题型-平面向量求垂直

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2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：平面向量题型一平面向量的概念及线性运算【题型要点】对于利用向量的线性运算、共线向量定理和平面向量基本定理解决“用已知向量(基向量)来表示一些未知向量”的问题．解决的关键是：①结合图形，合理运用平行四边形法则或三角形法则进行运算；②善于用待定系数法【例1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z ＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【答案】 A【例2】．点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1S 2＝( )A.18B.16C.14D.12【解析】延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，延长CO 交AB 于E .∵O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，∴OD →＋OA →＋OB →＝0，∴O 为△DAB 重心，E 为AB 中点，∴OD ∶OE ＝2∶1，∴OC ∶OE＝1∶2，∴CE ∶OE ＝3∶2，∴S △AEC ＝S △BEC ，S △BOE ＝2S △BOC .∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，∴S 1S 2＝16.故选B.【答案】 B ．题组训练一平面向量的概念及线性运算1．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( ) A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD →C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【答案】 D2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】如图所示：设AB 的中点是E ，∵O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，∵2EO →＝OC →， ∴OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【答案】 B3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【答案】 B题型二平面向量的平行与垂直【题型要点】(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)： ①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)利用向量平行或垂直的充要条件可建立方程或函数是求参数的取值．【例3】已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( )A．9 B．3C.109 D．310【解析】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝(－3)2＋92＝310.故选D.【答案】 B【例4】．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb平行，则λ＝________.【解析】∵a＝(3,2)，b＝(2，－1)，∴λa＋b＝(3λ＋2，2λ－1)，a＋λb＝(3＋2λ，2－λ)，∵λa＋b∥a＋λb，∴(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，解得λ＝±1【答案】±1题组训练二平面向量的平行与垂直1．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.【解析】由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，解得m＝－2.【答案】－22．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.55 B.15C．－55D．－15【解析】∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，∴a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴(3－k)·3＝3×1，∴k＝2，∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，∴|a|＝10，|c|＝22，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A. 【答案】 A题型三平面向量的数量积【题型要点】(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．【例5】在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2D ．211【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG ∵AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，∴AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，∴EF →＝GB →，∴|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，∴|EF →|＝|GB →|＝25，故选B. 【答案】 B【例6】．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3【解析】因为点M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12()OA →＋OB →，|OA ＝|OB |＝|AB |＝2，所以△ABC 是等边三角形，即〈OA →，OB →〉＝60°，OA →·OB →＝2×2×cos60°＝2，OC →·OM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-B O A O B O A O21213235＝56OA →2－13OB 2＋12OA →·OB → ＝56×22－13×22＋12×2＝3，故选A. 【答案】 A题组训练三平面向量的数量积1．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ) 所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32 当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.【答案】 B2．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB 的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数mn的值为( )A.16B.14 C ．6D ．4【解析】 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3， ∵OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16，故选A.【答案】 A题型四数与形相辅相成求解向量问题【例7】在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 【解析】法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解．如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，∴OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， ∴OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，∴|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1. 【答案】 D题组训练四数与形相辅相成求解向量问题已知|b |＝1，非零向量a 满足〈a ，b －a 〉＝120°，则|a |的取值范围是________．【解析】如图，设CA →＝b ，CB →＝a ，则b －a ＝BA →，在△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝60°. 根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．作△ABC 的外接圆，当BC 为圆的直径时，|a |最大，此时|a |＝BC ＝1sin 60°＝233；当B ，C 无限接近时，|a |＝BC →0.故|a |的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【答案】 ⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【专题训练】一、选择题1．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．9 B ．3 C.109D ．310【解析】向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9.则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D. 【答案】 D2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)，又a ＋b 与a 共线． ∴(k ＋2)－3k ＝0，解得k ＝1，∴a ·b ＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D. 【答案】 D3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为( )A ．－1313B.1313C ．－113D.113【解析】∵a ⊥(a ＋b )，∴a ·(a ＋b )＝1＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，∴|a ＋2b |2＝1＋4a ·b ＋16＝13，则|a ＋2b |＝13，又a ·(a ＋2b )＝a ·(a ＋b )＋a ·b ＝－1，故向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为－113＝－1313.选A.【答案】 A4．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)【解析】由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.【答案】 B5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn＝( ) A ．－3 B ．－13C.13D ．3【解析】过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.【答案】 A6．如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65D.85【解析】法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫⎝⎛+-μλμλ2,2，∴⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二以AB →，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【答案】 D7．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，∴(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，∴ab＝14. 【答案】 A8．在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a 满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3D.6＋2＋1【解析】由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)，∴|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点，求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【答案】 B9．已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，∴a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，∴BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A ＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. ∵π3<A <π2，∴π3<2A －π3<2π3，∴32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，∴3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32.∴BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+233,3. 【答案】 ⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,310．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【解析】因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．【答案】 C11．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【解析】因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21⊗(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π⇒y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ，即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3，所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1⇒2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 【答案】 A 二、填空题12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB→＋13AD →，又AC →＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12⇒m ＋n ＝32.故应填答案32.【答案】 3213．若函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+48ππx (－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.【解析】 ∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA |2＝2×36＝72. 【答案】 7214．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA →|＝a ，|CB →|＝b ，则A (a,0)，B (0，b ) ∵点D 是斜边AB 的中点，∴D ⎪⎭⎫⎝⎛2,2b a ， ∵点P 为线段CD 的中点，∴P ⎪⎭⎫⎝⎛4,4b a ∴|PC →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝a 216＋b 216|PB →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b ＝a 216＋9b 216|P A →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝9a 216＋b 216∴|P A →|2＋|PB →|2＝9a 216＋b 216＋a 216＋9b 216＝10⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+161622b a ＝10|PC →|2，∴|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝10.【答案】 1015.在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A (0,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1t ，C (0，t )，∵AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)；又|BC |＝221⎪⎭⎫⎝⎛+t t ，BC 的方程为tx ＋y t ＝1，∴点P 到直线BC 的距离为d ＝221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t ，∴△PBC 的面积为S ＝12·|BC |·d＝12·221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t＝12|4t ＋1t －1|≥12·|24t ·1t －1|＝32，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.【答案】 32。

向量知识点及题型总结

向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。

- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。

- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。

- 零向量：模长为0的向量，表示为0。

二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。

- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。

2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。

- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。

- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。

- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。

- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。

- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。

- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。

2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。

- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。

- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。

- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。

四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。

平面向量题型学霸总结六(含答案)-

平面向量题型学霸总结五（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知，，，则．A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查向量的数量积及模，考查向量的坐标运算，属于基础题．由，求出的坐标，根据，可求t，结合向量数量积的坐标运算即可求解．【解答】解：由，，则，，所以．故选D．2.已知向量，，若与的夹角为，则A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模，属于基础题．由题意可得，，即可求，由展开即可求解．【解答】解：由题意可知：，，，则．故选B．3.如图，，为互相垂直的两个单位向量，则A. 20B.C.D.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，得到向量，的终点坐标和起点坐标，从而得到向量a，b的坐标，即可得到和向量的坐标，再由模的公式即可得到答案．【解答】解：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为，起点坐标为，的终点坐标为，起点坐标为，则有，，，即有．故选C．4.已知O为内一点且满足，若的面积为且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题为中档题．考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，得出O为三角形的重心是解决问题的关键．根据向量判断出点O为三角形的重心，由重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式和三角形的面积公式可求出，即可求出【解答】解：，，为三角形的重心，的面积为面积的，的面积为，，，，即，由可得，即，即，5.已知向量，若，则与夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，两个向量的夹角公式，属于基础题．由题意可得与反向，故与的夹角即为与的夹角，利用两个向量的夹角公式求解即可．【解答】解：向量，，，若，则与反向，与的夹角即为与的夹角，设为，，，，即与的夹角为．故选A．6.若单位向量满足：，向量满足，且向量的夹角为，则为．A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的数量积，考查数量积的运算律，数量积与垂直的关系，掌握数量积的定义是解题关键．由向量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得，再由数量积的定义可得模．解：因为，所以，因为，所以，所以．故选：C．7.下列说法中正确的有．如果非零向量与共线，那么的方向必与之一的方向相同；在中，必有；若均为非零向量，则与一定相等．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查向量的有关运算，属于基础题．举反例即可得到结论；根据向量的加法即可判断；根据向量的加法以及向量的模即可判断．【解答】解：当时结论不成立；根据向量的加法判断是正确的；只有同向时结论才成立．故选B．8.已知向量，，，若，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由已知可得，因为，，所以，解得，故，则，，，故向量在方向上的投影为，故选：B．通过向量共线解得t，然后利用向量的数量积转化求解向量在方向上的投影．本题考查向量的共线与向量的数量积的应用，向量的投影的求法，是基础题．9.设为实数，已知向量，若，则向量与之间的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算与数量积运算，属于基础题，根据，可知，计算出，然后计算出，再根据夹角公式计算与之间的夹角余弦值，然后得出夹角．【解答】解：依题意，可知，即，即，所以，设与之间的夹角为，根据夹角公式可知，又，所以，故答案选A．10.中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且，若，则的面积的最大值是A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可得，由余弦定理可得，结合范围，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求，当且仅当时，取等号，利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：由正弦定理以及得：，整理得，则，，求得，因为，所以由余弦定理得，因为，所以，解得，当且且仅当时取等号，所以，即面积的最大值为．故选B．11.设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为A. ，B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题．根据直线与抛物线交于D、E两点，确定D、E两点坐标，由可得，可确定p的值，从而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：根据题意，不妨设，，因为，可得，所以，故，所以抛物线C：，所以抛物线的焦点坐标为．故选B．12.已知在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题．由正弦定理及，得，代入余弦定理求值，进而得角．【解答】解：由及，得，．为的内角，．故选A．13.已知，，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查数量积的定义，以及向量垂直的判定，向量的夹角，属基础题．根据向量垂直，向量的模，向量的数量积求出答案．【解答】解：设，的夹角为，，，且，所以，代入数据求得，又因为，所以，故选B．14.若向量，，则与的夹角等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，向量夹角的求解，坐标运算，属于简单题．由题意得，，，利用数量积公式，由此可求得二者的夹角．【解答】解：由题意得，，，，，又，，，，故选C．二、不定项选择题（本大题共3小题，共12.0分）15.已知向量，则A. B.C. 共线D. 夹角是钝角【答案】BCD【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算、模长公式、共线和夹角，属于基础题．利用已知条件逐个判断即可．【解答】解：由题意，得，对于A，因为，故错误；对于B，因为，故正确；对于C，因为，故与共线，故正确；对于D，因为，则，且与不共线，故与夹角是钝角，故正确，故选BCD．16.已知向量，则A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】AD【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，向量垂直的条件，向量的模及向量共线的充要条件，属于中档题．根据向量垂直的条件，向量的模及向量共线的充要条件逐项判定即可．【解答】解：对于A，因为，，所以，所以，故选项正确；对于B，因为，所以，解得，故选项错误；对于C，因为，所以，所以，即，解得，故选项错误；对于D，因为，所以，所以，所以，所以，故选项正确．故选AD．17.多选下列命题中正确的是A. 对于向量，，若，则B. 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件C. 对于向量，，若，，则D. 对于向量，，的充要条件是且【答案】BC【解析】【试题解析】【分析】本题考查平面向量的有关概念、充分、必要条件的判断和平面向量的几何语言，属于基础题．对选项逐个判断即可．【解答】解：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，故A不正确；，且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，方向相同，因此，故B正确；的长度相等且方向相同，又，，的长度相等且方向相同，，的长度相等且方向相同，故，故C正确；当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，故D错误．故选BC．三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）18.已知向量，，，若，，则的值为________．【答案】10【解析】【分析】本题考查向量的数量积运算，向量的坐标运算，以及向量平行、垂直的条件，属于基础题．由解得x，由解得y，得到和，进而得解．【解答】解：由，可得，解得，则，由，可得，解得，则，即，则．故答案为10．19.已知向量，，若，则_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．由得，可解出再利用向量模的坐标运算即可得出结果．【解答】解：由，解得，则，所以，故．故填．20.设x，，向量，，，且，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，考查平行向量、垂直向量的坐标运算，属于基础题．由条件求得x，y，得到，即可得解．【解答】解：由得，．由知．，所以．故答案为：．21.已知，且，则向量与向量的夹角是_______．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了向量的模，向量垂直的判断与证明，向量的数量积，向量的夹角，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意可得，设向量与向量的夹角为，从而即可得到，进而可得向量与向量的夹角．【解答】解：，即，，设向量与向量的夹角为，，，，即，，，即向量与向量的夹角为，故答案为．22.已知向量，满足若，则向量与向量的夹角为_______．【答案】或【解析】【分析】本题考查求平面向量的夹角，属于基础题．利用条件求出，再由夹角公式即可求解．【解答】解：，，即，，，，，或，故答案为或．23.已知，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积及夹角计算，属于基础题．由题意得到与的夹角不可能为0，令即可解出x的范围．【解答】解：若，则，，此时，与的夹角为，即与的夹角不可能为0，与的夹角为锐角，，又，，，故x的取值范围是．故答案为．24.若非零向量满足，且，则___________ ，与的夹角为________．【答案】【解析】【分析】本题考查向量的数量积、向量的垂直关系及向量的夹角，属于中档题．由，得到，结合条件和向量数量积公式得到结果．【解答】解：，，，，，，，，，，则．故答案为，．25.已知，是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数____【答案】【解析】【分析】本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A，B，D三点共线，可得存在实数，使得，利用平面向量的基本定理即可得出．【解答】解：，，．又，且A，B，D三点共线，一定存在实数，使，，．26.已知向量，若，，则________．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示，向量垂直的坐标表示，向量的模．直接应用向量平行和垂直求出向量，再求．【解答】解：设，由，得，由，得，即，联立，解得所以，所以．故答案为．四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．Ⅰ求sin B；Ⅱ若的周长为8，求的面积的取值范围．【答案】解：且，又，，，，．由题意知：，故，，，，或舍，即当时等号成立综上，的面积的取值范围为．【解析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．28.已知向量，，且函数．若，求的值；在中，且，求面积的最大值．【答案】解：因为，，，且，所以，即，所以，所以．由题可得，因为，所以，又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．【解析】本题考查向量的数量积，向量垂直的判定，二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的三角函数公式，三角形面积公式，余弦公式以及基本不等式的应用，属于中档题．因为，且，可得，即可得到，进而求解．由题可得，再根据，得到，结合，即可求出在中由余弦定理可得，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解．29.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是，向量对应的复数是，向量对应的复数是，求点C在复平面内的坐标．【答案】解：，对应的复数为．设，则，，，，点C在复平面内的坐标为．【解析】本题考查复数的运算，以及向量的加减运算，首先，根据三角形法则用表示出，对应的复数相减，得出对应的复数，接下来，设出C点坐标为，用A点对应的复数以及C点对应的复数表示出，据此求出x和y的值，找到对应的点，即可得到答案．30.设内角的对边分别为，已知．求的值；若，求向量在方向上的投影．【答案】解：由题意得：向量在方向上的投影即求由正弦定理：由余弦定理：故向量在方向上的投影即．【解析】本题考查两角和的余弦公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系式以及向量的投影等基本知识，考查计算能力．由已知条件利用三角形的内角和以及两角和的余弦函数公式，求出A的余弦值；利用，，结合正弦定理，求出B的正弦值，进而求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，再利用向量的投影公式，求出在方向上的投影．。

平面向量重难点题型训练

平面向量重难点题型训练摘要：一、平面向量的基本概念二、平面向量的重难点题型三、平面向量的解题技巧四、总结与展望正文：一、平面向量的基本概念平面向量是平面内的有序线段，可以用来表示平面内的物理量，如速度、加速度、力等。

平面向量具有大小和方向两个属性，通常用有序实数对(a,b) 来表示，其中a 和b 分别表示向量的水平和垂直分量。

平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和向量积等。

二、平面向量的重难点题型1.向量加法与减法向量加法和减法是平面向量的基本运算之一，其难点在于处理不同方向的向量。

解决这类问题时，需要将向量分解为水平和垂直分量，然后进行相应的加减运算。

2.向量数乘向量数乘是平面向量的另一个基本运算，其难点在于理解数乘的物理意义和计算方法。

向量数乘的结果是一个向量，其大小等于原向量的大小与数乘因子的乘积，方向与原向量相同或相反。

3.向量积向量积是平面向量的高级运算，其难点在于理解向量积的物理意义和计算方法。

向量积的结果是一个向量，其大小等于原向量之积与夹角的余弦值的乘积，方向垂直于原向量所在的平面。

三、平面向量的解题技巧1.图形法图形法是解决平面向量问题的一种直观方法，通过画图可以直观地表示向量的大小和方向，以及向量之间的运算关系。

2.分解法分解法是解决平面向量问题的一种常用方法，通过将向量分解为水平和垂直分量，可以简化向量运算，尤其是处理不同方向的向量时。

3.数学建模法数学建模法是解决平面向量问题的一种高级方法，通过将实际问题抽象为数学模型，可以更好地理解向量的物理意义和计算方法。

四、总结与展望平面向量是物理学、工程学等领域中的重要概念，掌握平面向量的基本概念和解题技巧对于解决实际问题具有重要意义。

向量题型归纳(全)

向量题型归纳(全)平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=?2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？类型（二）：向量的垂直问题1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。

3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。

4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。

5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？类型（三）：向量的夹角问题1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。

6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？类型（四）：求向量的模的问题1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.已知向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=？2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=？3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

向量知识点题型归纳

专题--平面向量1.向向量的相关概念、、2.向量的线性运算二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如（1）若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r______ （答：1322a b -r r）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u rB. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u rD. 1213(2,3),(,)24e e =-=-u r u u r （答：B ）；（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC uuu r可用向量,a b r r 表示为_____（答：2433a b +r r）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是（答：0）四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=r r当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r，注意：λ≠0。

高中数学向量题型和解题方法

高中数学向量题型和解题方法由于向量集数形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，因此关于向量问题的解题方法自然也就多彩多样，解决向量问题时我们应该从多个维度去思考，哪种方法简单，我们就选择哪种方法。

今天我们就从五个方面：利用基本定义求解、利用基底求解、利用坐标或建立坐标系求解、利用几何法求解、利用代数法求解等分别介绍平面向量的解题方法和策略。

只有掌握了所有的这些方法，对于向量的学习才会真正做到融会贯通。

一、利用基本定义求解为了提高和培养孩子的数学学习兴趣，可让孩子读读这本书：二、利用基底求解基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求向量转化为已知的两个不共线向量来求解问题。

注意：如果图形中有向量垂直，我们就以互相垂直的向量作为基底。

三、利用坐标或建立坐标系求解利用坐标或建立坐标系求解就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。

实际上，坐标法具有天然的优势，有时能轻松解决较为复杂的问题，特别是后面我们要学习的向量在立体几何中的应用。

四、利用几何法求解几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题。

这就需要我们对所学习的平面几何基本图形性质十分清楚。

我们学习到的基本平面图形主要有三角形、四边形、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

每种图形的基本定义、定理、性质甚至推论我们都要了如指掌，转化使用时才会得心应手。

五、利用代数法求解所谓代数法就是将题目中的已知条件和所求结论，利用代数的方法，通过代数运算解决问题。

比如我们学过的完全平方、基本不等式、函数解析式等，通过转化，在这里都会有很巧妙的应用。

以上就是高中数学向量题型和解题方法。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

专题平面向量常见题型与解题指导

专题平面向量常见题型与解题指导Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

平面向量中的线性问题专题(附答案)

平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算及应用例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →(2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)(2015·)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.(2)平面给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .变式训练2 (1)(2014·)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________.高考题型精练1.(2015·)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.62.(2015·)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB ，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.234.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →6.如图，平面有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝2，|OB →|＝32，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则( )A.λ＝4，μ＝2B.λ＝83，μ＝32C.λ＝2，μ＝43D.λ＝32，μ＝437.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.8.已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为______.9.(2014·)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 10.(2014·)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.11.(2015·)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.12.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值.平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算及应用例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.(2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解由D ，O ，C 三点共线，可设 DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎪⎫b －12a＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2(12b －a )＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋(－12k 1a ＋k 1b )＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b ).点评平面向量的线性运算应注意三点： (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________. 答案 (1)A (2)45解析根据向量的基本定理可得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →)＝AC →＋(2AC →－22BC →)＝AC →＋2AC →－22(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22·AC →＋22AB →. 所以λ＝22，k ＝1＋22. 所以λ＋k ＝1＋ 2.故选A. (2)依题意得AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC →， AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →；又AB →＝λAM →＋μAN →，于是有AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋BC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34λ＋μ·AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2BC →；又AB →与BC →不共线，因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)(2015·)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. 答案－3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.(2)平面给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 ①由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.③设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3).点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)(2014·)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 答案 (1)7＋1 (2)m ≠12解析 (1)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值. ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3,1)，BC →＝(－m －1，－m ).由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是m ≠12.高考题型精练1.(2015·)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B解析 a ＝(2,4)，b ＝(x,6)，∵a ∥b ，∴4x －2×6＝0， ∴x ＝3.2.(2015·)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a||b |cos120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB ，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.23答案 D解析过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略). 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD →D.12BC →答案 C解析如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 5.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，则“a ＝(4,2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析若a ＝(4,2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； ∵a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，知 4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2， ∴a ＝(4,2)或a ＝(－4，－2).因此“a ＝(4,2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件.6.如图，平面有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝2，|OB →|＝32，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则( )A.λ＝4，μ＝2B.λ＝83，μ＝32C.λ＝2，μ＝43D.λ＝32，μ＝43答案 C解析设与OA →，OB →同方向的单位向量分别为a ，b ，依题意有OC →＝4a ＋2b ，又OA →＝2a ，OB →＝32b ，则OC →＝2OA →＋43OB →，所以λ＝2，μ＝43.7.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系(图略)，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.8.已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为______. 答案 1 解析由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1. 9.(2014·)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.答案 5解析 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝5，∴|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，∴|λ|＝ 5.10.(2014·)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 答案 12 解析因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ.因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12. 11.(2015·)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16. 12.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值.(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2).当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2).∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线.(3)解当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2).又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2). 又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|. ∵S △ABM ＝12，∴12|AB|·d＝12×42×2|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.。

专题02 多题一解之两平面向量垂直篇(解析版)

专题02 多题一解之两平面向量垂直篇【知识储备】1、两向量夹角的定义：已知两个非零向量a 和b ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则∠AOB＝θ叫作向量a 与b 的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量数量积：a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫作a 与b的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ. 当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则有：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r点拨：0a b ⋅=r r、12120x x y y +=都是等量关系，为建立方程提供了依据，因此常以该知识点为平台考查求值问题，特别是数量积的坐标表示为向量与解析几何相结合提供了强有力的依据，另外两向量垂直还有相应的等价说法，如直角三角形、两直线垂直、直径所对的圆周角为90o，在处理这些问题时都可以转化为数量积为零来处理。

【走进高考】1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（131；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．因为P 为C 上一点，且12=0⋅u u u r u u u u rPF PF ，12S =16△F PF ，所以22221x y a b+=，()()()()0---+--=c x c x y y ，1||2162y c ⋅=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③ 由②③及222abc=+得422b y c=，又由①知22216y c =，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由于EM AB⊥u u u u r u u u r，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，()220∴+-=t t t ．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.3．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=o ，则k =______．【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y得22(1)4k x x -=，即2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得214(1)y y k =+，即2440y y k --=，则124y y k+=，124y y =-，由90AMB ∠=o，得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-u u u r u u u r1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=，将212224k x x k ++=，121x x =与124y y k +=，124y y =-代入，得2k=．4．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．【解析】（1）设()A x ,y 11，()B x ,y 22，l ：2x ym =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得y my --=2240，则y y =-124又y x 211=2，y x 222=2，故()y y x x 21212=4=4，1212+0=x x y y ，所以OA OB ⊥．即角AOB=90o，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得y y m 12+=2，()x x m y y m +21212+=++4=24故圆心M 的坐标为()m m 2+2，，圆M 的半径r =由于圆M过点(4,2)P -，因此AP BP =u u u r u u u r g ，故()()()()121244++2+2=0x x y y --即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200由（1）可得y y 12=-4，x x 12=4．所以2mm --=210，解得m =1或m=-12．当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为，圆M 的方程为()()x y -+-=223110当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M的，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．5．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得(),0F c ，直线2b y=与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得BF CF ⋅=u u u r u u ur，2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则22231044c a b -+=，由222ba c =-可得223142c a =，则ce a===．【典例分析】以两向量垂直为依据考查求值问题：【例】（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且=0ACBC ⋅u u u ru u u r，则实数a 的值为_________．【答案】0或6【解析】圆:C 的标准方程为22(1)(2)9x y ++-=，所以圆心为(1,2)C -，半径为3．因为AC BC⊥，所以圆心C 到曲线0=+-a y x=所以0a =或6．【练习】在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．【解析】（I ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为(3,)t ，则有,)22()1(32222t t +=-+解得1t =．则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a从而21212214,2a a x x a x x -++=-=①，由于OA OB⊥，可得,02121=+y y x x又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a以两向量垂直为依据解决线过定点问题：【例】（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u r u u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u rQUOTE．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由2NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =．因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=．因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r， (,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r ，由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m mtn n --+-=，又由（1）知222mn +=，故330m tn +-=．FCBOyx所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r，即OQ PF ⊥u u u r u u u r ．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．两向量垂直联想到直角三角形：例、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→。

题型-平面向量求垂直

平面向量求垂直一、题型要求：1、两向量垂直：0=·Û^b a b a2、坐标运算：02121=+Û^y y x x b a二、例题讲解：1、已知向量)2,1(=a 和向量)4,(x b =垂直，则x=______。

2、（2014－重庆一模）若向量a b a b k a 与且+=-=),1,3(),,1(垂直，则实数k 的值是_____。

三、练习巩固：1、（2014－惠州模拟）已知i 和j 是两个互相垂直的单位向量，j i b j i a l +=-=,2，且a 与b 的夹角为锐角，则实数l 的取值范围是_________。

2、（2014－红河校级考试）已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若b a ^，则实数x 的值是______。

3、（2013－乐山一模）已知点A （－1，0），B （1，3），向量),2,12(-=k a 若,a AB ^则实数k 的值是________。

4、（2011－广东模拟）已知向量),1,2(),4,3(-==b a 如果向量b b x a -+与垂直，则实数x 的值是________。

5、（2012－山东模拟）已知向量b a ,夹角为060，且a b m a b a ^+==)3(,2||3||若，，则实数m 的值是________。

6、（2014－重庆高考）已知向量,)32(),1,2(),4,1(),3,(c b a c b k a ^-===且则实数k ＝______。

7、（2014－湖北高考）设向量),1,1(),3,3(-==b a 若),()(b a b a l l -^+则实数l ＝____。

8、（2013－高考大纲卷）已知向量m=)1,1(+l ,)2,2(+=l n ,若),()(n m n m -^+则l ＝_______。

9、已知b a b a 与,8||,4||==的夹角是0120，)()2(b a k b a -^+，则k 的值是_______。

专题12 平面向量-2022高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的
定义式，属于简单题目.
4、（2020
海南省新高考全国Ⅱ卷·T3）在
ABC
中，D
是
AB
边上的中点，则
CB
=（
）
A. 2CD CA
B. CD 2CA
C. 2CD CA
D. CD 2CA
【答案】C
k
a
b
a
0
，
2
即： k a a b k
2 0 ，解得： k
2.
2
2
故答案为： 2 ． 2
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
4、（2020
北京卷·T13）已知正方形
ABCD
的边长为
2，点
P
满足
AP
余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0, ] ．
6、（2019 年高考全国 II 卷理数）已知 AB =(2,3)， AC =(3，t)， BC =1，则 AB BC =（）
A．−3
B．−2
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由 BC AC AB (1,t 3) ， BC 12 (t 3)2 1 ，得 t 3 ，则 BC (1, 0) ，
专题 12 平面向量
—2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
本部分内容在备考时应注意加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向
量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．

平面向量专题练习(带答案详解) (3)

平面向量专题练习(带答案详解)一、单选题1．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，则a b ⋅=（） A ．3B ．2C ．1D ．02．已知向量()1,2a =-，()2,x b =，若//a b ，则x 的值是（） A ．-4B ．-1C ．1D ．43．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（） A ．1B ．15C ．35D ．754．等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=（） A ．4-B ．2-C ．2D ．45．设,a b 是非零向量，则2a b =是a ba b=成立的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中,4,3A b c E F π=+=、为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅的最小值为（）A ．932B ．83C ．269D ．37．若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．已知非零向量,a b 满足||6||a b =，,a b 的夹角的余弦值为13，且()a a kb ⊥-，则实数k 的值为（） A ．18B ．24C ．32D ．369．已知向量, m n 的夹角为60︒，且13213m m n -==，,则n =（）A ．3212-B ．3212+C ．2132-D ．210．已知向量0.52logsin log cos OA OB OC θθ=⋅+⋅，若A 、B 、C 三点共线，则sin cos θθ+=（）A ．355-B ．355C ．55-D ．5511．在ABC ∆中，22AB AC ==，60BAC ∠=︒，且2BD DC =，则AD BC ⋅=（）． A ．1-B ．1C ．7D ．7212．已知椭圆222:19x y C b +=的离心率为223，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅的取值范围为（）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--13．已知向量()2,a m =-，()1,b n =，若a b b ∥，且2b =，则实数m 的值为（） A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或414．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-15．已知向量a ，b 满足22a a b a b =⋅=-，，当a ，b 的夹角最大时，则a b ⋅=（） A ．0B ．2C ．22D ．416．已知O 是ABC ∆的重心，且20OA OB BC λ++=，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．1D ．1217．设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为4π时，a 在e 方向上的投影为（）A ．22-B ．12C ．22D ．3218．若向量a ，b 满足||3a =，||26b =，且满足(2)a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．3πB ．23πC ．4πD ．34π19．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8二、填空题20．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ，则3r s +的值为__________.21．已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是________. 22．已知在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，()()()1,,3,1,4,AC m AB BD n ===，若B 、C 、D 三点共线，则m +n ＝_____.23．ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅的取值范围是__________.24．已知向量(4,3)a =-，若向量(2,1)b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影是_____． 25．已知()3,4a =，()2,1b =，则a 在b 方向上的投影为______.26．设向量(1,)AB m =，(2,1)BC m =-，其中[1,)m ∈-+∞，则AB AC ⋅的最小值为__________．27．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则⋅=a b ___________28．已知||1,||2,0,()()0a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=,则||c 的最大值为_________________.三、解答题29．已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.30．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设122327a b MN ⎡⎤==∈⎣⎦，，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.参考答案1．C直接根据向量数量积的坐标表示即可得出结果. 【详解】∵()1,2a =-，()1,1b = ∴11211a b ⋅=-⨯+⨯=，故选：C . 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 2．A利用向量平行的坐标表示直接求解即可. 【详解】∵向量()1,2a =-，()2,x b =，//a b ， ∴()122x ⨯=-⨯，解得4x =-， ∴x 的值为4-，故选：A . 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 3．D由ka b +与2a b -互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-求解即可. 【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒= .故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型. 4．D 【解析】【分析】将CP 用CA 与CB 进行表示，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=,故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难. 5．B利用||aa 的意义，即a 方向上的单位向量，再根据充分条件与必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】由2a b =可知,a b 方向相同，||a a ，||b b 表示,a b 方向上的单位向量，所以||||a ba b =成立；反之不成立. 故选：B . 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量共线、简易逻辑知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的方向. 6．C 【解析】()22122125 (33339)9AE AF AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()22222251212126992969649b c c b bc b c bc b c +=++⨯=+-≥+-⨯=（b c = 时等号成立），即AB AC 的最小值为269, 故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．B根据相互垂直的向量数量积为零，求出a 与b 的夹角. 【详解】由题有()20a b a a b a -⋅=-⋅=，即22b a a ⋅==，故2cos 2cos 2b a a b θθ⋅=⨯⨯=⇒=，因为[]0,θπ∈，所以4πθ=.故选：B. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题. 8．A根据向量垂直关系和数量积运算公式()0a a kb ⋅-=，可得关于k 的方程，解得k . 【详解】由||6||a b =可设||b t =，则||6(0)a t t =>.因为221()||36603a a kb a ka b t k t t ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以18k =.故选：A . 【点睛】本题考查平面向量数量积及其运算，同时考查向量垂直关系的运算，属于简单题. 9．D把向量的模用向量的数量积表示出来，由数量积的定义求解．【详解】222232(32)912cos 60413m n m n m m n n︒-=-=-+=，又1m=，∴22320n n--=，解得2n=，故选：D【点睛】本题考查求向量模，掌握数量积的定义和性质是解题关键．10．B由A、B、C三点共线和对数的运算性质，可得sin1cos2θθ=，再结合三角函数的基本关系式，求得12sin,cos55θθ==，即可求解.【详解】由题意，向量0.52log sin log cosOA OB OCθθ=⋅+⋅，若A、B、C三点共线，根据平面向量的基本定理，可得0.52log sin log cos1θθ+=，即0.50.5log sin log cos1θθ-=，即0.5sinlog1cosθθ=，可得sin1cos2θθ=，且sin0,cos0θθ，又由22sin cos1θθ+=，解得12sin,cos55θθ==，所以sin cosθθ+=355.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理，以及同角三角函数的基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．A由向量的运算法则，可得1233AD AB AC=+，BC AC AB=-，结合向量的数量积的运算，即可求解，得到答案.【详解】由向量的运算法则，可得2212()3333AD AB BC AB AC AB AB AC=+=+-=+，BC AC AB =-，又由22AB AC ==，60BAC ∠=︒，所以AD BC ⋅=2212112()()33333AB AC AC AB AB AB AC AC +⋅-=--⋅+22112221cos6011333=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的基本定理，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．A根据椭圆的离心率，求出b 的值，得到椭圆的标准方程，然后根据()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-，结合PM PN ⊥，得到PM MN ⋅的坐标表示，得到关于x 的函数，结合x 的范围，得到答案. 【详解】椭圆222:19x y C b +=的3a =，其离心率为223，所以223c a =，所以22c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为22+19x y =，设(),P x y ，[]3,3x ∈-，则()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-2PM PN PM=⋅-因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，所以()2222PM MN PM x y ⎡⎤⋅=-=--+⎣⎦()22219x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦2891942x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以PM MN ⋅是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为94x =，所以当94x =时，取得最大值为12-当3x =-时，取得最小值为25-，所以125,2PM MN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题. 13．C根据已知得到a b -的坐标，然后根据a b b ∥，2b =得到关于m ，n 的方程组，从而得到答案. 【详解】向量()2,a m =-，()1,b n =，所以()3,a b m n -=--，因为a b b ∥，2b =，所以()2312n m n n ⎧-=-⎨+=⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=-⎩ 所以m 的值为2-或2. 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题. 14．D构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =，M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．15．D先建系, 设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,再结合平面向量数量积的坐标及运算性质,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,利用0∆=求出,即可(,)b x y =,即可解得所求.【详解】设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,因为2||a b a b ⋅=-,所以2222(2)x x y =-+,即24(1)y x =-,为点B 的轨迹方程. 由上图易知,当直线OB 与抛物线相切时,,a b 的夹角最大.由24(1)y kx y x =⎧⎨=-⎩消去y 得22244016160,1k x x k k -+=∆=-==±，. 所以2x =,即点(2,2)B 或1(2,2)B -时，即(2,2)b =或(2,2)b =-时，,a b 的夹角最大.此时，4a b ⋅=.故选:D .【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想, ,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.16．C 将BC 用OA ，OB 表示出来，根据O 是重心，即可列方程求得参数的值.【详解】()()2220OA OB BC OA OB OC OB OA OB OC λλλλ++=++-=+-+= 因为O 是ABC ∆的重心，所以211λλ-=⎧⎨=⎩，解得1λ=. 故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及三角形重心的向量表示，属基础题.17．C 利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得a 在e 方向上的投影.【详解】a 在e 方向上的投影为2cos 42a e a eπ⋅=⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题.18．D【解析】利用向量垂直关系，可得a b ⋅，然后根据向量夹角公式，可得结果.【详解】由(2)a b a +⊥，所以(2)0a b a +⋅=则220a a b +⋅=，又||3a =，所以6a b ⋅=-，由||26b =则2cos ,2ab ab a b⋅==-，又[],0,a b π∈，所以3,4a b π= 故选：D【点睛】本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题. 19．D由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】 ∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 20．85根据4CD DB =得到4455CD AB AC ，再由CD r AB sAC =+，根据平面向量的基本定理，求得,r s 的值，代入即可求解.【详解】如图所示，由4CD DB =，可得444555CD CB AB AC ==-，又由CD r AB sAC =+，所以44,55r s ==-，所以44833555r s +=⨯-=，故答案为：85. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 21．4π根据()a a b ⊥-得到1a b =，再带入夹角公式即可.【详解】因为()a a b ⊥-，所以()0a a b ⋅-=.即20a a b -⋅=，10a b -⋅=，1a b ⋅=. 12cos 22a b a b θ===.所以夹角是4π. 故答案为：4π【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，熟练掌握夹角公式为解题的关键，属于简单题。

平面向量常见基础题型(含参考答案)

平面向量常见基础题型（一）向量共线1. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ2．已知），（），，（），，（73231x C B A --，设=，=且∥，则x 的值为（）(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 183．已知，是同一平面内的两个向量，其中a =（1，252=，且a ∥，求的坐标4.n 为何值时，向量），（1n =与),4(n =共线且方向相同？5.已知,不共线，k -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系是（二）向量的垂直1．已知向量=--==n n 与），若，（，（211242==，且与的夹角为3π，若的值垂直，求与k k k 22-+。

3.已知单位向量⊥-，求证：（的夹角为和23π4.已知,24），（=求与垂直的单位向量的坐标。

5. ）满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥，___=+⊥（（三）向量的夹角1.平面向量,41==且满足2.=，则与的夹角为2.已知非零向量,（2-⊥=，则与的夹角为3.已知平面向量,满足424)2.(==-=+-（且，则与的夹角为 4.设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<,5.的夹角。

与求b a ,732=+==6.若非零向量b a ,,0).2(=+=则b a 与的夹角为（四）求向量的模1.已知零向量==+==，则），（2510.,12 2. 已知向量,====221 3. 已知向量)3,1(=，=+-=b )0,2(4．已知向量-==),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 5. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，（）==+=BC162(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 16. 设向量，则+-⊥==2),2(,21 （五）投影1．，45==，与的夹角32πθ=，则向量在向量上的投影为 2已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（）ABC．D． 3在Rt △ABC 中，===∠AC C .,4,2则π4关于c a b a ..=且0≠a ，有下列几种说法：① )(-⊥； ② ⊥ ；③0).(=- ④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤λ=；⑥=,其中正确的个数是（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个（六）平面向量基本定理1在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-3 中，边的高为，若，，，，，则（A ）（B ）（C ）（D ） ABC ∆AB CD CB a =CA b =0a b ⋅=||1a =||2b =AD =1133a b -2233a b -3355a b -4455a b -4设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.5向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.（七）向量定值1在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则=________.2己知正方形ABCD 的边长为l ，点E 是AB 边上的动点.则的值为，的最大值为_________.3如图在平行四边形ABCD 中，AP⊥BD，垂足为P ，且= .4 如图，在矩形中，，点是的中点，点在边上，若，则的值是5.如图，在ΔABC 中，，，，则=（）（A ）（B ）（C ）（D ） 6如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是．AB AC ⋅DE CB ⋅DE DC ⋅3AP =AP AC ABCD 2,2AB BC ==E BC F CD 2AB AF ⋅=AE BF ⋅AD AB ⊥3BC =BD 1AD =AC AD ⋅2332333ABCDEF参考答案：（一）1、51- 2、B 3、（2,4）或（-2，-4） 4、n=2 5、k=-1 相反（二）1、2 2、±4 3、略 4、（552,55-）或（552,55-） 5、（37,97--）（三）1、3π2、3π 3、32π 4、32π 5、32π 6、32π （四）1、5 2、6 3、2 4、2 5、C 6、10 （五）1、-2 2、A 3、16 4、B（六）1、B 2、A 3、D 4、215、-4（七）1、-16 2、1 ，1 3、18 4、2 5、D 6、22。

平面向量的基本定理及坐标表示重难点解析版

突破6.3 平面向量的基本定理及坐标表示一、学情分析二、学法指导与考点梳理知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) 数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·江西高一期末）设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（） A ．21e e -与12e e - B ．1223e e +与1246e e -- C ．12e e +与12e e - D ．121128e e -+与1214e e - 【答案】C 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底，所以1e 和2e 不共线，对应选项A ：21e e -()12e e =--，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：1223e e +()121462e e =---，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D ：121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：12e e +与12e e -不共线，能作为基底. 故选：C ．（2）.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．21318BA BC -+B ．21318BA BC +C ．41318BA BC +D ．21318BA BC -【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解. 【详解】由题可得：FE FC CE =+ 1232BC CD =+ ()1223BC CB BA AD =+++ 121233BC BC BA BC ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭21318BA BC =+．故选：B ．【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）若{}12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（） A ．12e e -，21e e - B ．12e e -，12e e + C ．212e e -，212e e -+ D ．122e e +，124e 2e +【答案】B 【解析】【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 【详解】不共线的向量能作为基底，因为()1221e e e e -=--，所以向量12e e -，21e e -共线，故排除A ；假设1212(e e e e λ-=+），解得=1=1λλ⎧⎨-⎩，无解，所以向量12e e -，12e e +不共线，故B 正确；因为()212122e e e e =-+--，所以212e e -，212e e +-共线，故排除C ；因为()121212422e e e e =++，所以122e e +，1224e e +共线，故排除D ，故选：B【变式训练1-2】、（2022·江西上饶·一模（理））如图，在ABM 中，3BM CM =，27AN AM =，若AN AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．17-B ．17C ．27-D ．27【答案】D 【解析】【分析】由向量的线性运算把AN 用,AB AC 表示出来后可得结论．【详解】 ()22227777AN AM AB BM AB BM ==+=+ 2232313()7727777AB BC AB BA AC AB AC =+⨯=++=-+，所以13,77λμ=-=，132777λμ+=-+=，故选：D(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知平面向量()()2,3,24,5a a b =--=，则a b =___________.【答案】3 【解析】【分析】设(),=b x y ，利用()24,5-=a b ，求得b ，再利用数量积公式可得多大啊. 【详解】设(),=b x y ，由已知得224325x y --=⎧⎨-=⎩，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，即()3,1b =--，所以()()2,33,1633⋅=-⋅--=-=a b . 故答案为：3.（2）.（2022·全国·高一专题练习）已知A (1，2)，B (3，－1)，C (3，4)，则AB AC ⋅等于（） A ．11 B ．5 C ．－1 D ．－2【答案】D 【解析】【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可解决【详解】∵()2,3AB =-,()2,2AC = ∴()22322AC AB ⋅=⨯+-⨯=- 故选: D .（3）.（2022·山东济南·二模）若平面向量a 与b 同向，(2,1)a =，||25b =，则b =（） A ．(4,2)B ．(2,4)C ．(6,3)D ．(4,2)或(2,4)【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设()0b a λλ→→=>，进而根据||25b →=b →. 【详解】因为,a b →→同向，所以设()0b a λλ→→=>，则22||215252b λλλ→=+==，于是，()4,2b →=. 故选：A.【变式训练2-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知向量()()2,6,1,a b λ==-，若//a b ，则a b λ+=______. 【答案】(5,15) 【解析】【分析】由向量平行得3λ=-，再进行向量的坐标运算即可得答案. 【详解】解：因为()()2,6,1,a b λ==-，//a b ，所以62λ-=，解得3λ=-，所以()()()2,631,35,15a b λ+=---=. 故答案为：()5,15【变式训练2-2】、（2022·青海西宁·高一期末）设()3,1OM =，()5,1ON =--，则MN =（）. A ．()8,2-- B ．()8,2C ．()8,2-D ．()2,2-【答案】A 【解析】【分析】由向量坐标的减法运算可得答案. 【详解】因为()3,1OM =，()5,1ON =--，所以()()()5,13,18,2=-=---=--MN ON OM . 故选：A.(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）．（2022·陕西·高三期末（文））已知向量(1,7a =-，3b =，36a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A 【解析】【分析】先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将36a b ⋅=展开，即可求得答案.因为(1,7a =-，所以22||1(7)22a =+-= 又因为36a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ ，[0,]θπ∈ ，所以||||cos 36a b θ=，即23cos 36θ⨯=，解得3cos θ=，故6πθ= ，故选：A.（2）．（2021·重庆一中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =--，则下列命题中正确的有（） A ．a b > B ．2a b +=C ．a b ⊥D ．4cos ,5a b =-【答案】BD 【解析】【分析】由向量的定义判断A ，由模的坐标表示求出模判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，由数量积求得向量的夹角余弦判断D ．【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，故A 错误；对于B ，∵()1,1a b =-+，∴()22112a b +=-+=B 正确；对于C ，∵()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠，∴a b ⊥不成立，故C 错误；对于D ，∵(12214cos ,555a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-⨯，故D 正确．故选：BD ．【变式训练3-1】．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）（多选题）向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =，则2a b -的值可以是（） A ．2 B ．22C ．4D ．2【答案】ABC 【解析】【分析】利用公式表达出2a b -，利用三角函数恒等变换，求出2a b -的范围，进而求出结果.())()22cos ,2sin 3,12cos 3,2sin 1a b θθθθ-=-=-，所以()()22π22cos 32sin 1843cos 4sin 88sin 3a b θθθθθ⎛⎫-=-+----+ ⎪⎝⎭因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，[]20,4a b -∈，显然ABC 均满足题意.故选：ABC【变式训练3-2】.（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（） A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A ；根据向量数量积的坐标表示即可判断B ；根据()cos ,a b a a b aa b a+⋅+=+即可判断C ；根据投影向量的定义即可判断D. 【详解】解：(2,23a b +=，则4124a b +=+，故A 错误；()2a b a +⋅=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b aa b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a b a a a a+⋅=，故D 正确. 故选：BD.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)、（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（文））已知()1,2a m =+-，()2,3b m =+，若a b ⊥，则m =______. 【答案】1或4- 【解析】【分析】根据向量垂直得到等量关系，求出结果. 【详解】由题意得：()()1260m m ++-=，解得：1m =或4-，经检验，均符合要求. 故答案为：1或4-(2)、（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，若a b ∥，则m =___________. 【答案】3- 【解析】【分析】由a b ∥，列方程求解即可【详解】因为平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，且a b ∥，所以23m m =-，得3m =-，故答案为：3-（3）、（2022·辽宁·高一期末）已知向量()1,a m =-，()2,4b =，若a 与b 共线，则m =（） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】由题意得24m =-，即2m =-. 故选：C【变式训练4-1】、（2022·广东湛江·高二期末）已知向量()2,3a =-，()1,2b =-，且()a kb a +⊥，则k =___________.【答案】138【解析】【分析】求出向量a kb +的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数k 的等式，即可解得k 的值. 【详解】由题意可得()2,32a kb k k +=--+，因为()a kb a +⊥，所以()()()223320a kb a k k +=---+=⋅，即1380k -=，解得138k =. 故答案为：138. 【变式训练4-2】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量()12a =,，()22b =-,，()1c λ=,.若()//2c a b +，则λ=________. 【答案】12 【解析】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可. 【详解】由题可得()24,2a b +=， ()//2c a b +，又()1,c λ=， 4λ20∴-=，1λ2∴=.故答案为：12.【变式训练4-3】．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()a b λ+∥()2a b -，则实数λ=（） A ．12B ．12-C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出a b λ+，2a b -，再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得()2,1a b =++-λλλ，()23,3a b -=-，又因为()a b λ+∥()2a b -，所以有()()3231+=--λλ，解得12λ=-.故选：B例5．（2022·重庆八中高一期末）已知3a =，4b =. (1)若a 与b 的夹角为60︒，求()2a b a +⋅；(2)若a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？【答案】(1)21 (2)34k =±【解析】【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；（2）根据()()0a kb a kb +-=解方程即可得答案. (1)解： ()21229234212a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯⨯= (2)解：∵向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()0a kb a kb +-=，整理得2220a k b -=，又3a =，4b =，∴29160k -=，解得34k =±.∴当34k =±时，向量a kb +与a kb -互相垂直.【变式训练5-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].a x x b x ==-∈ (1)若a b ⊥，求x 的值；(2)记()f x a b =⋅，解不等式()3f x ≥【答案】(1)3π(2)[0,]6π 【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，数量积为零得到关于x 的方程，即可得答案. （2）先根据数量积的坐标运算得到()f x a b =⋅的表达式，确定π31cos()62x -+，再解不等式，结合6x π+的范围，求得结果. (1)因为(cos ,sin )a x x =，(3,3b =-，a b ⊥，所以3cos 30x x =, 所以tan 3x =因为[0,]x π∈，所以3x π=.(2)()(π()cos ,sin 3,33cos 323)6f x a b x x x x x =⋅=⋅-==+.因为[]0,πx ∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -+. 由()3f x ≥1cos()62x π+≥，所以1π3cos()262x +，所以663x πππ≤+≤，即06x π≤≤，故不等式()3f x ≥[0,]6π.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2021·全国·高一课时练习）设12e e ，是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（） A ．1e 与12e e + B ．12e 2e -与21e 2e - C ．12e 2e -与214e 2e - D ．12e e +与12e e -【答案】C 【解析】【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A 选项：设121e e e =λ+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线，1e ∴与12e e +可以构成一组基底；对于B 选项：设()1221=e 2e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解，12e 2e ∴-与21e 2e -不共线，12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底；对于C 选项：设()1221=e 24e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩，，()21212e 2e 1=4e 2e ∴---，12e 2e ∴-与214e 2e -共线，12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底；对于D 选项：设()1212=e e e e λ-+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解, 12e e +∴与12e e -不共线，12e e +∴与12e e -可以构成一组基底；故选：C2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（） A 2B 2C 22D ．0【答案】C 【解析】【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】由//a b 知：1×2－m 2＝0，即2m 2-故选：C.3．（2022·江西·高三期末（文））已知平面向量()1,3a =，()2,1b =-，若()a ab λ⊥+，则实数λ的值为（） A ．10 B ．8C ．5D ．3【答案】A 【解析】【分析】由()a ab λ⊥+，得()0a a b λ⋅+=，将坐标代入化简计算可得答案【详解】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()12,3a b λλλ+=+-. 因为()a ab λ⊥+，所以()12330λλ++-=，解得10λ=. 故选：A.4．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()2,c t =，下列说法正确的是（） A ．若()a b +//c ，则6t = B ．若()a b +⊥c ，则23t =C ．若1t =，则4cos ,5a c <>=D ．若向量a 与向量c 夹角为锐角，则1t >- 【答案】BC 【解析】【分析】若()()1122,,,a x y b x y ==，根据a ∥b 时1221x y x y =判断A 选项是否正确；根据a b ⊥时12120x x y y +=判断B 选项是否正确；根据121222221122cos ,x a b a b a bx y x y <>==++判断C 选项是否正确；根据向量a 与向量c 夹角为锐角时0a c >，且向量a 与向量c 不平行，判断C 选项是否正确. 【详解】()1,2a =，()2,1b =-，()=1,3a b ∴+-,()2,c t ==22a c t ∴+若()a b +//c ，()2,c t =123t ∴-⨯=⨯6t ∴=-，故A 不正确；若()a b +⊥c ，()2,c t =123=0t ∴-⨯+⨯23t ∴=，故B 正确；若1t =，则()2,1c =，=22=4a c t +，=5a ，5c =44cos ,555a c a c a c∴<>==⨯，故C 正确；若向量a 与向量c 夹角为锐角, 则0a c >()1,2a =(),2,c t ==1220a c t ∴⨯+⨯>1t∴>-若向量a 与向量c 平行，则1=22t ⨯⨯，=4t ，故向量a 与向量c 夹角为锐角时1t >-且4t ≠.故D 不正确；故选：BC5．（2021·广东·仲元中学高一期末）（多选题）已知向量()2,1a =，()3,1b =-，则（） A ．a 与a b -25B ．()//a b a +C ．向量a 在向量b 10D ．若525,5c ⎛= ⎝⎭，则a c ⊥【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：由已知得()50a b -=，，根据向量夹角的计算公式计算可判断；对于B ：由已知得()+a b a ⊥，由此可判断；对于C ：由已知得向量a 在向量b 上的投影，从而可判断；对于D ：由5252+105a c ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭，可判断. 【详解】解：对于A ：因为向量()2,1a =，()3,1b =-，所以()50a b -=，，所以a 与a b -的夹角余弦值为2225215+⨯，故A 正确；对于B ：因为()+12a b =-，，所以()+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=，所以()+a b a ⊥，故B 不正确；对于C ：向量a 在向量b 上的投影为(()2223+11101031a b b⨯-⨯===-+⋅，所以向量a 在向量b 上的投影向量10C 正确；对于D ：因为525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以a c ⊥，故D 正确，故选：ACD.6．（2022·安徽亳州·高三期末（理））如图，在平面四边形ACDE 中，点B 在边AC 上，ABE △是等腰直角三角形，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则AD CE ⋅=___________.【答案】-1 【解析】【分析】以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】如图示，以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系.则()1,0A -、()1,0C 、()1,1D 、()0,1E ，所以()21AD =，，()11CE =-，，所以211AD CE ⋅=-+=-. 故答案为：-17．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知向量()2,1a =-，10a b ⋅=，52a b +=，则b =___________.【答案】5 【解析】【分析】由已知，利用向量数量积的运算律有22250a b a b ++⋅=，结合向量模的坐标计算求||a ，进而求b . 【详解】∵52a b +=，则250a b +=，即22250a b a b ++⋅=， ∴252050b ++=，可得5b =. 故答案为：58．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量(),0,0αβαβ≠≠，β与αβ-的夹角为23π，且()0t t t αββ-=>，则t 的最小值是____________．【答案】233- 【解析】【分析】作半径为2的圆O ，圆O 上取三点,,A B C ，(3,1)C --，(3,1)B -，A 在,B C 两点的优弧上，3BAC π∠=，这样CB α=，CA β=，满足β与αβ-的夹角为23π，然后把模式平方求得t ，可得最小值．【详解】如图，设圆O 半径为2，,,A B C 在圆O ，设(3,1)C --，(3,1)B -，3BAC π∠=，CB α=，CA β=，设(2cos ,2sin )A θθ，7(,)66ππθ∈-，(23,0)α=，(2cos 3,2sin 1)βθθ=++，由t t αββ-=得222()t t αββ-=，因为0t >，所以21233233243(2cos 3)2cos 323t ααβθθ===≥=-⋅+++，cos 1θ=时等号成立．故答案为：233-．【点睛】本题考查由模求平面向量的数量积，解题关键是用图形表示出向量α，β，确定点,,A B C 的关系，引入坐标后用坐标表示向量的数量积，从而得出最值．。

平面向量考试常用结论

平面向量考试常用结论
平面向量是高中数学中比较重要的一章，也是考试中常出现的题型。

在考试中，我们不仅要熟练掌握平面向量的概念和基本运算，还需要掌握一些常用的结论，以应对各种题型的考查。

下面是一些平面向量考试常用结论，供大家参考。

1. 平面向量共线的充要条件：两个非零向量共线的充要条件是它们之间存在一个实数 k，使得一个向量等于另一个向量的 k 倍。

2. 平面向量垂直的判定方法：如果两个非零向量的点积为零，那么它们垂直。

3. 平面向量投影的公式：设向量 a 和 b 不共线，向量 a 在向量 b 上的投影为：
proj_b a = (a · b) / |b|^2 * b
其中，proj_b a 表示向量 a 在向量 b 上的投影，|b| 表示向量 b 的长度。

4. 平面向量模长的乘法公式：|a · b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ表示向量 a 和向量 b 之间的夹角。

5. 平面向量三角形面积的公式：设三角形 ABC 的两个边向量分别为 a 和 b，那么三角形 ABC 的面积为：
S = 1/2 * |a × b|
其中，×表示向量的叉积。

6. 平面向量几何平均值的公式：设向量 a 和向量 b 不共线，那么它们的几何平均值为：
|a × b| = |a| * |b| * sinθ
7. 平面向量共面的判定方法：如果三个非零向量共面，那么它们的混合积为零。

以上是平面向量考试常用结论的一些例子，希望对大家应对平面向量考试有所帮助。

当然，掌握这些结论只是基础，还需要多做练习，才能在考试中灵活运用。

【2019秋人教B版必修3】8.1.3第二课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

1第二课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件课标要求素养要求1.能根据向量的坐标判定两个向量垂直.2.能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直.通过学习向量的数量积表示两向量的垂直，重点培养学生数学运算及逻辑推理素养.教材知识探究平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也不同．向量的坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极大方便．问题设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．如何用向量的坐标来表示a ⊥b? 提示 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，通过向量的坐标表示可以实现向量问题的代数化．设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不可混淆，可以对比学习记忆．,教材拓展补遗[微判断]1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(×) 提示只有a 与b 为非零向量时才正确． 2．已知a ＝(7，1)，b ＝(－2，14)，则a ⊥b .(√) 3．已知A (1，2)，B (2，3)，C (－2，5)，则AB →⊥AC →.(√) [微训练]21．已知OA →＝(－1，2)，OB →＝(3，m )，若OA →⊥OB →，则m ＝________．答案 322．已知a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，若a ＋λb 与a 垂直，则λ＝__________．答案 523．在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，若A ＝90°，则k ＝__________．答案－23 [微思考]已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当a 与b 平行或垂直时，需满足什么条件？提示当a ∥b 时，有x 1y 2－x 2y 1＝0；当a ⊥b 时，有x 1x 2＋y 1y 2＝0，这两种情况对应的公式差不多，在使用的过程中一定要分清.题型一向量的夹角及垂直问题向量的夹角问题隐藏了许多陷阱，常因忽视“两向量夹角的概念及其范围”而出错例1 (1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．(1)解析 ∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，3∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c | ＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°. 答案 C(2)解设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x ，2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1.①又a ＋b ＝(3，5)，且(a ＋b )⊥c ， ∴3x ＋5y ＝0.②联立①②得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.规律方法解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |4求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)要注意cos θ<0有两种情况：一是θ为钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.训练1 已知平面向量a ＝(3，4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．解 (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3. ∴b ＝(9，12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n | ＝－3×7＋（－4）×1（－3）2＋（－4）2·72＋12＝－25252＝－22. ∴θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4. 题型二向量垂直的坐标表示注意垂直的结论例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD→|及点D 的坐标．解设D 点坐标为(x ，y )，5则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD→＝(x －3，y －2)， ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ， ∴AD →·BC→＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD→|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，∴|AD→|＝5，点D 的坐标为(1，1)．规律方法将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．【训练2】已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB→＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b . 解设向量b ＝(x ，y )．根据题意得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|.∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |， ∴|a |＝|b |，a ·b ＝0.6又∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即⎝⎛x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.题型三用平面向量求解平面几何问题例3 已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)．(1)BE→＝(－1，2)，CF →＝(－2，－1)．∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE→⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，FC→＝(2，1)， ∵FP→∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2，7同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.∴|AP→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB . 规律方法用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．【训练3】已知在△ABC 中，C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE . 证明建立如图所示的直角坐标系，设A (a ，0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，8∴⎩⎪⎨y ＝2a －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝23a ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a .∵AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a ，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2， OE →＝CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ，∴AD →·CE→＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－13a 2＋13a 2＝0， ∴AD→⊥CE →，即AD ⊥CE .一、素养落地1．通过学习本节内容，重点培养学生的数学运算及逻辑推理素养．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 二、素养训练1．已知A (1，2)，B (－5，8)，C (－2，－1)，求证：AB →⊥AC →. 证明 AB→＝(－6，6)，AC →＝(－3，－3)，∴AB →·AC →＝－6×(－3)＋6×(－3)＝0. ∴AB→⊥AC →. 2．已知|a |＝213，b ＝(－2，3)，且a ⊥b ，求向量a 的坐标．解设a ＝(x ，y )，9则⎩⎪⎨－2x ＋3y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.∴a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)．3．求证：对任意实数k (k ≠0)，向量m ＝k (－y ，x )与向量n ＝(x ，y )垂直．证明 m ＝k (－y ，x )＝(－ky ，kx )．则(－ky ，kx )·(x ，y )＝－kxy ＋kxy ＝0， ∴m ＝k (－y ，x )与n ＝(x ，y )垂直．4．已知A (3，1)，向量OA→绕原点O 逆时针旋转π2后等于OB →，求点B 的坐标．解设B (x ，y )，由题意|OB →|＝|OA →|，OA→⊥OB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝32＋12，3x ＋y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.∴点B 的坐标为(－1，3)．10基础达标一、选择题1．已知平面向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x ＝( ) A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴3x －3＝0，∴x ＝1. 答案 B2．已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17B.17C ．－16D.16解析由a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1，2λ)，a －2b ＝(－1，2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0， ∴λ＝－17. 答案 A3．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ．1B. 2C ．2D ．4解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝±3. ∴|a |＝12＋n 2＝2.答案 C4．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4B ．－3C ．－2D ．－111解析因为m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.故选B. 答案 B5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 解析设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.答案 D 二、填空题6．已知A (7，5)，B (2，3)，C (6，－7)，判断△ABC 的形状为__________．解析 AB →＝(－5，－2)，AC →＝(－1，－12)，BC→＝(4，－10)， ∴AB →·BC →＝－5×4＋(－2)×(－10)＝0， ∴AB ⊥BC . 答案直角三角形7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________．解析由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2. 答案 28．设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(m a－b)，则m＝________．解析由题意得m a－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.答案－1三、解答题9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.10．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．解(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，∴cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，1213又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.能力提升11．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)． (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，所以2×5＋3a ·b －2×54＝0，所以a ·b ＝－52，所以cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.12．如图，在同一平面内，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，|OA →|＝2，|OB →|＝3， |OC→|＝4.14(1)用OB →和OC →表示OA →；(2)若AD→＝λAC →，AC →⊥BD →，求λ的值．解由题意，得∠BOC ＝90°，以OC所在的直线为x 轴，以BO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O (0，0)，A (－1，3)，B (0，－3)，C (4，0)． (1)设OA →＝λ1OB →＋λ2OC →，则(－1，3)＝λ1(0，－3)＋λ2(4，0)＝(4λ2，－3λ1)， ∴λ1＝－33，λ2＝－14， ∴OA→＝－33OB →－14OC →. (2)设D (x ，y )，∵AD→＝λAC →，∴(x ＋1，y －3)＝λ(5，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ－1，y ＝－3λ＋3，∴D (5λ－1，－3λ＋3)， BD→＝(5λ－1，3－3λ＋3)． ∵AC →·BD→＝0， ∴(5λ－1)×5＋(3＋3－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝8＋3328.创新猜想13．(多选题)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值为( )15A ．－23 B.113 C.3±132 D.23解析 ∵AB→＝(2，3)，AC →＝(1，k )，∴BC→＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若A ＝90°，则AB →·AC→＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132. 答案 ABC。

向量垂直条件

向量垂直条件在数学和物理中，向量是一种具有大小和方向的量，它广泛应用于各个领域。

在向量运算中，垂直条件是一种重要的概念，它描述了两个向量之间的关系。

本文将从不同角度介绍向量垂直条件，旨在帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、向量的定义和基本性质向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。

向量的大小可以用模长来表示，方向可以用角度或方向余弦来表示。

两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。

二、向量的垂直条件两个向量垂直的条件是它们的点积为零。

点积是向量运算中的一种运算，它描述了两个向量之间的关系。

具体来说，设向量A和向量B，它们的点积为A·B，计算公式为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

当两个向量垂直时，它们的夹角θ等于90度或π/2弧度。

此时，cosθ的值为0，因此A·B = 0。

由此可见，向量A和向量B的点积为零是它们垂直的充分必要条件。

三、向量垂直条件的几何意义在几何中，两个向量垂直意味着它们所代表的直线相互垂直。

具体来说，设直线l1由向量A表示，直线l2由向量B表示。

当向量A和向量B垂直时，直线l1和直线l2相互垂直。

根据向量的性质，如果两个向量垂直，则它们所代表的直线也垂直。

这一性质在几何推理和证明中经常被应用。

通过判断两条直线所对应的向量是否垂直，可以简化几何问题的解决过程。

四、向量垂直条件的应用向量的垂直条件在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.平面几何中的垂直线段：当两条线段相互垂直时，它们所对应的向量相互垂直。

2.力学中的力的分解：在力学问题中，一个力可以分解为两个垂直的力。

这样做可以简化问题的分析过程。

3.电磁学中的电场和磁场：在电磁学中，电场和磁场是两个相互垂直的向量场。

4.三角函数中的正交性：在三角函数中，正弦函数和余弦函数是相互垂直的。

五、总结向量的垂直条件是一种重要的概念，它描述了两个向量之间的关系。