福建省莆田一中数学(理科)

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福建省莆田一中数学(理科)

(完卷时间:120分钟;满分:150分)

注意事项:

1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名;

2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.)

1.如图,在复平面内,复数12,Z Z 对应的向量分别是,,OA OB 则12||Z Z +=( )

A .2 B.3

C.

D. 2.抛物线24x y =的焦点坐标为 ( ) A .)1,0(

B .)0,1(

C . )161,

0( D . )0,16

1( 3.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为( ) A.

23π B. 3π C. 29π D. 169

π

4. 设随机变量ζ服从正态分布)4,3(N , 若)2()32(+>=-

A .3

B .

35 C .5 D .37

5. 设函数4

log )(2x

x f =,等比数列{}n a 中,8852=⋅⋅a a a ,则

129()()...()f a f a f a +++=( )

A. -9

B. -8

C. -7

D. -10

6. 若函数a x x x f -+=2

)(,则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条

件是( )

)(A 241≤≤-

a . )(B 241<≤-a . )(C 20<

1

<<-a . 7.设P 为曲线x y 4

3

=上任一点,)0,5(),0,5(21F F -,则下列命题正确的是:( )

A.821≥-PF PF

B.8

21≤-PF PF C.821>-PF PF D.8

21<-PF PF 8.在高校自主招生中,某校获得5个推荐名额,其中清华大学2名,北京大学2名,复旦大学1名,并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同推荐方法的种数是 ( )

A .20 B.22 C.24 D. 36

9.已知,,a b c 均为单位向量,且满足0a b = ,则()()a b c a c +++

的最大值为( )

.1.3.2.2A B C D +++10.已知函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩

,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,

则该数列的通项公式为 ( )

A .*(1)

()2

n n n a n -=∈N

B .*(1)()n a n n n =-∈N

C .*1()n a n n =-∈N

D .*22()n n a n =-∈N

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 把函数 sin(2)3

y x π

=-

的图象向____平移 ____个单位长度就可得到函数y=sin2x 的图象。 12.已知4234012342421111

(1)()()(),a a a a a a a x x x x x

-=+++++=

则___ .

13.利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a,b ,则方程

2b

a x x

=- 有实数根的概率是___ .

14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,(1)0f =,且当0'()(),x xf x f x >>时,则不等式()0f x >的解集为____.

15. 如图,A A 到两条平行直线的距离分别

为1,AM AN ==ABC ,AC AB ⊥,且顶点B 、C 分别在两条

平行直线上运动,则ABC 面积的最小值为_____,

1AB + 为_______.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答要写在答题

卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16 .(本小题满分13)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a 的部分按照平价收费,超过a 的

部分

按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t ),制作了频率分布直方图,

(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整;

(II )用样本估计总体,如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准,则月均用水量的最低标准定为多少吨,并说明理由;

(III)若将频率视为概率,现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样),其中月均用水量不超过(II )中最低标准的人数为x ,求x 的分布列和均值.

17.(本小题满分13分)

如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,AC BC ⊥,

H 为PC 的中点,M 为AH 的中点,2PA AC ==,1BC =.

(Ⅰ)求证:⊥AH 平面PBC ; (Ⅱ)求PM 与平面AHB 成角的正弦值; (Ⅲ)设点N 在线段PB 上,且

PN

PB

λ=,//MN 平面ABC , 求实数λ的值.

18. (本小题满分13分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形,它在每分钟内随时间t (秒)的变化规律大致可用2

2(14sin

)20(sin )6060

t t y x x ππ

=-++(t 为时间参数,x 的单位:m )来描述,其中地面可作为x 轴所在平面,泉眼为坐标原点,垂直于地面的直线为y 轴。

(Ⅰ)试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值;

(Ⅱ)若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉,则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛的面积最大且能全部喷到水?

19.(本小题满分13分)

已知椭圆C:22221x y a b +=( 0a b >>)点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ) 在x 轴上是否存在一定点E ,使得对椭圆C 的任意一条过E 的弦AB ,2

2

11EA

EB

+

为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由。

20.(本小题满分14分)

已知f (x )=e x

-t (x +1).

(Ⅰ)若f (x )≥0对一切正实数x 恒成立,求t 的取值范围;

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