递推求解
数学中的递推与归纳
数学中的递推与归纳递推与归纳是数学中常见的两种推理方法，它们在解决问题和证明定理中起着重要的作用。
本文将详细介绍递推与归纳的概念、原理和应用。
一、递推递推是指从已知的一些项出发，通过某种规律或公式，逐步求出后续项的方法。
在数学中，递推常常用来求解数列或序列的问题。
递推的基本原理是：已知数列的前几个项，然后根据数列的特点或者给定的递推关系，求出后一项。
通过不断地迭代，可以得到所要求的数列的各个项。
在实际应用中，递推可以解决很多问题。
比如，我们可以利用递推求解斐波那契数列：已知第一项为1，第二项为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
就可以通过递推公式逐步计算得到后续项。
递推的优势在于它可以通过有限的已知条件来推导出无限多的结果。
同时，递推的思想也延伸到其他领域，如递归算法和动态规划等，为问题求解提供了有效的思路和方法。
二、归纳归纳是一种常见的证明方法，它通过通过从个别例子中得出普遍结论的方法。
在数学中，归纳常常用来证明数学定理和性质。
归纳的基本原理是：首先证明结论在某个特定情况下成立，然后假设结论在某个情况下成立，再证明在下一个情况下也成立。
通过这种推理方式，可以一步步地扩展结论的适用范围，最终得到普遍情况下的结论。
归纳的思想体现了从个别到普遍的推理方式，它是数学证明中一种非常有效的工具。
在数学中，归纳法常用于证明数学归纳法原理和数学归纳法定理等。
除了在证明定理中的应用，归纳法也广泛应用于解决问题的思路。
通过观察和总结个别实例的规律，然后根据归纳法的原理，可以得到一般情况下的解决方法。
三、递推与归纳的关系递推与归纳虽然是两种不同的推理方法，但在数学中常常相互依存。
递推通过已知前几项，推导出后续项，而归纳则通过观察个别例子，得出普遍结论。
递推和归纳在解题过程中常常相辅相成。
当问题具有递推的性质时，可以首先通过递推求解前几项，然后通过观察和总结得出归纳结论，进一步验证递推的正确性。
反之，当问题具有归纳的性质时，可以先观察个别例子，找到规律，再利用递推的思想来解决更复杂的情况。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
递推算法分析
3. 递推的实施步骤
（1）确定递推变量 递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。 （2）建立递推关系 递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。 （3）确定初始（边界）条件 根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界） 值，这是递推的基础。 （4）对递推过程进行控制 递推过程控制：递推在什么时候结束，满足什么条件结束。
i=1;k=1.0;y[1]=k;
while(i<=5)
{ i++;y[i]=(4*y[i-1]-1)/5;
if(y[i]!=（int）y[i])
{ k=k+1.0;y[1]=k;i=1;}
}
x=5*y[1]+1;
printf("原有椰子至少有：%6.0f个.\n",x);
习题3: 1, 2, 3, 5, 6, 7
首先y(1)赋初值k(取值从1开始递增)后推出y(2)， 由y(2)推出y(3)，…，依此经5次递推得y(6)。如 果某一次推出的不是整数，则中止继续往后推，返 回k增1后赋值给y(1)，从头开始。如果5次递推都 是整数，则输出原有椰子数5*y(1)+1后结束。
2. 算法描述
int i; double k,x,y[7];
1. 递推的概念
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。思 想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干个重 复的简单运算，以充分发挥计算机善长重复处理的 特点
2. 递推关系
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项之间的 关系，即递推关系。 递推关系是一种高效的数学模型，是递推应用的 核心。 递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用， 由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显 示出其独特的魅力。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。
在数学中，有几种方法可以求解这类问题。
一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。
这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。
k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。
解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。
二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。
该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。
解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。
利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。
三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。
该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。
求解递推方程
求解递推方程【前言】递推方程，在数学中也称为递归式，是一种递归定义的数学式子。
它通常用于描述一些指数级别的计算过程，如斐波那契数列等，是算法分析中一个非常基础的概念。
本文将介绍递推方程的基本概念和求解方法，并给出几个例子进行解析。
另外，本文的内容长度约为700字，将按照以下列表划分：1.递推方程的定义2.递推方程的求解方法3.斐波那契数列的递推方程4.经典递推问题——青蛙跳台阶问题的递推方程5.总结【正文】1.递推方程的定义递推方程是描述一个数列中每个项与前面某些项之间关系的方程式。
通常用f(n)表示序列的第n个数，而序列中的每个数，都可以通过前面某几个数的加减乘除运算来得到。
递推方程可以用以下的方式表示：f(n)=a*f(n-1) + b*f(n-2) + g(n)其中a,b为常数，g(n)是一个能够用n的式子表示的函数。
2.递推方程的求解方法对于递推式的求解，通常需要用到数学归纳法。
具体来说，可以采用以下的步骤：（1）通过观察数列的前几个数，找出递推式的初值。
（2）首先验证初值是否符合递推式，即检验f(1),f(2)等初几项是否为预期的值。
（3）假定递推式对1到n-1的所有自然数都成立，需要证明递推式对n也成立，即验证f(n)是否能够通过前面的项f(1)~f(n-1)计算得到。
（4）最后，通过归纳法证明递推式对任意自然数n都成立。
3.斐波那契数列的递推方程斐波那契数列是一个非常经典的递推问题，定义如下：f(1)=1,f(2)=1f(n)=f(n-1)+f(n-2)，n≥3其中，f(n)表示斐波那契数列的第n项。
这个数列的前几项依次为1,1,2,3,5,8,13,21......以下是斐波那契数列的递推方程的证明过程：（1）首先根据题意，可以确定斐波那契数列的初值f(1)=1,f(2)=1。
（2）验证初值是否符合递推式，可以计算出f(3)=2,f(4)=3等，并确认这些值与数列的定义是一致的。
第二讲递推公式求解
第二讲递推公式求解
递推公式是求解递归问题的一种方法，它可以用简单的表达式描述系
统的行为，以确定或猜测系统未来的行为。
在数学上，它是一个表达式，
可以将系统的当前状态用于计算下一状态的值，并将其用于下一步的计算。
递推公式一般有两种形式，即线性递推公式和非线性递推公式。
线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果也是线性的，即
其中的变量与n的关系可以表示为一个线性的方程式。
线性递推公式可以
用于求解递归问题。
例如，求解有线性递推公式的递归问题：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
非线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果是非线性的，
即其中的变量与n的关系不能表示为一个线性方程式。
非线性递推公式可
以用于求解递归问题，例如，求解非线性递推公式的递归问题：
F(n)=F(n-1)×F(n-2)。
在许多情况下，线性递推公式可以用来求解递归问题，而非线性递推
公式要更加复杂，但它们可以用来求解一些比较复杂的递推问题。
求解递推公式的一般步骤如下：
（1）找出递推公式，并得到它的形式；
（2）如果是线性递推，解出其特征方程；
（3）根据特征方程和起始条件确定递推公式的解；。
递推公式定义的数列求解方法
递推公式定义的数列求解方法
1. 嘿，你知道吗？对于递推公式定义的数列求解，咱可以从初始值入手呀！就像搭积木，从最下面那几块开始。
比如说斐波那契数列，从 0 和 1 开始，后面的数不就是前面两个数相加嘛，这多有趣啊！
2. 还有啊，用迭代的方法也超棒！就好像一步一步爬山，每次都根据前面的情况来确定下一步。
比如那个兔子繁殖的问题，通过递推公式不断计算下去，就能发现其中的规律啦，是不是很神奇？
3. 哇塞，观察规律也是很重要的呢！这就像在一堆拼图中找线索，找到了就能轻松解题啦。
像等差数列，一下子就能看出相邻两项的差值是固定的呀。
4. 试试数学归纳法呀！这就如同给数列盖个章认证一样。
比如说证明某个关于数列的结论，先验证最开始的情况，再假设后面也成立，这不就妥了嘛。
5. 别忘了利用已知公式去转化呀！就好像给数列变个魔术，让它变成我们熟悉的样子。
好比有些递推公式可以转化成我们熟知的等差数列或等比数列的形式来求解呢，酷不酷？
6. 嘿呀，有时候画画图也能有帮助哦！把数列的项用图形表示出来，没准儿就能一眼看出端倪呢。
就像走迷宫，画个图就容易找到出路啦。
7. 还有一种方法，就是建立方程来求解呀！这就如同找到了解锁数列的钥匙。
比如说根据递推关系列出方程，然后求解未知数，难题不就迎刃而解了嘛。
8. 哎呀，要多尝试多探索呀！求解递推公式定义的数列就像是探险，你永远不知道会发现什么惊喜。
就勇敢地去尝试各种方法，肯定能抓住答案哒！
我的观点结论就是：求解递推公式定义的数列方法多样又有趣，只要用心去探索，就一定能找到其中的奥秘和乐趣！。
递推公式法
递推公式法
递推公式法是数学中一种重要的求解方法，它可以通过已知的一些值，推导出后面的值。
这种方法通常用于数列的求解，例如斐波那契数列就是一种应用递推公式法求解的典型例子。
递推公式的一般形式为：
$a_{n}=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$，其中 $a_{n}$ 表示数
列中第 $n$ 项的值，$f$ 是一个函数，
$a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k}$ 表示数列中前面若干项的值。
在使用递推公式法求解数列时，通常需要先求出数列的前若干项，然后利用递推公式求出后面的值。
这个过程可以用计算机程序来实现，通常需要设置一个循环语句，不断地根据递推公式求解出数列中的下一项。
递推公式法不仅可以用于求解数列，还可以用于求解其他一些问题，例如动态规划中的状态转移方程等。
在实际应用中，递推公式法具有很高的效率和灵活性，因此被广泛应用于各个领域。
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求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，对于一些特殊的数列，我们可以通过观察规律来找到通项公式，但对于一般的数列来说，我们需要使用一些数学工具和技巧来解决这个问题。
在下面，我将介绍十种常用的方法来求解数列的通项公式。
方法一：递推法递推法是一种常见的求解数列的方法，通过观察数列中相邻项之间的关系，可以找到递推公式。
常见的递推公式有线性递推和非线性递推两种形式。
方法二：列元法列元法是一种将数列元素列出来，然后通过观察数列元素之间的关系，找到通项公式的方法。
常见的列元法包括列出常数项和差项、连加项、平方项和立方项等。
方法三：指数递推法指数递推法是一种将数列元素进行指数递推，然后通过观察递推结果找到通项公式的方法。
常见的指数递推法包括指数增长、指数递减和二阶指数递增等。
方法四：利用级数对于一些复杂的数列，可以使用级数的方法来求解通项公式。
通过构造级数和求导积分等操作，可以得到数列的通项公式。
方法五：利用生成函数生成函数是一种将数列转化为多项式的方法，通过多项式的操作，可以得到数列的通项公式。
常见的生成函数包括普通生成函数和指数型生成函数。
方法六：利用逼近方法逼近方法是通过找到数列与一些函数逼近的关系，然后通过求解该函数的表达式来求解数列的通项公式。
常见的逼近方法包括泰勒级数逼近和拉格朗日插值等。
方法七：利用矩阵运算对于一些特殊的数列，可以使用矩阵运算的方法来求解通项公式。
通过构造矩阵和矩阵的运算，可以得到数列的通项公式。
方法八：利用线性代数利用线性代数的方法，可以将数列看作向量空间中的向量，通过线性变换和线性方程组的解来求解数列的通项公式。
方法九：利用特殊函数对于一些特殊的数列，可以使用特殊函数的方法来求解通项公式。
常见的特殊函数有二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
方法十：利用离散数学离散数学是一种研究离散结构和离散规律的数学分支，通过利用离散数学的方法，可以求解数列的通项公式。
sn和an'递推关系求通项
sn和an'递推关系求通项咱今天就来好好聊聊“sn 和 an 递推关系求通项”这个事儿。
你说这数学里的递推关系，就好像是一座神秘的城堡，而求通项就是找到进入城堡的那把神奇钥匙。
sn 就像是城堡里的宝藏总量，an 呢，则是每次新发现的宝贝。
比如说，咱们遇到了 sn = 2an - 1 这样的式子。
这时候可别慌，咱们得冷静分析。
你想想，这不就好比是你有一堆水果，知道总数和每次拿出来的数量之间的关系，然后去推算每次到底拿了多少嘛。
那怎么去求解呢？咱可以先把 n 用 1 代进去试试。
s1 = a1 ，这就很简单啦，一下就能找到开头的线索。
然后呢，再把 n 换成 2 、3 等等，多试几次，找找规律。
有时候，还得用上一些巧妙的办法，像作差法。
比如说有 sn - sn - 1 = an ，这就像是把大宝藏分成了一个个小宝藏，然后通过对比找出每次新增加的部分。
再比如说，给了你sn = f(an) 这样的关系，那咱们就得像侦探一样，仔细琢磨这个函数 f 到底有啥特点，怎么通过它找到通项 an 。
你看这求通项的过程，是不是就像走迷宫？一会儿遇到岔路，一会儿又好像看到了出口，可别轻易放弃，坚持找下去，说不定就能找到那通往成功的路。
而且啊，做这种题可不能马虎，一个小细节没注意到，可能就迷路啦。
就像你在拼图，少了一块都不行。
咱们得不断练习，多做几道题，积累经验。
每一道题都是一个新的挑战，每一次成功求解都是一次巨大的胜利。
总之，只要咱们有耐心，有方法，不怕困难，就一定能在这 sn 和an 的递推关系中，求出通项，攻克这座数学城堡！。
六类递推数列通项公式的求解方法
六类递推数列通项公式的求解方法一、an-1=an+f(n)型利用叠加法.a2=a1+f(1)，a3=a2+f(2)，…，an=an-1+f(n-1),an=a1+∑n-1k=1f(k)．【例1】数列{an}满足a1=1，an=an-1+1n2-n(n≥2) ，求数列{an}的通项公式．解：由an+1=an+1(n+1)2-(n+1) 得an=a1+∑n-1k=11(k+1)2-(k+1) =1+∑n-1k=1(1k-1k+1)=1+1-1n =2-1n.二、an+1=anf(n)型利用叠代法.a2=a1f(1)，a3=a2f(2)，…，an=an-1f(n-1)．an=a1∏n-1k=1f(k).【例2】数列{an}中a1=2，且an=(1-1n2)an-1 ，求数列{an}的通项．解：因为an+1＝［1-1(n+1)2 ］an，所以an=a1∏n-1k=1f(k)=2∏n-1k=1［1-1(k+1)2 ］=2∏n-1k=1［kk+1 ×k+2k+1 ］=n+1n .三、an+1=pan+q，其中p,q为常数，且p≠1,q≠0当出现an+1=pan+q(n∈n*）型时可利用叠代法求通项公式，即由an+1=pan+q得an=pan-1+q=p(pan-2+q)+q=…=pn-1a1+(pn-2+pn-3+…+p2+p+1)q=a1pn-1+q(pn-1-1）p-1 （p≠1).或者利用待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an+1+λ=p(an+λ)，则(p-1)λ=q,即λ=qp-1 ，从而｛an+qp+1 ｝是一个公比为p的等比数列．【例3】设数列{an}的首项a1=12 ，an=3-an-12 ，n=2,3,4，…,求数列{an}的通项公式．解：令an+k=-12(an-1+k) ，又∵an=3-an-12=-12an-1+32 ，n=2,3,4,…，∴k=-1，∴an-1=-12(an-1-1) ,又a1=12,∴{an-1} 是首项为-12,公比为-12 的等比数列，即an-1=(a1-1)(-12)n-1 ，即an=(-12)n+1 ．四、an+1=pan+qan-1(n≥2)，p,q为常数可用下面的定理求解：令α,β为相应的二次方程x2-px-q=0的两根(此方程又称为特征方程)，则当α≠β时，an=aαn+bβn；当α=β时，an=(a+bn)αn-1，其中a、b分别由初始条件a1、a2所得的方程组aα+bβ=a1，aα2+bβ2=a2和 a+b=a1，(a+2b)α=a2唯一确定．【例4】数列{an}，{bn}满足：an+1=-an-2bn①,bn+1=6an+6bn ②,且a1=2，b1=4，求an，bn．解：由②得an=16bn+1-bn,∴an+1=16bn+2-bn+1 ，代入①到式中，有bn+2=5bn+1-6bn，由特征方程可得bn=-12×2n+283×3n ，代入②式中，可得an=8×2n-143×3n ．五、an+1＝pan+f(n)型，这里p为常数，且p≠1【例5】在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n ∈n*),其中λ＞0，求数列{an}的通项公式．解：由 a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈n*)，λ＞0,可得，an+1λn+1-(2λ )n+1=anλn -(2λ )n+1,所以{anλn-(2λ)n}为等差数列，其公差为1，首项为0．故anλn-(2λ )n=n-1，所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n．六、an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)一般地，若正项数列{an}中，a1=a,an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)，则有lgan+1=klgan+lgm，令lgan+1+a=k(lgan+a)(a为常数)，则有a=1k-1lgm．数列{lgan+1k-1lgm }为等比数列，于是lgan+1k-1lgm=(lga+1k-1lgm)kn-1 ，从而可得an=akn-1?mkn-1-1k-1 ．【例6】已知各项都是正数的数列{an}满足a1=32，an+1=12an(4-an) ，求数列{an}的通项公式．解：由已知得an+1=-12(an-2)2,令2-an=bn，则有b1=12,bn+1=12b2n ．∵an＞0,∴0＜an+1＜2,又0＜a1＜2，∴0＜an＜2，从而bn＞0．取对数得lgbn+1=2lgbn-lg2，即lgbn+1-lg2=2(lgbn-lg2)．∴{lgbn-lg2}是首项为-2lg2，公比为2的等比数列，∴lgbn-lg2=-2nlg2,∴bn=21-2n,∴an=2-21-2n．(责任编辑金铃）。
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。
以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。
我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。
假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。
将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。
2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。
我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。
通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。
需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。
3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。
比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。
可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。
总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。
对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。
求数列递推表达式常用的八种方法
求数列递推表达式常用的八种方法1. 通项公式法（Explicit Formula Method）通项公式法是一种使用列中已知项的数值来构建一个递推表达式的方法。
根据数列的性质和规律，可以通过观察和找到一个数学模型来表示数列的通项公式。
该公式可以直接给出任意项的值，无需依赖于前面的项。
2. 递推关系法（Recurrence Relation Method）递推关系法是通过关系式来定义后一项与前面一项之间的关系。
可以根据已知项之间的关系来构建递推关系，从而求得数列的递推表达式。
递推关系可以是线性或非线性的，具体要根据数列的性质来确定。
3. 线性代数法（Linear Algebra Method）线性代数法是将数列看作一个向量，通过矩阵运算来求得数列的递推表达式。
可以利用矩阵的特征值和特征向量等性质来求解。
这种方法适用于一些特殊的线性数列，但对于非线性数列则不适用。
4. 拟合法（Curve Fitting Method）拟合法是通过数学函数来逼近数列的变化趋势，从而得到递推表达式。
可以选择不同的函数模型，如多项式、指数函数、对数函数等，并使用最小二乘法来拟合数列的数据点。
这种方法适用于不规律和随机的数列。
5. 差分法（Difference Method）差分法是通过数列中相邻项之间的差值来构建递推表达式。
可以通过一次差分、二次差分等方法来获得递推关系，进而求解数列的递推表达式。
这种方法适用于差分规律明显的数列。
6. 特殊性质法（Special Property Method）特殊性质法是根据数列的特殊性质来求解递推表达式。
可以利用数列的对称性、周期性、递增性、递减性等特点来构建递推关系。
该方法需要对数列的性质特别敏感，适用性较为有限。
7. 生成函数法（Generating Function Method）生成函数法是将数列看作一个形式幂级数，通过对生成函数进行操作来求解递推表达式。
可以利用生成函数的性质和运算法则来求得数列的递推关系，进而得到递推表达式。
几种由递推式求数列通项的方法介绍
几种由递推式求数列通项的方法介绍求数列通项通常可以通过递推式来实现，即通过之前的项推导出后一项。
下面介绍几种常见的方法：1.直接法：直接法是最基本的一种方法，即通过观察数列中的规律，找出递推式，然后根据递推式求解通项。
这种方法适用于简单的数列，如等差数列、等比数列等。
例如，求等差数列1, 3, 5, 7, ...的通项。
由观察可知，每一项与前一项的差值为2，即递推式为an = an-1 + 2、再根据首项a1 = 1，得到an = 2n-12.假设法：假设法是一种通过假设通项形式来求解递推式的方法。
通过猜测通项的形式，并将它代入递推式中，得到一个等式，再通过递推式和等式求解未知系数。
例如，求Fibonacci数列的通项。
观察Fibonacci数列的前几项0, 1, 1, 2, 3, 5, ...，可以猜测通项形式为an = A * φ^n + B * (1-φ)^n，其中A和B为待定系数，φ为黄金分割比。
将该通项代入Fibonacci数列的递推式an = an-1 + an-2，得到A = 1/√5，B = -1/√5、因此，Fibonacci数列的通项为an = (1/√5) * (φ^n - (1-φ)^n)，其中φ约等于1.6183.代数法：代数法是通过代数运算来求解通项。
将数列的递推式变形为一个方程，再通过方程求解通项。
例如，求等比数列1, 2, 4, 8, ...的通项。
观察可知，每一项与前一项的比值为2，即递推式为an = 2 * an-1、变形方程为an = 2 * an-1，将an-1代入等式中得到an = 2^n。
因此，等比数列的通项为an =2^n。
4.积分法：积分法适用于一些特殊的数列，如等差递减数列、等比递减数列等。
通过对递推式进行积分，可以得到一个通项形式的积分表达式。
例如，求等差递减数列1, 4/3, 1, ...的通项。
观察可知，每一项与前一项的差值为-1/3，即递推式为an = an-1 - 1/3、对递推式进行积分得到通项的积分表达式∫an dn = ∫(-1/3) dn，即an = C - n/3，其中C为常数。
数列的递推关系求解练习题
数列的递推关系求解练习题数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数字组成。
在数列中，每个数字都有一个位置，我们可以通过递推关系来找到数列中每个数字之间的规律。
本文将提供一些数列的递推关系求解练习题，帮助读者加深对数列的理解和运用。
一、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列，它的递推关系可以表示为：F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个数字。
题目1：求斐波那契数列的第10个数字。
解答：根据递推关系，我们可以依次计算得到斐波那契数列的前10个数字如下：F(1) = 1F(2) = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34F(10) = F(9) + F(8) = 34 + 21 = 55所以斐波那契数列的第10个数字为55。
二、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻数字之间的差值都相等的数列。
题目2：已知等差数列的首项为a，公差为d，求该数列的前n项和Sn。
解答：根据等差数列的性质，我们可以得到数列的递推关系：an = a + (n-1)d，其中an表示第n个数字。
首先，我们可以计算数列的第n个数字：an = a + (n-1)d然后，我们可以计算数列的前n项和Sn：Sn = (a + an) * n / 2= (a + (a + (n-1)d)) * n / 2= (2a + (n-1)d) * n / 2题目3：已知等差数列的首项为3，公差为4，求该数列的前6项和Sn。
解答：根据题目给出的数据，代入等差数列的递推关系和前n项和的公式，我们可以得到：a = 3d = 4n = 6an = a + (n-1)d= 3 + (6-1)4= 3 + 20= 23Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2= (2*3 + (6-1)*4) * 6 / 2= (6 + 20) * 3= 26 * 3= 78所以该等差数列的前6项和Sn为78。
求数列递推式常用的八种方法
求数列递推式常用的八种方法1. 直接法直接法是最简单和直接的方法，通过观察数列的规律，直接写出递推式。
例如，对于等差数列，递推式可以直接表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 分析法分析法是通过对数列进行数学分析，找出其中的规律，并根据规律推导出递推式。
这种方法通常需要一定的数学知识和分析能力，适用于较复杂的数列。
3. 求通项法求通项法是通过求出数列的通项公式，然后根据通项公式得到递推式。
对于一些特殊的数列，可以通过求通项的方式得到简洁的递推式。
4. 差分法差分法是通过对数列的前后项进行差分，找出差分序列的规律，并根据差分序列得到递推式。
差分法适用于一些变差规律较为明显的数列。
5. 指标法指标法是通过设立指标，将数列的各项表示为指标的函数，然后根据指标的变化规律得出递推式。
指标法通常用于描述具有规律性的数列。
6. 递推法递推法是通过递推关系式，从已知的前几项不断递推得到后面的项，并找到递推关系的规律性。
递推法适用于对于递推关系有一定了解的数列。
7. 求和法求和法是通过数列的和式表达式，将和式中的各项表示为数列的递推式，然后得出递推式。
求和法常用于求解数列的递推式，特别是对于等差数列和等比数列。
8. 递归法递归法是通过将数列的递推关系式表示为函数的递归定义，然后根据递归定义得到递推式。
递归法适用于递推关系较为复杂的数列。
以上是求数列递推式常用的八种方法，通过不同的方法可以找到适合不同数列的递推式，帮助我们更好地理解和描述数列的规律。
高中物理利用递推法求解多次碰撞问题
高中物理利用递推法求解多次碰撞问题在高中物理中，多次碰撞问题是一个常见的力学问题，它涉及到动量守恒、能量守恒等物理原理。
递推法是一种有效的求解多次碰撞问题的方法，它通过将复杂的多次碰撞过程分解为一系列简单的单次碰撞过程，然后依次求解每次碰撞后的状态，最终得到所需的结果。
递推法的基本步骤明确初始条件：首先，需要明确碰撞前的各个物体的速度、质量等初始条件。
应用动量守恒定律：在每次碰撞过程中，应用动量守恒定律来建立方程。
对于一维碰撞问题，如果系统不受外力或所受外力之和为零，则系统动量守恒。
考虑能量变化：如果碰撞过程中存在能量损失（如非弹性碰撞），则需要应用能量守恒定律或动能定理来进一步求解。
对于完全弹性碰撞，动能保持不变；对于非弹性碰撞，动能会减少。
递推求解：从第一次碰撞开始，根据动量守恒（和可能的能量守恒）定律求解碰撞后的速度。
然后，将碰撞后的速度作为下一次碰撞的初始速度，继续求解下一次碰撞后的速度，依此类推，直到求解出所有需要的碰撞后的状态。
验证结果：最后，验证求解结果是否符合物理规律和实际情况。
示例问题假设有两个质量分别为m1和m2的小球，在光滑的水平面上以速度v1和v2（方向相反）发生完全弹性碰撞。
求碰撞后两球的速度。
递推法求解（实际上此问题只需一次递推，但为了说明方法）明确初始条件：m1的初速度为v1，m2的初速度为v2（方向相反，可设为−v2）。
应用动量守恒定律：设碰撞后m1的速度为v1′，m2的速度为v2′，根据动量守恒定律有：m1v1+m2(−v2)=m1v1′+m2v2′应用能量守恒定律（完全弹性碰撞）：动能保持不变，即：联立方程求解：将上述两个方程联立，可以解出v1′和v2′。
注意：这里实际上没有多次碰撞，但递推法的思想在于，如果有多次碰撞，我们可以将每次碰撞后的速度作为下一次碰撞的初始速度，重复上述步骤。
验证结果。
通过递推法，我们可以将复杂的多次碰撞问题简化为一系列简单的单次碰撞问题，从而更容易地求解出所需的结果。
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总结：递推求解的基本方法： 总结：递推求解的基本方法：
首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 然后，假设：规模为N 的情况已经得到解决。 然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。 最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚 最后，重点分析：当规模扩大到N 举出所有的情况， 举出所有的情况，并且要确保对于每一种子 情况都能用已经得到的数据解决。 情况都能用已经得到的数据解决。 强调： 强调： 1、编程中的空间换时间的思想 并不一定只是从N 2、并不一定只是从N-1到N的分析
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分析过程（ 分析过程（2）
如果n 2、如果n个人的合法队列的最后一个 人是女，则要求队列的第n 人是女，则要求队列的第n-1个人务必 也是女生，这就是说， 也是女生，这就是说，限定了最后两 个人必须都是女生， 个人必须都是女生，这又可以分两种 情况： 情况：
2011-9-16
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再思考题： 再思考题：
有1×n的一个长方形，用1×1、1×2、1×3的骨牌铺 的一个长方形， 满方格。例如当n=3时为1 n=3时为 的方格（如图）， ），此时用 满方格。例如当n=3时为1×3的方格（如图），此时用 的骨牌铺满方格，共有四种铺法。 1×1，1×2，1×3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。
为什么? 为什么?
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趁热打铁， 趁热打铁， 来个差不多的☺ 来个差不多的☺
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附加思考题（还没加到OJ）： 附加思考题（还没加到OJ）： OJ “佐罗”的烦恼 佐罗” 佐罗
说起佐罗， 说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具 恐怕还有他每次刻下的“ 字 我们知道， ，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道， 一个“ 可以把平面分为 部分，两个“ 可以 可以把平面分为2 一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以 把平面分为12部分，那么，现在的问题是： 12部分 把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如 果平面上有n 果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部 , 分呢？ 分呢？ 说明1 说明1：“Z”的两端应看成射线 的两端应看成射线 说明2 说明2：“Z”的两条射线规定为平行的 的两条射线规定为平行的
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最后一个思考题（有点难度） 最后一个思考题（有点难度）
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分析过程（ 分析过程（1）
设：F(n)表示n个人的合法队列，则： F(n)表示n个人的合法队列， 表示
按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 要么是女，所以可以分两大类讨论： 要么是女，所以可以分两大类讨论： 如果n 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是 则对前面n 男，则对前面n-1个人的队列没有任何限 他只要站在最后即可，所以， 制，他只要站在最后即可，所以，这种情 况一共有F(n F(n况一共有F(n-1);
2011-9-16
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简单思考题: 简单思考题:
在一个平面上有一个圆和n条直线， 在一个平面上有一个圆和n条直线， 这些直线中每一条在圆内同其他直 线相交，假设没有3 线相交，假设没有3条直线相交于 一点， 一点，试问这些直线将圆分成多少 区域。 区域。
2011-9-16
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是不是这个—— 是不是这个
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结论： 结论：
所以，通过以上的分析， 所以，通过以上的分析，可以得到递推的通 项公式： 项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(nF(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n>3) 然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 显然： 显然： 没有人也是合法的， F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊 处理，就像0的阶乘定义为1一样) 处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4
2011-9-16 17
思考题： 思考题：平面分割方法
问题的提出： 问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上， 设有n条封闭曲线画在平面上，而任 何两条封闭曲线恰好相交于两点， 何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何 三条封闭曲线不相交于同一点， 三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封 闭曲线把平面分割成的区域个数。 闭曲线把平面分割成的区域个数。
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附加题（看看效果～）： 附加题（看看效果～）：
不容易系列之(3) 不容易系列之(3) —— LELE的RPG难题 LELE的RPG难题
有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉 有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、 (Red) (Pink)、 (Green)三色涂每个格子 三色涂每个格子， (Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂 一色，要求任何相邻的方格不能同色， 一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首 尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法. 尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.
2011-9-16 5
显然可以得到如下公式: 显然可以得到如下公式:
化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2
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数列： Fibnacci 数列：
即：1、2、3、5、8、13、21、34…
2011-9-16 7
思考: 思考:
递推公式的伟大意义——？ 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？）
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分析过程（ 分析过程（3）
2.1、如果队列的前n 2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队 则显然后面再加两个女生， 列，则显然后面再加两个女生，也一定 是合法的，这种情况有F(n F(n是合法的，这种情况有F(n-2);
2011-9-16
29
分析过程（ 分析过程（4）
2.2、但是，难点在于，即使前面n 2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个 人不是合法的队列， 人不是合法的队列，加上两个女生也有 可能是合法的，当然，这种长度为n 可能是合法的，当然，这种长度为n-2 的不合法队列，不合法的地方必须是尾 的不合法队列， 就是说，这里说的长度是n 巴，就是说，这里说的长度是n-2的不 合法串的形式必须是“F(n-4)+男 合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”， 这种情况一共有F(n F(n这种情况一共有F(n-4).
F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n; 化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;
2011-9-16 10
太简单了? 太简单了?
来个稍微麻烦一些的☺ 来个稍微麻烦一些的☺
2011-9-16
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2050） 例:（2050）折线分割平面
问题描述： 问题描述： 平面上有n条折线， 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割 成多少块? 成多少块? 样例输入 1 2 样例输出 2 7
ACM程序设计 程序设计
杭州电子科技大学 刘春英 acm@
今天， 今天，
你
了吗？ 了吗？
2011-9-16
2
每周一星（ ）： 每周一星（2）：
dragon
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第三讲
递推求解
2011-9-16
4
先来看一个超级简单的例题:
有5人坐在一起，当问第5个人多少岁, 他说比第4个人大2岁，问第4个人多少 岁,他说比第3个人大2岁，依此下去， 问第一个人多少岁，他说他10岁，最 后求第5个人多少岁？ 如果所坐的不是5人而是n人，写出第 n个人的年龄表达式。
Thank You ~
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每周一星（ ）： 每周一星（2）：
07048196
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36
2011-9-16 19
1465 不容易系列之一
某人写了n封信和n个信封，如果 所有的信都装错了信封。求所有 的信都装错信封,共有多少种不 同情况。
2011-9-16
20分析思路： 分析思路： NhomakorabeaN=1和 易得解～，假设F(N 1)和 ～，假设F(N1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和 F(N-2)已经得到 重点分析下面的情况： 已经得到， F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况： 当有N封信的时候，前面N 封信可以有N 2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1 或者 N-2封错装 前者，对于每种错装，可从N 3、前者，对于每种错装，可从N-1封信中任 意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1) 意取一封和第N封错装， =F(N-1)*(N4、后者简单，只能是没装错的那封和第N封 后者简单，只能是没装错的那封和第N 交换信封，没装错的那封可以是前面N 交换信封，没装错的那封可以是前面N-1 封中的任意一个， F(N(N封中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)
2011-9-16
18
简单分析—— 简单分析
14 2 1 1 2 4 3 5 3 4 7 8 1 2 10 11 6 9 6 3 2 1 4 8 7 12 5 13
n=1 n=1
n=2 n=2
n=3 n=3
n=4 n=4
F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(nF(n)=F(n-1)+2(n-1)
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得到如下递推公式： 得到如下递推公式：
基本形式：d[1]=0; d[2]=1 递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])
这就是著名的错排公式☺ 这就是著名的错排公式☺
2011-9-16
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思考题（2046）： 思考题（2046）：