 （4）数字量输出通道 数字量输出通道是将计算机运算、决策之 后的数字信号以串行或并行的方式输出给被控 对象或外部设备，应该强调的是数字量输出通 道输出的信号有时是直接驱动外部设备，其功 率和阻抗的匹配是应该特别注意的。
2016/5/29 计算机控制技术 24
2 应用软件
• 应用软件是用户根据控制对象、控制要求，为 实现高效、可靠、灵活的控制而自行编译的各 种程序。它们包括：数据采集、数字滤波、标 度变换、键盘的处理、过程控制算法、输出与 控制等程序。 • 用于应用软件开发的程序设计语言，一般有： 汇编、C# 、C++、VB、VC 等。 目前也有一 些专门用于控制的引用组态软件，这些软件功 能强，使用方便，组态灵活，具有很强的应用 前景。
2016/5/29 计算机控制技术 26
• 计算机控制系统的分类不是严格的按照其 结构或者功能进行分类的。计算机控制系 统的分类，是根据计算机控制系统的发展 历史和在实际应用中的状态并参考以往的 教材进行分类的。一般分为：操作指导控 制系统、直接数字控制系统、监督控制系 统、集散控制系统、现场总线控制系统和 计算机集成制造系统六大类。
11
2 闭环控制系统
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
Df 1.3:给定一非空集合G以及在G上的一种代数 运算+:G×G→G(称为加法),若下述条件成立:
(1)a,b, c G,有a (b c) (a b) c (2)0 G,使得a G,有a 0 0 a a (3)a G, -a G使得a (a) (a) a 0
TP SHUAI
9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
i=1
i=1
i=1
TP SHUAI
17
4 选址问题（1）
实例:一组潜在位置（地址）, 一组顾客集合及相应的 利润和费用数据；
解: 设施开放(使用)的数目，他们的位置，以及顾客 被哪个设施服务的具体安排方案；
目标：总的利润最大化。
数据与约束 J={1,2,…,n}:放置设施的可能的潜在位置集合 I={1,2,…,m}:顾客集合,其要求的服务需要某设施所提 供.
TP SHUAI
31
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系 Email:tpshuai@gmail.com, Tel:62281308,Rm:主楼814
(1)a,b, c G,有a (b c) (a b) c (2)0 G,使得a G,有a 0 0 a a (3)a G, -a G使得a (a) (a) a 0
TP SHUAI
9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
i=1
i=1
i=1
TP SHUAI
17
4 选址问题（1）
实例:一组潜在位置（地址）, 一组顾客集合及相应的 利润和费用数据；
解: 设施开放(使用)的数目，他们的位置，以及顾客 被哪个设施服务的具体安排方案；
目标：总的利润最大化。
数据与约束 J={1,2,…,n}:放置设施的可能的潜在位置集合 I={1,2,…,m}:顾客集合,其要求的服务需要某设施所提 供.
TP SHUAI
31
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系 Email:tpshuai@gmail.com, Tel:62281308,Rm:主楼814
最优控制应用基础-绪论(Nature)
最优控制问题
例 升降机的最快升降问题 电梯快速升降问题、机车 的快速运行、轧钢机的快速控制、机械振动的快速消振、 卫星的快速会合等。 将被控对象简化成一个内部带控制器的物体M，其 质量为1。重力加速度g垂直向下作用到M的质心上。控 制器可提供一个作用于M质心上的使其垂直上升或下降 的加速度u(t)。考虑到u(t)由动力设备产生，其大小必受 到限制。因此有| u(t) |≤k， k为正常数。简化示意图如图 所示。
捷线问题
捷线问题，或称最短时间问题，或称最速降线问 题，是这样提出来的：如果有一个质量为m的小球受 到重力的作用，在垂直平面内沿金属丝无摩擦的下滑 到某一点，为了使下滑时间最短，则金属丝应当具有 什么形状？伽利略曾猜测金属丝形状是圆弧，但1694 年贝努里证明这种金属丝是一条摆线，与利用求泛函 极值的变分法所得结果一致。
t0
性能指标值的大小依赖于控制作用的整体u(·)的选择， 而不是取决于控制u(t)在t时刻的值；因此J[u(·)]是控制函 数u(·)的函数（称为u(·)的泛函）。
一般描述
最优控制问题可表述为：寻找一个容许控制u(t) ，以使受 控系统从某个给定的初始状态 x(t 0 ) = x 0 出发，在末端时刻 t f 达到目标集，并且使性能指标泛函J[u(·)] 达到极小值或极大值。 如果这个问题是有解的，那么就称求得的容许控制为最优 控制，记为u*(t) ；而系统状态方程在u*(t)作用下的解称为最优 轨线，记为x*(t) ，相应的极小或极大性能指标值J [u*(·)] ，称 为最优指标值。在数学上，最优控制问题的实质，是对受约束 的泛函J[u(·)]求极值的问题，其中的约束条件为系统的状态方 程、目标集方程和容许控制域。 开环控制与闭环控制：最优控制的一类形式是表示为时间 变量t的函数，称为程序控制或开环控制。程序控制的主要缺 点，是不能消除或抑制由于参数的变动和环境的变化对系统造 成的扰动。最优控制的另一类形式是表示为状态变量的函数， 实质上是一种状态反馈，称为综合控制或闭环控制。其优点是 对抑制扰动有利。
最优化理论与算法完整版课件
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
TP SHUAI
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
TP SHUAI
7
•最优化的发展历程
TP SHUAI
16
3 税下投资问题（续）
• 我们的目标是要使预期收益最大。 • Xi：当前抛出股票i的数量。
n
max ri (si xi )
i=1
n
n
n
s.t. pixi 0.30 (pi qi )xi 0.10 pixi c
i=1
i=1
i=1
TP SHUAI
17
于是杆截面的应力为：
1
p1 s
L2 h2
dhB
此应力要求小于材料的屈吸极限，即
p L2 h2 dhB
TP SHUAI
25
6.结构设计问题
圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。
由材料力学知：压杆稳定的临界应力为
2E d 2 B2 由此得稳定约束： 8 L2 h2
TP SHUAI
19
4选址问题（3）
max
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
TP SHUAI
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
TP SHUAI
7
•最优化的发展历程
TP SHUAI
16
3 税下投资问题（续）
• 我们的目标是要使预期收益最大。 • Xi：当前抛出股票i的数量。
n
max ri (si xi )
i=1
n
n
n
s.t. pixi 0.30 (pi qi )xi 0.10 pixi c
i=1
i=1
i=1
TP SHUAI
17
于是杆截面的应力为：
1
p1 s
L2 h2
dhB
此应力要求小于材料的屈吸极限，即
p L2 h2 dhB
TP SHUAI
25
6.结构设计问题
圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。
由材料力学知：压杆稳定的临界应力为
2E d 2 B2 由此得稳定约束： 8 L2 h2
TP SHUAI
19
4选址问题（3）
max
最优化理论与算法完整版课件
8 L2 h2
p L2 h2
dhB
0
dmax d dmin
hmax h hmin
基本概念
• 在上述例子中,有的目标函数和约束函数 都是线性的,称之为线性规划问题,而有的模
型中含有非线性函数,称之为非线性规划. 在线性与非线性规划中,满足约束条件的点
n
xij ai
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
TP SHUAI
24
6.结构设计问题
解：桁杆的截面积为 ： S dB
桁杆的总重量为：W 2dB L2 h2
负载2p在每个杆上的分力为：p1
p
cos
p
最优化理论与算法完整版课件
4 选址问题（1）
实例:一组潜在位置（地址）, 一组顾客集合及相应的 利润和费用数据；
解: 设施开放(使用)的数目，他们的位置，以及顾客 被哪个设施服务的具体安排方案；
目标：总的利润最大化。
数据与约束 J={1,2,…,n}:放置设施的可能的潜在位置集合 I={1,2,…,m}:顾客集合,其要求的服务需要某设施所提 供.
9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
TP SHUAI
28
基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
xRn
---目标函数
s.t. gi (x) 0,i I
hj (x) 0, j E
TP SHUAI
于是杆截面的应力为：
工程优化方法及应用 第一章(2学时)
min cij xij
i 0 j0 n n
x
i 0
ij
目标—总费用最小
c x
i 0 j 0
n
n
ij ij
n xij 1; i 0,1, ..., n j0 n s .t . xij 1; j 0,1, ..., n i 0 xij 1或0, i 0,1, ..., n, j 0,1, ..., n
解: 设 x , x , x 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大 1 2 3 豆粉的量（磅）。
min Z 0.0164 x1 0.0463 x2 0.1250 x3 s .t . x1 x2 x3 100 0.380 x1 0.001 x2 0.002 x3 0.012 100 0.380 x1 0.001 x2 0.002 x3 0.008 100 0.09 x2 0.50 x3 0.22 100 0.02 x2 0.08 x3 0.05 100 x1 0 , x2 0 , x3 0
利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
4 2 L r , h, 2 rh 2 r r h 3
2
分别对 r, h,λ 求偏导数,并令其等于零. 有:
L r 2 h 4 r 2rh 0 L 2 2 r r 0 h L 4 2 r h 0 3
i 0 j0 n n
x
i 0
ij
目标—总费用最小
c x
i 0 j 0
n
n
ij ij
n xij 1; i 0,1, ..., n j0 n s .t . xij 1; j 0,1, ..., n i 0 xij 1或0, i 0,1, ..., n, j 0,1, ..., n
解: 设 x , x , x 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大 1 2 3 豆粉的量（磅）。
min Z 0.0164 x1 0.0463 x2 0.1250 x3 s .t . x1 x2 x3 100 0.380 x1 0.001 x2 0.002 x3 0.012 100 0.380 x1 0.001 x2 0.002 x3 0.008 100 0.09 x2 0.50 x3 0.22 100 0.02 x2 0.08 x3 0.05 100 x1 0 , x2 0 , x3 0
利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
4 2 L r , h, 2 rh 2 r r h 3
2
分别对 r, h,λ 求偏导数,并令其等于零. 有:
L r 2 h 4 r 2rh 0 L 2 2 r r 0 h L 4 2 r h 0 3
工程最优化设计理论、方法和应用PPT课件
13
优化的基本概念和术语 2/3
目标函数的等值线Contour 目标函数是衡量设计方案好坏、优劣的定量指标。 常见的选择设计问题的重要的技术经济指
标有: 利润、成本、功率、重量、交货期等。
等值线的绘制 令函数f(X)等于一常数c f(X)=c
于是可绘制出二维的封闭轮廓,即 等值线（面）。
f(X)=c
图解法的步骤：
1) 确定设计空间xn； 2) 画出由约束边界围成的 约束可行域； 3) 作出1~2条目标函数的等值线,以判定目
标函数的下降方向； 4) 分析并判断最优点。
16
例 用图解法解最优化问题
x2
min f ( X ) 60x1 120x2
s.t. g1( X ) 9x1 4x2 360 0
g4 (x1, x2 ) x1 0
g5 (x1, x2 ) x2 0
11
1.2 数学模型的一般形式
Minimize f(x1,x2…xn) 目标函数
gu (x1, x2 xn ) 0 Subject to h v (x1, x2 xn ) 0
u 1,2,, p v 1,2,, m
c 极值点的梯度
梯度准则
迭代点接近极值点时，目标函数的梯度将变得充分小，可用梯度作为 收敛判据之一。即：
|f(Xk+1)| < 4
或相对梯度差
优化的基本概念和术语 2/3
目标函数的等值线Contour 目标函数是衡量设计方案好坏、优劣的定量指标。 常见的选择设计问题的重要的技术经济指
标有: 利润、成本、功率、重量、交货期等。
等值线的绘制 令函数f(X)等于一常数c f(X)=c
于是可绘制出二维的封闭轮廓,即 等值线（面）。
f(X)=c
图解法的步骤：
1) 确定设计空间xn； 2) 画出由约束边界围成的 约束可行域； 3) 作出1~2条目标函数的等值线,以判定目
标函数的下降方向； 4) 分析并判断最优点。
16
例 用图解法解最优化问题
x2
min f ( X ) 60x1 120x2
s.t. g1( X ) 9x1 4x2 360 0
g4 (x1, x2 ) x1 0
g5 (x1, x2 ) x2 0
11
1.2 数学模型的一般形式
Minimize f(x1,x2…xn) 目标函数
gu (x1, x2 xn ) 0 Subject to h v (x1, x2 xn ) 0
u 1,2,, p v 1,2,, m
c 极值点的梯度
梯度准则
迭代点接近极值点时，目标函数的梯度将变得充分小，可用梯度作为 收敛判据之一。即：
|f(Xk+1)| < 4
或相对梯度差
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y(t ), X (t ) x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) , t 1, 2,, N
T
目的 确定 个函数 f ( X ) ，能够在包含所有样本数据 目的：确定一个函数 能够在包含所有样本数据 的某个集合 里用 f ( X ) 近似描述 y 和 X 之间的 对应关系，即，满足
E p 最终要解决的是优化问题 min
这是连续变量无约束优化问题
对于采用 l 范数形成的优化问题
ˆ X (t ), min max y(t ) f
1t N
为克服目标函数不可导的困难，可以等价转换成下面的 连 变 连续变量约束优化问题 束
min ˆ X (t ), , 1 t N s.t. y(t ) f
的目标函数任意小，这样得到的模型在样本集以外通常 会产生 大 会产生很大的预报误差，即出现过度拟合或过度训练 差 过度 过度 练 解决该问题的根本途经是同时极小化基函数的个数 理 解决该问题的根本途经是同时极小化基函数的个数，理 论上要解决连续和离散变量混合的优化问题
min y(t ) i ii X (t ) w i
y f X , y, X
基本方法：选择含有待定参数的函数 fˆ ( X , ) ，通过极小 化某种样本误差确定待定参数得到所需函数 常用 l1 , l2 , l 范数的样本误差
N ˆ X (t ), y ( t ) f t 1 2 N ˆ X (t ), E p y(t ) f ) t 1 max y(t ) f ˆ X (t ), ) 1t N p 1 p2 p
特别是，当 fˆ ( X , ) 是 的线性函数时，即
ˆ ( X , ) ( X ) f ii
i 1 m
上面的优化问题是线性规划问题
一般情况下，选择足够多的基函数 i ( X ) 可使优化问题
min y(t ) ii X (t )
t 1 i 1 N m p
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式
例、和优化联系非常密切的一类问题 （回归、辨识、估计、训练、学习、拟合、逼近…） 前提：标量 y 的取值由向量 X x1 , x2 ,, xn T 的取值决定 条件：有一组一一对应的样本数据
f ( x)
x a c
ˆ x ˆ x ˆ x
d
b
跳出局部陷阱的唯一途经是在搜索过程中允许前进到目 跳 局部陷 是在搜索 程中允许前 到 标函数值变差的点，如在 c, d 之间容许目标函数下降才 有可能找到全局最优解 由此产生新问题 无法保证算法收敛 由此产生新问题，无法保证算法收敛
转换成上述问题
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式
wk.baidu.com
例
max f ( x)
a x b
f ( x)
x
a c
x1 x1
d
b
基本方法：从 a, b 之间的任一点出发，朝着能够改进目 标函数的方向搜索前进，直至目标函数不能改进 肯定能够收敛到一个局部最优解，不能保证全局最优
课程名：最优化算法理论与应用 教师：王书宁 swang@mail.tsinghua.edu.cn 电话 62783371 助教：王晶 wang-jing08@mails.tsinghua.edu.cn 电话 62785047 时间：2012年10月9日开始每周二下午 2:30-3:20；3:25-4:15；4:20-5:10 地点：自动化所自动化大厦十三层第二会议室
教材：运筹学（第三版），刁在筠等编，高教出版社 自第2章到第6章按教材顺序讲课，内容有增减
考核：课程结束时的（开卷）考试成绩50％，平时成 绩占50％，后者为平时作业加课堂测验成绩
t 1 i 1 i 1 N m p m
s.t. i 0,1 , 1 i m
其中 w 是设定的正的权值
前面的例子包含了优化问题最基本的类型 线性（凸优化） 与 无约束 连续变量 与 与 一般非线性 有约束 离散变量
后者相对于前者在难度上均有质的改变 具有不确定性和动态特性的问题
f ( x)
x a c
ˆ x ˆ x ˆ x
d
b
为了使算法收敛，只能引入不确定性，让算法在任何一 为了使算法收敛，只能引入不确定性，让算法在任何 点以一定的概率前进到邻近的某点，移动概率和相应点 的目标函数值正相关，所以
ˆ|x ˆ px ˆ| x ˆ px
由此产生的算法是结果不确定的算法
前面的例子包含了优化方法最基本的类型 确定型搜索 与 不确定型搜索
前者是经典的优化教材介绍的主要内容，后者 包括模拟退火、禁忌搜索、遗传算法、免疫算 法 蚂蚁算法 …等方法， 法、蚂蚁算法、 等方法 一般称为智能算法 般称为智能算法 本课程主要讨论基于确定性搜索的优化方法
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式
T
目的 确定 个函数 f ( X ) ，能够在包含所有样本数据 目的：确定一个函数 能够在包含所有样本数据 的某个集合 里用 f ( X ) 近似描述 y 和 X 之间的 对应关系，即，满足
E p 最终要解决的是优化问题 min
这是连续变量无约束优化问题
对于采用 l 范数形成的优化问题
ˆ X (t ), min max y(t ) f
1t N
为克服目标函数不可导的困难，可以等价转换成下面的 连 变 连续变量约束优化问题 束
min ˆ X (t ), , 1 t N s.t. y(t ) f
的目标函数任意小，这样得到的模型在样本集以外通常 会产生 大 会产生很大的预报误差，即出现过度拟合或过度训练 差 过度 过度 练 解决该问题的根本途经是同时极小化基函数的个数 理 解决该问题的根本途经是同时极小化基函数的个数，理 论上要解决连续和离散变量混合的优化问题
min y(t ) i ii X (t ) w i
y f X , y, X
基本方法：选择含有待定参数的函数 fˆ ( X , ) ，通过极小 化某种样本误差确定待定参数得到所需函数 常用 l1 , l2 , l 范数的样本误差
N ˆ X (t ), y ( t ) f t 1 2 N ˆ X (t ), E p y(t ) f ) t 1 max y(t ) f ˆ X (t ), ) 1t N p 1 p2 p
特别是，当 fˆ ( X , ) 是 的线性函数时，即
ˆ ( X , ) ( X ) f ii
i 1 m
上面的优化问题是线性规划问题
一般情况下，选择足够多的基函数 i ( X ) 可使优化问题
min y(t ) ii X (t )
t 1 i 1 N m p
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式
例、和优化联系非常密切的一类问题 （回归、辨识、估计、训练、学习、拟合、逼近…） 前提：标量 y 的取值由向量 X x1 , x2 ,, xn T 的取值决定 条件：有一组一一对应的样本数据
f ( x)
x a c
ˆ x ˆ x ˆ x
d
b
跳出局部陷阱的唯一途经是在搜索过程中允许前进到目 跳 局部陷 是在搜索 程中允许前 到 标函数值变差的点，如在 c, d 之间容许目标函数下降才 有可能找到全局最优解 由此产生新问题 无法保证算法收敛 由此产生新问题，无法保证算法收敛
转换成上述问题
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式
wk.baidu.com
例
max f ( x)
a x b
f ( x)
x
a c
x1 x1
d
b
基本方法：从 a, b 之间的任一点出发，朝着能够改进目 标函数的方向搜索前进，直至目标函数不能改进 肯定能够收敛到一个局部最优解，不能保证全局最优
课程名：最优化算法理论与应用 教师：王书宁 swang@mail.tsinghua.edu.cn 电话 62783371 助教：王晶 wang-jing08@mails.tsinghua.edu.cn 电话 62785047 时间：2012年10月9日开始每周二下午 2:30-3:20；3:25-4:15；4:20-5:10 地点：自动化所自动化大厦十三层第二会议室
教材：运筹学（第三版），刁在筠等编，高教出版社 自第2章到第6章按教材顺序讲课，内容有增减
考核：课程结束时的（开卷）考试成绩50％，平时成 绩占50％，后者为平时作业加课堂测验成绩
t 1 i 1 i 1 N m p m
s.t. i 0,1 , 1 i m
其中 w 是设定的正的权值
前面的例子包含了优化问题最基本的类型 线性（凸优化） 与 无约束 连续变量 与 与 一般非线性 有约束 离散变量
后者相对于前者在难度上均有质的改变 具有不确定性和动态特性的问题
f ( x)
x a c
ˆ x ˆ x ˆ x
d
b
为了使算法收敛，只能引入不确定性，让算法在任何一 为了使算法收敛，只能引入不确定性，让算法在任何 点以一定的概率前进到邻近的某点，移动概率和相应点 的目标函数值正相关，所以
ˆ|x ˆ px ˆ| x ˆ px
由此产生的算法是结果不确定的算法
前面的例子包含了优化方法最基本的类型 确定型搜索 与 不确定型搜索
前者是经典的优化教材介绍的主要内容，后者 包括模拟退火、禁忌搜索、遗传算法、免疫算 法 蚂蚁算法 …等方法， 法、蚂蚁算法、 等方法 一般称为智能算法 般称为智能算法 本课程主要讨论基于确定性搜索的优化方法
优化问题基本分类 优化方法基本分类 教材以及考核方式