优化理论与算法完整版
最优化理论与算法(第十一章)
第十一章约束最优化问题的可行方向法§1 Frank-Wolf方法一、问题形式（11.1）其中为矩阵，，。
记并设一阶连续可微。
二、算法基本思想是一个凸多面体，任取，将在处线性展开用或（11.2）逼近原问题，这是一个线性规划问题，设是其最优解。
1）若，则也是线性规划问题（11.2）的最优解，此时可证为原问题的K-T点。
2）若，则由是（11.2）的最优解，故必有从而即为在处的下降方向，沿此方向作有约束的一维搜索设最佳步长因子为，令当充分小时用取代，重复以上计算过程。
三、算法迭代步骤1）给定初始点，允许误差，。
2）求解线性规划问题，得最优解。
3）若，Stop,；否则go to 4)。
4）进行一维搜索，得最优步长因子；令，，go to 2)四、算法收敛性定理设非线性规划问题（11.1）的最优解存在，且对算法产生的点列，线性规划问题（11.3）的最优解总存在。
则1）若迭代到某步，有，则为问题（11.1）的K-T点；2）若情形1）总不发生，则算法产生一有界无穷点列，其任意极限点都是原问题（11.1）的K-T点。
证明：若情形1）出现，则也是问题（11.3）的最优解，故满足（11.3）的K-T条件：（11.4）而(11.1)的K-T条件：（11.5）（11.4）表明，，一起满足K-T条件（11.5），故是原问题的K-T点。
2）由点列包含在的极点的凸组合中，而均为的极点，故、均为有界点列。
设为的任一极限点，即存在子列，使得：注意到点列满足：考虑点列、、，不失一般性，设，，否则，可以通过反复抽取子序列，使上式对某个子序列成立。
由是的最优解，故，有且再由及取极限，有（11.6）不等式组（11.6）等价于：（11.7）若能证明即为问题的最优解，由本定理的第一部分可知，为原问题K-T点。
下证：，若不然，由（11.7）即知必有故为处的下降方向，因而当充分小时，有进而有：（11.8）但为单调下降的有界序列，故存在而且即与（11.8）矛盾，故必有。
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化理论与算法(第三章)
第三章 牛顿法§3.1 最速下降法一、最速下降法在极小化算法中，若每次都以迭代点处的负梯度方向为搜索方向，产生的算法称为最速下降法，它是无约束最优化算法中最简单、最基本的算法。
算法描述：1） 给出初始点0n x R ∈，允许误差0ε>，0k =； 2） 计算k k d g =-，若k g ε≤，Stop 令 *k x x ≈； 3） 由一维搜索确定步长因子k α，使得()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+4） 令1k k k k x x d α+=+，1k k =+，go to 2).二、最速下降算法的收敛性定理3.1 设1f C ∈，则最速下降算法产生的点列{}k x 的每个聚点均为驻点。
证明：设x 是{}k x 的一个聚点，则存在子序列{}1k K x ，使得1lim k k K x x ∈=令()k k d f x =-∇，由1f C ∈，知{}1()k K f x ∇是收敛序列，故{}1k K d 有界，且1lim ()k k K d f x ∈=-∇由定理2.6有2()(())()0Tf x f x f x ∇-∇=-∇=故有 ()0f x ∇=。
定理 3.2 设()f x 二次连续可微，且2()f x M ∇≤，则对任何给定的初始点0n x R ∈，最速下降算法或有限终止，或lim ()k k f x →∞=-∞，或lim ()0k k f x →∞∇=。
证明：不妨设k ∀，()0k f x ∇≠。
由定理2.5有211()()()2k k k f x f x f x M+-≥∇ 于是 []120101()()()()()2kk k i i i i i f x f x f x f x f x M -+==-=-≥∇∑∑令k →∞，由{()}k f x 为单调下降序列，则要么lim ()k k f x →∞=-∞，要么 lim ()0k k f x →∞∇=。
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2,L , m
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2020/4/8
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2020/4/8
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Printice-Hall
徐光辉、刘彦佩、程侃
科学出版社，1999
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章引论前言一、历史与现状最优化理论最早可追忆到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在 20世纪四十年月末至五十年月初。
其奠定性工作包含FritzJohn最优性条件（ 1948），Kuhn-Tucker最优性条件（1951），和Karush最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分快速，应用也愈来愈宽泛。
现在已形成一个相当宏大的研究领域。
对于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的有关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动向规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包含变分、最优控制等动向优化内容。
本课程所波及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式1、无拘束最优化问题minf(x)（）xR n2、拘束最优化问题minf(x)c i(x)0,i E（）st..i Ic i(x)0,这里E和I均为指标集。
§数学基础一、范数向量范数xx1x2maxx i（l范数）（）ni1x i（l1范数）（）n1(x i2)2（l2范数）（）i11/30n1x p(x i p)p（l p范数）（）i11x A(x T Ax)2（A正定）（椭球范数）（）事实上1－范数、2－范数与范数分别是p－范数当p＝1、2和p时情况。
2．矩阵范数定义方阵A的范数是指与A有关系并记做A的一个非负数，它拥有以下性质：①对于A0都有A0，而A0时A0；②对于随意k R，都有kA kA；③AB A B；④AB A B；若还进一步知足：⑤Ax p A x p则称之为与向量范数p相协调（相容）的方阵范数。
若令AxAmaxx （这里x是某一直量范数）（）x0可证这样定义的范数是与向量范数相协调的，往常称之为由向量范数引诱的方阵范数。
特别地，对方阵A(a ij)nn，有：nA1max a ijj1inA max a iji1j1A2(A T A)2（（列和的最大者）（）（行和的最大者）（）T表示A T A的特点值的最大者）(1.11) AA称为谱范数（注：方阵A的特点值的模的最大者称为A的谱半径，记为(A)）。
最优化理论与算法(第五章)
第五章 拟牛顿法§5.1 拟牛顿法牛顿法具有收敛速度快的优点，但需要计算Hesse 矩阵的逆，计算量大。
本章介绍的拟牛顿法将用较简单的方式得到Hesse 矩阵或其逆的近似，一方面计算量不大，另一方面具有较快的收敛速度，这类算法是无约束最优化问题最重要的求解方法。
一、拟牛顿条件设()f x 在nR 上二次可微，为了获得Hesse 矩阵2()()G x f x =∇在1k x +处的近似，先研究如下问题。
考虑()f x 在1k x +附近的二次近似：1111111)()()()2()(TT k k k k k k g x x G x f x f x x x x +++++++-+--≈. 两边求导，有 111()()k k k g x g G x x +++≈+- 令k x x =，有 111()k k k k k g g G x x +++≈+- 再令 1k k k s x x +≈-，1k k k y g g +≈-则有 1k k k y G s +≈ 或 11kkk G y s -+≈.因此，我们要求构造出的Hesse 矩阵的近似1k B +或Hesse 矩阵逆的近似1k H +应分别满足：1k k k B s y += 或 1k kk H y s += （5.1）它们均称之为拟牛顿条件。
二、一般拟牛顿算法1） 给出初始点0x R ∈，0H I =，0ε>，:0k =.2） 若k g ε≤，停止；否则，计算k k k d H g =-（拟牛顿方向）.3） 沿方向k d 进行线性搜索，0k α>（可以是精确，也可非精确）.令1k k k k x x d α+=+. 4） 校正k H 产生1k H +，使拟牛顿条件满足. 5） :1k k =+， 转2）拟牛顿法较之牛顿法有下述优点： 1） 仅需梯度（牛顿法需Hesse 矩阵）；2） k H 保持正定，因而方向具有下降性质（而牛顿法中k G 可能不定）； 3） 每次迭代需2()O n 次运算，而牛顿法需3()O n 次运算。
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT课件
2020/3/26
可编辑
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 20对20/策3/2论6 等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
可编辑
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
2020/3/26
可编辑
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ··· xn )
f(x)=0
2020/3/26
可编辑
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ··· xn) s.t. gk (x1 x2 ··· xn )=0, k=1,2,…,m
欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
2020/3/26
可编辑
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2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
最优化理论与算法课件 (1)
) p( x )
(k )
(3) f ( x ( k 1) ) f ( x ( k ) )
证明： (1)由F ( x, ) f ( x) p ( x)和 k 1 k 知 F ( x ( k 1) , k 1 ) f ( x ( k 1) ) k 1 p ( x ( k 1) ) f ( x ( k 1) ) k p ( x ( k 1) ) F ( x ( k 1) , k ) x ( k )是F ( x, k )的极小点, 对x, 有F ( x, k ) F ( x ( k ) , k ) F ( x ( k 1) , k ) F ( x ( k ) , k ) F ( x ( k 1) , k 1 ) F ( x ( k ) , k )
(k )
) k 1 p ( x
( k 1)
)
k p( x ( k 1) ) k 1 p( x ( k ) ) k p( x ( k ) ) k 1 p( x ( k 1) )
k 1 k p ( x ( k ) ) k 1 k p ( x ( k 1) ) p ( x ( k ) ) p ( x ( k 1) )
(3) 由(*), 得 f (x
( k 1) (k )
(2) p( x ( k 1) ) p( x ( k ) )
) f ( x ) k p( x ) p( x
(k )
(3) f ( x
( k 1)
) f (x )
(k )
( k 1)
)
0
引理2 设x * 是问题( A)的一个最优解, 则对k , 有
最优化理论与算法(第八章)
第八章 约束优化最优性条件§8.1 约束优化问题一、 问题基本形式min ()f x1()0 1,,.. ()0 ,,i ei e c x i m s t c x i m m+==⎧⎨≥=⎩ （8.1）特别地，当()f x 为二次函数，而约束是线性约束时，称为二次规划。
记 {}1()0 (1,,);()0 ,,i e ieX x c x i m c x i m m +===≥= ，称之为可行域（约束域）。
{}1,,e E m = ，{}1,,e I m m += ，{}()()0 i I x i c x i I ==∈称()E I x 是在x X ∈处的积极约束的指标集。
积极约束也称有效约束，起作用约束或紧约束（active constraints or binding constraints ）。
应该指出的是，如果x *是（1）的局部最优解，且有某个0i I ∈，使得0()0i c x *>则将此约束去掉，x *仍是余下问题的局部最优解。
事实上，若x *不是去掉此约束后所得问题的局部极小点，则意味着0δ∀>，存在x δ，使得x xδδ*-<，且()()f x f x δ*<，这里x δ满足新问题的全部约束。
注意到当δ充分小时，由0()i c x 的连续性，必有0()0i c x δ≥，由此知x δ是原问题的可行解，但()()f x f x δ*<，这与x *是局部极小点矛盾。
因此如果有某种方式，可以知道在最优解x *处的积极约束指标集()()A x E I x **= ，则问题可转化为等式的约束问题：min ()f x.. ()0i s t c x = ()i A x *∈ （8.2）一般地，这个问题较原问题（8.1）要简单，但遗憾的是，我们无法预先知道()A x *。
§8.2 一阶最优性条件一、几种可行方向定义8.1 设x X *∈，n d R ∈是一非零向量。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度，以尽量减少成本或增加收益为目标，按照科学的方法和原则，系统地求解给定条件下最好的决策。
其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。
1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论，包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。
（1）最优化的基本原理：最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法，它是实现经济效益最大化的手段。
因此，最优化的基本原理是：在给定的约束条件下，优化给定的目标函数，寻求其最优解。
（2）最优化目标的定义：最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数，有时只是一个函数，有时可以是多个组合的函数。
例如，机器学习中的损失函数；优化调度中的时间耗费或成本函数等。
（3）最优化参数的表示：最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。
它们是寻求最优解的主角，可以有数量上的约束，也可以没有约束。
（4）最优化的数值模型：最优化的数值模型是特定场合下，根据实际问题和最优化原理，把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。
（5）求解最优化模型的方法：求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法，主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。
2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具，在满足给定条件的情况下，尽可能求得最优解的技术，它是实现最优化的有效手段。
常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。
（1）线性规划：线性规划是指在一系列约束条件下，优化一系列线性函数的方法。
它的目标是找到一个可行的决策，使目标函数达到最优值，要求目标函数和约束条件都是线性的。
（2）非线性规划：非线性规划是指在一系列非线性约束条件下，优化非线性函数的方法。
它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的，可以通过分析非线性函数的定义域和最优解，找到最优化解。
（3）动态规划：动态规划是指在一系列约束条件下，优化某一函数的最优解的过程，其特点是无论多少步，最优解都是一致的，具有很强的计算和递推性。
最优化理论与算法 第8章 算法
2020/12/20
最优化理论
8
ch8 算法－概念
• 8.1.3 下降函数
Df 1.2 设 X 为解集合, A为X上的一个算法,
(x)是定义在X上的连续实函数,若满足
1,当x 且y A(x)时, ( y) (x)
2,当x 且y A(x)时, ( y) (x)
则称是关于解集合和算法A的下降函数 一般地,当求解NLP :
2020/12/20
最优化理论
10
Ch8 算法－概念
重新考虑例1
min x2
s.t. x 1
设是整体最优解的集合，即={1}。பைடு நூலகம்虑算法映射，
定义为
A(
x)
3 2
x 4
,1
x 2
,
若x
2
义为 1 (x 1),若x 2
2
映射在下图中说明
2020/12/20
最优化理论
11
Ch8 算法－概念
显然对任何初始点x12, 由映射A产生的任何序列都收敛于点 x*=2，对初始点x1<2, 由映射A产生的任何序列都收敛于点 x^=1.
{3,2,3/2,5/4,…} {3,3/2,9/8,33/32,…} etc.
A(x)
xk+1
A(x)
xk+1
xk+1
x*=1
xk
2020/12/20
xk+1
最优化理论与算法ppt
x 为的严格局部极小值点（极大值）
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凸集、凸函数与凸优化问题
凸组合：已知 D ，Rn任取k个点，如果存在常 数
k
使得ai
0
(i 1则, 2称,, k为) ai i 1
1
如果函数在点P(x, y) 是可微分的，那末函数在该点沿任意 方向L的方向导数都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向L的转角
Page 11
函数的方向导数与极值问题
梯度
函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值。
(2) 若 f (x0)T P 0，则P的方向是函数在点x0 处的上升方向。
方向导数的正负决定了函数值 的升降，而升降的快慢就由它的 绝对值大小决定．绝对值越大， 升降的速度就越快
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结论：
(1)梯度方向是函数值的最速上升方向； (2)函数在与其梯度正交的方向上变化率为零； (3)函数在与其梯度成锐角的方向上是上升的，而在与其梯度
以 f (x) 的n个偏导数为分量的向量称为在处的梯度，
记为
f
(
x)
f (x) x1
,
f (x) ,
x2
,
f (x)T
xn
梯度也可以称为函数关于向量的一阶导数。
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Hesse矩阵
2 f (x)
x12
2 f (x)
2
f
( x)
H (x)
x2x1
2 f (x)
2c 0
xnx1
目标函数的等值面（线） 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的
最优化理论与算法(第二章)(汇编)
第二章 一维搜索§2.1. 引言一、精确与非精确一维搜索如前所述，最优化算法的迭代格式为：1k k k k x x d α+=+因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子k α。
若设()()k k f x d ϕαα=+现在的问题是从k x 出发，沿k d 方向搜索，希望找到k α，使得()(0)k ϕαϕ<，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search )问题。
⑴ 若求得的k α，使目标函数沿方向k d 达到最小，即使得()min ()k k k k k f x d f x d ααα>+=+或 0()min ()k αϕαϕα>=，则称为最优一维搜索，或精确一维搜索。
相应的k α称为最优步长因子。
⑵ 如果选取k α，使目标函数获得可以接受的改善，即()()0k k k k f x f x d α-+>，则称之为近似一维搜索，或非精确一维搜索。
注：精确搜索与非精确搜索在最优化算法中均广泛应用，它们存在各自的优缺点。
二、一维搜索的基本框架一维搜索实际上是一元函数的极值问题，其基本的解决框架是： ⑴ 确定包含最优解的初始搜索区间；⑵ 采用某些区间分割技术或插值方法不断缩小搜索区间，最后得到解。
注：值得注意的是，这样得到的解大多数情况下均为近似解。
因此，即便采用精确一维搜索策略，只要应用了数值方法，最终得到的结果都不一定是真正数学意义上的最佳步长因子。
初始搜索区间的确定定义2.1 设:R R ϕ→，*[0,)α∈+∞是函数()ϕα的最小值点，即*()min ()αϕαϕα≥=。
若存在闭区间[,][0,)a b ⊂+∞，使 *[,]a b α∈，则称[,]a b 为一维极小化问题0min ()αϕα≥的搜索区间。
确定初始搜索区间的进退法基本思想：从一点出发，按一定步长探测，试图找到函数值呈高－低－高变化的三点。
具体地，从初始点0α出发，取初始步长为0h 。
最优化理论与算法(第一章)(汇编)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§1.1 引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括Fritz John 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （1.1） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （1.2）这里E 和I 均为指标集。
§1.2数学基础一、 范数 1. 向量范数max i x x ∞= （l ∞范数） （1.3）11ni i x x ==∑ （1l 范数） （1.4）12221()ni i x x ==∑ （2l 范数） （1.5）11()np pi pi xx ==∑ （p l 范数） （1.6）12()TAxx Ax = （A 正定） （椭球范数） （1.7）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义1.1 方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ① 对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ② 对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③ A B A B +≤+； ④ AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤ pp AxA x ≤则称之为与向量范数p相协调（相容）的方阵范数。
最优化理论与算法(第九章)
第九章 二次规划§9.1 二次规划问题称形如1min ()2TT Q x x Hx g x =+ 1,,. 1,,T i i eT i i e a x b i m s t a x b i m m⎧==⎪⎨≥=+⎪⎩ （9.1）的非线性规划问题为二次规划问题。
对二次规划问题，有如下的最优性条件。
定理9.1 设x *是（9.1）的局部极小点，则必存在乘子(1,,)i i m λ*=，使得10 1,, 0 1,,mi i i T i i i e i e g Hx a a x b i m m i m mλλλ**=***⎧+=⎪⎪⎪⎡⎤-==+⎨⎣⎦⎪≥=+⎪⎪⎩∑ （9.2） 且对于一切满足于：0, ()Ti d a i EI x *=∈的n d R ∈，都有0Td Hd ≥。
注：1）上述定理的前后两部分分别对应于一、二阶的必要条件；2）满足上述条件的d ，都有(,)d S x λ**∈； 3）当约束条件均为线性函数时，容易证明：(,)(,)(,)FD x X SFD x X LFD x X ***==及(,)(,)S x G x λλ****= 上面给出的是二次规划的必要性条件，下面给出充分性条件。
定理9.2 设x *是K-T 点，λ*是相应的Lagrange 乘子，如果对满足0 0 () 0 () 0 T i Ti T i i d a i E d a i I x d a i I x λ***⎧=∈⎪≥∈⎨⎪=∈>⎩且 （9.3）的一切非零向量nd R ∈，都有0Td Hd >，则x *是（9.1）的局部严格极小点。
注：条件组（9.3）表示的正好是(,)d G x λ**∈的条件，因此这个定理实际上是上一节二阶充分性条件在二次规划情形的特殊表述。
对二次规划问题还有如下充分必要条件定理9.3 设x *是（9.1）的可行解，则x *是一局部最小点的充要条件是：存在乘子1(,,)m λλλ***=，使得（9.2）满足，且对一切满足（9.3）的d 都有 0Td Hd ≥注：这个定理的证明可参见韩继业《二次规划理论与算法》，曲阜师范学院学报，1985年第一期1~8。
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其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 蔡茂诚、刘振宏
清华大学出版社，1988
Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity
Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006)
Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2003..
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
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绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
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1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
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最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
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1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
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2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
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电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
最优化理论与算法
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提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ···xn )
f(x)=0
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拉格朗日，1797
Min f(1 x2 ···xn)
s.t. gk (x1 x2 ···xn )=0, k=1,2,…,m 欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
Printice-Hall Inc.,1982/1998
运筹学基础手册 徐光辉、刘彦佩、程侃 科学出版社，1999
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1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学. • 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法----最优化方法(算法) • 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
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统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
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优化树
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•最优化的发展历程
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
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2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
nm
min z
cij xij
i1 j 1