福建省福州市屏东中学中考数学6月模拟试卷(含解析)【含解析】

2016年福建省福州市屏东中学中考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．与﹣2的和为0的数是（）A．2 B．﹣ C．D．﹣22．2015年岳阳元宵节灯展参观人数约为470000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=23°，那么∠2的度数是（）A．22° B．23° C．45° D．68°4．下列运算中错误的是（）A． +=B．×=C．÷=2 D． =35．如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么BC的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是47．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③；④y=x2，当x＜0时，y随x得增大而减小的函数有（）A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④8．若圆锥的侧面展开图的弧长为24πcm，则此圆锥底面的半径为（）cm．A．6 B．6πC．12 D．12π9．一个盒子中放着三种颜色的球，每个球除颜色外都相同，红球x个，白球7个，黑球y个，如果从中任取一个球，取得的白球的概率比取得非白球的概率大，那么x与y的关系是（）A．x+y=7 B．x+y＞7 C．y﹣x＞7 D．x+y＜710．关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（）A．2 B．3 C．1 D．411．如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，AB长为半径的弧分别交AC，BC于点D，连接BD，ED，若∠CED=105°，求∠ABC的度数为（）A．80 B．70 C．60 D．5012．方程x2+4x﹣1=0的根可视为函数y=x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1=0的实根x0一定在（）范围内．A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣2x+1= ．14．若有意义，则x的取值范围是．15．在▱ABCD中，∠A：∠B=3：2，则∠D= 度．16．无论m为何值，点A（m﹣1，m+1）不可能在第象限．17．如图，每个小正方形的边长为l，A、B、C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于．18．如图，四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．三、解答题（共9小题，满分90分）19．（7分）计算：（﹣1）2+sin30°﹣．20．（7分）先化简，再求值：﹣，其中a=1．21．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．22．某中学计划购买甲、乙两种不同型号的小黑板，经洽谈，购买一块甲型小黑板比买一块乙型小黑板多用30元，且购买5块甲型小黑板和4块乙型小黑板共需690元．求购买一块甲、乙型小黑板各需要多少元？23．为了了解“青年人对未来是否幸福的态度”，随机对75名大学生进行了问卷调查（1）请将图中表格和条形统计图补充完整；（2）A对应的圆心角∠1是度；（3）某高校有大学生6000名，请估计充满信心和比较有信心的人数共约是多少人？24．如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求k的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．若点（m，n）是第一象限内位于直线AB的图象下方的格点，求这个点在图中阴影部分（不包括边界）内部的概率．25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE=2时，求BD长．26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=CD=10，M在边CD上， =，问：（1）DM= ，MC= ．（2）如图①，连结BM，求证BM⊥DC；（3）如图②，作∠EMF=90°，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，当点F在线段BC上时，连接EF，问：当F点运动到什么位置时，△EBF的面积最大，并求出最大面积．27．如图，点A（3，4）在直线y=kx上，过点A作AB⊥x轴于B点，抛物线y=x2+m过点M（0，﹣1），问：（1）m= ，k= ；（2）设点B关于直线y=kx的对称点为C点，求C点坐标；（3）若抛物线与x轴的交点为Q，试问在直线y=kx上是否存在点P，使得∠CPQ=∠OAB？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．2016年福建省福州市屏东中学中考数学模拟试卷（6月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．与﹣2的和为0的数是（）A．2 B．﹣ C．D．﹣2【考点】有理数的加法．【分析】根据有理数的加法，即可解答．【解答】解：∵2+（﹣2）=0，∴与﹣2的和为0的数是2，故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是熟记有理数的加法法则．2．2015年岳阳元宵节灯展参观人数约为470000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将470000用科学记数法表示为：4.7×105．所以n=5．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=23°，那么∠2的度数是（）A．22° B．23° C．45° D．68°【考点】平行线的性质．【分析】先根据直角三角板的性质得出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数即可．【解答】解：如图：∵AB∥CD，∠1=23°，∴∠1=∠3=23°，∴∠2=45°﹣23°=22°，故选A．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠3的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．4．下列运算中错误的是（）A． +=B．×=C．÷=2 D． =3【考点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法．【分析】利用二次根式乘除运算法则以及加减运算法则分别判断得出即可．【解答】解：A、+无法计算，故此选项正确；B、×=，正确，不合题意；C、÷=2，正确，不合题意；D、=3，正确，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．5．如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么BC的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】垂径定理；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC=2MN=2，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．6．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4【考点】简单组合体的三视图．【专题】几何图形问题．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可．【解答】解：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，故A选项错误；B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故B选项正确；C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故C选项错误；D、三种视图的面积不相同，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．7．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③；④y=x2，当x＜0时，y随x得增大而减小的函数有（）A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④【考点】二次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】根据正比例函数的性质，可判断①、②；根据反比例函数的性质，可判断③；根据二次函数的性质，可判断④．【解答】解：①k=﹣＜0，y随x的而减小，故①符合题意；②k=1＞0，y随x的而增大，故②不符合题意；③k=1，在每个象限内y随x的而减小，故③符合题意；④x＜0时，在对称轴的左侧，y随x的而减小，故④符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，a＞0时，对称轴的左侧y随x的而减小，对称轴的右侧y随x的而增大．8．若圆锥的侧面展开图的弧长为24πcm，则此圆锥底面的半径为（）cm．A．6 B．6πC．12 D．12π【考点】圆锥的计算；弧长的计算．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长列出等式求得圆锥的底面半径即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵圆锥的侧面展开图的弧长为24π cm，∴2πr=24π，解得：r=12，故选C．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记扇形的弧长等于圆锥的底面周长．9．一个盒子中放着三种颜色的球，每个球除颜色外都相同，红球x个，白球7个，黑球y个，如果从中任取一个球，取得的白球的概率比取得非白球的概率大，那么x与y的关系是（）A．x+y=7 B．x+y＞7 C．y﹣x＞7 D．x+y＜7【考点】概率公式．【分析】根据题意得出白球的个数＞非白球的个数，再根据白球7个，非白球有x+y个，从而得出x与y的关系．【解答】解：∵取得的白球的概率比取得非白球的概率大，∴白球的个数＞非白球的个数，∴7＞x+y，∴x+y＜7；故选D．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．10．关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（）A．2 B．3 C．1 D．4【考点】一元二次方程的解．【分析】首先利用因式分解法求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解，再把x的值代入方程ax2+bx+c=3即可求出a+b+c的值．【解答】解：∵方程（x﹣1）（x﹣4）=0，∴此方程的解为x1=1，x2=4，∵关于x的方程ax2+bx+c=3与方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，∴把x1=1代入方程得：a+b+c=3，故选B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识，解答本题的关键是求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的两根，此题难度不大．11．如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，AB长为半径的弧分别交AC，BC于点D，连接BD，ED，若∠CED=105°，求∠ABC的度数为（）A．80 B．70 C．60 D．50【考点】三角形内角和定理．【分析】设∠ABC=∠ACB=x，可以推出°∠A=180°﹣2x=30°+x，解方程即可解决问题．【解答】解：设∠ABC=∠ACB=x，∵BA=BD=BE，∴∠BED=∠BDE=180°﹣∠CED=75°，∴∠DBE=180°﹣2×75°=30°，∴∠BAD=∠BDA=30°+x，∴180°﹣2x=30°+x，∴x=50，故答案为D．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角等于不相邻的内角和等知识，解题的关键是设未知数列方程，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．12．方程x2+4x﹣1=0的根可视为函数y=x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1=0的实根x0一定在（）范围内．A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意方程x3+mx﹣1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m=0时，y=x2与的交点A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．【解答】解：∵方程x3+mx﹣1=0变形为x2+m﹣=0，∴方程x3+mx﹣1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，当m=0时，y=x2与的交点A的坐标为（1，1），∴当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．故选B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．也考查了阅读理解能力以及数形结合的思想．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣2x+1= （x﹣1）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．14．若有意义，则x的取值范围是x≥﹣．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出答案．【解答】解：由题意得：2x+1≥0，解得：x≥﹣．故答案为：x≥﹣．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数．15．在▱ABCD中，∠A：∠B=3：2，则∠D= 72 度．【考点】平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，∠C=∠A，又由平行线的性质与∠A：∠B=3：2，即可求得∠A的度数，继而可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C=∠A，∴∠A+∠B=180°，∵∠A：∠B=3：2，∴∠A=108°，∴∠D=180°﹣108°=72°．故答案为：72．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，注意数形结合思想的应用．16．无论m为何值，点A（m﹣1，m+1）不可能在第四象限．【考点】点的坐标．【分析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【解答】解：当m﹣1＜0时，m+1的符号无法确定，点A（m﹣1，m+1）在第二或三象限，当m﹣1＞时，则m+1＞0，点A（m﹣1，m+1）在第一象限，故点A（m﹣1，m+1）不可能在第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．17．如图，每个小正方形的边长为l，A、B、C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】连接AC，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC，BC及AB的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为等腰直角三角形，可得出∠ABC为45°，利用特殊角的三角函数值即可求出sin∠ABC的值．【解答】解：连接AC，设小正方形的边长为1，根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．则sin∠ABC=．故答案为：【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．18．如图，四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为100°．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=40°，∴∠DAB=140°，∴∠HAA′=40°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=40°，∴∠EAF=140°﹣40°=100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：（﹣1）2+sin30°﹣．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质化简各数进而得出答案．【解答】解：原式=1+﹣2=﹣．【点评】此题主要考查了实数运算，正确特殊角的三角函数值是解题关键．20．先化简，再求值：﹣，其中a=1．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣==﹣，当a=1时，原式=﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．22．某中学计划购买甲、乙两种不同型号的小黑板，经洽谈，购买一块甲型小黑板比买一块乙型小黑板多用30元，且购买5块甲型小黑板和4块乙型小黑板共需690元．求购买一块甲、乙型小黑板各需要多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设购买一块甲型小黑板需要x元，一块乙型为y元，根据等量关系：购买一块甲型小黑板比买一块乙型小黑板多用30元，且购买5块甲型小黑板和4块乙型小黑板共需690元；可列方程组求解．【解答】解：（1）设购买一块甲型小黑板需要x元，一块乙型为y元．则，解得．答：一块甲型小黑板90元，一块乙型小黑板60元．【点评】本题考查方程组的应用，关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板的钱数．23．为了了解“青年人对未来是否幸福的态度”，随机对75名大学生进行了问卷调查（1）请将图中表格和条形统计图补充完整；（2）A对应的圆心角∠1是120 度；（3）某高校有大学生6000名，请估计充满信心和比较有信心的人数共约是多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】计算题．【分析】（1）由充满信心的人数除以所占的百分比得到总人数，求出比较有信心的人数，补全表格及统计图即可；（2）求出比较有信心所占的百分比，乘以360度即可得到结果；（3）求出充满信心与比较有信心所占的百分比，乘以6000即可得到结果．【解答】解：（1）“比较有信心”的有75﹣（30+8+12）=25（人），补全表格与统计图，如图所示：（2）根据题意得：×360°=120°，则A对应的圆心角∠1是120度；故答案为：120；（3）根据题意得：6000×=4400（人），则充满信心和比较有信心的人数共约是4400人．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．24．如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求k的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．若点（m，n）是第一象限内位于直线AB的图象下方的格点，求这个点在图中阴影部分（不包括边界）内部的概率．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；几何概率．【分析】（1）将A点或B点的坐标代入y=求出k，再将这两点的坐标代入y=mx+n求出m、n的值即可得到这个函数的解析式；（2）画出网格图帮助解答．【解答】解：（1）由图象可知，函数y=（x＞0）的图象经过点A（1，6），可得k=6．设直线AB的解析式为y=mx+n．∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y=mx+n的图象上，∴，解得．∴直线AB的解析式为y=﹣x+7；（2）图中在直线AB的图象下方的格点是（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（1，3），（2，3），（3，3），（1，4），（2，4），（1，5），阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个，∴P==．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，待定系数法求一次函数的解析式以及几何概率，综合性较强，体现了数形结合的思想．25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE=2时，求BD长．【考点】切线的判定；等腰三角形的性质．【分析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）证明：∵∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，∴△DEC∽△ADB，∴，∴BD•CD=AB•CE，∵BD=CD，∴BD2=AB•CE，∵⊙O半径为3，CE=2，∴BD==2．【点评】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=CD=10，M在边CD上， =，问：（1）DM= 4 ，MC= 6 ．（2）如图①，连结BM，求证BM⊥DC；（3）如图②，作∠EMF=90°，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，当点F在线段BC上时，连接EF，问：当F点运动到什么位置时，△EBF的面积最大，并求出最大面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据M在边CD上， =，得出DM=CD，MC=CD，再将CD=10代入计算即可求出DM，CM的长度；（2）如图1，连结BD．根据等腰三角形的性质、平行线的性质得出∠ADB=∠CBD=∠CDB．再利用SAS 证明△ADB≌△MDB，根据全等三角形对应角相等得出∠A=∠BMD=90°，即BM⊥DC；（3）如图2，根据同角的余角相等得出∠1=∠2，∠ABM=∠C，那么△CMF∽△BME，根据相似三角形对应边成比例得出=．设BF=x，列出关于x的方程，得出BE=（10﹣x），根据S△EBF=BF•BE，得出S关于x的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解．【解答】（1）解：∵CD=10，M在边CD上， =，∴DM=CD=×10=4，MC=CD=×10=6．故答案为4，6；（2）证明：如图1，连结BD．∵BC=CD=10，∴∠CDB=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠CDB．在△ADB与△MDB中，，∴△ADB≌△MDB（SAS），∴∠A=∠BMD=90°，∴BM⊥DC；（3）解：如图2，由（2）得∠BMC=90°，∴∠1+∠BMF=90°，∠C+∠3=90°．∵∠EMF=90°，∴∠2+∠BMF=90°，∴∠1=∠2．又∵∠ABC=∠A=90°，∴∠3+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠C．在△CMF与△BME中，，∴△CMF∽△BME，∴=．在Rt△BCM中，BM==8．设BF=x，则CF=10﹣x，∴=，∴BE=（10﹣x），∴S△EBF=BF•BE=x•（10﹣x）=（﹣x2+10x）=﹣（x﹣5）2+，∵﹣＜0，∴当x=5时，S△EBF最大，最大值为．故当BF=5时，△EBF的面积最大，最大值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合以及方程思想是解题的关键．27．如图，点A（3，4）在直线y=kx上，过点A作AB⊥x轴于B点，抛物线y=x2+m过点M（0，﹣1），问：（1）m= ﹣1 ，k= ；（2）设点B关于直线y=kx的对称点为C点，求C点坐标；（3）若抛物线与x轴的交点为Q，试问在直线y=kx上是否存在点P，使得∠CPQ=∠OAB？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点M坐标代入抛物线y=x2+m，即可求出m的值；把点A坐标代入直线y=kx，即可求出k的值；（2）由轴对称得出OA是CB的中垂线，根据互相垂直的两条直线的关系，根据待定系数法可求直线BC的解析式，再联立方程可求交点坐标，根据两点间的距离公式可求C点坐标；（3）先求出Q的坐标，①当Q 为（3，0）时，Q与B重合；以A为圆心，AB为半径作圆交OA于一点，即为P点，∠CPQ=∠CAB=∠OAB；此时AP=AB=4，作PH⊥x轴于H，则AB∥PH，△OAB∽△OPH，得出比例式==，求出OH、PH，即可得出P的坐标；由轴对称的性质可得另一点P′的坐标；②当Q 为（﹣3，0）时，以O为圆心，OB为半径作圆交OA于两点，即为P点；作PH⊥OB于H，则PH∥AB，△OPH∽△OAB，得出比例式==，求出OH、PH即可得出P的坐标；由中心对称可得另一点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+m过点M（0，﹣1），∴m=﹣1，∵点A（3，4）在直线y=kx上，∴3k=4，∴k=．故答案为：﹣1，；（2）如图1，∵点C、B关于直线OA对称，∴OA是CB的中垂线，∵AB⊥x轴，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y=﹣x+b，则﹣×3+b=0，解得b=，∴直线BC的解析式为y=﹣x+，依题意有，解得，∴E（，）∴C（﹣，）；（3）存在，点P的坐标为：（，），或（﹣，﹣），或（，），或（﹣，﹣）；理由如下：由y=x2﹣1，当y=0时， x2﹣1=0，解得：x1=3，x2=﹣3，∴Q点的坐标为（3，0）或（﹣3，0），①当Q 为（3，0）时，Q与B重合；以A为圆心，AB为半径作圆交OA于一点，即为P点，如图2所示：∠CPQ=∠CAB=∠OAB；此时AP=AB=4，作PH⊥x轴于H，则AB∥PH，∴△OAB∽△OPH，∴==，即==，∴OH=，PH=，∴点P的坐标为：（，）；由轴对称的性质可得另一点P′的坐标为：（﹣，﹣）；②当Q 为（﹣3，0）时，如图3所示：设BC与OA交于M点，∴CM=MB，QO=OB，∴CQ∥OA，∴∠QCB=∠OMB=90°，以O为圆心，OB为半径作圆交OA于两点，即为P点，点C在⊙O上，∠CPQ=∠CBQ，∵∠CBQ+∠POB=∠OAB+∠POB=90°，∴∠CBQ=∠OAB，∴∠CPQ=∠OAB满足条件，∴OP=OB=3，作PH⊥OB于H，则PH∥AB，∴△OPH∽△OAB，∴==，即==，∴OH=，PH=，∴点P的坐标为：（，）；由中心对称可得另一点P的坐标为：（﹣，﹣）．综上所述：点P的坐标为：（，），或（﹣，﹣）或（，）或（﹣，﹣）．【点评】本题是二次函数和一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、二次函数解析式的求法、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、中心对称的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助圆和三角形相似才能得出结果．。