【精品】2018年山西省大同市九年级上学期期中数学试卷带解析答案

2017-2018学年山西省大同市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该涂黑．1．（3分）一元二次方程x2=3x的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=﹣3 D．x1=0，x2=32．（3分）随着近年来电子商务的不断发展，电脑安全防护越来越重要，下列是杀毒软件的四个logo，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）4．（3分）在求解一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑软件绘制了二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，得出结果．该同学采用的方法体现的数学思想是（）A．类比思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想5．（3分）将y=﹣x2的图象通过（）的变换，可得到y=﹣x2+2x﹣2的图象．A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位6．（3分）如果一个图形绕着某点O旋转角α后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称，那么正五边形关于中心有（）°的旋转对称．A．60 B．72 C．108 D．1207．（3分）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36°，则∠OBC的度数为（）A．18°B．36°C．54°D．60°8．（3分）二次函数y=（x﹣2）2+m的图象如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B（4，3），则满足kx+b≥（x﹣2）2+m 的x的取值范围是（）A．1≤x≤4 B．x≤1 C．x≥4 D．x≤1或x≥49．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1．下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c=0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2．其中结论正确的是（）A．①②B．②④C．②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为4cm，则AB=．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为．14．（3分）小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚横截面为抛物线，有关数据如图所示，已知小燕的身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围有米．15．（3分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，则BF=cm．三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（10分）解方程：（1）2x2+4x﹣1=0；（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．17．（6分）如图，在方格网中已知格点△ABC（1）试在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针旋转90°后的图形△AB1C1；（2）请在方格网中标出使以点A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形的点D（标出一个即可）18．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．（9分）2017年大同市政府出台了一系列惠民举措，其中御东新区西京街绿轴景观带的建设正在如火如荼的进行当中，施工过程中，在一块长为30米、宽为20米的矩形地面上，要修建两条同样宽度且互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为551平方米．（1）道路宽度应为多少？（2）已知施工过程中草坪每平方米的成本为50元，道路每平方米的成本为30元，则完成这一处景观所要花费的金额是多少？20．（9分）如图，A、P、B、C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，连接AB、BC、AC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PB的长．21．（10分）“双十一”期间，天猫商城销售异常火爆．其中一种护眼台灯一段时间内的销售量y（台）与销售单价x（元/台）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若护眼台灯的进价为20元/台，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/台）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若销售过程中销售单价不低于成本价，而且每台的利润不高于成本价的50%，要想获得最大利润，试确定这种护眼台灯的销售单价，并求出此时的最大利润．22．（11分）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A（如图2），连接P′P．由旋转的性质知△BP′P是三角形；P′A=PC=1，∠BP′P=，P′P=PB=；在△AP′P 中，∵P′P2+P′A2=（）2+12=4=PA2；∴△AP′P是三角形；∴∠AP′P=°；∴∠BPC=∠BP′A=∠BP′P+∠AP′P=．问题得到解决．（1）将李明的思路补充完整；（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=，求∠CPA的度数．23．（12分）抛物线y=ax2﹣bx+c与x轴相交于A（1，0），B（4，0）两点，与y 轴相交于点C（0，4），点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当线段DE长度最大时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设点T（t，0）是x轴上的一个动点，当t为何值时，△DOT是等腰三角形，直接写出答案．2017-2018学年山西省大同市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该涂黑．1．（3分）一元二次方程x2=3x的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=﹣3 D．x1=0，x2=3【解答】解：（1）x2=3x，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3．故选：D．2．（3分）随着近年来电子商务的不断发展，电脑安全防护越来越重要，下列是杀毒软件的四个logo，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．3．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：D．4．（3分）在求解一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑软件绘制了二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，得出结果．该同学采用的方法体现的数学思想是（）A．类比思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数学结合的数学思想．故选：C．5．（3分）将y=﹣x2的图象通过（）的变换，可得到y=﹣x2+2x﹣2的图象．A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【解答】解：抛物线y=﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1，则该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）．所以将y=﹣x2的图象通过向右平移1个单位，再向下平移1个单位的变换，可得到y=﹣x2+2x﹣2的图象故选：D．6．（3分）如果一个图形绕着某点O旋转角α后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称，那么正五边形关于中心有（）°的旋转对称．A．60 B．72 C．108 D．120【解答】解：正五边形的旋转角为=72°，故选：B．7．（3分）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36°，则∠OBC的度数为（）A．18°B．36°C．54°D．60°【解答】解：由题意得∠BOC=2∠A=72°．∵OB=OC，∴∠OBC=54°，故选：C．8．（3分）二次函数y=（x﹣2）2+m的图象如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B（4，3），则满足kx+b≥（x﹣2）2+m 的x的取值范围是（）A．1≤x≤4 B．x≤1 C．x≥4 D．x≤1或x≥4【解答】解：由图可知，1≤x≤4时，一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点），所以，满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围是1≤x≤4．故选：A．9．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：由题意得：△AOB≌△COD，∴OA=OC，∠AOB=∠COD，∴∠A=∠OCA，∠AOC=∠BOD=40°，∴∠OCA==70°；∵∠AOB=90°，∴∠BOC=10°；∵∠OCA=∠B+∠BOC，∴∠B=70°﹣10°=60°，故选：C．10．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1．下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c=0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2．其中结论正确的是（）A．①②B．②④C．②③D．①③④【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣=1，c＞0，∴b=﹣2a＞0，∴abc＜0，结论①错误；②抛物线对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，结论②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时y＞0，∴当x=2时y＞0，∴4a+2b+c＞0，结论③错误；④1﹣（﹣）==，﹣1==，∵抛物线的对称轴为直线x=1，＞，抛物线开口向下，∴y1＜y2，结论④正确．综上所述：正确的结论有②④．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．12．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为4cm，则AB=6cm．【解答】解：如图，连接OA；Rt△OAC中，OA=5cm，OC=4cm；由勾股定理，得：AC==3cm；∴AC=AB，∴AB=2AC=6cm；故答案为：6cm．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．【解答】解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故答案为：x1=﹣1或x2=3．14．（3分）小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚横截面为抛物线，有关数据如图所示，已知小燕的身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围有6米．【解答】解：如图建立坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2+3.2，将点B（4，0）代入得：16a+3.2=0，解得：a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣x2+3.2，当y=1.4时，﹣x2+3.2=1.4，解得：x=3或x=﹣3，所以横向活动的范围为3﹣（﹣3）=6米，故答案为：6．15．（3分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，则BF=2+cm．【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=EM=cm．由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=2+cm．故答案为：2+．三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（10分）解方程：（1）2x2+4x﹣1=0；（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．【解答】解：（1）这里a=2，b=4，c=﹣1，∵△=16+8=24，∴x=；（2）方程整理得：（x﹣2）（x+1）=0，可得x﹣2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=﹣1．17．（6分）如图，在方格网中已知格点△ABC（1）试在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针旋转90°后的图形△AB1C1；（2）请在方格网中标出使以点A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形的点D（标出一个即可）【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．（2）如图所示，点D即为所求．18．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．（9分）2017年大同市政府出台了一系列惠民举措，其中御东新区西京街绿轴景观带的建设正在如火如荼的进行当中，施工过程中，在一块长为30米、宽为20米的矩形地面上，要修建两条同样宽度且互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为551平方米．（1）道路宽度应为多少？（2）已知施工过程中草坪每平方米的成本为50元，道路每平方米的成本为30元，则完成这一处景观所要花费的金额是多少？【解答】解：（1）设道路宽度应为x米，由题意得：（30﹣x）（20﹣x）=551，x2﹣50x+49=0，解得：x1=1，x2=49，∵x＜20，∴x=1，答：道路宽度应为1米；（2）551×50+（30×20﹣551）×30=29020（元），答：完成这一处景观所要花费的金额是29020元．20．（9分）如图，A、P、B、C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，连接AB、BC、AC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PB的长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形．（2）∵∠PAC=90°，∴PC是⊙O的直径，∴∠PBC=90°．在Rt△PBC中，设PB=x，则PC=2x．∵BC=AB=2．由勾股定理得：PB2+BC2=PC2，即x2+（2）2=（2x）2，解得：x=2，∴PB=2．21．（10分）“双十一”期间，天猫商城销售异常火爆．其中一种护眼台灯一段时间内的销售量y（台）与销售单价x（元/台）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若护眼台灯的进价为20元/台，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/台）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若销售过程中销售单价不低于成本价，而且每台的利润不高于成本价的50%，要想获得最大利润，试确定这种护眼台灯的销售单价，并求出此时的最大利润．【解答】解：（1）由图中数据可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，将点（10，400）、（20，300）代入可得：，解得：，∴y=﹣10x+500；（2）w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（3）∵销售单价不低于成本价，∴x≥20，又∵每台的利润不高于成本价的50%，∴x﹣20≤20×50%，∴x≤30，∴x的取值范围是20≤x≤30，∵w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，∴当x＜35时，w随x的增大而增大，∴当x=30时，w取得最大值，最大值为2000元；答：这种护眼台灯的销售单价为30元时，销售利润最大，最大利润为2000元．22．（11分）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A（如图2），连接P′P．由旋转的性质知△BP′P是等边三角形；P′A=PC=1，∠BP′P=60°，P′P=PB=；在△AP′P中，∵P′P2+P′A2=（）2+12=4=PA2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°；∴∠BPC=∠BP′A=∠BP′P+∠AP′P=150°．问题得到解决．（1）将李明的思路补充完整；（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=，求∠CPA的度数．【解答】解：（1）将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A（如图2），连接P′P．由旋转的性质知△BP′P是等边三角形；∴P′A=PC=1、∠BP′P=60°、P′P=PB=，在△AP′P中，∵P′P2+P′A2=（）2+12=4=PA2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°；∴∠BPC=∠BP′A=∠BP′P+∠AP′P=60°+90°=150°．故答案为：等边、60°、直角、90、150°；（2）如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°可得△AP′C，连接PP′，∴∠P′AP=90°，PA=P′A=1、P′C=PB=3，∴△PAP′为等腰直角三角形，由勾股定理可得PP′=PA=，∠APP′=45°，在△PP′C中，∵P′C=3、PP′=、PC=，∴（）2+（）2=32，即PC2+PP′2=P′C2，∴△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°．23．（12分）抛物线y=ax2﹣bx+c与x轴相交于A（1，0），B（4，0）两点，与y 轴相交于点C（0，4），点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当线段DE长度最大时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设点T（t，0）是x轴上的一个动点，当t为何值时，△DOT是等腰三角形，直接写出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣bx+c与x轴相交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C（0，4），∴，解得，∴该抛物线的解析式为：y=x2﹣5x+4，设直线BC的解析式为：y=kx+m．将B（4，0）、C（0，4）代入得到：，故直线BC的解析式为：y=﹣x+4；（2）∵点D在抛物线y=x2﹣5x+4上，∴设点D的坐标为（n，n2﹣5n+4）．∵DE∥y轴，点E在直线BC上，∴设点E的坐标为：（n，﹣n+4），∴DE=﹣n+4﹣（n2﹣5n+4）=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4．∵﹣1＜0，∴DE由最大值．∴当n=2时，DE 的最大值为4，此时点D的坐标为（2，﹣2）；（3）∵点D的坐标为（2，﹣2），∴OD=2．①当OT=OD时，t=±2．②当OT=DT时，此时点T在线段OD的垂直平分线上，此时t=2；③OD=DT时，t=4．综上所述，符合条件的t的值有4个，即2或﹣2或2或4．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。