复数的应用 教案

复数的应用
教学目标
1．掌握复数模的运算性质及辐角的运算性质，并会在解题中运用．
2．理解复数运算的几何意义，并能用数形结合解题．
3．在复数集中会解一元二次方程，并了解一元二次方程的根在复数集内的特点．
重点难点
重点：复数运算的几何意义．
难点：灵活应用复数运算的几何意义，数形结合解有关复数的题及一些几何题．
教学过程
在掌握复数运算法则的基础上，还需要进一步理解复数运算的特点及运算的几何意义．由于建立了复数与复平面上从原点出发的向量的一一对应关系，使复数与几何建立了密切的关系，所以数形结合在复数中有着广泛的应用，应用数形结合解题也是复数这一内容中必须掌握的数学思想方法．
在复数集内，一元n次方程有n个根，这是复数与实数的重要区别．对实系数一元二次方程，在复数集内根的特点必须明确．
一、复数模与辐角的运算性质
1．复数模的运算性质(设z1，z2∈C)
(1)||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2| ①
||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2| ②
在②式中，右边等号成立的条件与①式中左边等号成立的条件相同，左边等号成立的条件是①式中右边等号成立的条件．
(ii)在①式和②式中，若左、右两边均取不等号，则其几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
(iii)对①，②两式要会证明，其证明思路是设z1，z2的代数形式，转化为不等式的证明．
(iv)对①式，可推广：|z1+z2+…+z n|≤|z1|+|z2|+…+|z n|，但等号成立的条件考查起来很麻烦，要慎用．(v)若x，y∈R，则有||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|，但等号成立的条件、几何意义、证明方法都不相同，要注意区别．
(2)|z1²z2|=|z1|²|z2|．
*（5）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）．
这个式子的几何意义是平行四边形两条对角线长的平方和等于四个边长的平方和．
2．复数辐角的运算性质（z1，z2∈C）
（1）z1²z2的辐角等于z1与z2的辐角之和．
（3）z1n（n∈N）的辐角等于z1的辐角的n倍．
3．平面曲线的复变量方程
（1）argz=α．表示以（0，0）为起点，与 x轴正向夹角为α的射线．
（2）|z-z1|=|z-z2|，其中z1，z2为复常数．表示以z1，z2在复平面上对应点为端点的线段垂直平分线．（3）|z|=r（r＞0）．表示以（0，0）为圆心，r为半径的圆．
|z-z0|=r（z0为复常数，r＞0）．表示以z0在复平面上对应点为圆心，r为半径的圆．而|z-z0|＞r或|z-z0|＜r 则表示该圆的外部或内部．
（4）|z-z1|+|z-z2|=2a（z1，z2为复常数，2a＞|z1-z2|＞0）．表示以z1，z2在复平面上对应点为焦点，长轴长为2a的椭圆．
（5）||z-z1|-|z-z2||=2a（z1，z2为复常数，|z1-z2|＞2a＞0）．表示以z1，z2在复平面上对应点为焦点，实轴长为2a的双曲线．
（6）设三角形三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，则重心对应的复数为（z1+z2+z3）．
（7）设复平面上Z1，Z2对应的复数分别为z1，z2，P分的
例3 已知z∈C，且|z|=1．
(1)求|z-3+5i|的最大、最小值；
(2)求arg(z-2)的最大、最小值．
分析 |z|=1表示在复平面上z所对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．|z-3+5i|=|z-(3-5i)|表示已知圆上的点与点A(3，-5)的距离；arg(z-2)表示x轴的正向与圆|z|=1上的点与点(2，0)的差向量在[0，2π)内的角．
(1)分析一首先转化为解析几何的图形问题．如图1．当z所对应
分析二通过运算来解决问题．
因为|z|=1，所以设z=cosθ+isinθ，则|z-3+5i|2=(cosθ-3)2+(sinθ
评述以上两种解决问题的方法要求熟练掌握．分析一体现了复数与几何的关系，突出了数形结合；分析二体现了已知复数的模设复数三角形式的优越性．
如果本题设z=x+yi，则x2+y2=1，|z-3+5i|2=35-2(3x-5y)，这就需要用解析几何圆的知识，求3x-5y的范围，显然不如分析二来得直接，但分析二需要用三角知识，因此三角的变形公式需要掌握才行．分析三应用关系式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z1|解决问题．
(2)分析一直接转化为图形．当z-2在复平面上对应的向量与圆相切时，arg(z-2)取最大、最小值，如图3．但是注意，此时z-2对应的向
如果先作换元，设z-2=u，则z=u+2，于是|u+2|=1，u在复平面上对应点的轨迹是以G(-2，0)为圆心，1为半径的圆(图4)．当u在复平面
图4比图3更直观．
分析二设z=x+yi，则x2+y2=1x∈[-1，1]．
≤1，这就需要涉及到三角的辅助角公式．比较一下，还是设代数形式更熟悉一些．
评述从(1)、(2)的几种分析中，可以看出两点，一是数形结合的作用；二是复数形式的选择，这在解题中是十分重要的．
一条射线，如图5．|z+5-i|+|z|最小值的意义是在射线上找一点P，使它到A(-5，1)与O(0，0)的距离之和最小，这显然是解析几何的对称问题．易
二、复数运算的几何意义
1．复数代数形式的加、减法——平行四边形法则，三角形法则．
2．复数三角形式乘法、除法的几何意义——向量的旋转与伸缩．
(1)在实际解题时，不管向量逆时针旋转还是顺时针旋转，通常都用复数的乘法．当向量逆时针旋转θ角时，乘以cosθ+isinθ；当向量顺时针旋转θ角时，乘以cosθ-isinθ．
(2)由除法的几何意义可知，θ1-θ2与两个向量的夹角有关．因此可以用两个复数相除得到两个向量的夹角．对复数的这一点理解，对解有关图形的问题十分重要．
(3)用复数相除求两个向量的夹角与用解析几何的夹角公式求两条直线的夹角是一致的．这点留给大家自己推导．
例6 若复数z1，z2，z1+z2均不为零，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点．
(1)若|z1-z2|=|z1+z2|，则四边形OACB的形状是____；
分析由复数加法的几何意义得OACB为平行四边形．
(1)由题意得|OC|=|AB|，所以OACB为矩形；
(2)当λ≠1时，得OC⊥AB，|OC|≠|AB|，所以OACB为菱形；当λ=1时，得OC⊥AB且|OC|=|AB|，所以OACB 为正方形．
例7 已知正方形ABCD，A(1，-2)，B(2，-1)，求C，D点的坐标．
分析因为正方形每个内角为90°，所以问题转化为复数向量的旋转比较方便．
因为AC的中点也是BD的中点，由中点坐标公式得C(1，0)，C′(3，-2)．
评述 (1)由于复数与几何建立了联系，所以复数题、几何题作题方法上可以互相转化．(2)在平面图形中，若两条线段所夹的角为特殊角(如90°，60°等)，则把问题转化为复数向量的旋转比较方便．3．复数的开方
(1)任意一个非零复数的n次方根是n个不同的复数，这n个复数的
(2)任一个非零复数的n次方根在复平面上所对应的点均匀地分布在以原点为圆心的同一个圆上，这些点依次连接成正n边形．
(3)1的三次方根可以这样得出：
性质：
4．关于一元二次方程
(1)对复系数一元二次方程，求根公式、根与系数关系成立．
(2)如果一元二次方程的系数有虚数，则不能用b2-4ac来判定根的情况，即b2-4ac是实系数方程实根的判别式．
(3)实系数一元二次方程若有虚根，则两个虚根互为共轭复数．
成图形的面积是____．
分析方程的三个根在复平面上对应点顺次连线围成正三角形，正三角形外接圆的半径为|x|．
例9 方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实根，求实数a的值及方程的根．
解设x∈R，则有
由②得x=3或x=-1．
-1，-1+4i．
三、综合题分析
例10 已知方程x2-mx+5=0的两个虚根为x1，x2，且|x1-x2|=2，求实数m的值．
分析一 m2-20＜0．
分析三设方程两根为a±bi(a，b∈R，b≠0)．则
所以m=±4．
评述注意：|x1-x2|是一个虚数的模，因此|x1-x2|2≠(x1-x2)2．。