(湖南卷)2010年高考试题-理科数学(Word有答案)

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2008高考湖南数学理科试题及详细答案(全word版)

y2008高考湖南理科数学试题及详解(word 版)湖南省洞口一中曾维勇一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i-等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B.3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N ⇒ 12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B.5.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确.6.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A.1C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C.7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA =2,AF FB = 则AD BE CF ++与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-所以选A.8.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)1【答案】B【解析】233,22aex a e a a ac-=⨯->+23520,e e⇒-->2e∴>或13e<-(舍去),(2,],e∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是()C.2D.4【答案】C【解析】112BD AC R===R∴设11,BD AC O=则OAOB R===,2AOBπ⇒∠=,2l Rπθ∴==故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n∈N*, 定义[][](1)(1),(1)(1)xnn n n xCx x x x--+=--+x∈[)1,+∞,则当x∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数x n C的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C==当2x→时，[]1,x=所以8842xC==;当[)2,3时，288728,21C⨯==⨯当3x→时，[]2,x=88728,323xC⨯==⨯故函数xC8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2008高考湖南理科数学试题及详解(word版)

y2008高考湖南理科数学试题及详解(word 版)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i-等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B.3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N ⇒Q 12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B.5.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确.6.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A.1B.12+ C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤Qmax 13()1.22f x ∴=+=故选C.7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12,33BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r 12,33CF CA CB =+u u u r u u u r u u u r以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-u u u r u u u r u u u r u u ur 所以选A.8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)1【答案】B【解析】233,22aex a e a a ac-=⨯->+Q23520,e e⇒-->2e∴>或13e<-(舍去),(2,],e∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD,AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是()C.2D.4【答案】C【解析】112BD AC R===QR∴=设11,BD AC O=I则OA OB R===,2AOBπ⇒∠=,2l Rπθ∴==故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n∈N*, 定义[][](1)(1),(1)(1)xnn n n xCx x x x--+=--+LLx∈[)1,+∞,则当x∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数x n C的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C==当2x→时，[]1,x=所以8842xC==;当[)2,3时，288728,21C⨯==⨯当3x→时，[]2,x=88728,323xC⨯==⨯故函数xC8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2010年高考湖南卷理科数学试题及答案

2010年高考湖南卷理科数学试题及答案本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则 A ．M N ⊆ B.N M ⊆C ．{2,3}M N ⋂= D.{1,4}M N ⋃= 2.下列命题中的假命题是 A ．∀x R ∈,120x ->2x-1>0 B. ∀*x N ∈,2(1)0x ->C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x = 3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线 4、在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于A 、-16B 、-8C 、8D 、165、421dx x ⎰等于A 、2ln2-B 、2ln 2C 、ln 2-D 、ln 26、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，2c a =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.158．用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值．若函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于直线12x =-对称，则t 的值为（） A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上9．已知一种材料的最佳入量在110g 到210g 之间。

(word完整版)湖南省_2001年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题DOC

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)-同湖南卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a正棱台、圆台的侧面积公式 S 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若sini θcos θ＞0，则θ在 ( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )A ．(x －3) 2＋(y ＋1) 2 = 4B ．(x ＋3) 2＋(y －1) 2 = 4C ．(x －1) 2＋(y －1) 2 = 4D ．(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2 = 43．设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1B ．2C ．4D ．64．若定义在区间(－1，0)的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 ( ) A ．(210，)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛210，C ．(21，＋∞) D ．(0，＋∞)5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )6．函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )A ．y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)B ．y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)C ．y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)D ．y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)7．若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0)， F 2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 8．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( ) A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°10．设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减．其中，正确的命题是 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A ．P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2 = P 1C ．P 3 = P 2＞P 1D ．P 3 = P 2 = P 112．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A ．26 B ．24C ．20D ．19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为15．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q =16．圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分)已知复数z 1 = i (1－i ) 3．(Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． 19． (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ． 20． (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明in i i m i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． 21． (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22． (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三．解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=． ……4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ……12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ，将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分（Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； ……4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=．即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF = ……6分根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m m p ii m 1…mi m 1+-⋅，同理 ⋅-⋅=n n n n n p i in 1…ni n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-，所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以， im i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22．又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0．即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元．所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分（Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0．化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分设=x （54）n ，代入上式得5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)．即（54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称，故 f (x ) = f (1＋1－x )，11 / 11 即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ，∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n 21)]n ，f (21) = 21a ，∴ f (n 21) = na 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n 21)，因此a n = n a 21，……12分 ∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21) = 0．……14分。

历年高考试题及答案word版

历年高考试题及答案word版2011年全国高考试题及答案word版蓝色表示只有试题没有答案，红色表示包括试题和答案。

语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综新课标(宁、吉、本地下本地下本地下本地下本地下本地下黑、晋、豫、载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高新) 速下载速下载速下载速下载速下载速下载全国卷语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综(冀、桂、本地下本地下本地下本地下本地下本地下云、贵、甘、载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高青、内蒙速下载速下载速下载速下载速下载速下载古、藏))语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下北京卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 理综文综本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载上海卷物理化学生物历史地理政治本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载语文英语文科数学理科数学文综理综本地下本地下本地下本地下辽宁卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下陕西卷同新课标载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综重庆卷本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下福建卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下湖南卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下四川卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下广东卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下江西卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学物理化学生物本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载江苏卷历史地理政治本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下湖北卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同全国卷同全国卷速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下浙江卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载自选模块本地下载迅雷高速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载山东卷基本能力本地下载迅雷高速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下天津卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下安徽卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 物理化学本地下本地下同新课标同新课标同新课标同新课标载迅雷高载迅雷高速下载速下载海南卷生物历史地理政治本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载2010年各地高考试题及答案(word版)2009年各地高考试题及答案(word版)2008年各地高考试题及答案(word版)2007年各地高考试题及答案(word版)2006年各地高考试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载2005年各地高考试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1990-2004年全国高考语文试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1994-2004年全国高考英语试卷及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1988-2004年全国高考数学试卷及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1990-2004年全国高考化学试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 2002-2004年全国高考物理试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-语文(pdf 版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-数学(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-物理(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-化学(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1950-1999年全国高考试卷及答案-英语(pdf版) 本地下载迅雷高速下载1952-1993年全国高考试卷及答案-生物(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1951-1999年全国高考试卷及答案-政治(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-历史(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1993年全国高考试卷及答案-地理(pdf版) 本地下载迅雷高速下载更多教学资源请登陆中国校长网教学资源频道。

2010年浙江高考真题(含答案)数学理

绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n Sh V 31=次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高kn kkn n P P C k P )1()(=),,2,1,0(n k = 球的表面积公式台体的体积公式 .ξE )(312211S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积 3π34R V =h 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆（B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（A ）?4>k （B ）?5>k （C ）?6>k （D ）?7>k （3）设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S（A ）11 （B ）5 （C ）-8（D ）-11（4）设2π0<<x ，则“1sin2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）对任意复数i R y x yi x z ),∈,(+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z2||= （B ）222y x z += （C ）x z z2≥|| （D ）||||≤||y x z + （6）设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A ）若α⊥,α⊂,⊥l m m l 则（B ）若α⊥,//,α⊥m m l l 则（C ）若m l m l //,α⊂,α//则（D ）若m l m l //,α//,α//则（7）若实数y x ,满足不等式组++,0≥1,0≤32,0≥33my xyxyx 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2 （B ）-1（C ）1（D ）2（8）设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=b a by ax 的左、右焦点。

2010年湖南省高考数学试卷(理科)及答案

2010年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=23．（5分）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线4．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．165．（5分）dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定7．（5分）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A．10 B．11 C．12 D．158．（5分）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣对称，则t的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是g．10．（5分）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为．11．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为．12．（5分）如图是求12+22+32+…+1002的值的程序框图，则正整数n=．．13．（5分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=cm．14．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P=．15．（5分）若数列{a n}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得a m＜n 成立，记这样的m的个数为（a n）+，则得到一个新数列{（a n）+}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，a n=n2，则（a5）+=，（（a n）+）+=．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．17．（12分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值．（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．19．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．20．（13分）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．21．（13分）数列{a n}（n∈N*）中，a1=a，a n+1是函数的极小值点．（Ⅰ）当a=0时，求通项a n；（Ⅱ）是否存在a，使数列{a n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．2010年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•湖南）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可．【解答】解：M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}故选C．2．（5分）（2010•湖南）下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2【分析】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，逐一判断即可．【解答】解：B中，x=1时不成立，故选B．答案：B．3．（5分）（2010•湖南）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线【分析】将极坐标方程和参数方程化为一般方程，然后进行选择．【解答】解：∵极坐标p=cosθ，x=pco sθ，y=psinθ，消去θ和p，∴x2+y2=x，x2+y2=x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，x+y﹣1=0，为直线的方程，故选D．4．（5分）（2010•湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【解答】解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故选D．5．（5分）（2010•湖南）dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．（5分）（2010•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b．【解答】解：∵∠C=120°，c=a，∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=，∴a＞b故选A7．（5分）（2010•湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A．10 B．11 C．12 D．15【分析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加．【解答】解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故选B．8．（5分）（2010•湖南）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣对称，则t的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】由题设，函数是一个非常规的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，及直线x=，观察图象得出结论【解答】解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象，函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象为两个图象中较低的一个，分析可得其图象关于直线x=﹣对称，要使函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=对称，则t的值为t=1故应选D．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2010•湖南）已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是171.8或148.2g．【分析】由题知试验范围为[100，200]，区间长度为100，故可利用0.618法：110+（210﹣110）×0.618或210﹣（210﹣110）×0.618选取试点进行计算．【解答】解：根据0.618法，第一次试点加入量为110+（210﹣110）×0.618=171.8或210﹣（210﹣110）×0.618=148.2故答案为：171.8或148.2．10．（5分）（2010•湖南）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为6．【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式，再根据线段的关系可求得AB的长度即可．【解答】解：根据切割线定理PT2=PA•PB，PB===8，∴AB=PB﹣PA=8﹣2=6．故填：6．11．（5分）（2010•湖南）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣1，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P（|x|≤1）=．故答案为：．12．（5分）（2010•湖南）如图是求12+22+32+…+1002的值的程序框图，则正整数n=100．．【分析】由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循环100次，由于循环变量的初值已知，故不难确定循环变量的终值．【解答】解：由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循环100次，最后一次执行循环体的作用是累加1002故循环变量的终值应为100故答案为：10013．（5分）（2010•湖南）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=4cm．【分析】由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：414．（5分）（2010•湖南）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD 的面积为，则P=2．【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p．【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0由，消去y得x2﹣2px﹣p2=0，由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=﹣p2所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2﹣x1）=（x1+x2+p）（x2﹣x1）=•3p=3p2所以3p2=12，又p＞0，所以p=2故答案为2．15．（5分）（2010•湖南）若数列{a n}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）+，则得到一个新数列{（a n）+}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，a n=n2，则（a5）+=2，（（a n）+）+=n2．【分析】根据题意，若a m＜5，而a n=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由题设条件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（a n）+）+=n2．【解答】解：∵a m＜5，而a n=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2．∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，猜想：（（a n）+）+=n2．答案：2，n2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•湖南）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．【分析】（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．（Ⅱ）令f（x）=0可得到2sin xcos x=2sin2x，进而可得到sin x=0或tan x=，即可求出对应的x的取值集合，得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1故函数f（x）的最大值等于2﹣1=1（Ⅱ）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin2x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x=由sin x=0可知x=kπ；由tan x=可知x=kπ+．故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k，k∈Z}17．（12分）（2010•湖南）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值．（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．【分析】本题考查的知识点是频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列和数学期望．（1）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．（2）由频率分布直方图中月均用水量各组的频率，我们易得X～B（3，0.1）．然后将数据代入后，可分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12．（Ⅱ）由题意知，X～B（3，0.1）．因此P（X=0）=C30×0.93=0.729，P（X=1）=C31×0.1×0.92=0.243，P（X=2）=C32×0.12×0.9=0.027，P（X=3）=C33×0.13=0.001．故随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P 0.7290.2430.0270.001X的数学期望为EX=3×0.1=0.3．18．（12分）（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG⊂面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【解答】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在Rt△BEM中，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG ∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．19．（13分）（2010•湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【分析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，．当x＜2时，．由此能得到考查区域边界曲线的方程；（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为．设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，由题意知．当x＜2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上．此时短半轴长．因而其方程为．故考察区域边界曲线（如图）的方程为和．（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为．设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得，由△100×3m2﹣4×16×5（m2﹣4）=0，解得m=8或m=﹣8．从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为，l与l1之间的距离为．又直线l2到C1和C2的最短距离，而d'＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，得，所以n≥4．故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．20．（13分）（2010•湖南）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．【分析】（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）2作差整理成关于b和c的表达式即可．（Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）易知f′（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而．于是c≥1，且，因此2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．故当x≥0时，有（x+c）2﹣f（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．即当x≥0时，f（x）≤（x+c）2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|当c＞|b|时，有M≥==，令t=则﹣1＜t＜1，=2﹣，而函数g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域（﹣∞，）因此，当c＞|b|时M的取值集合为[，+∞）．当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．此时f（c）﹣f（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，从而恒成立．综上所述，M的最小值为21．（13分）（2010•湖南）数列{a n}（n∈N*）中，a1=a，a n+1是函数的极小值点．（Ⅰ）当a=0时，求通项a n；（Ⅱ）是否存在a，使数列{a n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由f'n（x）=x2﹣（3a n+n2）x+3n2a n=（x﹣3a n）（x﹣n2）=0，得x1=3a n，x2=n2．由函数的单调性知f n（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1．因为3a2=3＜22，则，a3=22=4，因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，a n=4×3n﹣3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3a n＞n2．（Ⅱ）存在a，使数列{a n}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3a n＞n2，=3a n．要使3a n＞n2，只需对一切n∈N*都成立．当x≥2时，y'＜0，则a n+1从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{b n}单调递减，即数列{b n}中最大项为．于是当a＞时，必有．由此能导出存在a，使数列{a n}是等比数列，且a的取值范围为．【解答】解：（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由题设知f'n（x）=x2﹣（3a n+n2）x+3n2a n=（x﹣3a n）（x﹣n2）．令f'n（x）=0，得x1=3a n，x2=n2．若3a n＜n2，则当x＜3a n时，f'n（x）＞0，f n（x）单调递增；当3a n＜x＜n2时，f'n（x）＜0，f n（x）单调递减；当x＞n2时，f'n（x）＞0，f n（x）单调递增．故f n（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1因为3a2=3＜22，则，a3=22=4因为3a3=12＞32，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，a n=4×3n﹣3．下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3a n＞n2．事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n=k（k≥3）时，3a k＞k2成立，则由（2）知，a k+1=3a k＞k2，﹣（k+1）2＞3k2﹣（k+1）2=2k（k﹣2）+2k﹣1＞0，从而3a k+1所以3a k＞（k+1）2．+1故当n≥3时，3a n＞n2成立．=3a n，而a3=4，因此a n=4×3n﹣3．于是，当n≥3时，a n+1综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，a n=4×3n﹣3（n≥3）．（Ⅱ）存在a，使数列{a n}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3a n＞n2，则a n+1=3a n．即数列{a n}是首项为a，公比为3的等比数列，且a n=a•3n﹣3．而要使3a n＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立．记，则，．令，则．因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{b n}单调递减，即数列{b n}中最大项为．于是当a＞时，必有．这说明，当时，数列a n是等比数列．当a=时，可得，而3a2=4=22，由（3）知，f2（x）无极值，不合题意，当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{a n}不是等比数列．当时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意．当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，数列{a n}不是等比数列．综上所述，存在a，使数列{a n}是等比数列，且a的取值范围为．。

2013年高考理科数学试卷及答案(湖南卷)(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数z=i ·（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法3. 在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。

若b B a 3sin 2=，则角A 等于( ) A. 12π B. 6π C. 4π D. 3π 4. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x 2+的最大值是( )A. 25-B. ０C. 35D. 25 5. 函数()x x f ln 2=的图象与函数()542+-=x x x g 的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知a ，b 是单位同量，a ·b =0。

若向量c 满足1=--b a c ，则的取值范围是( )A. [12-,12+]B. [12-,22+]C. [1, 12+]D. [1, 22+]7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 212- D. 212+ 8. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1）。

若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于( )A. 2B. 1C. 38D. 34 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分。

2012年高考湖南理科数学试卷和答案(word完美解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}1,0,1{-=M ，}{2x x x N ≤=，则=N MA ．}0{B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1,0,1{- 【答案】B【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N.2．命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是A ．若4πα≠，则1tan ≠α B ．若4πα=，则1tan ≠αC ．若1tan ≠α，则4πα≠ D ．若1tan ≠α，则4πα=【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是A B C D 【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(i i y x ),,2,1(n i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心),(y xC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加85.0kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为79.58kg 【答案】D【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5．已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．152022=-y x B ．120522=-y x C ．1208022=-y x D ．1802022=-y x 【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又 C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴= ，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6．函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为A ．]2,2[-B ．]3,3[-C ．]1,1[-D ．]23,23[- 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)1sin sin )26x x x x π=+=-，[]sin()1,16x π-∈- ，()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.7．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，1=⋅BC AB ，则=BCA B C ． D 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，解得BC =【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B ∠的外角.8．已知两条直线m y l =:1和)0(128:2>+=m m y l ，1l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点B A ,，2l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点D C ,．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,．当m 变化时，ba的最小值为 A． B． C ．348 D ．344 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2mmx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可C821m =+xm解得.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答．题卡．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线⎩⎨⎧-=+=t y t x C 21,1:1（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθcos 3,sin :2y a x C （θ为参数，0>a ）有一个公共点在x 轴上，则=a ．【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -，由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得.10．不等式01212>--+x x 的解集为．【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于．【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(i z +=（i 为虚数单位)，则=z ．【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，10z ==.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用z =.13．6)12(xx -的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】-160 【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1=-=n x ，则输出的数=S ．【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15．函数)sin()(ϕω+=x x f 的导函数)(x f y '=的部分图象如图4所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．（1）若6πϕ=，点P 的坐标为)233,0(，则=ω ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为．【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0）时cos362πωω=∴=；（2）由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω=⋅= ，设,A B 的横坐标分别为,a b .设曲线段ABC 与x轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC内的概率为224ABC S P S ππ=== . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16．设*2(,)nN n N n =∈≥2，将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置，得到排列012N P x x x = ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -= ，将此操作称为C 变换．将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n ≤≤-时，将i P 分成2i 段，每段2iN个数，并对每段作C 变换，得到1i P +．例如，当8N =时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置．（1）当16N =时，7x 位于2P 中的第个位置；（2）当2()nN n =≥8时，173x 位于4P 中的第个位置．【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ====== X 的分布为X 的数学期望为33111()11.522.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以 121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=( 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，4AB =，3BC =，5AD =，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P ABCD -的体积．【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂ 平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠ 因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠= 知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以2AB BG BF BG =====于是5PA BF == 又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-== 因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅= 所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB PA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅ ,即由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=- 由(4,0,),PB h =- 故=解得5h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为1151633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++ ，231()n B n a a a +=+++ ，342()n C n a a a +=+++ ，1,2,.n =（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()(),B n A n C n B n -=-即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=-（Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有 1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()B n q A n C n q B n==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即212.n n a qa a a ++-=-由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=.因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）．（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有1232300010*******50(),(),(),6200(1)T x T x T x x x k x k x ⨯====-+ 期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k =于是（1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时()f x 取得最小值，解得4009x =.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.（2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x x ϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()max (),()f x T x T x ={}1max (),()T x T x ≥1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭. 由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011. （3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知，当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011. 综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ① 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得 010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦= 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22．（本小题满分13分）已知函数()ax f x e x =-，其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x R ∈，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合.（Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a>时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则 121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--，则()1t F t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21()21()10a x x e a x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在),(21x x c ∈，使0)(=c ϕ，2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。

2010年湖南高考理科数学试卷分析

2010年湖南高考理科数学试卷分析摘要：2010年是湖南省全面实施高中新课改实验后高考的第一年。

本文首先对试卷结构及试卷中所考查知识点进行整体分析，然后结合三维目标的落实情况对具体试题进行分析并分别提出教学建议，以期对新课程背景下高中数学教师的教和学生的学提供帮助。

关键词：高考数学试卷；三维目标；新课程高考新课程背景下的高考不仅是高等学校选拔人才的手段，同时也是推进课程改革，促进学生全面发展的重要推动因素，对于高中阶段数学教育教学具有直接的导向作用。

湖南省于2007年开始实施高中数学新课程，2010年是湖南省全面实施高中新课改实验后高考的第一年。

此次高考为新课改的开局之作，赋有承上启下的使命，对今后几年我省甚至我国的新课程实施的普及起到风向标的作用。

今年的新高考试卷特点什么，如何落实三维目标的考查，本文将针对这些问题对首次亮相的新课改高考试卷做如下分析。

一试卷整体分析2010年湖南数学高考试卷遵循《高考数学湖南卷的考试说明》，朴实不失新颖，体现了“平稳过渡”的特点，在有效地处理好“知识与技能”考查的同时，加大“过程与方法”的考查力度，兼顾“情感态度价值观”的考查，试题风格实现考试由知识立意向能力素质立意的转变，充分体现了新课程的理念。

1试卷结构2009年的湖南数学高考试题已经实现题型的“新旧过渡”，从整体看，2010年湖南数学高考试题结构与去年相比没有变化。

主客观题分数各占一半，客观题由8个选择题，7个填空题组成，主观题由6个简答题组成。

整张试卷所考查的知识点及其分布如表1。

2试卷整体特点从表1可以看出，试卷中将新增知识点与传统常考知识点相结合，从考查基础出发，淡化特殊技巧，注重通性通法的考查，有效地贯彻了“注重实质，淡化计算”的新理念；试题选题大多源于教材、高于教材，背景设置自然贴切，注重对学生数学素养的考查；而且试题突出了主干知识的考查，多处在知识网络的交汇处设计试题，强化知识的综合性。

总的来说湖南首次新课改高考理科数学试卷内容上体现新课程理念，无偏题怪题，主要体现以下特点：(1)新增知识全面化：试卷中对新增内容考查全面，包括必修l 中的零点、必修2中的三视图、必修3中的算法框图、几何概型；选修2系列中的定积分、极值、存在和全称量词；选修4中的优选法、极坐标等，如第2、3、5、9、12、13等题；(2)相关内容联系化：试卷中注意沟通各主干部分内容之间的有机联系，强调基础知识整体性，试题设计有利于学生展示自身的综合素质和综合能力，典型的如2、8、16、20、21等题；(3)实际问题数学化：试卷中的数学应用问题与生活密切联系、贴近学生实际，注重数学的基础性、时代性和教育性，让学生真实感受到数学的实用价值，如第7、17、19等题。

2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版(附答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ）（B ）（C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

(完整版)高中数学高考题详解-基本不等式

考点29基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3）63)a -≤≤的最大值为() A.9B.29C.3D.223 【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B.当6-=a 或3=a 时,0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2.（2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A.0B.1C.94D.3【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212xyz+-，进而再利用基本不等式求出212xyz+-的最值.【解析】选B.由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =z xy .xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3.（2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（） A.0B.98C.2D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.【解析】选C.由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.【解析】选D.≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题5.（2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。

2010年湖南高考数学理科试卷带详解

2010年高考理科数学试题湖南卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,2,3,4M N ==，则（）A ．M N ⊆ B.N M ⊆ C.{2,3}M N = D.{1,4}M N =【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出两个集合先通过交、并、补集运算得出两个集合之间的关系，得出正确结论.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵{1,2,3}M =, {2,3,4}N =,∴{2,3}M N =，故选C ．2.下列命题中的假命题是（）A ．∀x ∈R ,120x -> B. ∀*x ∈N ,2(1)0x ->C ．∃ x ∈R ,lg 1x < D. ∃x ∈R ,tan 2x = 【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】给出含有全称量词与存在量词的命题，判断真假得出结论. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】易知A 、C 、D 都对，而对于B ，当1x =时，有2(1)0x -=，不对，故选B ．3.极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（）A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线【测量目标】极坐标方程和参数方程与普通方程的互化.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程先转化为普通方程再判断其表示的图形. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由极坐标方程cos ρθ=可得222cos ,0x y x ρρθ=∴+-=表示的是圆；由参数方程1,23x t y t =--⎧⎨=+⎩推得直线310x y ++=，故选A ．4.在Rt ABC △中，=904C AC ︒∠=，，则AB AC 等于( )A .16-B .8-C .8D .16【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】在三角形中通过向量数量积的定义运算求解三角形两条边的数量积. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】2||||cos ||16AB AC AB AC BAC AC =∠==，故选D ．5.421dx x ⎰等于（） A.2ln2- B.2ln 2 C.ln 2- D.ln 2【测量目标】定积分的运算.【考查方式】直接给出定积分的式子求值. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由微积分易知，1(ln )x x'=，421ln 4ln 2ln 2dx x ∴=-=⎰，故选D ．6.在ABC △中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120C ︒∠=，c =,则( )A. a b >B. a b <C. a b =D. a 与b 的大小关系不能确定【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出三角形中一个角和两条边的关系运用余弦定理判断选项的正误. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由余弦定理得2222222cos 2c a b ab C a a b ab =+-⇒=++，则有22a b ab =+，而ABC △的边长,a b 均大于零，因而有a b >，故选A ．7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.15 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出一个实际问题运用排列组合的相关知识求解. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】易知数字0和1无限制排列时有4216=种；与信息0110四个对应位置上的数字都相同的只有１个:0110；三个相同的有４个，分别为：0111,0100,0010,1110,由间接法可得符合条件的有4342C 1=11--个，故选B ．8．用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值．若函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于直线12x =-对称，则t 的值为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．1【测量目标】函数图像的性质.【考查方式】给出函数,画出其图像，通过对其图像的判断求解未知参数. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】本题考查了数形结合思想的运用.画出图形，知对称轴为122t x =-=-，因此1t =，选D.第8题图二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.9．已知一种材料的最佳入量在110g 到210g 之间.若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g 【测量目标】黄金分割点.【考查方式】运用黄金分割点的相关性质解决实际问题. 【难易程度】容易【参考答案】171.8g 或148.2g【试题解析】由0.618法求得第一次试点的加入量为1101000.618171.8+⨯=g 或2101000.618148.2-⨯=g 10．如图所示，过O 外一点P 作一条直线与O 交于,A B 两点．已知P A =2，点P 到O的切线长PT =4，则弦AB 的长为．第10题图【测量目标】切割线定理.【考查方式】运用切割线定理求解圆中的弦的长度. 【难易程度】中等【参考答案】6【试题解析】由切割线定理知2PT PA PB =，得PB =8,因此，AB =6. 11．在区间[1,2]-上随机取一个数x ，则||1x 的概率为．【测量目标】几何概型.【考查方式】运用几何概型的相关知识求解区间内长度取值范围概率. 【难易程度】容易【参考答案】23【试题解析】因为12x-，所以||1x 即为11x-的概率为23.12．如图是求222123+++2…+100的值的程序框图，则正整数n = ．第12题图【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序再得出结果. 【难易程度】容易【参考答案】100【试题解析】因为第一次循环21s =，第二次循环2212s =++…，输出结果为2222123100s =++++…，所以循环了100次，则正整数100n =.13．图中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．第13题图【测量目标】三视图.【考查方式】直接给出一个几何体的三视图已知其体积求其高. 【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式.由三视图得几何体为底面为直角边长为5和6的锥体，由正视图得锥体的高为h ，所以11562032h ⨯⨯⨯⨯=，解得4h =.14．过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．【测量目标】抛物线的一般方程，抛物线的简单几何性质.【考查方式】先求抛物线的解析式在运用其简单几何性质求解未知参数. 【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】设直线方程为2py x =+，设A 点纵坐标为1y 、B 点纵坐标为2y （12y y >），（步骤1）又得2AB CD =即12212()2y y p y y ++⨯=-（1），（步骤2）又因为梯形面积为122，则得1221()()242y y y y +-=（2），（步骤3）由（1）、（2）联立得1212()()48y y y y p +++=（*），由222x pyp y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得22304p y py -+=，（步骤4）由韦达定理得123y y p +=代入（*）解得2p =.（步骤5）15．若数列{}n a 满足：对任意的n *∈N ，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的n *∈N ，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **= ．【测量目标】数列的创新运用.【考查方式】给出一个数列赋予其新性质求解数列中的未知项. 【难易程度】中等【参考答案】2 2n 【试题解析】222222123451,2,3,4,5,,n a a a a a a n ======…，易知其中小于5的只有两个121,4a a ==，故5()a *=2；（步骤1）类推得：1()0,a *=234()()()1,a a a ***===569()()()2,a a a ***====10()3,a *=，（步骤2）故1(())1,a **=22(())42,a **==223(())93,,(()).n a a n ****===（步骤3）故填5()a *=2，(())n a **=2n ．（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2()3sin 22sin f x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（II ）求函数()f x 的零点的集合.【测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点.【考查方式】给出一个三角函数先运用诱导公式化简再求解其最大值和零点所在的集合. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()3sin 2(1cos 2)2sin(2)1,6f x x x x =--=+-（步骤1）所以，当ππ22π,62x k +=+即ππ()6x k k =+∈Z 时，函数()f x 取得最大值1．（步骤2）（II ）解法1 由（Ⅰ）及()0f x =得π1sin(2)62x +=（步骤3），所以 ππ22π,66x k +=+或π5π22π,66x k +=+ 即π,x k =或ππ.3x k =+（步骤4）故函数()f x 的零点的集合为π|π,π.3x x k x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，（步骤5）解法2 由()0f x =得223sin cos 2sin ,x x x =，（步骤3）于是sin 0,x =或3cos sin ,x x =即tan 3.x =（步骤4）由sin 0x =可知πx k =；由tan 3x =可知ππ.3x k =+（步骤5）故函数()f x 的零点的集合为π|π,π.3x x k x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，（步骤6） 17．（本小题满分12分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（Ⅰ）求直方图中x 的值（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.第17题图【测量目标】频率分布直方图，分布列与数学期望. 【考查方式】给出一个与实际问题有关的频率分布直方图先观察图求出未知参数，再运用分布列与数学期望的相关知识求解答案.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.020.10.370.391,x ++++=解得0.12x =．（II ）由题意知，(3,0.1)XB ．（步骤1）因此 033(0)C 0.90.729P X ==⨯=，123(1)C 0.10.90.243P X ==⨯⨯=， 223(2)C 0.10.90.027P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.10.001P X ==⨯=，（步骤2）故随机变量X 的分布列为X123P 0.729 0.243 0.027 0.001 X 的数学期望为30.10.3EX =⨯=．或10.24320.02730.0010.3EX =⨯+⨯+⨯=．（步骤3）18．（本小题满分12分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱DD 1的中点. （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；（II ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F //平面A 1BE ? 证明你的结论.第18题图【测量目标】线面角，线面平行的判定.【考查方式】给出空间几何体运用线面角及线面平行的性质求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）解法1 设正方体的棱长为1．如图所示，以1,,AB AD AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系．（步骤1）依题意，得1(1,0,0),(0,1,),(0,0,0),(0,1,0).2B E A D 所以1(1,1,),(0,1,0).2BE AD =-=（步骤2）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为AD ⊥平面11ABB A ，所以AD 是平面11ABB A 的一个法向量．（步骤3）设直线BE 和平面11ABB A 所成的角为θ，则||12sin 3312BE AD BE ADθ===⨯．即直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为23．（步骤4）第18题（1）图（II ）依题意，得1(0,0,1),A 11(1,0,1),(1,1,).2BA BE =-=-设(),,x y z =n 是平面1A BE 的一个法向量，（步骤5）则由10,0BA BE ==n n ，得0,10.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩所以x z =， 12y z =．取2z =，得()2,1,2=n ．（步骤6）设F 是棱11C D 上的点，则(,1,1)(01).F t t又1(1,0,1),B 所以1(1,1,0).B F t =-（步骤7）而1B F ⊄平面1A BE ，于是1//B F 平面1A BE()110(1,1,0)2,1,202(1)102B F t t t ⇔=⇔-=⇔-+=⇔=⇔n F 为11C D 的中点．（步骤8）这说明在棱11C D 上存在点F （11C D 的中点），使1//B F 平面1A BE ．（步骤9）解法2 （Ⅰ）如图（a ）所示，取1AA 的中点M ，连结EM ，BM ．因为E 是1DD 的中点，四边形11ADD A 为正方形，所以//EM AD ．（步骤5）又在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11ABB A ，所以EM ⊥平面11ABB A ，从而BM 为直线BE 在平面11ABB A 上的射影，（步骤6）EBM ∠为BE 和平面11ABB A 所成的角．设正方体的棱长为2，则2EM AD ==，（步骤7） 2222213BE =++=．于是，在Rt BEM △中，2sin .3EM EBM BE ∠== 即直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为23．（步骤8）第18题图（a ）第18题图（b ）（II ）在棱11C D 上存在点F ，使1//B F 平面1A BE ．事实上，如图（b ）所示，分别取11C D 和CD 的中点,F G ，连结1,,,EG BG CD FG ．因1111////A D B C BC ，且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，（步骤10）因此11//D C A B ．又,E G 分别为1D D ，CD 的中点，所以1//EG D C ，从而1//.EG A B 这说明1,,,A B G E 共面．（步骤11）所以BG ⊂平面1A BE ．因四边形11C CDD 与11B BCC 皆为正方形，,F G 分别为11C D 和CD 的中点，所以11////FG C C B B ,且11FG C C B B ==，（步骤12）因此四边形1B BGF 为平行四边形，所以1//B F BG ．而1B F ⊄平面1A BE ，BG ⊂平面1A BE ，故1//B F 平面1A BE ．（步骤13）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A,B 两点的直线为x 轴，线段AB 的的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，在直线2x =的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过53km 区域；在直线2x =的左侧，考察范围为到A,B 两点的距离之和不超过5区域.（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段P 1P 2,P 2P 3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.第19题图【测量目标】函数与圆锥曲线的实际运用.【考查方式】给出一个实际问题运用函数模型和圆锥曲线的相关性质求解问题. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P 的坐标为(,)x y ．当2x时，由题意知2236(4)5x y -+=．（步骤1）当2x <时，由||||45PA PB +=知，点P 在以,A B 为焦点，长轴长为245a =的椭圆上．（步骤2）此时短半轴长22(25)42b =-=．因而其方程为221204x y +=．（步骤3）故考察区域边界曲线（如图）的方程为22136:(4)(2)5C x y x-+=和222:1(2)204x y C x +=<．（步骤4）第19题（Ⅰ）图（Ⅱ）设过点12,P P 的直线为1l ，过点23,P P 的直线为2l ，则直线1l ，2l 的方程分别为 314, 6.y x y =+=（步骤5）设直线l 平行于直线1l ，其方程为3,y x m =+代入椭圆方程221204x y +=，（步骤6）消去y ，得22161035(4)0x mx m ++-=．由2210034165(4)0m m ∆=⨯-⨯⨯-=，解得8m =，或8m =-．（步骤7）从图中可以看出，当8m =时，直线l 与2C 的公共点到1l 的距离最近，此时直线l的方程为38,y x =+l 与1l 之间的距离为313d ==+．（步骤8）又直线2l 到1C 和2C 的最短距离565d '=-而3d '>，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n 年，则由题设及等比数列求和公式，得0.2(21)321n --，所以4n ．故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为4年. （步骤9）20.（本小题满分13分）已知函数2()(,),f x x bx c b c =++∈R 对任意的x ∈R ，恒有()f x '()f x.（Ⅰ）证明：当0x 时，2()()f x x c +；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --恒成立，求M 的最小值.【测量目标】函数的最值与不等式证明.【考查方式】给出函数解析式证明函数的最值范围与不等式成立的条件. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）易知()2f x x b '=+．由题设，对任意的x ∈R ，22,x b x bx c +++即2(2)0x b x c b+-+-恒成立，（步骤1）所以2(2)4()0b c b ---，从而214b c+．（步骤2）于是1c，且221||4b cb ⨯=，因此2()0c b c c b -=+->．（步骤3）故当0x时，有2()()(2)(1)0x c f x c b x c c +-=-+-．即当0x时，2()()f x x c +．（步骤4）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，||c b ．当||c b >时，有2222222()()2.f c f b c b bc b c bMc b c b b c--+-+==--+（步骤5）令b t c =，则11t -<<，2121c b b c t +=-++．而函数1()2(11)1g t t t=--<<+ 的值域是3(,)2-∞．因此，当||c b >时，M 的取值集合为3(,).2+∞（步骤6）当||c b =时，由（Ⅰ）知，2, 2.b c =±=此时()()8f c f b -=-或0，220c b -=，从而223()()()2f c f b c b --恒成立．综上所述，M 的最小值为32．（步骤7） 21．（本小题满分13分）数列{}*()n a n ∈N 中，11,n a a a +=是函数322211()(3)332n n n f x x a n x n a x =-++的极小值点.（Ⅰ）当0a =时，求通项n a ；（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】数列的通项与等比数列的性质.【考查方式】给出数列的函数形式运用数列的通项与等比数列的性质求解未知数【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）易知2222()(3)3(3)()n n n n f x x a n x n a x a x n '=-++=--．令()0n f x '=，得2123,.n x a x n ==（步骤1）（1）若23,n a n <则当3n x a <时，()0,n f x '>()n f x 单调递增；当23n a x n <<时，()0,n f x '<()n f x 单调递减；当2x n >时，()0,n f x '>()n f x 单调递增．（步骤2）故()n f x 在2x n =取得极小值．（步骤3）（2）若23,n a n >仿（１）可得，()n f x 在3n x a =取得极小值．（步骤4）（3）若23,n a n =则()0,n f x '()n f x 无极值．（步骤5）当0a =时，10,a =则213 1.a <由（1）知，221 1.a == 因22332,a =<则由（1）知，232 4.a ==因为233123,a =>则由（2）知，4333 4.a a ==⨯又因为243364,a =>则由（2）知，25433 4.a a ==⨯（步骤6）由此猜测：当3n时，343.n n a -=⨯下面先用数学归纳法证明：当3n时，23.n a n >（步骤7）事实上，当3n =时，由前面的讨论知结论成立．假设当(3)n k k=时，23k a k >成立，则由（2）知，213k k a a k +=>，从而22213(1)3(1)2(2)210,k a k k k k k k +-+>-+=-+->（步骤8）所以213(1).k a k +>+故当3n 时，23n a n >成立．于是由（2）知，当3n时，13,n n a a +=而34,a =因此343.n n a -=⨯综上所述，当0a =时，10,a =21,a =343(3).n n a n-=⨯（步骤9）（Ⅱ）存在a ，使数列{}n a 是等比数列．事实上，由（2）知，若对任意的n ，都有23,n a n >则13n n a a +=．（步骤10）即数列{}n a 是首项为a ，公比为3的等比数列，且13n n a a -=．而要使23,n a n >即23n a n >对一切n *∈N 都成立，（步骤11）只需23n n a >对一切n *∈N 都成立．记23n n n b =，则123141,,,.393b b b ===…令23x x y =，（步骤12）则2211(2ln 3)(2).33x x y x x x x '=-<-因此，当2x 时，0y '<，（步骤13）从而函数 23x x y =在[2,)+∞上单调递减．故当2n时，数列{}n b 单调递减，（步骤14）即数列{}n b 中最大项为249b =．于是当49a >时，必有23n n a >．（步骤15）这说明，当4,9a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，数列{}n a 是等比数列．（步骤16）当49a =时，可得1244,.93a a ==而22342,a == 由（3）知，2()f x 无极值，不合题意．当1439a <<时，可得1234,3,4,12,,a a a a a a ====…数列{}n a 不是等比数列．（步骤17）当13a =时，2311,a ==由（3）知，1()f x 无极值，不合题意．当13a <时，可得1234,1,4,12,,a a a a a ====…数列{}n a 不是等比数列．综上所述，存在a ，使数列{}n a 是等比数列，且a 的取值范围为4(,)9+∞．（步骤18）。

2010年高考数学湖南(理)(word版含答案)

N 2， 3
N 1 ， 4
2．下列命题中的假命题是．．． A． x R ， 2
x 1
＞0
B． x N ， x 1 ＞0
2
C． x R ， lg x 1 3．极坐标方程 cos 和参数方程 A．圆、直线 C．圆、圆
D． x R ， tan x 2

．
15．若数列 an 满足：对任意的 n N ，只有有限个正整数 m 使得 am＜n 成立，记这样的
， 2， 3，…，n,…，则得到一个新数列 ( an ) ．例如，若数列 an 是 1 m 的个数为 (an ) ， 1， 2，…，n 1，… ．已知对任意的 n N ， an n2 ，则则数列 ( an ) 是 0，
A B 图5Байду номын сангаасC
D
19．（本小题满分 13 分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A， B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过 A，B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 6）．在直线 x 2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过
1
2 图4
3
4 5 月均用水量／吨
18．（本小题满分 12 分）如图 5 所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点．（I）求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值；（II）在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F//平面 A1BE？证明你的结论． A1 B1 C1 D1 E
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）

2010年高考数学(理)真题(Word版)——全国2卷(试题+答案解析)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学(必修+选修II)第I 卷一．选择题（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y ex +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位（8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若＝a ，＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则等于( ) （A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）3 （10）若曲线12y x-=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．（14）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n .（Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312nn a a a n+++…＞．（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1＝AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE ＝3EB 1.（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF = ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分）设函数()1xf x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．答案解析一、选择题（1）A解析：231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）D解析：由y ＝，得ln(x －1)＝2y －1，解得 x ＝e 2y －1＋1，故反函数为y ＝e 2x－1＋1(x ∈R )．故选D 。

2012年高考湖南理科数学试卷和答案(word完美解析版)

2012年湖南省高考数学卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1．设集合}1,0,1{-=M ，}{2x x x N ≤=，则=N MA ．}0{B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1,0,1{- 2．命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是A ．若πα≠，则1tan ≠α B ．若4πα=，则1tan ≠αD ．若1tan ≠α，则4πα=3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是A B C D4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(i i y x ),,2,1(n i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心),(y xC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加85.0kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为79.58kg【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，5．已知双曲线1:2222=-by ax C 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为B ．120522=-yxC ．1208022=-yxD ．1802022=-yx6．函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为A ．]2,2[-C ．]1,1[-D ．]23,23[-7．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，1AB BC ⋅=，则=BCB ．C ．D 8．已知两条直线m y l =:1和)0(128:2>+=m m y l ，1l 与函数x y 2log=的图像从左至右相交于点B A ,，2l 与函数x y 2log=的图像从左至右相交于点D C ,．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,．当m 变化时，ba的最小值为A ．C ．348D ．344 【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2mmx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmmm mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，m in ()ba∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.821m =+xm二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分 9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线⎩⎨⎧-=+=ty t x C 21,1:1（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθcos 3,sin :2y a x C （θ为参数，0>a ）有一个公共点在x 轴上，则=a 32．【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x ya +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -，由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =.【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 10．不等式01212>--+x x 的解集为．【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. 11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于．（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(i z +=（i 为虚数单位)，则=z 10 ．【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用z =求得.13．6)12(xx -的二项展开式中的常数项为 -160 ．（用数字作答）【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)rrr r rr rr T x---+=-=-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1=-=n x ，则输出的数=S ．【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15．函数)sin()(ϕω+=x x f 的导函数)(x f y '=的部分图象如图4所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．（1）若6πϕ=，点P 的坐标为)233,0(，则=ω 3 ；（2）若在曲线段A B C 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为4π．【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，2）时cos,362πωω=∴=；（2）由图知222TAC ππωω===，122ABC S AC πω=⋅= ，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段A B C与x轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2b b aaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC内的概率为224ABCS P S ππ===. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16．设*2(,)n N n N n =∈≥2，将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置，得到排列012N P x x x = ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -= ，将此操作称为C 变换．将1P 分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n ≤≤-时，将i P 分成2i 段，每段2iN 个数，并对每段作C 变换，得到1i P +．例如，当8N =时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置．（1）当16N =时，7x 位于2P 中的第 6 个位置；（2）当2()n N n =≥8时，173x 位于4P 中的第43211n -⨯+个位置．【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 153303251(1),(1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101(2.5),(3).100510010p X p X ====== X 的分布为X 的数学期望为33111()11.522.531.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(11.5)(1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)(1.5)(1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=( 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥平面ABCD ，4A B =，3BC =，5AD =，90D A B A B C ∠=∠=︒，E 是CD 的中点．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面P A E ；（Ⅱ）若直线P B 与平面P A E 所成的角和P B 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P A B C D -的体积．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++ ，231()n B n a a a +=+++ ，342()n C n a a a +=+++ ，1,2,.n =（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以 ()()()B n A nC n B n-=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- （Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.（２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()B n q A nC n q Bn==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即 212.n n a qa a a ++-=-由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）．（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x k x k x⨯====-+ 期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k=于是（1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x xx ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003xx=-时()f x 取得最小值，解得4009x =.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.（2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()m ax (),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()max (),()f x T x T x ={}1max (),()T x T x ≥1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭.由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550xx =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011.（3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()m ax (),()m ax ,.100f x T x T x xx ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知，当2000750100xx=-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =. （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=-②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想. 22．（本小题满分13分）已知函数()axf x ex =-，其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x R ∈，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合.（Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线A B 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1axe x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln.f x x aa'==得当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11lnx a a=时，()f x 取最小值11111(ln)ln .f aaaa a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111l n 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）由题意知，21212121()()1.ax ax f x f x eek x x x x --==---令2121()(),ax ax axeex f x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x ex e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-212()21221()()1.ax a x x ex e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--，则()1tF t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t -->从而21()21()10a x x ea x x ---->，12()12()10,a x x ea x x ---->又1210,ax ex x >-2210,ax ex x >-所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在),(21x x c ∈，使0)(=c ϕ，2()0,()axx a ex ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln()ax ax eec aa x x -=-.故当且仅当212211(ln,)()ax ax e ex x aa x x -∈-时， 0()f x k '>.综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax eex a a x x --.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为m in ()1f x ≥，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。