复数的四则运算教学设计
7.2复数的四则运算教案
7.2复数的四则运算教案《复数的四则运算》教案：教学目标：1. 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义。
2. 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念。
教学重点：1. 复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
2. 加、减运算的几何意义。
教学难点：1. 加、减运算的几何意义。
教学过程：1. 复习准备：与学生一起复习复数的定义及其表示方法。
2. 新课导入：通过问题导入，如“两个复数的和如何计算？”、“复数的加减法与实数的加减法有什么相同和不同？”等，引出复数的四则运算。
3. 新课讲解：（1）复数的加法运算：将两个复数相加，得到一个新的复数。
加法可以看作是向量的和，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解加法运算的几何意义。
（2）复数的减法运算：将两个复数相减，得到一个新的复数。
减法可以看作是向量的差，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解减法运算的几何意义。
（3）复数的乘法运算：将两个复数相乘，得到一个新的复数。
乘法可以看作是向量的叉积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解乘法运算的几何意义。
（4）复数的除法运算：将两个复数相除，得到一个新的复数。
除法可以看作是向量的点积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解除法运算的几何意义。
4. 课堂练习：让学生进行一些简单的复数四则运算练习，并让他们解释运算结果的几何意义。
5. 小结：与学生一起回顾复数的四则运算及其几何意义，强调各部分内容的重要性及注意事项。
6. 作业布置：布置一些相关的练习题，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意结合图形的解释，让学生更好地理解复数的四则运算及其几何意义。
同时，要关注学生的理解情况，及时调整教学策略，确保学生掌握相关内容。
2024秋季人教A版高中数学必修第二册第七章复数《复数的四则运算》
教学设计：2024秋季人教A版高中数学必修第二册第七章复数《复数的四则运算》一、教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解复数四则运算的定义，抽象出复数运算与实数运算的区别与联系。
2.逻辑推理：通过复数四则运算的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力，理解复数运算的代数和几何意义。
3.数学运算：熟练掌握复数四则运算（加、减、乘、除）的法则，提高数学运算能力。
4.数学建模：初步了解复数在解决实际问题中的应用，培养学生的数学建模意识。
二、教学重点•复数四则运算的法则及其推导过程。
•复数乘法和除法的运算技巧及注意事项。
三、教学难点•理解复数乘法中“模相乘、辐角相加”的原理及其在运算中的应用。
•掌握复数除法运算中共轭复数的使用及结果的化简。
四、教学资源•多媒体课件（包含复数四则运算的示例、动画演示、练习题等）•黑板与粉笔（用于板书关键步骤和结论）•教材及配套习题册•复数计算器（可选，用于学生实践运算）五、教学方法•讲授法：系统介绍复数四则运算的定义、法则及运算技巧。
•演示法：利用多媒体课件演示复数四则运算的过程，帮助学生直观理解。
•练习法：通过例题和习题，加强学生对复数四则运算的掌握。
•讨论法：组织学生讨论复数四则运算在实际问题中的应用，加深对复数运算的理解。
六、教学过程1. 导入新课•复习旧知：回顾复数的概念、代数表示及三角表示，为复数四则运算做铺垫。
•情境引入：通过物理、工程或经济等领域中涉及复数运算的实例，激发学生兴趣，引入复数四则运算的学习。
2. 新课教学•复数加法与减法：•简述复数加法与减法的定义，强调实部与实部相加（减）、虚部与虚部相加（减）的规则。
•通过例题演示复数加法与减法的运算过程，引导学生总结运算规律。
•复数乘法：•详细介绍复数乘法的运算法则，特别是“模相乘、辐角相加”的原理及其在代数表示下的应用。
•通过例题演示复数乘法的运算过程，注意运算结果的化简和辐角的处理。
•强调复数乘法与实数乘法的区别，以及复数乘法在几何变换中的意义。
《复数的四则运算》教案全面版
《复数的四则运算》教案[教学目标]：知识与技能：1、掌握复数代数形式的加法、减法及乘法运算及意义.2、理解并掌握共轭复数的概念.过程与方法：1、由实数的运算法则来研究复数的运算.2、通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生学会与别人共同学习.3、让学生学会运用类比推理研究数学问题，培养学生理性思维能力. 情感、态度与价值观：1、通过本节课的学习，能提高学生分析问题解决问题的能力.2、学生初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识.[教学重点]：复数代数形式的加法、乘法运算.[教学难点]：复数代数形式的乘法运算.[教学过程]：一、自学质疑1、明确学习目标，揭示课题师：今天我们将要学习什么知识？（板书课题）我们知道实数有加、减、乘法等运算，且有运算律，请同学们回忆一下它们的运算法则是什么？（提问1-2个学生，师总结）师：那么复数应怎样进行加、减、乘法运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘法运算呢？运算律仍成立吗？交流导学案 [知识链接] .2、学生质疑师：通过预习，在你的学习过程中还有哪些问题没有解决？二、交流展示在交流过程中解决学生提出的疑问.1、交流学案（提问2-3位同学）通过学生的回答师总结如下：（1）复数加、减法的运算法则已知两复数1z ＝bi a +,2z ＝di c +,(a 、b 、c 、d ∈R)加法法则：i d b c a z z )()(21+++=+减法法则： i d b c a z z )()(21-+-=-结论：两个复数相加（减）即实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.注意：○1两个复数的和、差仍是一个复数. ○2复数的减法是加法的逆运算. ○3复数的加减法可类比多项式的加减法进行. 容易验证，复数的加减法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z +=+)()(321321z z z z z z ++=++ .例1、 计算)94()52(31i i i +-++--）（ （由学生口头讲述，师板书）解：)94()52(31i i i +-++--）（=i )953()421(+--+--=i +-5（2）复数的乘法运算法则2))(bdi bci adi ac di c bi a +++=++（i ad bc bd ac )()(++-=注意：○1两个复数的积仍然是一个复数. ○2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把2i 换成-1，然后实、虚部分别合并.容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z =)()(321321z z z z z z =3121321)(z z z z z z z +=+例2、计算)31)(23)(2(i i i +----（由学生口头讲述，师板书）解：)31)(23)(2(i i i +----=)31)(8(i i +-+-=i 255-例3、 计算))((bi a bi a -+ （找2-3位学生板演，师总结）解：方法1；))((bi a bi a -+=222i b abi abi a -+-=222i b a -=22b a +方法2；))((bi a bi a -+=22b a - 一步到位注意：bi a +与bi a -两复数的特点.定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数bi a z +=的共轭复数记作z ，即 bi a z -=.三、互动探究1、小组讨论：○1 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .○2 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .○3 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z . 2、交流、填写学案.四、精讲点拨○1复数的和、差、乘仍是一个复数. ○2复数的加、减及乘法可类比多项式的运算法则进行.五、矫正反馈学生依据本节课所学知识,矫正学案.六、迁移应用学生独立完成[巩固练习].复数的四则运算(一) 导学案、巩固案[学习目标]：1、掌握复数代数形式的四则运算法则.2、能进行复数代数形式的加法、减法、乘法运算.3、理解并掌握共轭复数的概念.4、学会运用类比推理研究数学问题，培养理性数学思维能力.[重点难点]：复数代数形式的加、减及乘法的运算.[知识链接]：1、复数加法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 .2、满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .3、复数减法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 总结： .4、复数的乘法法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 复数乘法满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .（3）分配律： .[基础练习]：(1).=--+-i i i 4)57()35( .(2).=+++----)71()2()42(i i i .(3).=+--++)65()43()21(i i i .(4).=+--)5)(32(i i .(5).=+++）i i i 3)(2)(1( . (6).=-++-++-)]()[()]()[(bi a b a bi a b a .(7).=-++++-)]())][(()[(bi a b a bi a b a .(8).复数bi a z +=,)(R b a ∈、,且0≠b ,若bz z 42-是:（1）实数 （2）纯虚数 （3）虚数；分别写出一组有序实数对)(b a 、．[学习小结]：1、复数的和、差、乘仍是一个 .2、复数的减法是 的逆运算.3、复数的加、减及乘法可类比 的运算法则进行.[互动探究]：1、 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .2、 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .3、 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z .[学习反思]：1、归纳本节课学习的内容，你记住了哪些知识？2、在这节课的学习中，你还有哪些问题没有解决？[巩固练习]1、复数i -2的虚部是 .2、如果复数bi a +为实数0，则实数a = b = .3、如果i m m m z )1()1(2-++=为纯虚数，则实数m 的值为 .4、以12--i 的虚部为实部，以22i i +的实部为虚部的复数为 .5、已知M={1,2,(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i},N={-1,3},M ∩N={3},则实数a = .6、如果1)(-=+x i y x ,求实数x ,y 的值及复数yi x z +=.7、如果i m m m )2()1(22-+->0,求实数m 的值.8、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足i y i y x -=-+-)3()12(,(1)求x ,y ；(2)若R y x ∈，,其余条件不变，求x ,y 的值；（3）若bi a x +=R b a ∈，(是虚数,R y ∈,其余条件不变，求虚数x 中实部与虚部间的关系.。
复数的四则运算教案
复数的四则运算教案篇一：《复数代数形式的四则运算》参考教案1 / 42 / 43 / 44 / 4篇二：复数代数形式的四则运算-教案教学设计流程教学过程一、导入新课：复数的概念及其几何意义；二、推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设Z1?a?bi,Z2?c?di是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i 2、复数的加法运算律: 交换律：Z1?Z2?Z2?Z1结合律:：Z1?Z2?Z3?Z1?(Z2?Z3) 3、复数加法的几何意义：设复数Z1?a?bi,Z2?c?di，在复平面上所对应的向量为OZ1、1、2，即1、2的坐标形式为1=(a,b)，2=(c,dOZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于=1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以1和OZ2 的和就是与复数(a?c)?(b?d)i对应的向量4、复数的减法运算法则：Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i，而向量Z2Z1=1-OZ2=(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以1和2 的差就是与复数(a?c)?(b?d)i 对应的向量. 三、例题讲解：例1、计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)例2、已知复数Z1?2?i,Z2?1?2i在复平面内对应的点分别为A,B，求AB对应的复数Z，Z在平面内所对应的点在第几象限？例3、复数Z1?1?2i,Z2??2?i,Z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
分析一：利用?，求点D的对应复数。
解法一：设复数Z1,Z2,Z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x?yi(x,y?R)，是：=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i ??=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i ∵?，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，x11∴? ?y?2??3?x?2解得?y??1?故点D对应的复数为2－i。
复数代数形式的四则运算(教学设计)
学习必备欢迎下载复数代数形式的四则运算（教学设计）（1）§ 3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能目标：掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义过程与方法目标：培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。
情感、态度与价值观目标：培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。
教学难点：复数加减法运算的几何意义。
教学过程：一、复习回顾：1、复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 z a bi一一对应复平面内的点Z( a,b)这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应 .这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法2、 . 若a(x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，则a b(x1x2 , y1y2 ) ，a b( x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3、若A( x1, y1)，B( x2, y2)，则AB x2x1, y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即AB = OB OA =( x2,y2)(x1,y1)= (x 2x1, y2y1 )二、师生互动、新课讲解：1、复数代数形式的加减运算（ 1）复数 z1与 z2的和的定义：z1+z2=( a+bi )+( c+di)=(a+c)+(b+d)i .（2）复数 z1与 z2的差的定义： z1-z2 =(a+bi )-(c+di)=( a-c)+(b-d)i .（3）复数的加法运算满足交换律 : z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i， z2=a2+b2i(a1， b1， a2， b2∈R).∵z1 +z2=(a1+b1i)+( a2+b2i )=(a1+a2)+( b1 +b2)i.z2+z1=(a2+b2 i)+(a1+b1i)=( a2+a1)+( b2+b1)i. 又∵ a1+a2=a2+a1， b1+b2=b2+b1.∴ z1 +z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.（4）复数的加法运算满足结合律 : ( z1+z2)+z3 =z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2 +b2i ， z3=a3+b3i(a1， a2， a3，b1， b2， b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［( a1+b1i)+( a2+b2 i)］ +(a3+b3i)=［ (a1+a2)+( b1+b2)i ］+( a3+b3 )i=［ (a1+a2)+a3］+［ (b1+b2)+b3］ i=( a1 +a2+a3)+(b1+b2+b3) i.z1 +(z2+z3)=( a1+b1i)+ ［ (a2+b2 i)+(a3+b3i)］=( a1 +b1i)+ ［ (a2+a3)+( b2+b3)i］=［ a1+(a2+a3)］+［ b1+(b2+b3 )］ i=( a1+a2+a3)+( b1+b2+b3)i∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) ，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2 +z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例 1（课本 P57 例 1）计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例 2 计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i )+⋯+(－2002+2003i )+(2003－2004i)解法一：原式=(1－ 2+3－ 4+⋯－ 2002+2003)+( － 2+3 － 4+5+ ⋯ +2003－ 2004i)=(2003 － 1001)+(1001 － 2004)i=1002－1003i.解法二：∵ (1－ 2i )+(－ 2+3i)= － 1+i ，(3 － 4i)+( － 4+5i)=－ 1+ i，⋯⋯(2001 － 2002i)+( － 2002+2003)i =－ 1+i.相加得 (共有 1001 个式子 )：原式 =1001( － 1+i)+(2003 －2004i)=(2003 － 1001)+(1001 － 2004)i =1002－ 1003i2.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加 (减 )法 (a+bi)± (c+di)=( a± c)+( b± d)i .与多项式加 (减) 法是类似的 .就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减 ).（ 1）复平面内的点Z (a, b)一一对应平面向量 OZ（ 2）复数z a bi一一对应平面向量 OZ（ 3）复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi， z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即 OZ1、 OZ2的坐标形式为 OZ1=( a，b)，OZ2 =(c， d) 以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则对角线 OZ 对应的向量是OZ，∴OZ=OZ1+ OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝( a+c)+( b+d)i（ 4）复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=( a－ c)+( b－ d)i ，所以 z－ z1=z2， z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数 z－ z1的差 (a－ c)+( b － d)i 对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－ z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例 3 已知复数z1=2+ i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、 B，求AB对应的复数 z， z 在平面内所对应的点在第几象限？解： z=z2－ z1=(1+2 i)－ (2+i)=－ 1+i，∵z 的实部 a=－ 1＜ 0，虚部 b=1 ＞ 0，∴复数 z在复平面内对应的点在第二象限内 .点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即 AB所表示的复数是z B－ z A.，而BA 所表示的复数是z A－ z B，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例 4 复数 z 1=1+2 i ， z 2=－2+i ，z 3=－ 1－ 2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数 .分析一：利用AD BC ，求点 D 的对应复数 .解法一：设复数z 1、 z 2、 z 3 所对应的点为 A 、 B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为 x+yi(x ，y ∈ R )，是：AD OD OA =( x+yi)－ (1+2 i)=( x －1)+( y － 2)i ;BCOC OB =( － 1－ 2i)－( －2+i)=1 －3i .∵ ADBC ，即 (x －1)+( y －2)i=1－3i ，x 1 1, x 2,例 2 图∴23, 解得1.yy故点 D 对应的复数为 2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形 ABCD 的中心来解 .解法二：因为点 A 与点 C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是 (－ 2+i)+(x+yi )=0 ，∴ x=2 ， y=－ 1.故点 D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用课堂练习：（课本 P58 练习： NO ： 1；2）三、课堂小结，巩固反思：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈ R ，那么a+bi=c+dia=c ，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复数的加法法则： (a+bi )+(c+di)=( a+c)+( b+d)i(a ，b ， c ，d ∈ R ). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。
人教版高中选修1-23.2复数代数形式的四则运算课程设计
人教版高中选修1-23.2复数代数形式的四则运算课程设计一、课程设计背景和目的在人教版高中选修1的23.2复数代数形式的四则运算的学习中，我们需要掌握复数的四则运算。
复数是一类数，由实数及虚数形成。
虚数由一个实数和i（虚数单位）相乘得到。
本课程设计旨在帮助学生掌握复数的四则运算，并能够灵活应用于解决实际问题。
二、教学内容及教学目标2.1 教学内容本课程设计的教学内容包括：•复数的定义及表示•复数的加法、减法•复数的乘法、除法•复数的幂运算•复数方程的解法•复数的实部、虚部及共轭2.2 教学目标通过本课程设计的教学，学生应达到以下目标：•熟练掌握复数的定义及表示方法•能够进行复数的加、减、乘、除、幂运算•能够使用复数解决实际问题•了解复数的实部、虚部及共轭三、教学重点和难点3.1 教学重点•复数的加、减、乘、除、幂运算•复数方程的解法3.2 教学难点•复数的乘、除法运算•复数方程的解法四、教学方法4.1 教师讲授教师使用PPT等多媒体工具向学生讲解复数的定义、四则运算、幂运算等概念及方法。
4.2 学生探究学生结合实际问题，通过小组协作、讨论等方式，探究复数的应用及解决方法。
4.3 课堂练习教师设计各种类型的练习，帮助学生理解和掌握知识。
4.4 课后作业教师布置相应的作业，巩固和扩展学生的知识。
五、课程安排本课程设计教学时间为6学时，具体安排如下：学时教学内容1 复数的定义及表示，复数的加、减法2 复数的乘法、除法，复数的幂运算3 复数在实际问题中的应用4 复数方程的解法5 复数的实部、虚部及共轭6 课程总结和评价六、教学评估本课程设计的评估方式主要包括：6.1 日常测评根据教师布置的课后作业、课堂练习等，对学生进行日常评估。
6.2 作品展示学生根据课程内容，进行小组或个人作品设计，进行展示和评价。
6.3 课程评价和反思学生对本节课程进行自我评价和学习反思，对本课程设计提出建议和改进建议。
七、结语本课程设计旨在帮助学生掌握复数的四则运算，并能够灵活应用于解决实际问题。
《复数的四则运算》单元教学设计(2课时)
《复数的四则运算》单元教学设计（2课时）一、内容和内容解析1.内容复数的加减运算及其几何意义，复数的乘除运算．本单元的知识结构：本单元建议用2课时：第一课时，复数的加减运算及其几何意义；第二课时，复数的乘、除运算.2.内容解析引入一类代数对象，就要研究它的运算．本节主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则，本节还讨论复数加、减运算的几何意义.通过本节的学习，侧重提升学生的数学运算、直观想象素养．复数的四则运算法则都是规定的，但这种规定是有“依据”的，也是有层次的.第一层次，复数的加法和乘法法则是直接规定的，规定的“依据”就是在复数概念引入时，得到的“规则”，即实数系扩充到复数系后，我们希望“数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”. 教学时应引导学生体会复数运算法则和运算律规定的合理性. 以此为载体，教给学生研究数学问题的思路和方法. 第二层次，复数的减法运算和除法运算法则，是通过复数的减法运算是加法运算的逆运算，除法运算是乘法运算的逆运算得到的，为什么可以看成逆运算，是类比了实数减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算得到的.在教学过程中，要让学生感受转化与化归的数学思想，感受加减运算和乘除运算中辩证统一的思想，进一步体会类比是研究数学问题的重要方法,教材在规定了复数的四则运算后，让学生分别与多项式的运算法则进行比较，发现两者的共性.目的是通过类比，让学生借助多项式的四则运算法则去进行复数的四则运算，从而避免了不必要的死记硬背．如：复数a+bi中实部和虚部a，b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个“一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”. 通过这种比较，加深理解，淡化记忆，提升学生的数学运算素养.复数加法和减法的几何意义是借助复数的几何意义以及向量加法和减法的几何意义得到的，主要体现在三方面：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法和减法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法和减法的运算法则．教学中要让学生充分感受数形结合以及类比的数学思想，感受普遍联系的唯物主义观点，提升学生的直观想象素养.综上所述，本单元的教学重点是：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．二、目标和目标解析1. 目标（1）掌握复数代数表示的四则运算的运算法则和运算律，体会转化与化归的数学思想方法，发展数学运算素养.（2）发现复数的四则运算和多项式的四则运算的共性，体会类比的思想方法.（3）了解复数加、减运算的几何意义，体会数形结合的思想方法，发展直观想象素养.（4）了解在复数集中求解一元二次方程的方法.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够依据数系扩充的规则，自主探索，合理地规定复数加法和乘法的运算法则，能够通过减法和加法互为逆运算，除法和乘法互为逆运算，得到减法和除法的运算法则，并在其中体会转化与化归的思想方法.学生能够利用复数的四则运算法则，进行简单的复数代数表示的运算.达成目标（2）的标志是：学生能够通过类比发现复数的加减运算和乘除运算与多项式的加减运算和乘除运算的“共性”，得到“两个复数相加（减）或相乘（除），类似于两个多项式相加（减）或相乘（除）”.达成目标（3）的标志是：学生能够通过复数与平面向量一一对应的关系、平面向量加法和减法的几何意义以及复数加减运算法则，得出复数加减运算的几何意义.达成目标（4）的标志是：学生能够利用复数的四则运算法则,在复数集范围内求解一元二次方程，得出复数集内一元二次方程的求根公式.三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习过多项式的四则运算，在“数系的扩充和复数的概念”一节已经了解了数系扩充的规则，即：“数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”.在教师的引导下，应该能够得出复数加法运算和乘法运算运算法则的“合理”规定.因前一节刚刚学习了复数的几何意义，学生对复数与复平面上的点以及平面向量三者之间一一对应的关系比较熟悉，所以，较易得出复数加法的几何意义，同时类比加法的几何意义，能够得出复数减法的几何意义.由于减法运算和除法运算是分别通过加法运算和乘法运算的逆运算得到的，而学生对逆运算会感觉不好理解，学习中可能会存在一些困难，所以本单元的教学难点是：复数减法和除法的运算法则.四、教学支持条件分析在复数加法和减法几何意义的教学中，可借助几何画板或Geogebra软件，呈现复数所对应的平面向量以及加减运算后所得到的平面向量，帮助学生更好地理解复数加法和减法的几何意义.五、课时教学设计第一课时7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（一）课时教学内容复数的加减运算及其几何意义.（二）课时教学目标1.掌握复数加法和减法运算的运算法则及其运算律.2.了解复数加法运算和减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点教学重点：复数加法运算的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．教学难点：复数减法运算的运算法则．（四）教学过程设计1.复数加法运算和减法运算引言：同学们，上一节课，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，我们就要研究其中的数之间的运算.我们通过上一节的研究，已经了解了，数集扩充后，复数集中的数依然满足四则运算和相应的运算律.本单元我们主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则.这一单元分为两课时，我们这节课先来学习复数的加减运算及其几何意义.下节课我们再学习复数的乘除运算.问题1上一节，我们在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的规则，这个规则是什么？师生活动：学生思考回答：数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.设计意图：复数加法运算法则是规定的，但这种规定是基于数系扩充的一般规则，先让学生复习数系扩充的一般规则，温故知新，为后续复数加法运算法则的规定做好铺垫.问题2 我们规定，复数的加法法则如下：设是任意两个复数，那么它们的和当b=0,d=0时，？和规定的复数的加法运算法则比较，说明了什么？师生活动：学生易得a+c. 教师引导学生得出：复数的加法法则与实数的加法法则一致，这说明复数系与实数系中加法运算协调一致．设计意图：通过特例，让学生感受复数系中加法的运算法则和实数系中加法的运算法则是协调一致的.问题3 同学们，我们已经规定了复数的加法运算法则，请大家类比一下，复数的加法运算和多项式的加法运算有什么共性？师生活动：教师引导，学生思考回答：可以把复数a+bi中实部和虚部看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个“一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.教师总结：两个复数相加，类似于两个多项式相加.对复数的加法法则不需要死记硬背.设计意图：让学生通过类比，体会复数加法运算法则和多项式加法运算法则的联系性.问题4 复数的加法是否和多项式的加法一样，也满足交换律和结合律呢？追问：你能试着证明你的结论吗？师生活动：教师引导，学生由多项式加法的交换律和结合律，容易猜测得出复数的加法也满足交换律和结合律.之后让学生分成两大组，分别证明复数加法的交换律和结合律，证明完成后，由学生进行展示与互评.设计意图：让学生经历观察、类比、猜想、证明的过程，培养逻辑推理素养.问题5我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？师生活动：学生思考回答.教师引导：首先类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算，即用两个复数的加法定义两者的差；即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi（x，y∈R）叫做复数a+bi（a，b∈R）减去复数c+di（c，d∈R）的差，记作(a+bi)-(c+di)．然后依据复数的加法、复数相等的定义，c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d.所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.教师要指出这里实际上使用的是待定系数法，它也是确定复数的一个一般性的方法．追问：复数的减法和多项式减法有什么共同点？师生活动：学生通过类比，易得：两个复数相减，类似于两个多项式相减，也可以看成是合并同类项.设计意图：通过类比实数减法是加法的逆运算，引导学生推导得出复数减法的法则，体会待定系数法是确定复数的一般方法，体会类比是研究问题的常用的逻辑思维方法.通过与多项式减法的类比，发展学生的逻辑推理素养.2.复数加、减运算的几何意义问题6 复数的几何意义是什么？追问1：向量加法的几何意义是什么？追问2：你能由向量加法的几何意义出发，得出复数加法的几何意义吗？师生活动：学生思考回答，教师利用PPT展示复数的几何意义以及向量加法的几何意义.师生活动：教师从三个方面进行引导：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法法则.师生共同推导得出：这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，如下图所示，这就是复数加法的几何意义．设计意图：让学生通过类比、推理，得出复数加法的几何意义，体会数形结合思想的作用，加深对复数几何意义的理解，提升数学直观想象素养.追问2：类比复数加法几何意义得出的过程，你能得出复数减法的几何意义吗？师生活动：学生自主探究，类比加法几何意义得出的过程，得出复数减法的几何意义，即：复数的减法可以按照向量的减法来进行，如下图所示：3.复数加减运算及其几何意义的简单应用例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).师生活动：学生独立完成，教师展示学生答题结果，并进行评价.解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.设计意图：让学生利用向量加、减运算法则和运算律进行简单的运算求解，巩固新知.4. 课堂练习教科书第77页练习第1题.师生活动：学生独立完成，口答结果，教师进行评价反馈.教师进一步指出复数的加减运算类似于多项式加减运算的“合并同类项”，复数的减法运算可以转化成加法运算.设计意图：及时巩固新知，检查学生对复数加减运算法则和运算律的掌握程度，培养学生运用所学知识解决数学问题的能力，提升数学运算素养.师生活动：学生独立完成，教师利用信息技术进行展示、评价、反馈.设计意图：通过该例题加深学生对复数代数形式加法运算几何意义的理解，通过画图培养学生数形结合思想和直观想象素养.例3根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离．教师指出：本题的计算结果实际上就是平面上两点间的距离公式，在高二年级的解析几何的教学中还会进一步学习.5. 课堂练习教科书第77页练习第2，4题.设计意图：进一步巩固复数加减法运算的几何意义，体会利用复数的几何意义可以将几何问题代数化，体会转化与化归的数学思想.6. 课堂小结问题7通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：学习了复数加减运算的运算法则、运算律以及几何意义；思想方法方面：类比的研究方法，转化与化归的数学思想等.设计意图：通过对本节内容从知识和方法上进行总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识.7. 课后作业教科书习题7.2第1，2，5题.（五）目标检测设计1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )．A．0 B．2iC．6 D．6－2i设计意图：考查学生对复数加法运算掌握的情况.2．已知＝2＋i，＝1＋2i，则复数z＝－对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限设计意图：考查学生对复数加减法运算法则和复数加法运算几何意义的掌握情况.设计意图：考查复数的加减运算.第二课时7.2.2 复数的乘、除运算（一）课时教学内容复数的乘除运算.（二）课时教学目标1.掌握复数乘、除运算的运算法则及其运算律.2.会在复数范围内求解一元二次方程.（三）教学重点与难点教学重点：复数乘法运算的运算法则．教学难点：复数除法运算的运算法则．（四）教学过程设计1.复数的乘法运算及其应用引言：上节课，我们学习了复数的加减运算及其几何意义，这节课我们来继续学习复数的乘除运算.问题1我们规定，复数的乘法法则如下：设=a+bi，= c+di(a，b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.复数的乘法法则和多项式的乘法法则有什么共性和差异？师生活动：学生思考口答，教师板书.学生通过类比，易得：将复数a+bi看成是关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式的乘法进行，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可．教师指出，复数的乘法法则类似多项式的乘法法则，也没有必要专门去记忆复数乘法的法则．设计意图：通过类比，进一步加强数学知识间的联系，问题2合理规定了复数乘法的运算法则之后，你认为我们还应该继续研究什么？师生活动：学生类比复数加法的研究过程，容易想到接下来应该去研究复数乘法的运算律.追问1：你认为复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？师生活动：学生类比多项式乘法，易得出复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律的猜想.即：追问2：怎样证明你的猜想？师生活动：教师根据学情，让学生证明他们的猜想.可以分成3个大组，每组同学分别证明其中一个结论，也可以证明其中一个，如复数乘法的交换律，另两个留作课后作业.教师重点展示（或板书）其中一个结论的证明过程.以复数乘法的交换律为例：设计意图：让学生经历猜想、证明的过程，感受数学的严谨性.通过形式化的证明，培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养．例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)．师生活动：学生独立完成，之后利用信息技术手段展示、自评、互评.解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.教师要提醒学生注意(-2i)(4i)=8，而不是-8.设计意图：一是让学生明晰，依据复数乘法的结合律，这种连乘形式有意义，可以看成左到右依次相乘；二是让学生熟悉复数的乘法．例2计算：（1）(2+3i)(2-3i)；（2）(1+i)2.师生活动：教师应先引导学生观察两个式子的特点，进而指出计算时，可以用复数的乘法法则计算，也可以用初中学过的乘法公式计算．学生独立完成后进行展示、自评、互评.（5）如果一元多项式方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对出现”．设计意图：由特殊到一般，猜想得出共轭复数的性质，体会推广和一般化是得出数学结论的一种逻辑思维方法.问题4类比复数减法运算法则的规定，你怎样来规定复数除法的运算法则？师生活动：类比复数的减法是加法的逆运算，以及实数的除法是乘法的逆运算，学生可以得出可以由复数的除法是乘法的逆运算来探求复数除法的法则．追问1：请尝试由复数的除法是乘法的逆运算以及复数乘法的运算法则，来规定复数除法的运算法则.师生活动：教师指出：把满足(c+di) (x+yi)=a+bi（a，b，c，d，x，y∈R，且c+di≠0）①的复数x+yi，叫做复数a+bi除以复数c+di的商. 学生尝试推导，教师巡视并给予个别指导.由①计算可得(c x -dy)+ (cy+d x) i =a+bi.根据复数相等的定义，有c x -dy=a，cy+d x=b.师生活动：学生思考回答，可以将“分母实数化”，即：教师指出，这是求两个复数商的简便方法，类似于两个根式相除，只要把分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），就可以使分母“实数化”，化简后就得出所求．因此无需记忆复数除法的运算法则.设计意图：通过问题串的引导，让学生进一步经历研究问题的思路和方法，感受转化与化归的思想，发展逻辑推理素养.例3 计算（1+2i）÷（3-4i）．师生活动：学生独立完成，教师反馈评价.设计意图：让学生及时掌握上述复数除法运算的过程.例4在复数范围内解下列方程：师生活动：教师引导分析，学生自主完成. 师生共同利用信息技术反馈、评价.设计意图：呼应本章章引言提出的问题，彻底解决一元二次方程的求解问题，培养学生的运算求解能力.3.课堂练习教科书第80页练习第3，4题.4.单元小结（1）你对复数四则运算法则规定的合理性，以及复数的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？（2）复数的四则运算和多项式的四则运算有哪些异同点？师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.设计意图：帮助学生梳理本单元的重点知识以及主要的研究思路和方法.5.课后作业教科书习题7.2第3，4，6，7题.（五）目标检测设计1.已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=（）.（A）-2-i（B）-2+i（C）2-i（D）2+i设计意图：考查学生对复数代数表示式四则运算法则和运算律的掌握程度，同时评价数学运算能力.2.若复数满足.设计意图：评价学生对共轭复数概念的理解程度和复数代数表示式乘、除运算的掌握程度.3.若复数是关于x的方程的一个根，则pq的值为．设计意图：考查学生对实系数方程根、复数相等条件的理解程度和对复数代数表示式四则运算的掌握程度，同时评价运算求解能力.。
2复数的四则运算-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案
2 复数的四则运算-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解复数的概念和运算规则。
2.掌握复数的加减乘除四则运算。
3.能够用复数形式表示求解二次方程等实际问题。
教学重点1.复数的加减乘除四则运算。
2.复数的乘法公式。
教学难点1.复数的除法运算。
2.复数可视为平面向量的表示方法。
教学过程一、引入1.复数的引入：让学生回忆复数的定义和概念，并引出复数的四则运算。
2.运算规则的引入：通过复数计算的实例，引入复数的加减乘除四则运算，重点讲解复数的乘法公式。
二、理论探究1.复数的定义：引导学生理解含有虚数单位 i 的数称为复数，让学生能够举一些实例如3+4i表示一个复数。
2.复数的运算规则：通过对复数的运算规律的分析，介绍复数的加减乘除四则运算法则和正则式。
三、实际应用1.求解二次方程：通过引入学生在小学阶段学习过的关于一元二次方程的思路，让学生理解变量的模式，同时引导学生理解方程有根、无根和重根的概念。
2.发现规律：通过一些实例，让学生发现关于复数的运算规律，在此过程中，复习之前学过的平方公式等运算法则。
教学方法1.交互式教学法：在理论探究和实际应用的过程中，加强师生互动，鼓励学生提出问题和自己的理解。
2.演示法：运用具体实例和图形，帮助学生更好地理解复数的定义和运算规则。
3.合作学习法：在课堂中组织学生进行讨论、合作、探究，促进学生学习效果的提高。
教学评价与讲解1.教学评价：在教学过程中，及时收集学生思维卡片，了解学生对于复数和运算规则的掌握情况，并根据学生的反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
2.讲解：在讲解中注意事例的举证和图形的演示，让学生更加具体的理解复数和运算规则，并在讲解中，保持良好的教学态度和表现力。
总结在本次复数的四则运算教学中，通过引入、理论探究和实际应用三个环节的分别进行，让学生在具体的实例和案例中，深入学习复数的概念和运算规则，充分挖掘学生的学习兴趣，发掘学生的思维潜能，从而让学生能够更好地掌握数学知识，提高学生成绩。
3.复数的四则运算-苏教版选修1-2教案
3. 复数的四则运算-苏教版选修1-2教案引言复数是一个常见的数学对象，它在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本教案主要讲解复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
在苏教版选修1-2中，涉及到复数的知识点比较多，但是只要理解了基本的四则运算，就可以举一反三，轻松应对相关的题目。
复数的定义复数是一种可以写成实数和虚数相加的数，它的基本形式为 a+bi，其中 a 和 b 都是实数，i 是一个虚数单位，满足 i²=-1。
复数的四则运算复数加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的和为 (a+c)+(b+d)i。
换句话说，就是实部相加，虚部相加。
复数减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的差为 (a-c)+(b-d)i。
换句话说，就是实部相减，虚部相减。
复数乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘积为 (ac-bd)+(ad+bc)i。
复数乘法的运算规则可以用 FOIL 规则来表示：F(OIL)=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bc)i+(ad)i+(bd)i²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的商为 (ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
复数除法有点复杂，它需要用到分数的乘法和有理化技巧。
具体地，我们将要除数和被除数同时乘以共轭数，即 (c-di)。
这样，被除数的分母就变成了实数，于是我们就可以进行分数的除法，最终得到商的形式。
总结本教案主要介绍了复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
复数的定义比较简单，就是实数和虚数相加的形式，需要特别注意虚数单位 i 的运算规则。
复数的运算比较复杂，需要灵活运用分数的乘法和有理化技巧，掌握相关的运算规律后，就可以提高解题效率，并应用到其他相关的知识点中。
教学设计：复数的四则运算
⑤ ；⑥ 。
2、已知 ，求 的最大值。
3、已知复数满足 ， ，求。
4、计算：①______；②______；③______；
④____；⑤ ____；⑥ ____；⑦ ____；⑧ _________；⑨ __________。
5、①计算： ；
②已知复数 ，求 的值。
问题2、共轭复数
①共轭复数：当两个复数的实部_______，虚部互为_______时，这两个复数叫做共轭复数。复数的共轭复数记作____。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_____________。
② ____________。
③若，是共轭复数，那么
a.是一个怎样的数？
b. 吗？
问题3、复数的除法
设 ， ， ，
则 ________________。
在进行复数的除法运算时，通常先把 写成 的形式，再把分子与分母同乘以_____________，然后化简就可得到结果。
问题4、方程的根
关于x的方程 至少有一实根。
(1)求实数a、b的范围；
(2)求方程实根的最大值与最小值。
已知关于x的方程x2+4x+a=0 (a∈R)的一个根为-2+3i,求a值及方程的另一根。
课题名称
复数的四则运算
课型
课程标准
能进行复数代数形式的四则运算。
教学目标
1.记住复数的加减乘法的四则运算法则，运算律，并能正确进行运算.
2.理解复数的共轭复数，并能由此进行复数的除法运算.
重点
难点
重点：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运算律.
难点：复数减法、除法的运算法则.
教学过程
评价任务（内容、问题、试题）
复数的四则运算 教案
复数的四则运算教案教案标题：复数的四则运算教案目标：1. 理解复数的定义和基本概念；2. 掌握复数的加减乘除运算规则；3. 能够在实际问题中应用复数进行计算。
教学重点：1. 复数的定义和基本概念；2. 复数的加减乘除运算规则。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则；2. 在实际问题中应用复数进行计算。
教学准备：1. 复数的定义和基本概念的教学材料；2. 复数的加减乘除运算规则的教学材料；3. 实际问题的案例材料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入复数的概念，与学生一起回顾实数的定义和基本概念；2. 提问：是否有一种数可以表示平面上的点？请举例说明。
二、概念讲解（10分钟）1. 讲解复数的定义和基本概念，包括实部和虚部的概念；2. 通过示意图和实例，帮助学生理解复数的几何意义。
三、加减运算规则（15分钟）1. 讲解复数的加减运算规则，包括实部和虚部的分别相加减；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的加减运算方法。
四、乘法运算规则（15分钟）1. 讲解复数的乘法运算规则，包括实部和虚部的相乘和相加减；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的乘法运算方法。
五、除法运算规则（15分钟）1. 讲解复数的除法运算规则，包括有理化和分子分母的相乘除；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的除法运算方法。
六、实际问题应用（15分钟）1. 给出一些实际问题的案例，要求学生运用复数进行计算；2. 引导学生分析问题，提供解决思路，并进行解答。
七、总结与拓展（5分钟）1. 总结复数的四则运算规则；2. 提出一些拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。
教学反思：本教案通过概念讲解、示例演算和实际问题应用等环节，全面引导学生掌握复数的四则运算规则，并能够在实际问题中灵活应用。
同时，教学过程中注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高学生的数学素养。
复数代数形式的四则运算精品教案
复数的减法及其几何意义教课目的1．理解并掌握复数减法法例和它的几何意义．2．浸透转变，数形联合等数学思想和方法，提升剖析、解决问题能力．3．培育学生优秀思想质量（思想的谨慎性，深刻性，灵巧性等）．教课要点和难点要点：复数减法法例．难点：对复数减法几何意义理解和应用．教课过程设计（一）引入新课上节课我们学习了复数加法法例及其几何意义，今日我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法复数减法是加法逆运算，那么复数减法法例为（a+b i）-（c+d i）=（a-c）+（b-d ）i ，1．复数减法法例（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法例：（a + b i ） -（c + d i） =（c - d） +（b - d）i （a，b，c，d∈R）．把（ a +b i）-（ c +d i）当作（ a +b i）+（-1）（ c +d i）怎样推导这个法例．（a +b i）-（ c +d i）=（ a +b i）+（-1）（ c +d i）=（ a +b i）+（- c -d i）=（ a - c ）+（b - d） i．推导的想法和依照把减法运算转变为加法运算．推导：设（ a +b i）-（ c +d i）= x +y i（ x ， y ∈R）．即复数 x + y i为复数 a +b i减去复数 c +d i的差．由规定，得（x + y i）+（ c +d i）= a +b i，依照加法法例，得（x + c ）x c a, x a c,+（y + d） i= a + b i，依照复数相等定义，得yd b. y b d .故（ a +b i）-（ c +d i）=（ a - c ）+（b-d）i．这样推导每一步都有合理依照．我们获得了复数减法法例，两个复数的差还是复数．是独一确立的复数．复数的加（减）法与多项式加（减）法是近似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ a +b i）±（ c +d i）=（ a ± c ）+（b±d）i．（三）复数减法几何意义我们有了做复数减法的依照——复数减法法例，那么复数减法的几何意义是什么？设 z= a + b i（a，b∈ R）， z1= c + d i（c，d∈ R），对应向量分别为，如图因为复数减法是加法的逆运算，设z=（a - c）+（b - d） i ，因此 z-z1=z2，z2 +z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线， 1 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2 所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（ a - c ）+（b-d）i 对应，如图．在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2 吗？还有．因为OZ 2 Z1Z ，因此向量，也与z-z1差对应．向量是以Z1 为起点， Z 为终点的向量．能归纳一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z 1与连结这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（四）应用举例在直角坐标系中标Z1（ -2， 5），连结OZ 1，向量 1 与多半z1对应，标点Z 2（ 3，2）， Z2 对于 x 轴对称点Z2（ 3， -2），向图．例 2 依据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．解：设复平面内的随意两点 Z1， Z2分别表示复数 z1， z2，那么Z1Z2即复数 z2-z1的模．假如用 d 表示点 Z1， Z 2之间的距离，那么d=|z2-z1 |．例 3在复平面内，知足以下复数形式方程的动点Z 的轨迹是什么．（1） |z-1-i|=|z+2+i| ；方程左式能够当作|z-（ 1+i ） |，是复数 Z 与复数 1+i 差的模．几何意义是是动点Z 与定点（ 1， 1）间的距离．方程右式也能够写成|z-（-2-i ） |，是复数 z 与复数 -2-i 差的模，也就是动点 Z 与定点（ -2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（ -2， -1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1， 1），（ -2， -1）为端点的线段的垂直均分线．（2） |z+i|+|z-i|=4 ；方程能够当作 |z-（ -i ） |+|z-i|=4 ，表示的是到两个定点（0， -1）和（ 0，1）距离和等于 4 的动点轨迹．知足方程的动点轨迹是椭圆．（3） |z+2|-|z-2|=1．这个方程能够写成 |z-（ -2） |-|z-2|=1，因此表示到两个定点（ -2， 0），（2， 0）距离差等于 1 的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．由 z1 -z2几何意义，将 z1-z2取模获得复平面内两点间距离公式 d=|z1-z2|，由此获得线段垂直均分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更加简捷．且反应曲线的实质特点．例 4设动点Z与复数z=x+y i对应，定点P 与复数 p= a + b i 对应．求（1）复平面内圆的方程；解：设定点P 为圆心， r 为半径，如图由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．（2）复平面内知足不等式 |z-p|＜ r（ r∈ R+）的点 Z 的会合是什么图形？解：复平面内知足不等式 |z-p|＜r（ r∈ R+）的点的会合是以 P 为圆心， r 为半径的圆面部分（不包含周界）．利用复平面内两点间距离公式，能够用复数解决分析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结我们经过推导获得复数减法法例，并进一步获得了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，能够用复数研究分析几何问题，不等式以及最值问题．。
《复数的四则运算》教案
3.2《复数的四则运算》教案（1）教学目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
教学习重难点重点：复数的加、减、乘法运算 难点：复数的加、减、乘法运算 教学过程： 一、复习回顾： 1.虚数单位i 的引入； 2.复数有关概念：复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈ 复数的实部a ，虚部b 。
实数：()0;b a R =∈ 虚数：()0;b a R ≠∈纯虚数：0a b =⎧⎨≠⎩复数相等a bi c di +=+⇔a cb d=⎧⎨=⎩特别地，a+bi =0⇔a=b=0。
问题1：a=0是z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的必要不充分条件问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大。
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。
虚数不可以比较大小。
二、问题引入：我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：a b b a +=+ ab ba =()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？注意到i =-21，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！ 三、知识新授：1、复数加减法的运算法则：(1) 运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i; z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。
即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。
(2)复数的加法满足交换律、结合律即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
复数的四则运算 教案
复数的四则运算教案教案标题：复数的四则运算教案目标：1. 理解复数的概念和表示方法；2. 掌握复数的加法、减法、乘法和除法运算规则；3. 能够运用复数的四则运算解决实际问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾实数的概念和运算规则；2. 提出问题：是否可以对负数进行开方运算？为什么？3. 引入复数的概念：复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
讲解（15分钟）：1. 解释复数的表示方法和复数平面；2. 介绍复数的加法和减法规则：实部相加减，虚部相加减；3. 说明复数的乘法规则：使用分配律展开运算，注意i的平方等于-1；4. 讲解复数的除法规则：将除数乘以其共轭复数，然后进行分母有理化。
示范（15分钟）：1. 给出几个复数的加减乘除运算示例，引导学生按照规则进行计算；2. 解释每一步的计算过程和思路；3. 强调注意虚部的运算和单位i的平方等于-1。
练习（15分钟）：1. 分发练习题，要求学生独立完成；2. 监督学生的练习过程，及时解答疑问；3. 收集学生的练习答案，进行批改和讲解。
拓展（10分钟）：1. 引导学生思考复数的应用场景，例如电路分析、信号处理等；2. 提出一个拓展问题：如何计算复数的n次方？3. 鼓励学生自主查阅资料和思考，以及分享解决方法。
总结（5分钟）：1. 总结复数的四则运算规则；2. 强调复数的实际应用和重要性；3. 激发学生对数学的兴趣和探索欲望。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和理解程度；2. 收集学生的练习答案进行评分；3. 收集学生的拓展问题解答或思考成果。
教学资源：1. 复数运算示例题；2. 复数运算练习题；3. 复数运算拓展问题资料。
复数的四则运算法则教案
复数的四则运算一、学习目标：1．掌握复数的加法运算及意义；2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算．二、学习重点：1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义2.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念学习难点：1.加、减运算的几何意义2.乘除运算三、学习方法：探析归纳，学练结合四、学习过程（一）、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量．3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +．向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（二）、探析新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++．例1．设R m ∈，复数-+++=m m m m z (221i m m z i )3(2,)152-+-=，若21z z +是虚数，求m 的取值范围．②复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）例2．如图在复平面上复数i ，1，4+2i 所应对的点分别是A 、B 、C ，求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作．④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演） ⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行．例3．已知复数,31,2321i z i z -=+=则复数21z z z -=，在复平面内对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++． ②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数．注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数．例4．已知复数),(R b a bi a z ∈+=且,2522=+b a z i )43(+是纯虚数，求z 共轭复数．=，试写出复数的除法法则．2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )， 即(a +bi )÷(c +di )=x +yi ∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++.例5．①复数)(212R m ii m z ∈+-=在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限②复数ii -+1)1(2等于( ) A ．i +1 B ．i --1 C ．i -1 D ．i +-13．例题探析：例6．复数1Z =1+2i ，2Z =－2+i ，3Z =－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用复数减法几何意义及复数相等，求点D 的对应复数.（三）．课堂小结：1.两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行．2.两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数五、课堂练习1．已知,11ni im -=+其中m ，n 实数，i 是虚数单位，则m+ni=( ) A ．1+2i B ．1-2i C ．2+i D ．2-i2．如果复数)1)((2mi i m ++是实数，则实数m=( )A ．-lB ．1C ．2-D ．23．复数3)1(i -的虚部为( )A ．3B ．-3C ．2D ．-24．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数l ，2i ，5+2i ，则由A ，B ，C 所构成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5．已知复数z 与i z 8)2(2-+均是纯虚数，则z=__________________．6．复数3321ii ++的值是__________. 7．已知复数i z 230+=，复数z 满足+=z z z 3.0Z 0，则复数z =___________．8．已知i z 682+=，求zz z 100163--的值．复数的四则运算答案（二）、探析新课：例1．解：因为,)15(221i m m m m z -+++=,)3(22i m m z -+-=所以 i m m m m m m z z )]3()15[()22(221-+-+-++=+i m m m m m )152(2422--++--= 因为21z z +是虚数，所以,01522=/--m m 且.2-=/m 所以5=/m 3,-=/m 且).(2R m m ∈-=/例2．解：由已知OC OB OA ,,分别对应复数i ，1，4+2i ，且-=-=OC BC OB OA BA ,OB ，所以向量BC BA 、所对应的复数分别为i i 231++-、，因为BC BA BD +=，所以向量BD 对应的复数为.32)23()1(i i i +=+++- 又因为BD OB OD +=，所以OD ，所对应的复数为.33)32(1i i +=++即点D 对应的复数为.33i +例3．解：A 点拨：i i i z 523123+=+-+=，对应的点位于第一象限．例4．解法一：i b a b a bi a i )34()43())(43(++-=++是纯虚数，所以⎩⎨⎧=/+=-,034,043b a b a 所以.43a b =把a b 43=代入,2522=+b a 得.4±=a 所以4=a 时，4;3-==a b 时，.3-=b 故所求z 的共轭复数为i 34-或.34i +-解法二：设R k ki bi a i ∈=++())(43(且)0=/k ，所以,253443)43(4322ki k i ki i ki bi a +=+-=+=+ 所以253,254k b k a ==代入,2522=+b a 得,2522=k 所以25=k 时，;34,34i z i z -=+= 25-=k 时，.34,34i z i z +-=--=例5．①答案：A 点拨：5)21)(2(212i i m i i m z --=+-=,5)22()4(i m m --+-= 若Z 对应的点位于第一象限，则⎩⎨⎧>-->-,022,04m m 得⎩⎨⎧-<>.1,4m m 这样的m 不存在，因此不可能位于第一象限．②点拨：i i i i -=-+121)1(2==+-+)1)(1().1(2i i i i =+2)1(2i i i i i +-=+1)1(，故选D ． 例6解法一：设复数123,,Z Z Z 所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x+yi(x ， y ∈R)，是： (x+yi)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)i; (－1－2i)－(－2+i)=1－3i.即(x －1)+(y －2)i=1－3i ，∴ 解得∴x=2，y=－1.故点D 对应的复数为2－i. 分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i)+(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故点D 对应的复数为2－i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用五、课堂练习1. 答案：C 点拨：,11ni im -=+ 所以i n n m )1()1(-++=，因为R n m ∈,，所以⎩⎨⎧=+=-,1,01m n n 所以⎩⎨⎧==.2,1m n 即.2i ni m +=+ 2. 答案：A 点拨：由于i m m m mi i m )1()()1)((322++-=++是实数，所以,013=+m 又因为m 是实数，所以.1-=m3. 答案：D 点拨：,22331)1(323i i i i i --=-+-=-虚部为-2．4. 答案：A 点拨：因为;521||2=+=AB ();52215||22=+-=AC 5||=BC 且222|||||{BC AC AB =+，所以A ，B ，C 构成的三角形为直角三角形．5. 答案：i 2-点拨：设),0(=/=b bi z 则b b i bi 4()4(8)2(22+-=-+i )8-为纯虚数，所以⎩⎨⎧=/-=-.084,042b b 所以⎩⎨⎧=/±=.2,2b b 所以.2-=b 6.解：i 107101+点拨：i i i i -+=++3213213=+-++=)3)(3()3)(21(i i i i 10263-++i i =.1071011071i i +=+ 7. i 231-点拨：由已知得i i z z z 223300+=-=.231231i i -=+= 8. 解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i abi b a 68222+=+-，所以⎩⎨⎧==-,62,822ab b a 解得⎩⎨⎧==1,3b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,3b a 所以).3(i z +±==--z x z 100163=--z z 164)8(22=--z 16436⋅-z 200 当i z +=3时，原式=;2060i +-当i z --=3时，原式.2060i -=。
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《复数的四则运算》教学设计
吕叔湘中学 黄国才
【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则.
2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。
3、了解复数中共轭复数的概念
【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。
【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则.
【教学过程】：
一、 问题情景：
问题1：
由初中学习我们可以知道：
（2+3x ）+(1-4x)=3-x
猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？
二、 建构数学
1、复数减法的运算法则
问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？
(1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么：
z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。
(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有：
z 1+z 2=z 2+z 1,
(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)
2、复数减法的运算法则
定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b
由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见：
两个复数相加(减)就是把实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).类似于多项式的加减法。
1(13)(25)(49)i i i --++-+例、计算：
四、问题情景
问题3：
(2+3x)(1-4x)是怎样进行运算的？（2+3i ）(1-4i)又该如何进行运算？
、建构数学：
3.复数的乘法
(1)复数乘法的法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i 2换成-1,
并且把实部与虚部分别合并.即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
（公式不必记忆）
显然，两个复数的积仍然是一个复数。
(2)复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
即对任何z 1,z 2,z 3∈C 有
z 1z 2=z 2z 1;
(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3);
z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 22x +1=0
a>0x +a=0思考：方程的解是什么？当时，方程的解是什么？例2：计算： (2)(32)(13)i i i ----+
例3：计算：
2
1()()
2()a bi a bi a bi +-+（）（）
【思考】
（2）a +bi 与 a -bi 两复数的特点？
4、共轭复数：我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数. 复数z a bi =+ 的共轭复数记作z ，即z a bi =-。
当复数z a bi =+的虚部0b =时，z z =，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身。
七、课堂检测，小结与作业
课堂检测
【感受 理解】
1、 计算：(24)(2)(17)i i i ----+++
2、 计算：(1)(2)(3)i i i +++
3、 分别写出复数35,12,5,8i i i --+-的共轭复数。
4、 求满足下列条件的复数z ：
（1）(34)1z i +-= （2）(3)42i z i -=+
【思考 运用】
5、在复数范围内分解因式：2
4x +
,R ∈22(1)设a,b 在复数范围内，你能将a +b 分解因式吗？
6、在复数范围内，写出方程2
9160x +=的根。
7、已知2724z i =--，求复数z 。