湖北省部分重点中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

某某省部分重点中学2015-2016学年度下学期高二期中考试
数学试卷（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．在下列双曲线中，渐近线方程为的是（）
A．B．C．D．
2．设，且，则等于（）
A．B．9C．D．
3．已知函数，且，则的值是（）
A．B．C．D．
4. 已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）
A．（x≠0）B．（x≠0）
C．（x≠0）D．（x≠0）
5．若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）
A．8B．C．D．
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于( ) A．B．C．－D．－
7．若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（）
A．4B．C．2D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若
，且，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
9．已知函数有两个极值点，则的取值X围是（）
A． B. C. D.
10．，为的导函数，则的图象是（）
11．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1
的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：
①平面MB1P⊥ND1②平面MB1P⊥平面ND1A1
③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是（）
A．①B．①③C．②③D．②④
12.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长
交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13．若曲线在点处的切线平行于轴，则．
14．若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则_____.
15．直线过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为．
16．定义在R上的奇函数，当时恒成立，若，，，则的大小关系为；
三、解答题（本大题共6小题，共70分）。

17．已知函数，其中，且曲线
在点处的切线垂直于直线
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间及极值．
18．直线与抛物线交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积。

19．如图所示，在四棱锥中，为等边三角形，，平面平面，为的中点．
（1）证明：；
（2）若，求点到平面的距离．
20．如图在直三棱柱中，，，分别是、的中点，，为棱上的点.
（1）证明：;
（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.
B
1
A
F
21．已知椭圆C：2x2+3y2=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；
（3）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

22．设函数．
（1）若函数是定义域上的单调函数，某某数的取值X围；
（2）若，试比较当时，与的大小；
（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B A B D D D C C A C D
二、填空题
13．
14. .
15．
16..
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的递增区间为，递减区间为，极小值为，无极大值．
【解析】（Ⅰ）对求导得，
由在点处的切线垂直于直线，知，
解得，所以，的值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则，
令，解得或，因不在的定义域内，故舍去．
当时，，故在内为减函数；
当时，，故在内为增函数．
由此知函数在时取得极小值
综上得，的递增区间为，递减区间为，极小值为，无极大值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、函数的极值．
18. 【答案】
试题解析：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
直线交x轴于C(4,0)点，知F(1,0)，…………2分
解得y2-4y-16=0 ………………4分
得|y2-y1|=4………………8分
S△ABF==×3×4＝6………10分
考点：1.直线与抛物线相交；2.设而不求的思想；3.分割法求三角形的面积
19．【答案】（1）见解析；（2）．
试题解析：（1）证：取中点，
因平面平面，，故平面，故；
而，故；因为为等边三角形，故，故面，故．（2）解：取的中点，则由平面平面知平面
又，所以，
由（1）知平面，所以，又
所以，设点到平面的距离为，由得．
考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、三棱锥的体积；3、等积法．
【技巧点睛】利用三棱锥的“等积性”，可以把任何一个面作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；②利用“等积性”可求点到面的距离，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．
20.【答案】（1）见解析；（2）存在，为中点.
考点：用空间向量求证线线垂直、求二面角的大小.
21．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|．解：（Ⅰ）椭圆C：2x2+3y2=6，即为
+=1，可得a=，b=，c=1，
即有e==；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1，
代入椭圆方程可得y2=，解得y=±，
则线段AB的长为；
（Ⅲ）由F（﹣1，0），设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程，
可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，
即有中点P的坐标为（，），
直线OP：y=﹣x，代入椭圆方程，可得
x=±，
可设x N=，x M=﹣，
假设存在直线l使得|NP|=3|PM|，
即有=3，
即为﹣=3（﹣﹣），
解得m=±，
则存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|．
考点：椭圆的简单性质．
综上，实数的取值X围是.
考点：导数的综合应用
22.【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析.
高考。