2013届人教A版理科数学课时试题及解析(50)抛物线A
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(9)函数图象及性质的综合应用
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课时作业(九) [第9讲[时间: 45 分钟函数图象及性质的综合应用分值: 100 分]]基础热身1.若函数f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点+1) - 1|<2 的解集是 ()A . { x|0<x≤2}B. { x|0≤ x<2}C.{ x|- 1<x<0}D. { x|- 1<x<2}A(0,3),B(3,- 1),则不等式|f(x 2.函数 y= 2x- x2的图象大概是()图 K9-13.已知方程x 12 + x= 0的实根为 a,log2x= 2- x 的实根为 b,log x= x 的实根为 c,则 a,2b, c 的大小关系为 ()A . b>c>a B. c>b>aC.a>b>c D. b>a>cπ4.将函数f(x)= sin(ωx+φ)的图象向左平移2个单位,若所得的图象与原图象重合,则ω的值不行能等于 ()A.4 B.6C.8 D. 12能力提高5.已知图K9 - 2①是函数y= f(x)的图象,则图K9 - 2②中的图象对应的函数可能是()图 K9-2A . y= f(|x|)B. y= |f(x)|C.y= f( - |x|)D. y=- f(- |x|)6.已知函数f(x)= ax3+ bx2+ cx+ d 的图象如图K9 - 3,则 b 的取值范围为 ()图 K9-3A . b<0 B. b>0C.b≤ 0D. b≥0x 7.已知函数 f(x)= (x-a)( x-b)( 此中 a> b)的图象如图K9 - 4 所示,则函数g(x) =a+b 的图象是 ()图 K9-4图 K9-5x+3的图象,只需把函数 y= lgx 的图象上全部的点 () 8.为了获得函数 y= lg 10A .向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度9.已知定义域为R的函数 f(x)在 [2,+∞ )上为减函数,且函数y= f(x+ 2)为偶函数,则()A . f(- 1)< f(0)< f(2)< f(3)B.f(- 1)< f(3)< f(0)< f(2)C.f(- 1)< f(0)< f(3)< f(2)D. f(2)< f(3)< f(0)<f(- 1)2, B 2, 0,极点 C、D 位于第一10.如图 K9 - 6,正方形 ABCD 的极点 A 0,22象限,直线 l :x= t(0≤ t≤ 2)将正方形 ABCD 分红两部分,记位于直线l 左边暗影部分的面积为 f( t),则函数 S= f( t)的图象大概是 ________(填序 ).图 K9-6图 K9-711.已知定义在 [0,+∞ )上的函数 y= f(x)和 y= g(x)的图象如图 K9 - 8 所示,则不等式f(x) ·g(x)>0 的解集是 ________.图 K9-812.从今年的 x(x∈[1,8) 年内起,小李的年薪 y(单位万元 )与年数 x 的关系是 y=2+ 0.2x,小马的年薪与年数 x 的关系是 y= 0.5+ 1.2x,大概经过 ________年,小马的年薪超出小李.2x113.已知 a>0 且 a≠ 1,f(x)= x - a ,当 x∈ (- 1,1)时均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范围是________.14. (10分)如图 K9 - 9,在第一象限内,矩形ABCD 三个极点 A,B, C 分别在函数 y=log21125x 的图象上,且矩形的相邻的边分别与两坐标轴平行.若A 2x,y= x , y=-x +288点的纵坐标是2,求极点 D 的坐标.图 K9-915. (13 分 )设 f(x)是 (-∞,+∞ )上的奇函数,且f(x+ 2)=- f(x) ,当 0≤ x≤ 1 时, f( x)=x.(1)求 f(π)的值;(2)当- 4≤ x≤ 4 时,求 f(x)的图象与x 轴围成图形的面积;(3)写出 (-∞,+∞ )内函数 f(x)的单一增 (或减 )区间, f(x)的分析式 (不用写推导过程).难点打破16. (12 分 )已知二次函数 y= g(x)的导函数的图象与直线y= 2x 平行,且 y= g(x)在 x=-1 处获得最小值 m- 1(m≠ 0).设函数 f( x)=g xx.(1)若曲线 y= f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为2,求 m 的值;(2)k( k∈R )怎样取值时,函数y= f(x)- kx 存在零点,并求出零点.课时作业 ( 九)【基础热身】1. D [ 分析 ] 化简原不等式得- 1<f(x + 1)<3 ,又∵ f(x)的图象经过 A(0,3), B(3,- 1),∴f(0)= 3, f(3) =- 1,∴ f(3)< f(x + 1)< f(0) ,∵函数 f(x)为减函数,∴ 0<x + 1<3,- 1<x<2.2.A[ 分析 ] 设 f(x)= 2x - x 2, f( -1)=- 1<0,f(0)= 1>0, f(3) =- 1<0 ,f(5)= 7>0,故2函数 y =2x - x 2 起码在区间 (- 1,0), (0,3), (3,5)内有三个变零点,综合各个选项可知只有选 项 A 切合这个性质.应选 A.3. A [ 分析 ] 利用图象确立函数交点.πωπ4.B[ 分析 ] 函数 f(x)= sin( ωx + φ)的图象向左平移 2个单位获得 f(x)= sin ωx + 2 + φωπ=sin( ωx + φ)的图象,与原图象重合,故2 = 2k π, k ∈ Z ,故 ω不行能是 6.【能力提高】5. C [ 分析 ] 由题图②知,图象对应的函数是偶函数,且当 x<0 时,对应的函数是 y= f (x),应选 C.对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下散布范围、变化趋向、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单一性、奇偶性、周期性,注企图象与函数分析式中参数的关系.6.A [ 分析 ] 解法一:察看 f( x)的图象,可知函数 f(x)的图象过原点,即 f(0) = 0,得 d= 0,又 f( x)的图象过点 (1,0),∴ a + b + c =0①,又有 f(- 1)< 0,即- a +b - c < 0②,①+②得 b < 0.解法二:由图象知 f(x) = 0 有三根 0,1,2,∴ f( x)= ax 3+bx 2+cx + d = ax(x - 1)(x - 2)= ax 3 -3ax 2+ 2ax ,∴ b =- 3a ,∵ a>0 ,∴ b < 0.7.A [分析 ] 设 f(x)的零点为 a , b ,由图可知 0<a<1, b<-1,则 g(x)是一个减函数,可清除 C 、 D ,再依据 g(0) =1+ b<0,可清除 B ,故正确选项为 A. 8.C [分析 ] 变换函数的分析式为 y = lg( x + 3)- 1,只需把函数 y = lgx 的图象上全部 的点向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度即可.答案为 C.9.C [分析] 函数 y =f(x + 2)为偶函数,图象对于 y 轴对称,把这个函数图象向右平移 2 个单位即获得函数 y = f(x)的图象,即函数 y =f(x)的图象对于直线 x = 2 对称.由函数 f( x) 在[2 ,+∞ )上为减函数,则函数 f(x)在 (-∞, 2] 上为增函数.由 f(3)= f(4- 3)= f(1),故 f(-1)< f(0)< f(3)< f(2) ,正确选项为 C.10.③[分析 ] 当 0<t ≤2时,f(t) =1·t ·2t = t 2,当 2<t ≤ 2时,f(t)= 1- 1·( 2- t) ·2( 222 22 -t)=- t 2+ 22t - 1,即函数 f(t)在0, 2 上是张口向上的抛物线,在2, 2 上是张口22向下的抛物线,故填③ .11. x 0<x<1或 1< x<2或 x>2[分析 ]由题图可知,当 0<x<1时, f( x)>0 ,g(x)>0;221当 <x<1 时, f(x)>0,g(x)<0;2 当 1<x<2 时, f(x)<0, g(x)<0 ; 当 x>2 时, f(x)>0,g(x)>0.所以 f(x) ·g(x)>0 的解集是 x 0<x<1或 1<x<2或 x>2 .212.6 [分析 ] 画出函数图象,从图象上察看知道在这 8 年内先是小马的年薪低,中间超出了小李.令函数 f(x) =2+ 0.2x - 0.5- 1.2x = 1.5+ 0.2x - 1.2x,则 f(5)= 2.5- 2.48832>0 ,f(6)= 2.7- 1.26 =2.7- 2.98598<0 ,依据函数的零点定理,存在 x 0∈ (5,6),当 x>x 0 时, 0.5+ 1.2x >2+ 0.2x ,因为 x 是正整数,故在第 6 年小马的年薪超出小李的年薪.1x 21x13.2≤a<1 或 1<a ≤ 2[分析 ] 由题意可知 a >x - 2在 (- 1,1)上恒建立,令y 1= a , y 2=21x - 2,由图象知:- 1 21 a ≥ - 1- ,211a ≥ 1- ,a>0且 a ≠1,∴ 1≤ a<1 或 1<a ≤ 2. 214.[ 解答 ] 明显, D 点的横坐标与 A 点的横坐标相等, 纵坐标与 C 点的纵坐标相等. 由2x = 22 1 于 A 点在 y = logx 的图象上, 其纵坐标为 2,所以横坐标为= .要求 C 点的纵坐22 2标,需要求其横坐标,而它的横坐标等于B 点的横坐标.因为 B 点的纵坐标 y B =y A = 2,所11 1以 x C = x B = 4,进而 y D = y C =2,故 D 2,2 .15. [解答 ] (1) 由 f(x + 2)=- f(x),得f(x +4) =f[(x + 2)+ 2]=- f(x + 2)= f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,进而得f(π)= f(- 1× 4+π)=f(π- 4)=- f(4- π) =- (4- π)=π- 4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x + 2)=- f(x),得 f[( x -1) +2]=- f( x - 1)= f[ - (x - 1)] ,即 f(1+ x)= f(1- x) ,故知函数 y = f(x) 的图象对于直线 x = 1 对称.又 0≤x ≤ 1 时, f(x)= x ,且 f(x)的图象对于原点成中心对称,则f(x) 的图象如下图.当- 4≤ x ≤ 4 时,设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为S ,则 S = 4S △OAB = 4×1×2× 12=4.(3) 函数 f(x)的单一递加区间为[4k - 1,4k + 1]( k ∈ Z ),单一递减区间为 [4k + 1,4k + 3](k ∈Z ),x - 4k 4k - 1<x ≤4k + 1 ,f(x)=2+ 4k - x 4k + 1<x ≤ 4k + 3= 1- |x -(4k +1)|(4k -1<x ≤ 4k +3, k ∈ Z ).2013届人教A 版理科数学课时试题及解析(9)函数图象及性质的综合应用【难点打破】16. [解答 ] (1) 设 g(x)= ax 2+ bx +c ,则 g ′ (x)= 2ax + b ,又 g ′ (x)的图象与直线 y = 2x 平行, ∴ 2a =2, a = 1.又 g(x)在 x =- 1 处取最小值,∴- b =- 1, b = 2.2∴ g(- 1)= a -b + c = 1- 2+ c = m - 1,c = m. f(x)=g x= x +m+ 2,设 P(x 0, y 0),xxm 2m 22 222+2 + 2m ≥ 22则 |PQ| = x 0+ (y 0 - 2)= x 0+ x 0 x 0 = 2x 0+ 2 2m + 2m ,x 0∴ 2 2m 2+ 2m =2,∴ m =- 1± 2.m (2)由 y = f( x)- kx =(1- k)x + x + 2= 0,得 (1- k)x 2+ 2x + m = 0,(*)当 k = 1 时,方程 (*) 有一解 x =- m ,函数 y = f(x) -kx 有一个零点 x =- m;2 2 当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有两解 ? = 4- 4m(1- k)>0,若 m>0, k>1-m 1,- 2± 4- 4m 1-k= 1± 1- m 1- k ;函数 y =f(x)- kx 有两个零点 x =2 1- kk - 11若 m<0, k<1-m ,- 2± 4- 4m 1-k= 1± 1- m 1- k ;函数 y =f(x)- kx 有两个零点 x =2 1- kk - 1当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有一解 ?= 4-4m(1- k)= 0,k = 1- 1,函数 y = f( x)- kx 有一个零m 1点 x =.。
2013年数学试卷(理科)解析卷
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2013年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法,求出集合A,再根据的定义求出A∩B和A∪B.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x>2或x<0},∴A∩B={x|2<x<或﹣<x<0},A∪B=R,故选B.2.(5分)(2013•新课标Ⅰ)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4 B.C.4 D.【分析】由题意可得z==,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i,由此可得z的虚部.【解答】解:∵复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z====+i,故z的虚部等于,故选:D.3.(5分)(2013•新课标Ⅰ)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.故选:C.4.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y= B.y= C.y=±x D.y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.5.(5分)(2013•新课标Ⅰ)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:函数分为两段,即t<1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2故分段函数的解析式为:s=,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选A.6.(5分)(2013•新课标Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C. D.【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,可得圆心M为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2=(R﹣2)2+42,解出R=5,∴根据球的体积公式,该球的体积V===.故选A.7.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6与a m,进而得到公差d,由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1,再由通项公式及a m=2可得m值.【解答】解:a m=S m﹣S m﹣1=2,a m+1=S m+1﹣S m=3,所以公差d=a m﹣a m=1,+1S m==0,得a1=﹣2,所以a m=﹣2+(m﹣1)•1=2,解得m=5,故选C.8.(5分)(2013•新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.【解答】解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.∴长方体的体积=4×2×2=16,半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π;故选A.9.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5 B.6 C.7 D.8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b,再利用组合数的计算公式,解方程13a=7b求得m的值.【解答】解:∵m为正整数,由(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,以及二项式系数的性质可得a=,同理,由(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,可得b==.再由13a=7b,可得13=7,即13×=7×,即13=7×,即13(m+1)=7(2m+1),解得m=6,故选:B.10.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E 的方程为()A.B.C.D.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,==.∴,化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选D.11.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]故选:D12.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n 的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n+1﹣c n+1=,得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴,由题意,+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,又由题意,b n+1﹣c n+1=,∴=a1﹣b n,∴b n+1﹣a1=,∴b n﹣a1=,∴,c n=2a1﹣b n=,∴[][]=[﹣]单调递增(可证当n=1时>0)故选B.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=2.【分析】由于•=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得=0,经过化简即可得出.【解答】解:∵,,∴=0,∴tcos60°+1﹣t=0,∴1=0,解得t=2.故答案为2.14.(5分)(2013•新课标Ⅰ)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=(﹣2)n﹣1.【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,可得数列为等比数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解:当n=1时,a1=S1=,解得a1=1当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=()﹣()=,整理可得,即=﹣2,故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,a n=(﹣2)n﹣1,经验证当n=1时,上式也适合,故答案为:(﹣2)n﹣115.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=﹣.【分析】f(x)解析式提取,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由x=θ时,函数f(x)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ=,与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值.【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣.故答案为:﹣16.(5分)(2013•新课标Ⅰ)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为16.【分析】由题意得f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,由此求出a=8且b=15,由此可得f(x)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15.利用导数研究f(x)的单调性,可得f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数,结合f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,即可得到f(x)的最大值.【解答】解:∵函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,∴f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2+a•(﹣3)+b]=0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2+a•(﹣5)+b]=0,解之得,因此,f(x)=(1﹣x2)(x2+8x+15)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15,求导数,得f′(x)=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,令f′(x)=0,得x1=﹣2﹣,x2=﹣2,x3=﹣2+,当x∈(﹣∞,﹣2﹣)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2﹣,﹣2)时,f′(x)<0;当x∈(﹣2,﹣2+)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2+,+∞)时,f′(x)<0∴f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数.又∵f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,∴f(x)的最大值为16.故答案为:16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•新课标Ⅰ)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【分析】(I)在Rt△PBC,利用边角关系即可得到∠PBC=60°,得到∠PBA=30°.在△PBA中,利用余弦定理即可求得PA.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,可得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化简即可求出.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,=,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==.∴PA=.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.18.(12分)(2013•新课标Ⅰ)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【分析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB ⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,可得,,的坐标,设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可解得=(,1,﹣1),可求|cos<,>|,即为所求正弦值.【解答】解:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立如图所示的坐标系,可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),则=(1,0,),=(﹣1,,0),=(0,﹣,),设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,即,可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>==,又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:.19.(12分)(2013•新课标Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【分析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,由概率得加法公式和条件概率,代入数据计算可得;(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,分别求其概率,可得分布列,进而可得期望值.【解答】解:(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)==(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=800)=,P(X=500)=,P(X=400)=1﹣﹣=,故X的分布列如下:故EX=400×+500×+800×=506.2520.(12分)(2013•新课标Ⅰ)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【分析】(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以R ≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.分①l的倾斜角为90°,此时l与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.【解答】解:(I)由圆M:(x+1)2+y2=1,可知圆心M(﹣1,0);圆N:(x﹣1)2+y2=9,圆心N(1,0),半径3.设动圆的半径为R,∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3.∴曲线C的方程为(x≠﹣2).(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l于M相切可得:,解得.当时,联立,得到7x2+8x﹣8=0.∴,.∴|AB|===由于对称性可知:当时,也有|AB|=.综上可知:|AB|=或.21.(12分)(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d)若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.【分析】(Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y=f (x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值;(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4,而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而a=4,b=2,c=2,d=2;(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1)设F(x)=kg(x)﹣f(x)=2ke x(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,则F′(x)=2ke x(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(ke x﹣1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,①若1≤k<e2,则﹣2<x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,+∞)上是增,故F(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=﹣x1(x1+2)≥0,x≥﹣2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),从而当x∈(﹣2,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,+∞)上是增,而F(﹣2)=0,故当x≥﹣2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2时,F′(x)>2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),而F(﹣2)=﹣2ke﹣2+2<0,所以当x>﹣2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2].四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.【分析】(I)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.(II)由(I)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=.【解答】(I)证明:连接DE交BC于点G.由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE=90°.∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.(II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.故DG是BC的垂直平分线,∴BG=.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.∴CF⊥BF.∴Rt△BCF的外接圆的半径=.23.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣4:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)【分析】(Ⅰ)对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程;(Ⅱ)先求出曲线C2的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的参数方程式(t为参数),得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25即为圆C1的普通方程,即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得.ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为C1的极坐标方程;(Ⅱ)曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0,由,解得或.∴C1与C2交点的极坐标分别为(,),(2,).24.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣5:不等式选讲)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数y的图象,数形结合可得结论.(Ⅱ)不等式化即1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a ﹣2,由此解得a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y=,它的图象如图所示:结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a﹣2,解得a≤,故a的取值范围为(﹣1,].。
高中数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程 课时分层练习题含答案解析
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3.3.1 抛物线及其标准方程基础练习一、单选题1.抛物线218y x =-的准线方程是( )A .132x =B .2y =C .132y =D .2y =-得最小值的P 的坐标为:( )A .()0,0B .2,23⎛⎫⎪⎝⎭C .(D .()2,23.设动圆圆心为P ,该动圆过定点,且与直线x a =-相切(0a >),圆心P 轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与x 轴垂直,若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,则AB =( ) A .2aB .aC .2aD .4a【答案】DA .2B .3C .5D .75.已知抛物线2y px =上的点0到该抛物线焦点的距离为3,则抛物线的方程是( ) A .22y x = B .24y x = C .22y x =- D .24y x =-6.抛物线2:4E y x =的焦点到其准线的距离为( ) A .18B .14C .2D .4曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图,已知30m CD =,60m AB =,点D 到直线AB的距离为150m ,则此抛物线顶端O 到AB 的距离为( )A .180mB .200mC .220mD .240m【答案】B【分析】建立直角坐标系,待定系数法求抛物线方程,即可求解O 到AB 的距离. 【详解】以O 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为()220x py p =->,由题意设()15,D h ,0h <,()30,150B h -,则()22152302150php h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩,解得502.25h p =-⎧⎨=⎩,所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=.二、多选题8.(多选题)对抛物线24x y =,下列描述不正确的是( ) A .开口向上,焦点为()0,1B .开口向上,焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭,C .开口向右,焦点为()10,D .开口向右,焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭, 【答案】BCD【解析】根据抛物线方程,直接确定开口方向和焦点,即可得出结果. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =,所以24p =,2p =,开口向上, 因此抛物线的焦点为()0,1,准线为1y =-.故A 正确,BCD 都错.9.(多选)已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4,直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ,()22,B x y 两点,若(),2M m 是线段AB 的中点,则( ) A .4p =B .抛物线的方程为216y x =C .直线l 的方程为24y x =-D .=10AB10.(2022·全国·高二课时练习)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C :20y px p =>的焦点为F ,准线为l .设l 与x 轴的交点为K ,P 为抛物线C 上异于O 的任意一点,P 在l 上的射影为E ,EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ,过Q 作QM PF ⊥交PF 于M ,过Q 作QN EP ⊥交线段EP 的延长线于N ,则( )A .PE PF =B .PF QF =C .PN MF =D .PN KF =【答案】ABD11.抛物线2x y =的焦点坐标是______. 【答案】1(0,)4##(0,0.25)______. 【答案】5【分析】利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线C :24y x =的焦点()1,0F ,准线方程为1x =-,设点M 的横坐标为0x ,则有016x +=,所以05x =.13.已知点F 为抛物线24y x =的焦点,点P 在抛物线上,O 为坐标原点,若OFP △的面积为2,则O 到直线PF 的距离为______. 【答案】45##0.8OFPS=OFPS=,故O 到14.若抛物线的焦点是1,0F ,准线方程为1x =-,则抛物线的标准方程是______. 【答案】24y x =15.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点0与焦点之间的距离为3,则___________.16.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,抛物线上的点到焦点的距离为4,则实数m 的值为______..已知抛物线上一点(位于第一象限)到焦点的距离等于,则直线MF 的斜率为_______________.18.已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点,04AF x =,则0x =______.19.若M 是抛物线4y x =上一点,F 是抛物线的焦点,以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒,则MF =______.纵坐标为5,则AF BF +=______.22.若M 是抛物线22y x =上一动点,点103,3P ⎛⎫⎪⎝⎭,设d 是点M 到准线的距离,要使d MP +最小,求点M 的坐标. 圆的圆心P 的轨迹方程. 【答案】y 2=-8x .【分析】由题设易知P 到圆心A 的距离和到定直线x =2的距离相等,根据抛物线定义写出轨迹方程即可.【详解】由题意知:点P 到圆心A (-2, 0)的距离和到定直线x =2的距离相等, 所以点P 的轨迹为抛物线,且焦点为A ,准线为x =2,故点P 的轨迹方程为y 2=-8x .24.在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 分别为直线x +y =2与x 、y 轴的交点,C 为AB 的中点.若抛物线()220y px p =>过点C ,求焦点F 到直线AB 的距离.26.分别根据下列条件,求抛物线的标准方程.y+=;(1)准线方程是410(2)抛物线的焦点是双曲线22-=的左顶点;x y169144AF=.(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,5轴上方交抛物线于M、N 不同的两点,点P 是MN 的中点.求:(1)a 的取值范围; (2)AM AN +的值.一、单选题1.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,若A 、B 为抛物线上两点,且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M .当8AF BF +=,6OM =时,抛物线的方程为( ). A .2y x = B .22y x = C .24y x = D .28y x =2.已知圆C 经过点(1,0P ,且与直线1x =-相切,则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为() A .3 B .2C D 【答案】D【分析】利用已知可推出圆心A .B .8C .D .164.已知曲线C :21m mx ny m +=-,则( )A .当m =n =2时,C 为圆B .当m =n =1时,C 为抛物线 C .C 不可能为椭圆D .C 可能为双曲线5.一抛物线型的拱桥如图所示:桥的跨度20AB =米,拱高4OP =米,在建造时每隔4米用一个柱子支撑,则支柱22A B 的长度______米.【答案】3.84.##9625因为桥的跨度20AB =米,拱高OP =代入标准方程得:()()21024p -=--,解得:知MF ⊥NF ,|MF |=5,则直线MN 与y 轴交点P 的坐标为_____.的坐标,由和抛物线的性质可得,可得数量积0FM FN⋅=,进而求出三点共线,可得向量共线,可得P的坐标.,准线方程为1x=-,,所以0FM FN⋅=,,解得:m=三点共线可得://NP NM,而(1,NP n=,5(5, NM=所以5502⎛-⎝,解得:7.若过抛物线2y x=的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点,且直线l的倾斜角4θ≥,点A 在x轴上方,则FA的取值范围是______.8.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,且焦点F 到其准线的距离为32,A 、B 、C 为抛物线上相异三点. (1)求p 的值;(2)若0FA FB FC ++=,求FA FB FC ++的值. 【分析】(1)由题,结合抛物线性质即可求;)由0FA FB FC ++=,在x 轴方向上有2A B p FA FB FC x x ⎛⎫⎛ ⎪ +⎝⎭++=++⎝(1)由抛物线焦点F 到其准线的距离为.因为0FA FB FC ++=,在x 轴方向上有所以FA FB FC x ⎛++=⎝9.已知抛物线2:2C y px =的焦点F 到准线的距离为2.(1)求C 的方程.(2)已知O 为坐标原点,直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且4OA OB ⋅=-,D 为直线l 上一点,且OD l ⊥,证明:存在定点Q ,使得DQ 为定值. 【答案】(1)24y x =;直线l 不与y 轴垂直,根据韦达定理和4OA OB ⋅=-求出 =2,212∵4OA OB ⋅=-,∴又∵2114y x =,48b -=-,得.已知抛物线的焦点到其准线的距离为.(1)求p 的值;(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,求||AB .由(1)可得抛物线的方程为28y x =,所以焦点(2,0)F , 则直线AB 的方程为2,y x =-设()()1122,,,A x y B x y ,联立228y x y x=-⎧⎨=⎩,整理可得21240x x -+=,所以1212x x +=,由抛物线的性质可得12||12416AB x x p =++=+=. 11.已知动圆过定点()4,0,且在y 轴上截得的弦长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知P 为轨迹C 上的一动点,求点P 到直线4y x =+和y 轴的距离之和的最小值.12.已知一个半径为32的圆的圆心在抛物线()2:20C y px p=>上,该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A,B两点,过弦AB的中点M作平行于x轴的直线,与直线OA,OB,l分别相交于P,Q,N三点.(1)求抛物线C的方程;(2)当13PQ MN=时,求直线AB的方程.13.已知点0,1F ,直线:2l y =-,圆2:31C x y +-=.(1)若动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小1,试求点M 的轨迹E 的方程;(2)过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线,切点为A ,B ,要使四边形P ACB 的面积S 最小,求P 点坐标及S 的最小值. PACS ,PACS=PACS ,12PACS=,2:2(0)C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程;(2)过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ,1l 交抛物线C 于A 、B 两点,2l 交抛物线C 于D ,E 两点,若线段AB 的中点为M ,线段DE 的中点为N ,证明:直线MN 过定点.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A
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作 (五十七 )A [第 57摆列、合][: 35 分分:80分]基身1. a∈N*,且 a<20 , (27- a)(28- a)⋯ (34- a)等于 ()827- a78A . A 27-aB .A 34-a C. A 34-a D. A34-a2.从 20 名男同学, 10 名女同学中任 3 名参加体能,到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不一样法的种数()A.1 260B.4 060C.1 140D.2 8003.某位有 7 个在一同的位,有 3 不一样型的需停放,假如要求节余的 4 个位在一同,不一样的停放方法的种数()A.16B. 18 C. 24 D .324.一天有文、数学、英、物理、化学、生物、体育七,体育不在第一上,数学不在第六、七上,天表的不一样排法种数()7525A.A7-A5B.A4A5C.A 51A 61A 55D. A 66+ A 41A 51A 55能力提高5.用 1、2、3、4、 5、6 成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、 5 有且只有两个相,不一样的排法种数()A.18 B.108C. 216D. 4326.从 10 名大学生中 3 个人担当村助理,甲、乙起码有 1 人入,而丙没有入的不一样法的种数()A.85B. 56 C. 49 D .287.用 0到910个数字,能够成没有重复数字的三位偶数的个数()A . 324 B. 328C. 360D. 6488.研究性学小有 4 名同学要在同一天上、下午到室做A,B, C,D, E 五个操作,每个同学上、下午各做一个,且不重复,若上午不可以做 D ,下午不可以做 E ,不一样的安排方式共有()A.144 种B.192 种C.216 种D.264 种9. 2010 年上海世博会某国将展出 5 件作品,此中不一样法作品 2 件、不一样画作品 2 件、志性建筑 1 件,在展台大将 5 件作品排成一排,要求 2 件法作品必相, 2 件画作品不可以相,国展出5件作品不一样的方案有________种(用数字作答) .10.从 5 名男医生、 4 名女医生中 3 名医生成一个医小分,要求男、女医生都有,不一样的方案共有 ________种 (数字回答 ).11.由 0,1,2,⋯, 9 十个数字成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的等于 8 的个数 ________个.12. (13 分)有六名同学按以下方法和要求分,各有不一样的分方法多少种?(1)分红三个,各人数分1、 2、 3;(2)分红三个去参加三不一样的,各人数分1、 2、 3;(3)分红三个,各人数分2、 2、 2;(4)分红三个去参加三不一样的,各人数分2、 2、 2;(5)分红四个,各人数分1,1,2,2;(6)分红四个去参加四不一样的活,各人数分1、 1、 2、 2.难点打破13. (12分 )从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10 名作“夺冠之路”的励志报告.(1)若每个大项中起码选派两人,则名额分派有几种状况?(2)若将 10 名冠军分派到11 个院校中的9 个院校作报告,每个院校起码一名冠军,则有多少种不一样的分派方法?作 (五十七 )A【基身】1. D[ 分析 ] A 348-a= (27- a)(28- a)⋯ (34-a).2.D[分析 ]基本领件数是C303,此中不切合要求的基本领件个数是C203+ C103,故所求的种数 C3- (C3+ C3= 2 800.3020103 的全摆列,即 4× A 33= 24.3. C[分析 ]四个位在一同有四种可能,再乘以4.D[分析]若数学在第一,有排法 A 66种;若数学不在第一,数学排法有 A11A5115 4,体育排法有 A5,其他排法有5,依据乘法原理此的排法是 A 4A 5A5.依据加法原理,的排法种数 A 66+A 41A51 A 55.【能力提高】C32A 22种方法;第二步,将5. D[分析 ]第一步,先将1、3、 5 分红两,共2、4、6排成一排,共 A 33种方法;第三步:将两奇数插入三个偶数形成的四个空位,共 A 42种方法.由乘法原理,共有 C32A 22A 33A 42= 3× 2× 6× 12= 432 种排法.6. C[分析 ]方法1:由条件可分两:一是甲、乙两人只有一个入,法有C21·C72= 42;另一是甲、乙都入,法有C22·C71= 7.因此共有 42+7= 49 种法.故C.方法 2:甲、乙均不入的有C3种,数是 C3,故甲、乙起码一人入的方法数是C3-C73=799 84- 35= 49.A 92= 9× 8= 72 个; 0 不排在个位,有 A 41·A81·A 81=7.B[分析]当 0 排在个位,有4× 8× 8= 256 个.由分数原理,得切合意的偶数共有72+ 256= 328 个.故 B.8.D[分析 ]依据意得,上午要做的是A,B,C,E,下午要做的是 A,B,C,D ,且上午做了A,B,C 的同学下午不再做同样的.先安排上午,从 4 位同学中任一人做 E ,其他三人分做A, B, C ,有 C41·A 33= 24 种安排方式.再安排下午,分两:①上午就 E 的同学下午 D ,另三位同学A, B,C 位摆列,有 2 种方法,不一样的安排方式有N1= 1× 2= 2 种;②上午 E 的同学下午A,B,C 之一,此外三位从剩下的两和 D 一共三中,但必与上午的目开,有 3种方法,不一样的安排方式有N2=C31·3= 9 种.于是,不一样的安排方式共有N= 24× (2+9) = 264 种.故 D.9.24[分析 ]把需要相的两个元素看做一个整体,而后与不相的元素外的元素行摆列,在隔出的空位上安排需要不相的元素.2 件法作做看作一个整体,方法数是 A 22=2,把个整体与志性建筑作品摆列,有A22种摆列方法,此中分开了三个空位,在此中插入 2 件画作品,有方法数 A 32= 6.依据乘法原理,共有方法数2×2× 6= 24(种) .10.70[分析 ] 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况,或许用接法.直接法: C51C42+C52C41= 70.接法: C93- C53- C43= 70.2211.210[分析 ] 假如个位数和百位数是0,8,方法数是 A2A 8= 112;假如个位数和百位数是 1,9,因为首位不可以排 0,方法数是 A 22C71C71= 98.故数是 112+ 98= 210.12. [解答123] (1) 即 C6C5C3= 60.(2)即 C61C52 C33A 33= 60× 6= 360.222C6C4C2=15.(3)即3A 3222(4)即 C6C4 C2= 90.1122C6C5C4C2(5)即 A 22·A22= 45.1122(6)C 6C5C4C2= 180.【点打破】13. [解答 ] (1) 名分派只与人数相关,与不一样的人没关.每大中派两人,节余两个名,C41= 4 种,当节余两人出自同一大,名分派状况有当节余两人出自不一样大,名分派状况有C2= 6 种.4∴有 C14+ C24=10 种.929(2)从 11 个院校中选9 个,再从 10 个冠军中任取 2 个组合,再进行摆列,有 C11C10A 9=898 128 000.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(4)函数及其表示
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课时作业 (四 ) [第 4 讲 函数及其表示 ][时间: 45 分钟 分值: 100 分]基础热身1.以下各组函数中表示同样函数的是( )552A . y = x 与 y = xx - 1x +3C .y =与 y = x + 31D . y = x 与 y = x 02.已知 f :x →sinx 是会合 A(A? [0,2π]) 到会合 B =0,1的一个映照,则会合A 中的元2素最多有 ( )A .4个B .5 个C .6 个D .7 个2111x3.已知 f(x)= 1+x 2,那么 f(1) +f(2)+ f 2 + f(3) +f 3 + f(4) + f 4=()7 9 A . 3 B.2 C .4 D. 24. 某学校展开研究性学习活动,一组同学获取了下边的一组实验数据:x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,此中最靠近的一个是 ()A . y = 2x - 2B . y =1 x2 C .y = log 2x D .y = 12(x 2-1)能力提高15. 函数 y =log 2 3x -2 的定义域是 ()A . [1,+∞ )2,+∞B. 32 2 C. 3,1 D.3, 126. 函数 f( x)= 2x - 2的值域是 ()A . (-∞,- 1)B . (- 1,0)∪ (0,+∞ )C .( -1,+∞ )D . (-∞,- 1)∪ (0,+∞ )x 2+ 2x - 1, x ≥ 0, 7. 已知函数 f(x)= 则对随意 x 1,x 2∈ R ,若 0<|x 1|<|x 2|,以下不等x 2- 2x - 1, x<0 , 式恒建立的是 ( )A . f(x 1)- f(x 2)>0B . f( x 1)- f(x 2 )<0C .f(x 1)+ f(x 2)<0D . f( x 1)+ f(x 2 )>08. 定义在实数集上的函数 f(x),假如存在函数 g(x)= Ax + B(A ,B 为常数 ),使得 f( x)≥ g(x)对于一确实数 x 都建立,那么称 g(x)为函数 f( x)的一个承托函数.给出以下命题:①对给定的函数 f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;②定义域和值域都是R 的函数 f(x)不存在承托函数;x12的一个承托函数.④ g(x)= x 为函数 f( x)= x2( )此中,正确命题的个数是A .0B .1C .2D . 39.图 K4 - 1 中的图象所表示的函数的分析式为( )图 K4-13A . y = 2|x - 1|(0≤ x ≤2)B .y = 332 - |x -1|(0≤x ≤ 2)2C .y = 3- |x -1|(0≤x ≤2)2D . y = 1- |x -1|(0≤x ≤ 2)10.已知 f2+ 1= lgx ,则 f(x)= ________. x- log 3 x + 1 x>6 ,8,11. 设 f(x)= 3x -6- 1 x ≤ 6 知足 f(n)=- , 9则 f(n + 4)= ________.12. 设 f(x)的定义域为 D ,若 f(x)知足下边两个条件,则称 f(x)为闭函数.① f(x)在 D 内是单一函数;②存在 [a ,b]? D ,使 f(x)在 [a , b]上的值域为 [ a ,b].假如 f(x)= 2x +1+ k 为闭函数,那么 k 的取值范围是 ________.13.已知函数 f(x)= x 2, g(x)为一次函数,且一次项系数大于零,若f[g(x)] =4x 2- 20x + 25,则函数 g(x)= ________.14.(10 分 )已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和- 2,且 f(x)最小值是- 1,函数 g(x)与 f(x)的图象对于原点对称.(1) 求 f(x)和 g(x)的分析式;(2) 若 h(x)=f(x)- λg (x)在区间 [ - 1,1]上是增函数,务实数 λ的取值范围.15. (13 分)解答以下问题:(1)若 f(x + 1)=2x 2+1,求 f(x);(2)若 2f( x)- f(- x)= x + 1,求 f(x);x(3)若函数 f(x)=, f(2)= 1,且方程 f(x)= x 有独一解,求 f(x).ax + b难点打破16. (12 分 )设 f( x)=ax2+ bx,则能否存在实数a,使得起码有一个正实数b,使函数f(x)的定义域和值域同样?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明原因.课时作业 ( 四)【基础热身】1. D [ 分析 ] 对于 A ,两函数的对应法例不一样; 对于 B ,两函数的定义域不一样; 对于 C ,两函数的定义域不一样; 对于 D ,两函数的定义域都为{ x|x ∈ R , x ≠ 0} ,对应法例都可化为 y = 1(x ≠ 0).2. B [ 分析 ] 当 sinx = 0 时, x = 0, π, 2π;1 π 5π 当 sinx = 2时, x = 6, 6 .所以,会合 A 中的元素最多有5 个.x 21 = 1 3. B [分析 ] 2可得 f x 2, 由 f(x) =1+ x1+ x 1 1所以 f(x)+ f x= 1,又∵ f(1) = 2,f(2) + f 1=1,2f(3) + f 1 =1, f(4)+ f 1= 1,3 4∴ f(1) + f(2)+ f 1 + f(3) +f 1 + f(4) + f 1 =7.2 3 4 21 x是单一递减的,也不4.D [分析 ] 直线是平均的,应选项 A 不是;指数函数 y = 2 切合要求;对数函数 y = log 2x 的增加是迟缓的,也不切合要求;将表中数据代当选项D 中, 基本切合要求.【能力提高】115.D [分析 ]由题知 log 2(3x - 2)≥ 0=log 21,又知对数函数的真数大于零,所以0<3x- 2≤ 1,解得 2<x ≤ 1.31 x -1- 1>- 1,联合反比率函数的图象可知f(x)∈ (-∞,- 1)∪ (0, 6. D [分析 ] f x = 2+∞ ),应选 D. x 2+ 2x -1, x ≥ 0,7.B[ 分析 ] f(x)= 为偶函数,在区间 (0,+∞ )上单一递加,所以x 2 -2x - 1, x<0,f(x 1)-f(x 2)<0.8. C [分析 ] ①正确,②错误;③正确;④错误. 9. B [分析 ] 从图象上看出 x =0 时 y = 0,代入各个选项就能够清除 A 、 C ,x = 1 时 y= 3,代当选项, D 就能够清除. 222+ 1= t(t > 1),则 x = 2 ,10. lg x - 1(x >1)[ 分析 ] 令 x t - 1∴ f(t)= lg 2,即 f(x)= lg 2(x > 1).t - 1x - 111.- 2 [分析 ]因为 x>6 时函数的值域为 (-∞,- log 37),- 8不在 (-∞,- log 37)内,9n -68所以 n ≤ 6,由 3-1=- ,解得 n = 4,所以 f(n + 4)= f(8)=- 2.1 92x + 1+ k 为 - 1,+∞ 上的增函数,又[分析 ] f(x)= f(x)在 [a , b]12.- 1<k ≤- 2 2上的值域为 [a ,b],∴ f a = a ,2x + 1=即 f(x)= x 在 -1,+∞ 上有两个不等实根,即f b = b , 2x -k 在 - 1,+∞ 上有两个不等实根.21,+∞方法一:问题可化为 y = 2x + 1和 y =x - k 的图象在- 上有两个不一样交点. 对2于临界直线 m ,应有- k ≥ 1,即 k ≤- 1 .对于临界直线n , y ′= ( 2x + 1)′=1 ,令2 22x + 11=1,得切点 P 横坐标为 0,∴ P(0,1).2x + 1∴直线 n : y = x +1,令 x = 0,得 y = 1,1∴- k < 1,即 k>-1.综上,- 1< k ≤-.方法二:化简方程2x +1= x - k ,得 x 2- (2k + 2)x + k 2- 1= 0.g -1≥ 0,2令 g(x) = x 2- (2k+ 2)x + k 2- 1 , 则 由 根 的 分 布 可 得1 , 即k + 1>-2>0,1 2≥0,k + 2 k>- 3, 2 k>- 1,解得 k>-1.又 2x + 1= x -k ,∴ x ≥ k ,∴ k ≤-112.综上,- 1<k ≤- .213. 2x - 5 [分析 ] 由 g(x)为一次函数,设 g(x)=ax + b(a>0). 因为 f[g(x)] = 4x 2 - 20x + 25, 所以 (ax + b)2= 4x 2- 20x + 25,2 222即 a x + 2abx + b = 4x - 20x + 25,解得 a = 2, b =- 5,故 g(x)= 2x - 5.214. [解答 ] (1) 依题意,设 f(x)= ax(x + 2)= ax + 2ax(a>0).∴ f(- 1)=- 1,即 a - 2a =- 1,得 a = 1.∴ f(x)=x 2+ 2x.由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象对于原点对称,∴ g(x)=- f(- x)=- x 2+ 2x.(2)由 (1) 得 h( x)=x 2 + 2x - λ(- x 2+ 2x)= (λ+ 1)x 2+ 2(1-λ)x. ①当 λ=- 1 时, h(x)=4x 知足在区间 [ - 1,1] 上是增函数;②当 λ<- 1 时, h( x)图象的对称轴是 x = λ- 1,λ+ 1 λ- 1则≥ 1,又 λ<- 1,解得 λ<-1;λ- 1③当 λ>- 1 时,同理则需 ≤- 1,又 λ>- 1,解得- 1< λ≤ 0.综上,知足条件的实数 λ的取值范围是 (-∞, 0] .15. [解答 ] (1) 令 t = x + 1,则 x = t - 1,22所以 f(t)= 2(t - 1) + 1= 2t - 4t + 3.(2)因为 2f(x)- f(- x)= x + 1, 用- x 去替代等式中的 x , 得 2f(- x)- f(x)=- x + 1,2f x - f - x = x + 1, 即有2f - x -f x =- x + 1,解方程组消去f(- x),得 f(x)= x3+ 1.2=1,即 2a + b = 2.(3)由 f(2)= 1 得 2a + bx11- b由 f(x) =x 得 ax + b =x ,变形得 xax + b - 1 = 0,解此方程得: x = 0 或 x = a .又因为方程有独一解,所以 1- b= 0,解得 b = 1, a代入 2a + b = 2 得 a = 1,2所以所求分析式为f(x)= 2x.x + 2【难点打破】16. [解答 ] 要使分析式 f(x)= ax 2 +bx 存心义, 则 ax 2+ bx =x(ax + b)≥ 0.当 a>0 时,函数的定义域为 -∞,-b∪ [0,+∞ ),因为函数的值域为非负数,所以a a>0 不切合题意;当 a =0 时, f(x)= bx ,此时函数的定义域为 [0,+∞ ),函数的值域也为 [0 ,+∞ ),切合题意;bb222 b当 a<0 时,函数的定义域为0,- a ,又 f(x)=ax + bx =a x +2a- 4a ,∵ 0<- b <- b ,∴当 x =- b时,函数 f(x)有最大值- b 2,由题意有-b 2= -b2,2aa2a4a4aa即 a 2=- 4a ,解得 a =- 4.综上,存在切合题意的实数 a , a 的值为 0 或- 4.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 抛物线 抛物线的简单几何性质(1)
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当且仅当
∴△ 与△
,即
=
=
时,等号成立.
面积之和的最小值是
.
+
≥
×
=
,
9.已知抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且
|| = 4||,△ 的面积为4 3,则抛物线方程为() B
,即直线的斜率为±
或
= −
,故C正确;
(−, ),(−, ),∴ ⋅ = + = − = ,从而∠ = ∘ ,故
A正确;
( + , ),
∴ ⋅ = ( + ) + − ⋅ ( + ) + = + =
在第一象限,则(, ),联立൝
得
= ,
△
所以
△
=
||| |
||| |
= .
5.设抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为,点(0,2).若线段的中点在抛物线上,则
3 2
2
=____,到该抛物线准线的距离为____.
解得 = ,∴ = .
(
) = ,
2
14.直线过抛物线: 2 = 2( > 0)的焦点(1,0),且与交于,两点,则 =___,
1
1
1
+
=___.
||
||
[解析]由题意知
= ,从而 = ,
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线
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第七节 抛物线
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解抛物线的实际背景,感
受抛物线在刻画现实世界和
解决实际问题中的应用.
2.了解抛物线的定义、几何
图形和标准方程,以及它的简
单几何性质.
3.通过抛物线的学习,进一步
体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
衍生考点
2
因为 sin
1
1
∠MFG=3,所以|DM|=3|MF|,即 x0-2
=
1
3
0 + 2
,
解得x0=p.②
由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.
(2)连接 FA,因为 F 就是圆 −
2
2
2
+y
=
的圆心,所以
2
4
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,
方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或
x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
(2)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.确定抛物线几何性质的三个要点
对点训练 2(1)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M(x0,2 2) 0 >
2
是抛物线 C 上的一点,以点 M 为圆心的圆与直线
常用结论
1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
高考数学测试卷人教A版理科数学课时试题及解析(50)抛物线B
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课时作业(五十)B [第50讲 抛物线][时间:35分钟 分值:80分] 基础热身1.若点P(x ,y)到点F(0,2)嘚距离比它到直线y +4=0嘚距离小2,则P(x ,y)嘚轨迹方程为( ) A .y 2=8x B .y 2=-8x C .x 2=8y D .x 2=-8y2.抛物线x 2=(2a -1)y 嘚准线方程是y =1,则实数a =( ) A.52 B.32 C .-12 D .-323.已知抛物线y 2=4x ,若过焦点F 且垂直于对称轴嘚直线与抛物线交于A ,B 两点,O 是坐标原点,则△OAB 嘚面积是( )A .1B .2C .4D .64.对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a 嘚取值范围是( ) A .(-∞,0) B .(-∞,2] C .[0,2] D .(0,2) 能力提升5.已知A ,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上嘚两点,O 是原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 嘚垂心恰好是抛物线嘚焦点,则直线AB 嘚方程是( )A .x =pB .x =3pC .x =32pD .x =52p6.已知抛物线y 2=2px(p>0)嘚焦点为F ,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)均在抛物线上,且2x 2=x 1+x 3,则有( )A .|FP 1|+|FP 2|=|FP 3|B .|FP 1|2+|FP 2|2=|FP 3|2C .2|FP 2|=|FP 1|+|FP 3|D .|FP 2|2=|FP 1|·|FP 3|7.已知点P 是抛物线y 2=2x 上嘚一个动点,则点P 到点(0,2)嘚距离与P 到该抛物线准线嘚距离之和嘚最小值为( )A.172 B .3 C.5 D.928. 若抛物线y 2=4x 嘚焦点是F ,准线是l ,点M(4,4)是抛物线上一点,则经过点F 、M 且与l 相切嘚圆共有( )A .0个B .1个C .2个D .4个9.已知抛物线C 嘚顶点坐标为原点,焦点在x 轴上,直线y =x 与抛物线C 交于A ,B 两点,若P(2,2)为AB 嘚中点,则抛物线C 嘚方程为________.10. 已知抛物线C :y 2=2px(p >0)嘚准线为l ,过M(1,0)且斜率为3嘚直线与l 相交于点A ,与C 嘚一个交点为B.若AM →=MB →,则p =________.11. 已知以F 为焦点嘚抛物线y 2=4x 上嘚两点A 、B 满足AF →=3FB →,则弦AB 嘚中点P 到准线嘚距离为________.12.(13分) 在平面直角坐标系xOy 中,设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,直线l :x =-12,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴嘚交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l.(1)求动点Q 嘚轨迹方程C ;(2)设圆M 过A(1,0),且圆心M 在曲线C 上,TS 是圆M 在y 轴上截得嘚弦,当M 运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.图K50-1 难点突破13.(12分) 已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F(1,0)嘚距离减去它到y 轴距离嘚差都是1.(1)求曲线C 嘚方程;(2)是否存在正数m ,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 嘚任一直线,都有FA →·FB →<0?若存在,求出m 嘚取值范围;若不存在,请说明理由.课时作业(五十)B 【基础热身】1.C [解析] 点P(x ,y)到点F(0,2)嘚距离比它到直线y +4=0嘚距离小2,说明点P(x ,y)到点F(0,2)嘚距离与到直线y +2=0即y =-2嘚距离相等,轨迹为抛物线,其中p =4,故所求嘚抛物线方程为x 2=8y.2.D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫12-a y ,则焦参数p =12-a ,故抛物线嘚准线方程是y =p 2=12-a 2,则12-a2=1,解得a =-32.3.B [解析] 焦点坐标是(1,0),A(1,2),B(1,-2),|AB|=4,故△OAB 嘚面积S =12|AB||OF|=12×4×1=2. 4.B [解析] 设点Q 嘚坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204,y 0,由|PQ|≥|a|,得y 20+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204-a 2≥a 2,整理,得y 20(y 20+16-8a)≥0,∵y 20≥0,∴y 20+16-8a≥0,即a≤2+y 208恒成立.而2+y 208嘚最小值为2,所以a≤2.【能力提升】5.D [解析] A(x 0,y 0),则B(x 0,-y 0),由于焦点F p2,0是抛物线嘚垂心,所以OA ⊥BF.由此得y 0x 0×-y 0x 0-p 2=-1,把y 20=2px 0代入得x 0=5p 2,故直线AB 嘚方程是x =52p.6.C [解析] 由抛物线定义,2⎝⎛⎭⎪⎫x 2+p 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+p 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3+p 2,即2|FP 2|=|FP 1|+|FP 3|.7.A [解析] 依题设P 在抛物线准线嘚投影为P′,抛物线嘚焦点为F ,则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0.依抛物线嘚定义知P 到该抛物线准线嘚距离为|PP′|=|PF|,则点P 到点A(0,2)嘚距离与P 到该抛物线准线嘚距离之和d =|PF|+|PA|≥|AF|=⎝ ⎛⎭⎪⎫122+22=172. 8.C [解析] 满足条件嘚圆嘚圆心C 到F 嘚距离到准线l 嘚距离相等,故圆心C 一定在抛物线上,又需满足|CM|=|CF|,故点C 在线段MF 嘚垂直平分线l′上,而l′与抛物线有两个交点C 1,C 2,则分别以C 1,C 2为圆心,|C 1F|,|C 2F|为半径嘚两个圆都符合要求.9.y 2=4x [解析] 设抛物线方程为y 2=kx ,与y =x 联立方程组,消去y ,得:x 2-kx =0,x 1+x 2=k =2×2=4,故y 2=4x.10.2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ,∵AM →=MB →,∴M 为AB 中点,∴|BM|=12|AB|.又斜率为3,∠BAE =30°,∴|BE|=12|AB|,∴|BM|=|BE|,∴M 为抛物线嘚焦点,∴p =2.11.83 [解析] 设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),则|AF|=x A +1,|BF|=x B +1,∴x A +1=3(x B +1).① 由几何关系,x A -1=3(1-x B ).②联立①②,得x A =3,x B =13,∴所求距离d =x A +x B 2+1=83.12.[解答] (1)依题意知,点R 是线段FP 嘚中点,且RQ ⊥FP , ∴RQ 是线段FP 嘚垂直平分线. ∵|PQ|是点Q 到直线l 嘚距离.点Q 在线段FP 嘚垂直平分线上,∴|PQ|=|QF|. 故动点Q 嘚轨迹是以F 为焦点,l 为准线嘚抛物线, 其方程为:y 2=2x(x>0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线C 上点M(x 0,y 0),M 到y 轴嘚距离为d =|x 0|=x 0, 圆嘚半径r =|MA|=x 0-12+y 20,则|TS|=2r 2-d 2=2y 20-2x 0+1,因为点M 在曲线C 上,所以x 0=y 202,所以|TS|=2y 20-y 20+1=2,是定值.【难点突破】13.[解答] (1)设P(x ,y)是曲线C 上任意一点,那么点P(x ,y)满足x -12+y 2-x =1(x>0).化简得y 2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)嘚直线l 与曲线C 嘚交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).设l 嘚方程为x =ty +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +m ,y 2=4x ,得y 2-4ty -4m =0,Δ=16(t 2+m)>0,于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4m.①又FA →=(x 1-1,y 1),FB →=(x 2-1,y 2),FA →·FB →<0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2<0.②又x =y 24,于是不等式②等价于y 214·y 224+y 1y 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214+y 224+1<0,⇔y 1y 2216+y 1y 2-14[(y 1+y 2)2-2y 1y 2]+1<0.③由①式,不等式③等价于m 2-6m +1<4t 2.④对任意实数t,4t 2嘚最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2-6m +1<0,即3-22<m<3+22.由此可知,存在正数m ,对于过点M(m,0),且与曲线C 有两个交点A ,B 嘚任一直线,都有FA →·FB →<0,且m 嘚取值范围是(3-22,3+22).。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(67)数学证明
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作 (六十七 )[第 67数学明 ][ : 45分分: 100分 ]基身1.在用反法明命“已知a、b、c∈ (0,2) ,求 a(2- b)、b(2- c)、c(2- a)不行能都大于 1” ,反假正确的选项是()A .假 a(2-b) 、b(2- c)、 c(2- a)都小于 1B.假 a(2- b)、 b(2- c)、 c(2- a)都大于 1C.假 a(2- b)、 b(2- c)、 c(2- a)都不大于 1D.以上都不1,△ ABC 的形状是 ()2.在△ ABC 中,已知 sinA+ cosA=2A .角三角形B.直角三角形C.角三角形D.不可以确立a+1, b+1, c+13. a, b, c 均正数,那么()b c aA .都不大于 2B.都不小于 2C.起码有一个不大于2D.起码有一个不小于24.已知 a,b 是不相等的正数, x=a+b,y=a+b,x,y的大小关系是________.2能力提高5.一个点从 A 出挨次沿中段抵达B、C、 D、 E、F、 G、 H、 I、 J 各点,最后又回到 A(如 K67 - 1 所示 ),此中: AB⊥ BC,AB∥ CD∥ EF∥ HG∥ IJ,BC∥ DE ∥ FG ∥HI ∥ JA.欲知此点所走行程,起码需要量n 条段的度,n= ()K67-1A.2 B.3 C.4 D. 56.已知ab= ad- bc,46+ 1214 +⋯+2 004 2 006=()c d8101618 2 008 2 010A.- 2 008 B .2 008C.2 010 D .- 2 0107.△ ABC 的三内角 A、B、C 的分a、b、c,且 a、b、c 成等比数列, cosA、cosB、 cosC 成等差数列,△ABC ()A .等三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形ax- 58.已知对于 x 的不等式x2-a<0 的解集 M,且 3∈ M,5?M ,数 a 的取范()55∪ (9,25]A.1,∪ (9,25)B. 1,33C. 1, 5 ∪ [9,25)D. 1,5∪ [9,25]3 3 9.若 a , b , c 是不全相等的正数, 出以下判断: ① (a - b)2+ (b - c)2+ (c - a)2≠ 0;② a>b 与 a<b 及 a = b 中起码有一个建立;③ a ≠ c , b ≠ c , a ≠ b 不可以同 建立.此中判断正确的个数是 ()A .0B .1C .2D . 3 10. 察下表: 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 78 9 10⋯⋯2第________行的各数之和等于 2 009 .11.如 K67-2 所示,由若干个点 成形如三角形的 形,每条(包含两个端点 )有 n(n>1, n ∈ N )个点,每个 形 的点数a n ,9 + 9 +9+⋯+9 =a 2a 3 a 3a 4 a 4a 5a 2 010a 2 011________.K67-212. 若直 ax + 2by - 2= 0(a>0,b>0)始 均分 x 2+ y 2- 4x - 2y -8= 0 的周 , 1a+ 2的最小 ________. b13. 假如函数 f(x)在区 D 上是凸函数,那么 于区 D 内的随意 x 1, x 2,⋯, x n ,都有f x 1 + f x 2 +⋯+ f x n≤ f x 1+ x 2+⋯+ x n .若 y = sinx 在区 (0, π)上是凸函数,那么在 n n△ABC 中, sinA +sinB + sinC 的最大 是 ________.114. (10 分)已知 a , b ,c ∈ (0,1).求 : (1- a)b , (1- b)c , (1- c)a 不可以同 大于 4.15. (13 分) 比 n n +1 与 (n + 1)n (n ∈ N *) 的大小.当 n =1 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< );当 n=2 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< );当 n =3 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< );当 n =4 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< ).猜想一个一般性 ,并加以 明.难点打破*131222 16. (12 分 )数列 { a n}( n∈N )中, a1= 0, a n+1是函数 f n( x)= x - (3a n+ n)x + 3n a n x 的32极小值点,求通项a n.作 (六十七 )【基 身】1. B[ 分析 ] “不行能都大于1”的否认是“都大于 1”,故 B.1212.C[分析 ] 由 sinA +cosA = 2,得,(sinA + cosA) = 1+ 2sinAcosA =4,∴ sinAcosA<0.π∵ A ∈ (0, π),∴ sinA>0,cosA<0,∴ A ∈ , π.故 C.21+b + 1+ c +1≥ 6,故 D.3. D [ 分析 ] 因 a + bc a4. x<y[ 分析 ] x 2- y 2=a +b + 2ab- (a + b)2- a + b - 2 ab - a - b 2.∵ a ,b 是不相等的正数, ∴ a ≠ b ,∴ (a - b)2>0,= 2 =2- a - b2∴<0,∴ x 2<y 2.又∵ x>0, y>0,∴ x<y. 2 【能力提高】 5. B[分析 ] 只要 量 AB , BC , GH 3 条 段的 .4 612 142 004 2 0066.A [分析 ] ∵ 8 10 =- 8, 16 18=-8,⋯,2 008 2 010=- 8,区 [4,2010] 中共有 1 004 个偶数,若每四个偶数 一 ,共有 251 ,∴ 46 +12 14 +⋯+ 2 004 2 006= ( - 8)+ (- 8)+⋯+ (- 8=- 8× 2518 1016 182 0082 010251个=- 2 008,故 A.7. A[分析 ] ∵cosA , cosB ,cosC 成等差数列,A +C A - C ∴ 2cosB = cosA +cosC = 2cos 2 cos 2B A -C = 2sin 2cos 2 ,2∴ cos(A - C)= 2cos2A -C- 1=2cos B- 1.①22Bsin 2∵ a , b , c 成等比数列,∴ b 2= ac ,∴ sin 2B = sinAsinC ,2∴ 2sin B = cos(A -C)+ cosB ,∴ cos(A - C)= 2sin 2B - cosB ,② 将①代入②整理得:(2cosB - 1)(cosB -3)(cosB + 1)= 0.∵ 0<B<π,∴ cosB = 1,2π∴ B = ,∴ cos(A - C)= 1,3∵- π<A - C<π,∴ A = C ,∴ A =B = C = π3,进而△ ABC 等 三角形,故 A.3a - 53∈M , 9- a<0,a>9或a<5, ? a ∈ 1,58.B [分析 ] (1) 当 a ≠ 25 ,??335?M5a -5≥ 01≤ a<2525- a∪(9,25) .25x - 51, 3∈M 且 5?(2)当 a = 25 ,不等式2<0 ,解之得M = (-∞,- 5)∪, 5 x - 25 5M ,∴ a = 25 知足条件,综上可得 a ∈5∪ (9,25] .1, 39. C [ 分析 ] ①②正确;③中 a ≠ c , b ≠ c , a ≠ b 可能同时建立,如 a =1, b = 2, c =3.选 C.n 行的各数之和为 (2n - 1)2,2n - 1= 2 009,n = 1 005.10.1 005 [ 分析 ] 由题意概括出第 11.2 009[ 分析 ] a n = 3(n - 1), a n a n +1 =9n( n - 1),裂项乞降即可.2 0101+ 2= (a +b) 1+ 212.3+ 22 [ 分析 ] 由题知直线经过圆心 (2,1) ,则有 a + b = 1,所以 aba b= 3+ba +2ab ≥ 3+ 2 2.3 3A +B + Cπ 3313. 2[ 分析 ] sinA + sinB + sinC ≤ 3sin3= 3sin 3= 2.14. [解答 ] 证明:假定三式同时大于1,4 即 (1- a)b>1, (1- b)c>1, (1- c)a>1,4 4 4三式同向相乘,得 (1- a)a(1- b)b(1- c)c>641.① 又 (1- a)a ≤ 1- a + a 2=1,241 1(1- b)b ≤,(1- c)c ≤ .4 4所以 (1- a)a(1-b) b(1 -c)c ≤ 1,64与①式矛盾,即假定不建立,故结论正确. 15.[解答 ] < < > >结论:当 n ≥ 3 时, n n +1 n *>(n +1) (n ∈ N )恒建立.证明:①当 n =3 时, 34= 81>64= 43 建立;②假定当 n = k(k ≥ 3)时建立,即 k +1k建立,即 k >( k + 1) k +1 kk + 1 k >1,则当 n = k + 1 时,k + 2 k + 1 kk +1 ∵ k + 1 + +1 = kk >1, k + 1= (k + 1) · k 1>(k + 1) · k k + 2 k + 2 k + 1 k + 1∴ (k + 1)k + 2>(k + 2)k +1,即当 n = k + 1 时也建立.∴当 n ≥ 3 时, n n +1>(n + 1)n (n ∈ N *) 恒建立. 【难点打破】16. [思路 ] 先求导,再分类议论求出a n+1的关系式,最后运用“概括 ——猜想—— 证明”的思想求通项 a n .2 22 2[解答 ] 易知 f ′ n (x)= x - (3a n + n )x + 3n a n = (x - 3a n )(x - n ),令 f ′ n (x)= 0,得 x = 3a n 或 x =n 2 ,2(1)若 3a n <n ,当 x<3a n 时, f ′ n (x)>0 ,f n (x)单一递加;当 3a n <x<n 2 时, f ′ n (x)<0, f n (x)单一递减;当 x>n 2 时, f ′ n ( x)>0 ,f n (x)单一递加,故 f n (x)在 x =n 2 时,获得极小值.(2)若 3a n >n 2,仿 (1)可得, f n (x)在 x = 3a n 时获得极小值. (3)若 3a n = n 2, f ′ n (x)≥0, f n (x)无极值. 因 a 1= 0,则 3a 1<12,由 (1)知, a 2=12= 1. 因 3a 2= 3<22,由 (1)知 a 3= 22= 4,因 3a 3= 12>32,由 (2)知 a 4= 3a 3= 3× 4,因 3a 4= 36>42,由 (2)知 a 5= 3a 4= 32× 4,由此猜想:当 n≥ 3 时, a n=4× 3n - 3 .下边用数学概括法证明:当n≥ 3 时, 3a n>n2.事实上,当n=3 时,由前面的议论知结论建立.假定当 n=k(k≥ 3)时, 3a k>k2建立,则由 (2)知 a k+1=3a k>k2,进而 3a k+1-(k+1)2>3k2-(k+ 1)2= 2k(k- 2)+2k- 1>0 ,所以 3a k+1 >(k+1) 2.故当 n≥ 3 时, a n=4× 3n-3,于是由 (2)知,当 n≥ 3 时, a n+1= 3a n,而 a3= 4,n- 3所以 a n=4× 3,0 n=1 ,综上所述, a n= 1 n= 2 ,4× 3n-3 n≥ 3 .。
高考数学(人教a版,理科)题库:抛物线(含答案)
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第6讲 抛物线一、选择题1.抛物线x 2=(2a -1)y 的准线方程是y =1,则实数a =( )A.52B.32 C .-12 D .-32解析 根据分析把抛物线方程化为x 2=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫12-a y ,则焦参数p =12-a ,故抛物线的准线方程是y =p 2=12-a 2,则12-a2=1,解得a =-32.答案 D 2.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点在圆x 2+y 2+2x -3=0上,则p =( ) A.12 B .1 C .2D .3解析 ∵抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为(p 2,0)在圆x 2+y 2+2x -3=0上,∴p 24+p -3=0,解得p =2或p =-6(舍去). 答案 C3.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB =( ). A.45B.35C .-35D .-45解析 由⎩⎨⎧y 2=4xy =2x -4,得x 2-5x +4=0,∴x =1或x =4.不妨设A (4,4),B (1,-2),则|F A →|=5,|FB →|=2,F A →·FB →=(3,4)·(0,-2)=-8,∴cos ∠AFB =F A →·FB →|F A →||FB →|=-85×2=-45.故选D. 答案 D4.已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( ).A .x 2=833y B .x 2=1633y C .x 2=8yD .x 2=16y解析 ∵x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为2,∴c a =2,即c 2a 2=a 2+b 2a 2=4,∴ba = 3.x 2=2py的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2,x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±b a x ,即y =±3x .由题意,得p 21+(3)2=2,∴p =8.故C 2:x 2=16y ,选D. 答案 D5.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ). A .18 B .24 C .36 D .48 解析 如图,设抛物线方程为y 2=2px (p >0). ∵当x =p2时,|y |=p ,∴p =|AB |2=122=6. 又P 到AB 的距离始终为p , ∴S △ABP =12×12×6=36.答案 C6.已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点,则点P 到直线l :2x -y +3=0和y 轴的距离之和的最小值是( ). A. 3B. 5C .2D.5-1解析 由题意知,抛物线的焦点为F (1,0).设点P 到直线l 的距离为d ,由抛物线的定义可知,点P 到y 轴的距离为|PF |-1,所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d +|PF|-1.易知d +|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离,故d+|PF|的最小值为|2+3|22+(-1)2=5,所以d+|PF|-1的最小值为5-1.答案 D二、填空题7.已知动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.解析设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.答案y2=4x8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=32|MN|,则∠NMF=________.解析过N作准线的垂线,垂足是P,则有PN=NF,∴PN=32MN,∠NMF=∠MNP.又cos∠MNP=3 2,∴∠MNP=π6,即∠NMF=π6.答案π69.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.解析如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py.由题意A(2,-2)代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=6,故水面宽为26米.答案 2 610.过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB |=2512,|AF |<|BF |,则|AF |=________.解析 设过抛物线焦点的直线为y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,联立得,⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2x ,y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,整理得,k 2x 2-(k 2+2)x +14k 2=0,x 1+x 2=k 2+2k 2,x 1x 2=14.|AB |=x 1+x 2+1=k 2+2k 2+1=2512,得,k 2=24,代入k 2x 2-(k 2+2)x +14k 2=0得,12x 2-13x +3=0,解之得x 1=13,x 2=34,又|AF |<|BF |,故|AF |=x 1+12=56. 答案 56 三、解答题11.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为33,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y =x +2相切. (1)求a 与b ;(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 1过F 2且与x 轴垂直,动直线l 2与y 轴垂直,l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型. 解 (1)由e =c a =1-b 2a 2=33,得b a =63.又由原点到直线y =x +2的距离等于椭圆短半轴的长,得b =2,则a = 3. (2)法一 由c =a 2-b 2=1,得F 1(-1,0),F 2(1,0). 设M (x ,y ),则P (1,y ).由|MF 1|=|MP |,得(x +1)2+y 2=(x -1)2,即y 2=-4x ,所以所求的M 的轨迹方程为y 2=-4x ,该曲线为抛物线.法二 因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上,所以|MF 1|=|MP |,即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离.此轨迹是以F 1(-1,0)为焦点,l 1:x =1为准线的抛物线,轨迹方程为y 2=-4x .12.已知抛物线C :y 2=4x ,过点A (-1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,设AP →=λAQ→. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ,求证:直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ; (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,12,求|PQ |的最大值.思维启迪:(1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ;(2)建立|PQ |和λ的关系,然后求最值.(1)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 1,-y 1). ∵AP →=λAQ →,∴x 1+1=λ(x 2+1),y 1=λy 2,∴y 21=λ2y 22,y 21=4x 1,y 22=4x 2,x 1=λ2x 2,∴λ2x 2+1=λ(x 2+1),λx 2(λ-1)=λ-1, ∵λ≠1,∴x 2=1λ,x 1=λ,又F (1,0), ∴MF →=(1-x 1,y 1)=(1-λ,λy 2) =λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ-1,y 2=λFQ →, ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)由(1)知x 2=1λ,x 1=λ, 得x 1x 2=1,y 21·y 22=16x 1x 2=16, ∵y 1y 2>0,∴y 1y 2=4, 则|PQ |2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=x 21+x 22+y 21+y 22-2(x 1x 2+y 1y 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫λ+1λ2+4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ+1λ-12 =⎝ ⎛⎭⎪⎫λ+1λ+22-16, λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,12,λ+1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52,103, 当λ+1λ=103,即λ=13时,|PQ |2有最大值1129,|PQ |的最大值为473.13.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F 为圆心,F A为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4 2,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|F A|=2 p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|F A|=2p.因为△ABD的面积为4 2,所以12|BD|·d=4 2,即12·2p·2p=4 2,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|F A|=12|AB|.所以∠ABD=30°,m的斜率为33或-33.当m的斜率为33时,由已知可设n:y=33x+b,代入x2=2py得x2-2 33px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=43p2+8pb=0,解得b=-p 6.因为m的纵截距b1=p2,|b1||b|=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.综上,坐标原点到m,n距离的比值为3.14.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.解(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).∵点P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k PB,则k PA=y1-2x1-1(x1≠1),k PB=y2-2x2-1(x2≠1),∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA=-k PB. 由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得y21=4x1,①y22=4x2,②∴y1-214y21-1=-y2-214y22-1,∴y1+2=-(y2+2).∴y1+y2=-4.由①-②得,y21-y22=4(x1-x2),∴k AB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=-1(x1≠x2).高考资源网( ) 您身边的高考专家高考资源网版权所有,侵权必究!(上海,甘肃,内蒙,新疆,陕西,山东,湖北)七地区试卷投稿QQ 2355394501。
2013新人教A版(选修2-1)《抛物线的简单几何性质》word教案
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学校: 临清一中 学科:数学 编写人:牛玉清 审稿人:张林抛物线的简单几何性质教学目的:1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节,它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到,也是大纲规定的必须掌握的内容,还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题,本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样,按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究,完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,一次项的变量如果为x (或y ),则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴,一次项的符号决定开口方向,由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题;第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程:一、复习引入: 1.抛物线定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线 2.抛物线的标准方程:相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41,即242p p = 不同点:(1)图形关于X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为px 2±、左端为2y ;图形关于Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右端为py 2±,左端为x(2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时,焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X 轴(或Y 轴)负向时,焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时,方程右端取负号二、讲解新课:抛物线的几何性质 1.范围因为p >0,由方程()022>=p px y 可知,这条抛物线上的点M 的坐标(x ,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y 轴的右侧;当x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性以-y 代y ,方程()022>=p px y 不变,所以这条抛物线关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程()022>=p px y 中,当y=0时,x=0,因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点.4.离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线的定义可知,e=1.抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异,当抛物线上的点趋向于无穷远时,抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率,也就是说接近于和对称轴所在直线平行,而双曲线上的点趋向于无穷远时,它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附:抛物线不存在渐近线的证明.(反证法)假设抛物线y 2=2px 存在渐近线y =mx +n ,A (x ,y )为抛物线上一点,A 0(x ,y 1)为渐近线上与A横坐标相同的点如图,则有px y 2±=和y 1=mx +n . ∴ px n mx y y 21+=-xpx n m x 2 +⋅= 当m ≠0时,若x →+∞,则+∞→-y y 1 当m =0时,px n y y 21=-,当x →+∞,则+∞→-y y 1这与y =mx +n 是抛物线y 2=2px 的渐近线矛盾,所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例:例1 已知抛物线关于x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点)22,2(-M ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数p .解:由题意,可设抛物线方程为px y 22=,因为它过点)22,2(-M , 所以 22)22(2⋅=-p ,即 2=p 因此,所求的抛物线方程为x y 42=.将已知方程变形为x y 2±=,根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标,得描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛物线没有渐近线.例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm ,灯深为40cm ,求抛物线的标准方程和焦点位置.分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出p 值.解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x 轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程是px y 22= (p >0).由已知条件可得点A 的坐标是(40,30),代入方程,得402302⨯=p , 即 445=p 所求的抛物线标准方程为x y 2452=. 例3 过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ,交这抛物线于A 、B 两点,求证:以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切.分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.证明:如图.设AB 的中点为E ,过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ,EH ,BC ,垂足为D 、H 、C ,则|AF |=|AD |,|BF |=|BC |∴|AB |=|AF |+|BF |=|AD |+|BC |=2|EH |所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径,且EH ⊥l ,因而圆E 和准线l 相切. 四、课堂练习:1.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ,()22,y x B 两点,如果621=+x x ,那么||AB =( B )(A )10 (B )8 (C )6 (D )42.已知M 为抛物线x y 42=上一动点,F 为抛物线的焦点,定点()1,3P ,则||||MF MP +的最小值为( B )(A )3 (B )4 (C )5 (D )63.过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ,则qp 11+=( C ) (A )a 2 (B )a 21 (C )a 4 (D )a4 4.过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点,则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案:()122-=x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动,求AB 中点M 到y 轴距离的最小值,并求出此时AB 中点M 的坐标(答案:⎪⎪⎭⎫⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45) 五、小结 :抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业:1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图.(1)顶点在原点,对称轴是x 轴,顶点到焦点的距离等于8. (2)顶点在原点,焦点在y 轴上,且过P (4,2)点.(3)顶点在原点,焦点在y 轴上,其上点P (m ,-3)到焦点距离为5.2.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在准线上的射影是A 2,B 2,则∠A 2FB 2等于3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y 轴垂直的弦长为16,求抛物线方程.4.以椭圆1522=+y x 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆在准线所得的弦长.5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶4米时,水面宽40米,当水面下降1米时,水面宽是多少米? 习题答案:1.(1)y 2=±32x (2)x 2=8y (3)x 2=-8y 2.90°3.x 2=±16 y 4.5420米5.5七、板书设计(略)八、课后记:。
人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练50抛物线
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课时规范练50抛物线基础巩固组1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M 到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2B.2√2C.2√3D.43.(2019内蒙古呼和浩特模仿,7)已知抛物线x2=y的焦点为F,M,N是抛物线上两点,若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x 轴的距离为( )A.32B.34C.58D.544.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2,则|PQ|=( )A.92B.4 C.72D.35.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为()A.2√2B.√6C.2D.√36.(2019河南焦作三模,8)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:+y2=4,l与圆C交于A,B,圆C与E交于M,N.若A,B,M,N 为同一个矩形的四个极点,则E的方程为( )A.y2=xB.y2=√3xC.y2=2xD.y2=2√3x7.(2019江西吉安质检,8)已知直线l:x-y-=0过抛物线C:y2=2px 的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是( )A.抛物线的方程为y2=4xB.线段AB的长度为163C.∠MFN=90°D.线段AB的中点到y轴的距离为838.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B 两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足分别是D,C,则四边形ABCD的周长为.10.(2019广东一模,16)已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,为半径的圆,直线2x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则= .综合提升组11.(2019贵州贵阳模仿,9)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0为d2,则d1+d2的最小值为( )A.3B.4C.√D.√712.(2019河南洛阳联考(四),8)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC 恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为( )A.116B.3 C.113D.613.(2019河南南阳模仿,14)设抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点,过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|=,则直线l的方程为.14.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,20)设抛物线的极点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2019山西湛江一模,8)已知直线l:4x-3y+6=0和抛物线C:y2=4x,P为C上的一点,且P到直线l的距离与P到C的核心间隔相称,那么这样的点P有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个16.(2019河南安阳模仿,21)已知直线l的方程为y=-x-2,点P是抛物线C:x2=4y上到直线l间隔最小的点.(1)求点P的坐标;(2)若直线m与抛物线C交于A,B两点,△ABP的重心恰好为抛物线C的焦点F.求△ABP的面积.参考答案课时规范练50抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是|a|2=4,故选C.2.C利用|PF|=x P+√2=4√2,可得x P=3√2.∴y P=±2√6.∴S△POF=12|OF|·|y P|=2√3.故选C.3.C 抛物线x2=y的焦点为,准线为y=-,过M,N分别作准线的垂线,则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=,所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34,所以中点P到x轴的距离为|PP'|-18=34−18=58.故选C.4.A 记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=故选A.5.B由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0=y1+y22=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=1,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=√4+4m2=√6,故选B.6.C如图,圆C:(x-p2)2+y2=4的圆心C(p2,0)是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.∵圆C:+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同一个矩形的四个极点,∴点A,N关于直线x=p2对称,即x N+x A=p2×2=p,∴x N=32p,∴|NA|=32p-(-p2)=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.7.D直线l:√3x-y-√3=0经过点F(1,0),可得p=2,即抛物线C :y 2=4x ,准线方程为x=-1,联立直线√3x-y-√3=0和抛物线C :y 2=4x ,可得3x 2-10x+3=0,可得A (3,2√3),B (13,-2√33),即有|AB|=√(3-13)2+(2√3+2√33)2=163,由M (-1,2√3),N (-1,-2√33),F (1,0),可得k NF ·k MF =2√332·2√3-2=-1, 则MF ⊥NF ,即∠MFN=90°,线段AB 的中点为53,2√33,则线段AB 的中点到y 轴的距离为53.综上可得A,B,C 正确,D 错误.故选D .8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值.当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.18+4 由题知,F(1,0),准线l 的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin π4=8×√22=4√2,所以四边形ABCD 的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4√2=18+4√2.10.215 {x 2=2py ,2√3x -6y +3p =0⇒12y 2-20py+3p 2=0.因为直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,所以y P =p6,y S =32p.由直线2√3x-6y+3p=0过抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点F ,所以|RS|=|SF|-p 4=y S +p 2−p 4=y S +p 4,|PQ|=|PF|-p 4=y P +p 2−p 4=y P +p 4,|RS ||PQ |=|SF |-p 4|PF |-p 4=3p 2+p 4p 6+p 4=74512=215.11.A 抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离,所以过焦点F 作直线4x-3y+11=0的垂线,则该点到直线的距离为d 1+d 2最小值,如图所示;由F (1,0),直线4x-3y+11=0,所以d 1+d 2=√4+3=3,故选A .12.A 圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0可化为(x-6)2+y 2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BC⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).将B 点坐标代入抛物线方程得25=12p ,故p=2512,抛物线方程为y 2=256x. 联立{y 2=256x ,x 2+y 2-12x +11=0,消去y 得x 2-476x+11=0, 解得x=116或x=6(舍去), 故A 点横坐标为116.故选A .13.√2x-y-√2=0 ∵抛物线方程为y 2=4x ,∴抛物线焦点为F (1,0),准线为l :x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),∵P在第一象限,∴直线AB的斜率k>0,设直线AB方程为y=k(x-1),代入抛物线方程消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1+x2=2k 2+4k2,x1x2=1,∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,设P点的坐标为(x0,y0),可得y0=12(y1+y2),∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=k·2k 2+4k2-2k=4k,得到y0=2k,∴x0=1k2,可得P1k2,2k.∵|PF|=32,∴√(1-1k2)2+4k2=32,解得k2=2,所以k=√2,直线方程为y=√2(x-1),即√2x-y-√2=0.14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0).∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F, ∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由{y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则{x1+x2=4k, x1·x2=-24.由x 2=4y ,得y=x 24,∴y'=x2. 抛物线在点P (x 1,x 124)处的切线方程为y-x 124=x 12(x-x 1),令y=-1,得x=x 12-42x 1,可得点R (x 12-42x 1,-1), 由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR , ∴x 224-1x 2=-1-1x 12-42x 1, 即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,整理得(x 1x 2)2-4[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+16+16x 1x 2=0, ∴(-24)2-4[(4k )2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0, 解得k 2=14,即k=±12,∴所求直线m 的方程为y=12x+6或y=-12x+6. 15.C 由题P 为C 上的一点,设P (y 24,y),P 到直线l :4x-3y+6=0的距离d 1=2√3+4.又因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离与到准线的间隔相称,所以P 到C 的焦点距离d 2=y 24+1,则2√3+4=y 24+1. ①当2√3+4=y 24+1, 即y2+12y-4=0时,Δ>0,方程有两个不相称的实数根,即P 点有两个;②当2√3+4=y 24+1, 即9y2-12y+44=0时,Δ<0,方程无实根,所以P 点不存在.综上,点P 有2个,故选C .1116.解 (1)设点P 的坐标为(x0,y0),则=4y0,所以,点P 到直线l 的距离d=,当且仅当x0=-2时取得最小值,此时P 点坐标为(-2,1).(2)抛物线C 的焦点F 的坐标为(0,1),设线段AB 的中点为Q (x 0,y 0),由三角形重心的性质知PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .又P (-2,1),所以(2,0)=2(x 0,y 0-1),解得x 0=1,y 0=1,即Q 的坐标为(1,1),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2,且x 12=4y 1,x 22=4y 2,以上两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)=4(y 1-y 2),所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=12,故直线m 的方程为y-1=12(x-1),经检验,符合题意,即直线m 的方程为y=12x+12,联立抛物线C :x 2=4y 得x 2-2x-2=0,所以|AB|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=15,且点P 到直线m 的距离为√5=√5,所以△ABP 的面积为S=12×√15×√5=32√3.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(50)抛物线B
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课时作业(五十)B [第50讲 抛物线][时间:35分钟 分值:80分]基础热身1.若点P (x ,y )到点F (0,2)的距离比它到直线y +4=0的距离小2,则P (x ,y )的轨迹方程为( )A .y 2=8xB .y 2=-8xC .x 2=8yD .x 2=-8y2.抛物线x 2=(2a -1)y 的准线方程是y =1,则实数a =( )A.52B.32 C .-12 D .-323.已知抛物线y 2=4x ,若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ,B 两点,O是坐标原点,则△OAB 的面积是( )A .1B .2C .4D .64.对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ,点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |,则a 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .(-∞,2]C .[0,2]D .(0,2)能力提升5.已知A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两点,O 是原点,若|OA |=|OB |,且△AOB 的垂心恰好是抛物线的焦点,则直线AB 的方程是( )A .x =pB .x =3pC .x =32pD .x =52p 6.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)均在抛物线上,且2x 2=x 1+x 3,则有( )A .|FP 1|+|FP 2|=|FP 3|B .|FP 1|2+|FP 2|2=|FP 3|2C .2|FP 2|=|FP 1|+|FP 3|D .|FP 2|2=|FP 1|·|FP 3|7.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B .3 C. 5 D.928. 若抛物线y 2=4x 的焦点是F ,准线是l ,点M (4,4)是抛物线上一点,则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有( )A .0个B .1个C .2个D .4个9.已知抛物线C 的顶点坐标为原点,焦点在x 轴上,直线y =x 与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为________.10. 已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ,与C 的一个交点为B .若AM →=MB →,则p =________.11. 已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF →=3FB →,则弦AB 的中点P 到准线的距离为________.12.(13分) 在平面直角坐标系xOy 中,设点F ⎝⎛⎭⎫12,0,直线l :x =-12,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ;(2)设圆M 过A (1,0),且圆心M 在曲线C 上,TS 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时,弦长|TS |是否为定值?请说明理由.难点突破13.(12分) 已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程;(2)是否存在正数m ,对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有F A →·FB →<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.课时作业(五十)B【基础热身】1.C [解析] 点P (x ,y )到点F (0,2)的距离比它到直线y +4=0的距离小2,说明点P (x ,y )到点F (0,2)的距离与到直线y +2=0即y =-2的距离相等,轨迹为抛物线,其中p =4,故所求的抛物线方程为x 2=8y .2.D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2=-2⎝⎛⎭⎫12-a y ,则焦参数p =12-a ,故抛物线的准线方程是y =p 2=12-a 2,则12-a 2=1,解得a =-32. 3.B [解析] 焦点坐标是(1,0),A (1,2),B (1,-2),|AB |=4,故△OAB 的面积S =12|AB ||OF |=12×4×1=2. 4.B [解析] 设点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 204,y 0,由|PQ |≥|a |,得y 20+⎝⎛⎭⎫y 204-a 2≥a 2,整理,得y 20(y 20+16-8a )≥0,∵y 20≥0,∴y 20+16-8a ≥0,即a ≤2+y 208恒成立.而2+y 208的最小值为2,所以a ≤2.【能力提升】5.D [解析] A (x 0,y 0),则B (x 0,-y 0),由于焦点F p 2,0是抛物线的垂心,所以OA ⊥BF .由此得y 0x 0×-y 0x 0-p 2=-1,把y 20=2px 0代入得x 0=5p 2,故直线AB 的方程是x =52p . 6.C [解析] 由抛物线定义,2⎝⎛⎭⎫x 2+p 2=⎝⎛⎭⎫x 1+p 2+⎝⎛⎭⎫x 3+p 2,即2|FP 2|=|FP 1|+|FP 3|. 7.A [解析] 依题设P 在抛物线准线的投影为P ′,抛物线的焦点为F ,则F ⎝⎛⎭⎫12,0.依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP ′|=|PF |,则点P 到点A (0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d =|PF |+|P A |≥|AF |=⎝⎛⎭⎫122+22=172. 8.C [解析] 满足条件的圆的圆心C 到F 的距离到准线l 的距离相等,故圆心C 一定在抛物线上,又需满足|CM |=|CF |,故点C 在线段MF 的垂直平分线l ′上,而l ′与抛物线有两个交点C 1,C 2,则分别以C 1,C 2为圆心,|C 1F |,|C 2F |为半径的两个圆都符合要求.9.y 2=4x [解析] 设抛物线方程为y 2=kx ,与y =x 联立方程组,消去y ,得:x 2-kx =0,x 1+x 2=k =2×2=4,故y 2=4x .10.2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ,∵AM →=MB →,∴M 为AB 中点,∴|BM |=12|AB |.又斜率为3,∠BAE =30°,∴|BE |=12|AB |,∴|BM |=|BE |, ∴M 为抛物线的焦点,∴p =2.11.83[解析] 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则|AF |=x A +1,|BF |=x B +1,∴x A +1=3(x B +1).①由几何关系,x A -1=3(1-x B ).②联立①②,得x A =3,x B =13,∴所求距离d =x A +x B2+1=83. 12.[解答] (1)依题意知,点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线.∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离.点Q 在线段FP 的垂直平分线上,∴|PQ |=|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:y 2=2x (x >0).(2)弦长|TS |为定值.理由如下:取曲线C 上点M (x 0,y 0),M 到y 轴的距离为d =|x 0|=x 0, 圆的半径r =|MA |=(x 0-1)2+y 20,则|TS |=2r 2-d 2=2y 20-2x 0+1,因为点M 在曲线C 上,所以x 0=y 202, 所以|TS |=2y 20-y 20+1=2,是定值.【难点突破】13.[解答] (1)设P (x ,y )是曲线C 上任意一点,那么点P (x ,y )满足(x -1)2+y 2-x =1(x >0).化简得y 2=4x (x >0).(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).设l 的方程为x =ty +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +m ,y 2=4x ,得y 2-4ty -4m =0,Δ=16(t 2+m )>0, 于是⎩⎪⎨⎪⎧ y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4m .① 又F A →=(x 1-1,y 1),FB →=(x 2-1,y 2),F A →·FB →<0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2<0.② 又x =y 24,于是不等式②等价于y 214·y 224+y 1y 2-⎝⎛⎭⎫y 214+y 224+1<0, ⇔(y 1y 2)216+y 1y 2-14[(y 1+y 2)2-2y 1y 2]+1<0.③ 由①式,不等式③等价于m 2-6m +1<4t 2.④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2-6m +1<0,即3-22<m <3+2 2.由此可知,存在正数m ,对于过点M (m,0),且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有F A →·FB →<0,且m 的取值范围是(3-22,3+22).。
最新届人教A版理科数学课时试题及解析(50)抛物线A
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课时作业(五十)A [第50讲 抛物线][时间:35分钟 分值:80分]基础热身1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )A .(2,0)B .(-2,0)C .(4,0)D .(-4,0)2.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A .y 2=±4xB .y 2=±8xC .y 2=4xD .y 2=8x3.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A .2B .3C.115D.37164.点A ,B 在抛物线x 2=2py (p >0)上,若A ,B 的中点是(x 0,y 0),当直线AB 的斜率存在时,其斜率为( )A.2p y 0B.p y 0C.p x 0D.x 0p能力提升5. 以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A .x 2+y 2+2x =0B .x 2+y 2+x =0C .x 2+y 2-x =0D .x 2+y 2-2x =06. 已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A .x =1B .x =-1C .x =2D .x =-27. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为( ) A.12B .1C .2D .4 8. 已知点M 是抛物线y =14x 2上一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆C :(x -1)2+(y -4)2=1上,则|MA |+|MF |的最小值为( )A .2B .3C .4D .59. 已知抛物线y =ax 2的准线方程为y =1,则a 的值为________.10. 设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段F A 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为________.11.给定抛物线C :y 2=4x ,过点A (-1,0),斜率为k 的直线与C 相交于M ,N 两点,若线段MN 的中点在直线x =3上,则k =________.12.(13分) 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过点M (4,0).(1)若点F 到直线l 的距离为3,求直线l 的斜率;(2)设A ,B 为抛物线上两点,且直线AB 不与x 轴垂直,若线段AB 的垂直平分线恰好过点M ,求证:线段AB 中点的横坐标为定值.难点突破13.(12分) 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过F 的直线交y 轴正半轴于点P ,交抛物线于A ,B 两点,其中点A 在第一象限.(1)求证:以线段F A 为直径的圆与y 轴相切;(2)若F A →=λ1AP →,BF →=λ2F A →,λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14,12,求λ2的取值范围.课时作业(五十)A【基础热身】1.B [解析] 由y 2=-8x ,易知焦点坐标是(-2,0).2.B [解析] 抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4,0,则直线l 的方程为y =2⎝⎛⎭⎫x -a 4,它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0,-a 2,所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2=4,解得a =±8.所以抛物线方程为y 2=±8x .3.A [解析] 设动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和为d ,直线l 2:x =-1为抛物线y 2=4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离,故本题转化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小,最小值为F (1,0)到直线l 1:4x -3y +6=0的距离,即d min =|4-0+6|5=2.4.D [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1=2py 1,x 22=2py 2,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)=2p (y 1-y 2),即k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 22p =x 0p . 【能力提升】5.D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心.又知该圆过原点,所以圆的半径为r =1,故所求圆的方程为(x -1)2+y 2=1,即x 2-2x +y 2=0.6.B [解析] 抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y =x -p 2,即x =y +p 2, 将其代入y 2=2px ,得y 2-2py -p 2=0,所以y 1+y 22=p =2,所以抛物线方程为y 2=4x , 准线方程为x =-1.7.C [解析] 方法1:∵抛物线的准线方程为x =-p 2,圆的标准方程为(x -3)2+y 2=16. ∴3-⎝⎛⎭⎫-p 2=4,∴p =2. 方法2:作图可知,抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切于点(-1,0),所以-p 2=-1,解得p =2. 8.C [解析] 由题意可知,焦点坐标为F (0,1),准线方程为l :y =-1.过点M 作MH ⊥l 于点H ,由抛物线的定义,得|MF |=|MH |.∴|MA |+|MF |=|MH |+|MA |,当C 、M 、H 、A 四点共线时,|MA |=|MC |-1,|MH |+|MC |有最小值,于是,|MA |+|MF |的最小值为4-(-1)-1=4.故选C.9.-14 [解析] 抛物线方程为x 2=1a y ,故其准线方程是y =-14a =1,解得a =-14. 10.324[解析] 设抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,由B 为线段F A 的中点,所以B ⎝⎛⎭⎫p 4,1,代入抛物线方程得p =2,则B 到该抛物线准线的距离为p 4+p 2=3p 4=324.11.±22[解析] 过点A (-1,0),斜率为k 的直线为y =k (x +1),与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),有x 1+x 1=4-2k 2k2,x 1x 2=1. 因为线段MN 的中点在直线x =3上,所以x 1+x 2=6,即4-2k 2k 2=6,解得k =±22. 而此时k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0的判别式大于零,所以k =±22. 12.[解答] (1)由已知,x =4不合题意.设直线l 的方程为y =k (x -4).由已知,抛物线C 的焦点坐标为(1,0),因为点F 到直线l 的距离为3,所以|3k |1+k 2=3, 解得k =±22,所以直线l 的斜率为±22. (2)证明:设线段AB 中点的坐标为N (x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线MN 的斜率为y 0x 0-4,因为AB 不垂直于x 轴,所以直线AB 的斜率为4-x 0y 0, 直线AB 的方程为y -y 0=4-x 0y 0(x -x 0), 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y -y 0=4-x 0y 0(x -x 0),y 2=4x ,消去x ,得⎝⎛⎭⎫1-x 04y 2-y 0y +y 20+x 0(x 0-4)=0, 所以y 1+y 2=4y 04-x 0, 因为N 为AB 中点,所以y 1+y 22=y 0,即2y 04-x 0=y 0, 所以x 0=2,即线段AB 中点的横坐标为定值2.【难点突破】13.[解答] (1)证明:由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,设A (x 1,y 1),则y 21=2px 1,圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2x 1+p 4,y 12,圆心到y 轴的距离为2x 1+p 4, 圆的半径为|F A |2=12×⎪⎪⎪⎪x 1-⎝⎛⎭⎫-p 2=2x 1+p 4, 所以,以线段F A 为直径的圆与y 轴相切.(2)解法一:设P (0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由F A →=λ1AP →,BF →=λ2F A →,得⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1=λ1(-x 1,y 0-y 1), ⎝⎛⎭⎫p 2-x 2,-y 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1, 所以x 1-p 2=-λ1x 1,y 1=λ1(y 0-y 1), p 2-x 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 2=-λ2y 1, 由y 2=-λ2y 1,得y 22=λ22y 21.又y 21=2px 1,y 22=2px 2,所以x 2=λ22x 1.代入p 2-x 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,得p 2-λ22x 1=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,p 2(1+λ2)=x 1λ2(1+λ2), 整理得x 1=p 2λ2, 代入x 1-p 2=-λ1x 1,得p 2λ2-p 2=-λ1p 2λ2, 所以1λ2=1-λ1λ2, 因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14,12,所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43,2. 解法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB :x =my +p 2, 将x =my +p 2代入y 2=2px ,得y 2-2pmy -p 2=0, 所以y 1y 2=-p 2(*).由F A →=λ1AP →,BF →=λ2F A →,得⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1=λ1(-x 1,y 0-y 1), ⎝⎛⎭⎫p 2-x 2,-y 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1, 所以x 1-p 2=-λ1x 1,y 1=λ1(y 0-y 1), p 2-x 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 2=-λ2y 1, 将y 2=-λ2y 1代入(*)式,得y 21=p 2λ2, 所以2px 1=p 2λ2,x 1=p 2λ2. 代入x 1-p 2=-λ1x 1,得1λ2=1-λ1λ2, 因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14,12,所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43,2.。
人教A版理科数学课时试题及解析(50)抛物线B
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高考数学 课时作业(五十)B [第50讲 抛物线][时间:35分钟 分值:80分]基础热身1.若点P (x ,y )到点F (0,2)的距离比它到直线y +4=0的距离小2,则P (x ,y )的轨迹方程为( )A .y 2=8xB .y 2=-8xC .x 2=8yD .x 2=-8y2.抛物线x 2=(2a -1)y 的准线方程是y =1,则实数a =( )A.52B.32 C .-12 D .-323.已知抛物线y 2=4x ,若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ,B 两点,O是坐标原点,则△OAB 的面积是( )A .1B .2C .4D .64.对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ,点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |,则a 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .(-∞,2]C .[0,2]D .(0,2)能力提升5.已知A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两点,O 是原点,若|OA |=|OB |,且△AOB 的垂心恰好是抛物线的焦点,则直线AB 的方程是( )A .x =pB .x =3pC .x =32pD .x =52p 6.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)均在抛物线上,且2x 2=x 1+x 3,则有( )A .|FP 1|+|FP 2|=|FP 3|B .|FP 1|2+|FP 2|2=|FP 3|2C .2|FP 2|=|FP 1|+|FP 3|D .|FP 2|2=|FP 1|·|FP 3|7.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B .3 C. 5 D.928. 若抛物线y 2=4x 的焦点是F ,准线是l ,点M (4,4)是抛物线上一点,则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有( )A .0个B .1个C .2个D .4个9.已知抛物线C 的顶点坐标为原点,焦点在x 轴上,直线y =x 与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为________.10. 已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ,与C 的一个交点为B .若AM →=MB →,则p =________.11. 已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF →=3FB →,则弦AB 的中点P 到准线的距离为________.12.(13分) 在平面直角坐标系xOy 中,设点F ⎝⎛⎭⎫12,0,直线l :x =-12,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ;(2)设圆M 过A (1,0),且圆心M 在曲线C 上,TS 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时,弦长|TS |是否为定值?请说明理由.难点突破13.(12分) 已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程;(2)是否存在正数m ,对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有F A →·FB →<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.课时作业(五十)B【基础热身】1.C [解析] 点P (x ,y )到点F (0,2)的距离比它到直线y +4=0的距离小2,说明点P (x ,y )到点F (0,2)的距离与到直线y +2=0即y =-2的距离相等,轨迹为抛物线,其中p =4,故所求的抛物线方程为x 2=8y .2.D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2=-2⎝⎛⎭⎫12-a y ,则焦参数p =12-a ,故抛物线的准线方程是y =p 2=12-a 2,则12-a 2=1,解得a =-32. 3.B [解析] 焦点坐标是(1,0),A (1,2),B (1,-2),|AB |=4,故△OAB 的面积S =12|AB ||OF |=12×4×1=2. 4.B [解析] 设点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 204,y 0,由|PQ |≥|a |,得y 20+⎝⎛⎭⎫y 204-a 2≥a 2,整理,得y 20(y 20+16-8a )≥0,∵y 20≥0,∴y 20+16-8a ≥0,即a ≤2+y 208恒成立.而2+y 208的最小值为2,所以a ≤2.【能力提升】5.D [解析] A (x 0,y 0),则B (x 0,-y 0),由于焦点F p 2,0是抛物线的垂心,所以OA ⊥BF .由此得y 0x 0×-y 0x 0-p 2=-1,把y 20=2px 0代入得x 0=5p 2,故直线AB 的方程是x =52p . 6.C [解析] 由抛物线定义,2⎝⎛⎭⎫x 2+p 2=⎝⎛⎭⎫x 1+p 2+⎝⎛⎭⎫x 3+p 2,即2|FP 2|=|FP 1|+|FP 3|. 7.A [解析] 依题设P 在抛物线准线的投影为P ′,抛物线的焦点为F ,则F ⎝⎛⎭⎫12,0.依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP ′|=|PF |,则点P 到点A (0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d =|PF |+|P A |≥|AF |=⎝⎛⎭⎫122+22=172. 8.C [解析] 满足条件的圆的圆心C 到F 的距离到准线l 的距离相等,故圆心C 一定在抛物线上,又需满足|CM |=|CF |,故点C 在线段MF 的垂直平分线l ′上,而l ′与抛物线有两个交点C 1,C 2,则分别以C 1,C 2为圆心,|C 1F |,|C 2F |为半径的两个圆都符合要求.9.y 2=4x [解析] 设抛物线方程为y 2=kx ,与y =x 联立方程组,消去y ,得:x 2-kx =0,x 1+x 2=k =2×2=4,故y 2=4x .10.2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ,∵AM →=MB →,∴M 为AB 中点,∴|BM |=12|AB |.又斜率为3,∠BAE =30°,∴|BE |=12|AB |,∴|BM |=|BE |, ∴M 为抛物线的焦点,∴p =2.11.83[解析] 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则|AF |=x A +1,|BF |=x B +1,∴x A +1=3(x B +1).①由几何关系,x A -1=3(1-x B ).②联立①②,得x A =3,x B =13,∴所求距离d =x A +x B 2+1=83. 12.[解答] (1)依题意知,点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线.∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离.点Q 在线段FP 的垂直平分线上,∴|PQ |=|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:y 2=2x (x >0).(2)弦长|TS |为定值.理由如下:取曲线C 上点M (x 0,y 0),M 到y 轴的距离为d =|x 0|=x 0, 圆的半径r =|MA |=(x 0-1)2+y 20,则|TS |=2r 2-d 2=2y 20-2x 0+1,因为点M 在曲线C 上,所以x 0=y 202, 所以|TS |=2y 20-y 20+1=2,是定值.【难点突破】13.[解答] (1)设P (x ,y )是曲线C 上任意一点,那么点P (x ,y )满足(x -1)2+y 2-x =1(x >0).化简得y 2=4x (x >0).(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).设l 的方程为x =ty +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +m ,y 2=4x ,得y 2-4ty -4m =0,Δ=16(t 2+m )>0, 于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4m .① 又F A →=(x 1-1,y 1),FB →=(x 2-1,y 2),F A →·FB →<0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2<0.② 又x =y 24,于是不等式②等价于y 214·y 224+y 1y 2-⎝⎛⎭⎫y 214+y 224+1<0, ⇔(y 1y 2)216+y 1y 2-14[(y 1+y 2)2-2y 1y 2]+1<0.③ 由①式,不等式③等价于m 2-6m +1<4t 2.④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2-6m +1<0,即3-22<m <3+2 2.由此可知,存在正数m ,对于过点M (m,0),且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有F A →·FB →<0,且m 的取值范围是(3-22,3+22).。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(8)指数函数、对数函数、幂函数
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2013届人教A 版理科数学课时试题及解析(8)指数函数、对数函数、幂函数课时作业 (八) [第 8 讲 指数函数、对数函数、幂函数 ][时间: 45 分钟 分值: 100 分]基础热身1. 会合 A = {( x , y)|y = a} ,会合 B = {( x , y)|y = b x +1, b>0,b ≠ 1} ,若会合A ∩B 只有一个子集,则实数a 的取值范围是 ( )A . (-∞, 1)B . (-∞, 1]C .(1,+∞ )D . R2. 以下说法中,正确的选项是 ()x;③ y = ( 3)x是增函数;①任取 x ∈ R 都有 3x >2x ;②当 a>1 时,任取--x ∈R 都有 a x >a④y = 2|x|的最小值为 1;⑤在同一坐标系中, y = 2x 与 y =2 -x的图象对称于 y 轴.A .①②④B .④⑤C .②③④D .①⑤xa x3. 函数 y = |x| (0< a<1) 的图象的大概形状是()图 K8-14. 若函数 y =2|1-x|+ m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是 () A . m ≤- 1 B .- 1≤m < 0C .m ≥1D .0< m ≤ 1 能力提高5.log 3x , x>0, 则 f f1 = ( )已知函数 f(x)=2x, x ≤ 0,91 A . 4B.41C .- 4D .- 46. 在同向来角坐标系中,函数 y = g(x)的图象与 y = e x的图象对于直线 y = x 对称,而函数 y = f(x)的图象与 y =g(x) 的图象对于 y 轴对称,若 f(m)=- 1,则 m 的值为 ()1A .- eB .- e1 C .eD. e7.已知 f(x)是定义在 (-∞,+∞ ) 上的偶函数, 且在 (-∞,0]上是增函数, 设 a = f(log 47),b = f log 13 , c = f(0.2 -0.6 ),则 a , b ,c 的大小关系是 ()2 A . c<a<b B . c<b<aC .b<c<aD . a<b<cg(x) =a x+ b8.已知函数 f(x) =(x -a)(x -b)(此中 a>b)的图象如图K8 - 2 所示,则函数 的图象是 ( )图 K8-2图 K8-39.设 0< a <1,函数 f(x)= log a ( a 2x -2a x - 2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ()A . (-∞, 0)B . (0,+∞ )C .( -∞, log a 3)D .(log a 3,+∞ ) 10. 很难想象假如城市污水不经过办理我们的生活会变为什么样. 污水经过污水办理厂的“污水办理池”过滤一次,能过滤出有害物质的 34.若过滤 n 次后,流出的水中有害物质在本来的 1%以下,则 n 的最小值为 ________(参照数据 lg2 ≈0.301 0).11.a a ≤b , 1 对于随意实数 a , b ,定义运算 “ *如”下: a* b =则函数 f(x)= log (3xb a>b ,2- 2)*log 2x 的值域为 ________.12.若函数 f(x)= a x -x - a(a>0 且 a ≠ 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________.13.函数 y =lg(3 - 4x +x 2)的定义域为 M ,当 x ∈M 时,则 f(x)= 2x + 2- 3× 4x 的最大值为________.1-x14. (10 分) 已知函数 f(x)=- x +log 21+x .1 + f - 1 的值;(1)求 f 2 013 2 013(2)当 x ∈ (- a , a] ,此中 a ∈(0,1] , a 是常数,函数 f(x)能否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明原因.e x a 15. (13 分)设 a>0, f(x)= a +e x 是 R 上的偶函数 (此中 e ≈ 2.718 28). (1)求 a 的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞ )上是增函数.难点打破16.(12 分 )定义在R上的单一函数f(x)知足 f(3)= log 23,且对随意x,y∈R都有 f(x+ y)=f(x)+ f( y).(1)求证 f(x)为奇函数;(2)若 f(k·3x)+ f(3x- 9x- 2)<0 对随意 x∈R恒建立,务实数k 的取值范围.课时作业 ( 八)【基础热身】1. B [ 分析 ] ∵ y =b x+ 1>1,假如 A ∩ B 只有一个子集,则 A ∩ B = ?,∴ a ≤ 1. 2. B [ 分析 ] 利用指数函数的性质判断. 3. D [ 分析 ] x>0 时, y = a x ; x<0 时, y =- a x .即把函数 y = a x(0<a<1, x ≠ 0)的图象在x>0 时不变,在 x<0 时,沿 x 轴对称.|1-x|4. A [ 分析 ] ∵ |1-x|≥ 0,∴ 2 ≥1.∵ y = 2|1-x|+m ≥ 1+m ,∴要使函数 y = 2|1-x|+ m 的图象与 x 轴有公共点,则 1+m ≤ 0,即 m ≤- 1. 【能力提高】5.B [ 分析 ] 依据分段函数可得f 1=log 31=- 2,则 ff 1= f( -2) =2-2=1,所以 B 正确.99 9 4 6.B [ 分析 ] 由于点 (m ,- 1)在函数 y = f(x)的图象上, 点 (m ,-1)对于 y 轴对称的点 (-m ,- 1)必在函数 y = g(x)的图象上,点 (- m ,- 1)对于直线 y = x 对称的点 (- 1,- m) 必在 yx的图象上,所以- - 1 1 =e m = e ,∴ m =- .应选 B.e1 17.B [分析 ] log 23=- log 2 3=- log 49,b = f log 23 = f(- log 49)= f(log 49),log 47<log 49,0.2-0.6= 1 - 3= 53= 5 125> 5 32= 2>log 49.5 5 5又 f(x) 是定义在 (-∞, +∞ ) 上的偶函数, 且在 (-∞, 0]上是增函数, 故 f(x) 在(0,+∞ ) 上单一递减,∴ f(0.2 -0.61)<f log 23 <f(log 4 7),即 c<b<a ,选 B.8. A [ 分析 ] 由图形可知 b<-1,0<a<1,所以函数 g(x)= a x+ b 在定义域上单一递减,且与 x 轴负半轴订交,所以选 A.9. C [ 分析 ] f(x)<0? log a (a 2x -2a x - 2)<0? log a (a 2x -2a x- 2)<log a 1,由于 0<a<1,所以a 2x - 2a x -2>1 ,即 (a x )2-2a x + 1>4? (a x - 1)2>4? a x - 1>2 或 a x - 1<- 2,所以 a x >3 或 a x <-1(舍去 ),所以 x<log a 3,应选 C.10.4 [ 分析 ] 设原有的有害物质为 a ,则过滤 n 次后有害物质还有 1 n a ,令 1 n< 1%, 4 4则 n > 1 ,即 n ≥ 4,所以 n 的最小值为4.lg2111.(-∞,0] [分析 ] 在同向来角坐标系中画出函数y = log 2(3x - 2)和 y = log 2x 的图象,log 2 x 0<x ≤ 1 ,由图象可得 f(x)=1值域为 (-∞, 0].log 2 3x - 2 x>1 ,12.a>1 [ 分析 ] 设函数 y = a x (a>0 ,且 a ≠ 1)和函数 y =x + a ,则函数 f(x)= a x - x - a(a>0且 a ≠1)有两个零点,就是函数y = a x (a>0,且 a ≠ 1)与函数 y = x + a 有两个交点.由图象可 知,当 0<a<1 时,两函数只有一个交点,不切合;当 xa>1 时,由于函数 y = a ( a>1) 的图象过点(0,1) ,而直线 y = x + a 所过的点必定在点 (0,1)的上方,所以必定有两个交点.所以实数a 的取值范围是 a>1.25[ 分析 ] 由 3- 4x +x 2> 0,得 x >3 或 x < 1, 13.12∴ M = { x|x > 3 或 x < 1} .f(x)=- 3× (2x )2+ 2x +2=- 3 2x - 1 2+ 25.6 12∵ x > 3 或 x < 1,∴ 2x > 8 或 0< 2x < 2,∴当 2x = 1,即 x = log 21时, f(x)最大,最大值为 6 61-x14. [分析 ] (1) 由 1+x >0,得 (x + 1)(x - 1)<0 ,解得- 1<x<1.∴函数 f(x)的定义域为 (- 1,1).2512.又∵ f(- x)= x + log 21+ x = x -log 2 1-x=- f(x).1- x 1+x ∴函数 f(x)为奇函数,即 f(- x)+ f( x)= 0,1 - 1∴ f 2 013 +f 2 013 =0.1- x 2(2)存在最小值,任取 x 1、 x 2∈ (- 1,1)且设 x 1<x 2,则 f(x 2)- f(x 1)= (x 1 -x 2 )+ log 21+ x 2-1- x 1log 21+ x 1,易知 f(x 2)- f(x 1)<0,∴函数 f(x)为 (- 1,1)上的减函数, 又 x ∈ (- a , a]且 a ∈ (0,1] ,1- a .∴ f(x)min = f(a)=- a + log 21+ a e x + a x15. [解答 ] (1) 依题意,对全部 1 x x ,x ∈ R 有 f( x)= f(- x),即 a e = ae + ae1 x - 1所以 a - a e e x = 0 对全部 x ∈R 建立.由此获得 a - 1= 0,即 a 2= 1.a又由于 a>0,所以 a = 1. (2)证明:设 0<x 1<x 2,1 1f(x 1)- f(x 2)= ex 1- ex 2+ ex 1- ex 21= (ex 2- ex 1) ex 1+ x 2- 11- ex 2 +x 1= ex 1(ex 2-x 1-1) ·ex 2 +x 1 由 x 1>0, x 2>0, x 2- x 1>0 ,得 x 1+ x 2>0, ex 2- x 1- 1>0,1- ex 2+ x 1<0,∴ f(x 1)- f(x 2)<0 ,即 f(x)在 (0,+∞ )上是增函数.【难点打破】16. [解答 ] (1) 证明:由 f(x + y)= f(x)+ f(y), 令 x = y =0,得 f(0)= 0.令 y =- x ,得 f(0) =f(x)+ f(- x), 又 f(0) =0,则有 f(x)+ f( -x)= 0, 即 f(- x)=- f(x)对随意 x ∈ R 建立, 所以 f(x)是奇函数.(2)f(3) = log 23>0,即 f(3)> f(0) ,又 f(x)是 R 上的单一函数,所以 f(x)在 R 上是增函数.又由 (1)知 f(x)是奇函数.xx - xx x xxx - 3 x + 2,即 (3 x 2 x+ 2>0f(k ·3 )+ f(3 9 - 2)<0?f(k ·3 )<f(9 -3 +2)?k ·3 <9 ) - (1+ k)3 对随意 x ∈ R 恒建立.令 t = 3x >0 ,问题等价于 t 2- (1+ k)t +2>0 对随意 t>0 恒建立.令 g(t) =t 2- (1+ k)t + 2,其对称轴为 t =1+ k ,21+ k 当 t = 2 ≤ 0,即 k ≤- 1 时, g(0) = 2>0,切合题意;当 t =1+ k1+ k2 >0,即 k>- 1 时,则需知足 g2 >0,解得- 1< k<- 1+ 2 2.综上所述,当 k<-1+ 2 2时, f(k ·3x )+ f(3x - 9x- 2)<0 对随意 x ∈ R 恒建立. 此题还有更简捷的解法:分别系数由 k<3x+2x -1,令 u =3x+2x - 1, u 的最小值为 22- 1,33x2则要使对随意 x ∈R 不等式 k<3 +3x - 1 恒建立,只需使k<2 2- 1.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(52)曲线与方程
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课时作业(五十二) [第52讲 曲线与方程][时间:45分钟 分值:100分]基础热身1.与两圆x 2+y 2=1及x 2+y 2-8x +12=0都外切的圆的圆心在( ) A .一个椭圆上 B .双曲线的一支上 C .一条抛物线上 D .一个圆上2. 已知两定点A (1,1),B (-1,-1),动点P 满足P A →·PB →=x22,则点P 的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .拋物线3.已知点O (0,0),A (1,-2),动点P 满足|P A |=3|PO |,则P 点的轨迹方程是( ) A .8x 2+8y 2+2x -4y -5=0 B .8x 2+8y 2-2x -4y -5=0 C .8x 2+8y 2+2x +4y -5=0 D .8x 2+8y 2-2x +4y -5=04.已知A (0,7)、B (0,-7)、C (12,2),以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆,椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A .y 2-x 248=1(y ≤-1)B .y 2-x 248=1C .y 2-x 248=-1D .x 2-y248=1能力提升5. 设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ,B 两点,点Q与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若BP →=2P A →,且OQ →·AB →=1,则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2+3y 2=1(x >0,y >0) B.32x 2-3y 2=1(x >0,y >0) C .3x 2-32y 2=1(x >0,y >0)D .3x 2+32y 2=1(x >0,y >0)6.已知|AB →|=3,A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动,O 为原点,OP →=13OA →+23OB →,则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24+y 2=1 B .x 2+y 24=1 C ..x 29+y 2=1 D ..x 2+y 29=1 7.已知二面角α-l -β的平面角为θ,点P 在二面角内,P A ⊥α,PB ⊥β,A ,B 为垂足,且P A =4,PB =5,设A ,B 到棱l 的距离分别为x ,y ,当θ变化时,点(x ,y )的轨迹方程是( )A .x 2-y 2=9(x ≥0)B .x 2-y 2=9(x ≥0,y ≥0)C .y 2-x 2=9(y ≥0)D .y 2-x 2=9(x ≥0,y ≥0)8. 已知点M (-3,0),N (3,0),B (1,0),圆C 与直线MN 切于点B ,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ,则P 点的轨迹方程为( )A .x 2-y 28=1(x <-1)B .x 2-y 28=1(x >1)C .x 2+y 28=1(x >0)D .x 2-y210=1(x >1)9. 已知动点P 在直线x +2y -2=0上,动点Q 在直线x +2y +4=0上,线段PQ 中点M (x 0,y 0)满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03+2,y 0≤-x 0+2,则x 20+y 20的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤55,34 B.⎣⎡⎦⎤15,34 C.⎣⎡⎦⎤15,10 D .[10,34] 10.已知直线l :2x +4y +3=0,P 为l 上的动点,O 为坐标原点.若2OQ →=QP →,则点Q 的轨迹方程是________________.11.已知F 1、F 2为椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线,垂足为D ,则点D 的轨迹方程是________.12.设过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,且AB 中点为M ,则点M 的轨迹方程是________.13. 曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点;②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中,所有正确结论的序是________.14.(10分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0,-1),B 点在直线y =-3上,M 点满足MB →∥OA →,MA →·AB →=MB →·BA →,M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)P 为C 上的动点,l 为C 在P 点处的切线,求O 点到l 距离的最小值.15.(13分) 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,椭圆短半轴长为1,动点M (2,t )(t >0)在直线x =a 2c(a 为长半轴长,c 为半焦距)上.(1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM 为直径且被直线3x -4y -5=0截得的弦长为2的圆的方程;(3)设F 是椭圆的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值,并求出这个定值.难点突破16.(12分) 已知A、B分别是直线y=33x和y=-33x上的两个动点,线段AB的长为23,D是AB的中点.(1)求动点D的轨迹C的方程;(2)过点N(1,0)作与x轴不垂直的直线l,交曲线C于P、Q两点,若在线段ON上存在点M(m,0),使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形,试求m的取值范围.课时作业(五十二)【基础热身】1.B [解析] 圆x 2+y 2-8x +12=0的圆心为(4,0),半径为2,动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1,由此可知,动圆的圆心在双曲线的一支上.2.B [解析] 设点P (x ,y ),则P A →=(1-x,1-y ),PB →=(-1-x ,-1-y ),所以P A →·PB →=(1-x )(-1-x )+(1-y )(-1-y )=x 2+y 2-2.由已知x 2+y 2-2=x 22,即x 24+y 22=1,所以点P 的轨迹为椭圆.3.A [解析] 设P 点的坐标为(x ,y ),则(x -1)2+(y +2)2=3x 2+y 2, 整理,得8x 2+8y 2+2x -4y -5=0.4.A [解析] 由题意|AC |=13,|BC |=15,|AB |=14,又|AF |+|AC |=|BF |+|BC |, ∴|AF |-|BF |=|BC |-|AC |=2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点,实轴长为2的双曲线下支.又c =7,a =1,b 2=48,所以轨迹方程为y 2-x248=1(y ≤-1).【能力提升】5.A [解析] 设A (a,0),B (0,b ),a >0,b >0.由BP →=2P A →得(x ,y -b )=2(a -x ,-y ),即a =32x >0,b =3y >0.由题知点Q (-x ,y ),故由OQ →·AB →=1,得(-x ,y )·(-a ,b )=1,即ax+by =1.将a ,b 代入上式得,所求的轨迹方程为32x 2+3y 2=1(x >0,y >0).6.A [解析] 设A (0,a ),B (b,0),则由|AB →|=3得a 2+b 2=9.设P (x ,y ),由OP →=13OA →+23OB →得(x ,y )=13(0,a )+23(b,0),由此得b =32x ,a =3y ,代入a 2+b 2=9得9y 2+94x 2=9⇒x 24+y 2=1.7.B [解析] 实际上就是求x ,y 所满足的一个等式,设平面P AB 与二面角的棱的交点是C ,则AC =x ,BC =y ,在两个直角三角形Rt △P AC ,Rt △PBC 中其斜边相等,根据勾股定理即可得到x ,y 所满足的关系式.如图,x 2+42=y 2+52,即x 2-y 2=9(x ≥0,y ≥0).8.B [解析] 设直线PM 、PN 、D .由切线长定理知|AM |=|MB |,|PD |=|P A |,|DN |=|NB |,所以|PM |-|PN |=|P A |+|AM |-|PD |-|DN |=|MB |-|NB |=2<|MN |,由双曲线的定义知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点、实轴长为2的双曲线的右支(除去点B ).9.B [解析] x +2y +1=0,点M (x 0,y 0)就是直线x +2y +1=0位于区域⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03+2,y 0≤-x 0+2内的线段上,如图.根据几何意义,坐标原点到直线x +2y +1=0的距离是15,故最小值是15,根据图形在点A 处取得最大值,点A 的坐标是(5,-3),故最大值是34. 10.2x +4y +1=0 [解析] 设点Q 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标为(x 1,y 1).根据2OQ →=QP →得2(x ,y )=(x 1-x ,y 1-y ),即⎩⎪⎨⎪⎧x 1=3x ,y 1=3y .∵点P 在直线l 上,∴2x 1+4y 1+3=0,把x 1=3x ,y 1=3y 代入上式并化简,得2x +4y +1=0,为所求轨迹方程.11.x 2+y 2=4 [解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ,连接DO ,可知|DO |=12|F 2B |=2,∴动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=4.12.y 2=2(x -1) [解析] F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ),则x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,y 21=4x 1,y 22=4x 2,后两式相减并将前两式代入得(y 1-y 2)y =2(x 1-x 2),当x 1≠x 2时,y 1-y 2x 1-x 2×y =2.又A 、B 、M 、F 四点共线,y 1-y 2x 1-x 2=yx -1,代入得y 2=2(x -1),当x 1=x 2时,M (1,0)也适合这个方程,即y 2=2(x -1)是所求的轨迹方程.13.②③ [解析] ①曲线C 经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么a =1,与条件不符;②曲线C 关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处|PF 1||PF 2|=a 2,关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|=a 2;③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22,很显然S△F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|=a22.所以②③正确.14.[解答] (1)设M (x ,y ),由已知得B (x ,-3),A (0,-1).所以MA →=(-x ,-1-y ),MB →=(0,-3-y ),AB →=(x ,-2).再由题意可知(MA →+MB →)·AB →=0, 即(-x ,-4-2y )·(x ,-2)=0,所以曲线C 的方程为y =14x 2-2.(2)设P (x 0,y 0)为曲线C :y =14x 2-2上一点,因为y ′=12x ,所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y -y 0=12x 0(x -x 0),即x 0x -2y +2y 0-x 20=0.则O 点到l 的距离d =||2y 0-x 20x 20+4,又y 0=14x 20-2,所以d =12x 20+4x 20+4=12⎝⎛⎭⎪⎫x 20+4+4x 20+4≥2,当x 0=0时取等,所以O 点到l 距离的最小值为2.15.[解答] (1)由点M 在直线x =a 2c 上,得a 2c=2,又b =1,故1+c2c=2,∴c =1,从而a = 2.∴椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x -2)+y (y -t )=0,即(x -1)2+⎝⎛⎭⎫y -t 22=t24+1, 其圆心为⎝⎛⎭⎫1,t 2,半径r =t 24+1. 因为以OM 为直径的圆被直线3x -4y -5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x -4y -5=0的距离d =r 2-1=t2,所以|3-2t -5|5=t 2,解得t =4,所以所求圆的方程为(x -1)2+(y -2)2=5. (3)证法一:设OM ,FN 交于点K .由平面几何的性质知|ON |2=|OK ||OM |,直线OM :y =t 2x ,直线FN :y =-2t (x -1).由⎩⎨⎧y =t 2x ,y =-2t(x -1),得x K =4t 2+4.∴|ON |2=⎝⎛⎭⎫1+t 24x K ·⎝⎛⎭⎫1+t 24x M =⎝⎛⎭⎫1+t 24·4t 2+4·2=2,所以线段ON 的长为定值 2. 证法二:设N (x 0,y 0),则FN →=(x 0-1,y 0),OM →=(2,t ), MN →=(x 0-2,y 0-t ),ON →=(x 0,y 0), ∵FN →⊥OM →,∴2(x 0-1)+ty 0=0,∴2x 0+ty 0=2,又∵MN →⊥ON →,∴x 0(x 0-2)+y 0(y 0-t )=0, ∴x 20+y 20=2x 0+ty 0=2,所以,|ON →|=x 20+y 20=2为定值. 【难点突破】16.[解答] (1)设D (x ,y ),A ⎝⎛⎭⎫x 1,33x 1,B ⎝⎛⎭⎫x 2,-33x 2.因为D 是线段AB 的中点,所以x =x 1+x 22,y =33·x 1-x 22.因为|AB |=23,所以(x 1-x 2)2+⎝⎛⎭⎫33x 1+33x 22=12,所以(23y )2+⎝⎛⎭⎫33×2x 2=12,即x29+y 2=1. 故点D 的轨迹C 的方程为x 29+y 2=1.(2)设l :y =k (x -1)(k ≠0),代入椭圆方程x 29+y 2=1,得(1+9k 2)x 2-18k 2x +9k 2-9=0,所以x 1+x 2=18k 21+9k 2,所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k =-2k1+9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9k 21+9k 2,-k 1+9k 2. 因为以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形, 所以k MH ·k =-1.所以-k 1+9k 29k 21+9k 2-m ·k =-1,即m =8k 21+9k 2.因为k ≠0,所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上,所以0<m <1.综上,0<m <89.。
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故选C.
4.-18 [解析] 抛物线方程为 x =2 a,y 因为准线方程为 y=2,所以2=p 2,所以 p=4, 于是1a=-2p=-8,所以 a=-81.
【能力提升】
5.C [解析] 抛物线的焦点为(1,0),该点在直线 mx-y +n2-1=0(m>0,n>0)上,所以
有 2m+n=2,于是m1+n1=21m1+n1(2m+n)=21mn+2nm+3≥21(2 2+3).故选 C.
焦点坐标为-15,0,故选 D.
8.D [解析] 过 A、B 分别作准线的垂线 AA′、BD,垂足分别为 A′、D,则|BF|=|BD|. 又 2|BF|=|BC|,所以在 Rt△BCD 中,∠BCD=30°,又|AF|=3,所以|AA′|=3,所以|AC| =6,|FC|=3.
焦点 F 到准线的距离为 3sin30°=3×21=23,即 p=23, ∴抛物线方程为 y2=3x. 9.x2+y2=4 [解析] 抛物线的顶点在原点,焦点到准线的距离为 2,所以所求圆的方 程为 x2+y2=4.
(1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若
→= OC
O→A+λ
→ ,求 OB
λ
的值.
学海无 涯
【基础热身】
课时作业(五十二)B
1.B [解析] 两抛物线的焦点分别为2a,0,0,2a,距离为 2a2+2a2=1,解得
a= 2.故选B. 2.D[解析] 依题意,动点 P 到点 F(0,1)的距离等于到直线 y=-1 的距离,且点 F(0,1)
B.x2=-4y C
.y2=-12x D.x2=±12y
7.正数 a、b 的等差中项是29、一个等比中项是 2 5,且 a>b,则抛物线 y2 =-bax 的焦
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(52)抛物线A
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课时作业 (五十二 )A[第 52讲 抛物线 ][时间: 35 分钟分值: 80 分 ]基础热身1.抛物线 y =- 2x 2 的焦点坐标是 ()A. -1,0B . (- 1,0)211C. 0,- 4D. 0,- 82.抛物线 y 2= 8x 的焦点到双曲线x 2- y 2= 1 的渐近线的距离为 ()12433A .1 B. 3 C. 3 D. 63.边长为 1 的正三角形 AOB , O 为坐标原点, AB ⊥ x 轴,以 O 为极点且过 A 、 B 两点的抛物线方程是 ( )2 3 x 23 A . y = B . y =- 6 x6C .y 2= ± 3xD . y 2= ± 3x634.抛物线 y 2=- x 上的点到直线 3x + 4y -8= 0 的距离的最小值为 ________. 能力提高 5.已知点 M(1,0),直线 l :x =- 1,点 B 是 l 上的动点,过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BM 的垂直均分线交于点 P ,则点 P 的轨迹是 ( )A .抛物线B .椭圆C .双曲线的一支D .直线6. 已知点 A 的坐标为 (3,2),F 为抛物线 y 2= 2x 的焦点,若点P 在抛物线上挪动,当|PA|+ |PF|获得最小值时,则点 P 的坐标是 ( )A .(1, 2)B . (2,2)C .(2,- 2)D . (3, 6)2= 2x 上的一点,直线 MP 、 MQ 分别与抛物线交于 P 、Q7. 已知 M(a,2)是抛物线 y 两点,且直线 MP 、 MQ 的倾斜角之和为 π,则直线 PQ 的斜率为 ( )1 1 1 1A. 4B. 2 C .- 2 D .- 4→ →8.设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y 2= 4x 的焦点, A 为抛物线上一点,若 OA ·AF =- 4,则点 A 的坐标为 ( )A .(2, ±2 2)B . (1, ±2)C .(1,2)D . (2,2 2)9.若垂直于 x 轴的直线交抛物线 y 2= 4x 于点 A ,B ,且 AB =4 3,则直线 AB 的方程为____________.10.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分,灯口直径 60 cm ,灯深 40 cm ,则光源搁置地点为灯轴上距极点 ________处.11. 过抛物线 y 2=4x 焦点的直线 π 与抛物线订交于 A 、B 两点, Ol 的倾斜角为 ,且 l 为原点,那么△ AOB 的面积为 ________. 312. (13 分) 如图 K52 - 1,直线 l : y = x + b 与抛物线 C : x 2= 4y 相切于点 A. (1)务实数 b 的值;(2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.图 K52-1难点打破13. (12 分 ) 已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点P 到直线 x =- p- 1(p 是正常数 )2的距离为 d 1,到点 F p, 0 的距离为 d 2,且 d 1-d 2=1.2(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程;A 、B ,分别过 A 、 B 点作直线 l 1: x =-p的 (2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不一样两点2垂线,对应的垂足分别为→ →M 、 N ,求证: FM ·FN = 0.课时作业 (五十二 )A【基础热身】2=- 11,所以焦点坐标为11.D[ 分析 ] 抛物线的标准方程为 x0,- 8 .应选 D.2y ,p = 4x2y22. A [ 分析2= 8x 的焦点F(2,0)到双曲线3] 抛物线 y -= 1 的渐近线 y =±3x 的距12 4离 d = 1.应选 A.313. C [ 分析 ] 设 AB ⊥ x 轴于点D ,则 |OD|= 1·cos30 °= 2 , |AD|= 1·sin30 °= 2,所以A23,12 .由题意可设抛物线方程为 y2= 2px(p>0) ,将点 A 的坐标代入, 即可得 2p = 63.联合图形的对称性知应选 C.424.3[分析 ] 设抛物线上动点P(- y , y),则该点到直线 3x + 4y - 8= 0 的距离为 d =228| 3 y - 2 2+20|- 3y+ 4y - 8||3y - 4y +33 ≥ 4.5 =5 =53【能力提高】5.A [分析] 由点 P 在 BM 的垂直均分线上, 故 |PB|= |PM |.又 PB ⊥ l ,因此点 P 到直线l 的距离等于点 P 到点 M 的距离,所以点 P 的轨迹是抛物线.应选 A.6. B [分析 ]1的垂线,垂足为 Q ,则 |PF |= |PQ |,所以只 过 P 作抛物线准线 l :x =- 2需求 |PA|+ |PQ|的最小值.当 A 、 P 、 Q 三点共线时, |PA|+ |PQ|最小,此时 P 点纵坐标为 2, 代入抛物线方程得横坐标为 2,所以点 P 坐标为 (2,2).应选 B.7.C [分析 ] 易知 a = 2,设直线 MP 、MQ 的方程分别为 y =x - 2+ 2,y =- (x - 2)+ 2,分别代入抛物线方程,可得点P(0,0), Q(8,- 4),所以可求得直线PQ 斜率为-12.应选 C. 8. B [分析 ]→→设 A(x 0, y 0), F(1,0) ,OA = (x 0 ,y 0 ), AF = (1-x 0,- y 0) ,→ →2 2 2 2OA ·AF =x 0(1- x 0)- y 0=- 4.由于 y 0= 4x 0,所以 x 0- x 0- 4x 0+ 4= 0,即 x 0+ 3x 0- 4= 0,x 1= 1,x 2=- 4(舍 ).所以 x 0=1, y 0= ±2.应选 B.9.x = 3 [分析 ] 由题意知,点 A ,B 的纵坐标为 2 3和- 23,代入抛物线方程求得x=3,所以直线 AB 的方程为 x = 3.10.5.625 cm[分析]将抛物线放到直角坐标系中,使极点与原点重合,焦点在x 轴正245半轴上,则由题意可知点 (40,30)在抛物线上,代入 y = 2px 中,解得 p = 4 ,而光源放在焦点地点,距离极点1 45= 5.625 cm 处.42p =811.3 3[分析 ] 抛物线焦点为 F(1,0),直线 l 的的方程为 y = 3(x - 1),代入抛物线方22 6 1 程消去 x 得 3y - 4y - 4 3= 0,解得 y A =-3, y B = 3,所以△ AOB 的面积为 2|OF | |y ·B -y A |= 1× 8=4 3.233y = x + b ,得 x 2- 4x -4b = 0.(*)12. [解答 ] (1) 由 x 2=4y由于直线 l 与抛物线 C 相切,所以 = (- 4)2- 4×(-4b)= 0.解得 b =- 1.2(2)由 (1) 可知 b =- 1,故方程(*) 即为 x - 4x + 4= 0.解得 x =2,代入 x 2= 4y ,得 y =1,故点 A(2,1).由于圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y =- 1 的距离,即 r = |1- (- 1)|=2.所以圆 A 的方程为 (x - 2)2+ (y - 1)2= 4. 【难点打破】13. [解答 ] (1) 设动点为 P(x , y), 依照题意,有p+ 1- p 2 +y 2 =1,化简得 2x + 2 x - 2y = 2px. 所以,动点 P 所在曲线 C 的方程是: y 2= 2px.(2)由题意可知,当过点F 的直线 l 的斜率为0 时,不合题意,故可设直线 l : x = my + p,如下图.y 2= 2px ,2可化为 y 2- 2mpy -p 2=0,联立方程组p ,x = my + 2y 1+ y 2= 2mp , 则点 A(x 1, y 1)、 B( x 2, y 2)的坐标知足2y 1y 2=- p .又 AM ⊥l 1、 BN ⊥ l 1,可得点 M - p , y 1 、 N - p, y 2 .2 2→ →于是, FM = (- p , y 1), FN = (- p , y 2),→ →2所以 FM ·FN = (-p , y 1) ·(- p , y 2)= p + y 1y 2= 0.。
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课时作业(五十)A [第50讲 抛物线][时间:35分钟 分值:80分]基础热身1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( ) A .(2,0) B .(-2,0) C .(4,0) D .(-4,0)2.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A .y 2=±4xB .y 2=±8xC .y 2=4xD .y 2=8x3.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A .2B .3 C.115 D.37164.点A ,B 在抛物线x 2=2py (p >0)上,若A ,B 的中点是(x 0,y 0),当直线AB 的斜率存在时,其斜率为( )A.2p y 0B.p y 0C.p x 0D.x 0p 能力提升5. 以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A .x 2+y 2+2x =0 B .x 2+y 2+x =0 C .x 2+y 2-x =0 D .x 2+y 2-2x =06. 已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A .x =1B .x =-1C .x =2D .x =-27. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为( ) A.12B .1C .2D .4 8. 已知点M 是抛物线y =14x 2上一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆C :(x -1)2+(y -4)2=1上,则|MA |+|MF |的最小值为( )A .2B .3C .4D .59. 已知抛物线y =ax 2的准线方程为y =1,则a 的值为________.10. 设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段F A 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为________.11.给定抛物线C :y 2=4x ,过点A (-1,0),斜率为k 的直线与C 相交于M ,N 两点,若线段MN 的中点在直线x =3上,则k =________.12.(13分) 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过点M (4,0). (1)若点F 到直线l 的距离为3,求直线l 的斜率;(2)设A ,B 为抛物线上两点,且直线AB 不与x 轴垂直,若线段AB 的垂直平分线恰好过点M ,求证:线段AB 中点的横坐标为定值.难点突破13.(12分) 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过F 的直线交y 轴正半轴于点P ,交抛物线于A ,B 两点,其中点A 在第一象限.(1)求证:以线段F A 为直径的圆与y 轴相切;(2)若F A →=λ1AP →,BF →=λ2F A →,λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14,12,求λ2的取值范围.课时作业(五十)A【基础热身】1.B [解析] 由y 2=-8x ,易知焦点坐标是(-2,0).2.B [解析] 抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4,0,则直线l 的方程为y =2⎝⎛⎭⎫x -a 4,它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0,-a 2,所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2=4,解得a =±8.所以抛物线方程为y 2=±8x .3.A [解析] 设动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和为d ,直线l 2:x =-1为抛物线y 2=4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离,故本题转化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小,最小值为F (1,0)到直线l 1:4x -3y +6=0的距离,即d min =|4-0+6|5=2.4.D [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2211x 22=2py 2,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)=2p (y 1-y 2),即k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 22p =x 0p .【能力提升】5.D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心.又知该圆过原点,所以圆的半径为r =1,故所求圆的方程为(x -1)2+y 2=1,即x 2-2x +y 2=0.6.B [解析] 抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y =x -p 2,即x =y +p2,将其代入y 2=2px ,得y 2-2py -p 2=0,所以y 1+y 22=p =2,所以抛物线方程为y 2=4x ,准线方程为x =-1.7.C [解析] 方法1:∵抛物线的准线方程为x =-p2,圆的标准方程为(x -3)2+y 2=16.∴3-⎝⎛⎭⎫-p2=4,∴p =2. 方法2:作图可知,抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切于点(-1,0),所以-p2=-1,解得p =2.8.C [解析] 由题意可知,焦点坐标为F (0,1),准线方程为l :y =-1.过点M 作MH ⊥l 于点H ,由抛物线的定义,得|MF |=|MH |.∴|MA |+|MF |=|MH |+|MA |,当C 、M 、H 、A 四点共线时,|MA |=|MC |-1,|MH |+|MC |有最小值,于是,|MA |+|MF |的最小值为4-(-1)-1=4.故选C.9.-14 [解析] 抛物线方程为x 2=1a y ,故其准线方程是y =-14a =1,解得a =-14.10.324[解析] 设抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,由B 为线段F A 的中点,所以B ⎝⎛⎭⎫p 4,1,代入抛物线方程得p =2,则B 到该抛物线准线的距离为p 4+p 2=3p 4=324.11.±22[解析] 过点A (-1,0),斜率为k 的直线为y =k (x +1),与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),有x 1+x 1=4-2k 2k2,x 1x 2=1.因为线段MN 的中点在直线x =3上,所以x 1+x 2=6,即4-2k 2k 2=6,解得k =±22.而此时k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0的判别式大于零,所以k =±22.12.[解答] (1)由已知,x =4不合题意.设直线l 的方程为y =k (x -4).由已知,抛物线C 的焦点坐标为(1,0),因为点F 到直线l 的距离为3,所以|3k |1+k 2=3,解得k =±22,所以直线l 的斜率为±22.(2)证明:设线段AB 中点的坐标为N (x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线MN 的斜率为y 0x 0-4,因为AB 不垂直于x 轴,所以直线AB 的斜率为4-x 0y 0,直线AB 的方程为y -y 0=4-x 0y 0(x -x 0),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y -y 0=4-x 0y 0(x -x 0),y 2=4x ,消去x ,得⎝⎛⎭⎫1-x 04y 2-y 0y +y 20+x 0(x 0-4)=0, 所以y 1+y 2=4y 04-x 0,因为N 为AB 中点,所以y 1+y 22=y 0,即2y 04-x 0=y 0,所以x 0=2,即线段AB 中点的横坐标为定值2. 【难点突破】13.[解答] (1)证明:由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,设A (x 1,y 1), 则y 21=2px 1,圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2x 1+p 4,y 12,圆心到y 轴的距离为2x 1+p 4,圆的半径为|F A |2=12×⎪⎪⎪⎪x 1-⎝⎛⎭⎫-p 2=2x 1+p 4, 所以,以线段F A 为直径的圆与y 轴相切.(2)解法一:设P (0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由F A →=λ1AP →,BF →=λ2F A →,得 ⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1=λ1(-x 1,y 0-y 1),⎝⎛⎭⎫p 2-x 2,-y 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1,所以x 1-p2=-λ1x 1,y 1=λ1(y 0-y 1),p2-x 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 2=-λ2y 1, 由y 2=-λ2y 1,得y 22=λ22y 21.又y 21=2px 1,y 22=2px 2, 所以x 2=λ22x 1.代入p 2-x 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,得p 2-λ22x 1=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,p 2(1+λ2)=x 1λ2(1+λ2), 整理得x 1=p2λ2,代入x 1-p 2=-λ1x 1,得p 2λ2-p 2=-λ1p2λ2,所以1λ2=1-λ1λ2,因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14,12,所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43,2. 解法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB :x =my +p2,将x =my +p2代入y 2=2px ,得y 2-2pmy -p 2=0,所以y 1y 2=-p 2(*). 由F A →=λ1AP →,BF →=λ2F A →,得 ⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1=λ1(-x 1,y 0-y 1),⎝⎛⎭⎫p 2-x 2,-y 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 1,所以x 1-p2=-λ1x 1,y 1=λ1(y 0-y 1),p2-x 2=λ2⎝⎛⎭⎫x 1-p 2,y 2=-λ2y 1, 将y 2=-λ2y 1代入(*)式,得y 21=p 2λ2,所以2px 1=p 2λ2,x 1=p2λ2.代入x 1-p 2=-λ1x 1,得1λ2=1-λ1λ2,因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14,12,所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43,2.。