3.2复数的四则运算加减乘法
3.2复数的四则运算(2)除法和乘方
共轭复数的简单性质：
z＋z＝_2_a_；z－z＝_2_b_i_；z z＝_a__2＋__b_2_
【类比推广】在实数中，除法运算是乘法的逆运算，
类似地，可以定义复数的除法运算：
复数除法定义: 把满足(c＋di)(x＋yi) =a＋bi (c＋di≠0)
位，则 z 等于 ( A )
A．－i B．i C．－1 D．1
解析 z＝1i ＝－i.
练习 2．复数1i＋－22i等于
( A)
A．i
B．－i
C．－45－35i
D．－45＋35i
【复数的乘方】
复数的乘方是相同复数的积。实数集R中正
整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成
立.即对任意的z，z1，z2∈C及m，n∈N*，
故选 A.
2.
复数
i2＋i3＋i4 1－i
等于
A．－12－12i B．－12＋12 i
【当堂检测】
C．12－12i
( C) D．12＋12i
i2＋i3＋i4 －1－i＋1 －i
解析
＝
＝
1－i
1－i 1－i
＝1－－ii1＋1＋ii＝－i2＋1＝12－12i.
【当堂检测】
3.计算：(1)(1－i)(－12＋ 23i)(1＋i)； (2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2 006.
i4n ＋ i4n1＋ i4n2 ＋ i4n3 ＝0，(n∈N*)．
例4 设 1 3 i, 求证:
22
⑴ 1 2 0;
(2) 3 1.
证明:
(1) 2 ( 1
2
3 i)2 1
2
4
3 i 3 1 242
3.2复数的四则运算
Z x2 y2
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1(交换律); 2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)(结合律)
高中数学 选修2-2
3.2复数的四则运算
复数a+bi(a,b∈R)
a—实部
b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0) 纯虚数bi(a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数a+bi(ab‡0)
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ， 即实部等于实部，虚部等于虚部
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
例题选讲
复数的乘法也可大胆运 用乘法公式来展开运算.
例4：计算 ① (1+i)2
3.2《复数代数形式的四则运算》教案(新人教选修2-2)
一般高中课程标准实验教科书—数学选修 2-2[ 人教版 A]3.2.1 复数的加法与减法教课目的：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义教课要点：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义教课过程一、复习：复数的观点及其几何意义二、引入新课：１．复数 z1与 z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+( c+di )=(a+c)+(b+d)i .2.复数 z1与 z2的差的定义： z1-z2=(a+bi)-( c+di)=( a-c)+(b-d)i .3.复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi ，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ 2的坐标形式为 OZ1=( a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴ OZ = OZ1+ OZ2=( a，b)+( c，d)=( a+c，b+d)＝(a+c)+( b+d)i4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设 z=(a－ c)+(b－ d)i ，所以 z－ z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量OZ21就与复数 z－ z 的差 (a－ c)+(b－uuuur uuurd)i 对应因为OZ2Z1Z ，所以，两个复数的差z－ z1与连结这两个向量终点并指向被减数的向量对应.5.例子：（增补）例 1 已知复数z1=2+i ，z2 =1+2i 在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？解： z=z2－ z1=(1+2 i)－(2+ i)=－ 1+i ，∵z 的实部 a=－ 1＜0，虚部 b=1＞ 0，∴复数 z在复平面内对应的点在第二象限内 .评论：任何向量所对应的复数，老是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差 .即AB 所表示的复数是 z B A.，而 BA 所表示的复数是A B，故切不行把－ z z－ z被减数与减数搞错只管向量 AB 的地点能够不一样，只需它们的终点与始点所对应的复数的差同样，那么向量AB 所对应的复数是唯一的，所以我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度相关，而与地点没关例 2 复数 z 1=1+2 i ， z 2=－2+i ， z 3=－ 1－ 2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个极点，求这个正方形的第四个极点对应的复数.剖析一：利用 AD BC ，求点 D 的对应复数 .解法一：设复数 z 123所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个极点D 对应的复数、z、z 为 x+yi (x ， y ∈R )，是：AD OD OA =(x+yi )－(1+2i )=(x － 1)+( y － 2)i; BCOC OB =(－ 1－ 2i)－ (－ 2+ i)=1 － 3i .∵ ADBC ，即 (x － 1)+( y － 2)i=1－ 3i ，x 1 1,x 2, 例 2 图∴2 3,解得1.yy故点 D 对应的复数为 2－ i.剖析二：利用原点O 正好是正方形 ABCD 的中心来解 .解法二：因为点 A 与点 C 对于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是 (－ 2+i)+(x+yi)=0，∴ x=2， y=－ 1.故点 D 对应的复数为2－ i.评论：依据题意绘图获得的结论，不可以取代论证，但是经过对图形的察看，常常能起到启示解题思路的作用 讲堂练习： 第 103 页练习课后作业： 第 108 页习题 A:1,2,3,43.2.2 复数的乘法教课目的：掌握复数的乘法的运算教课要点：掌握复数的乘法的运算教课过程一、复习：复数的加减法及其几何意义 二、引入新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法依据以下的法例进行：设 z 1=a+bi ， z 2=c+di(a 、 b 、c 、 d ∈ R)是随意两个复数，那么它们的积(a+bi)( c+di)=(ac －bd)+( bc+ad)i.i 2换成－1，而且其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把把实部与虚部分别归并.两个复数的积仍旧是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1 (z2z3)=(z 1z2)z3证明：设 z1=a1+b1 i， z2=a2+b2i， z3=a3 +b3 i(a1， a2， a3， b1， b2， b3∈R ).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i )=(a1a2-b1b2)+( b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i )=(a2a1-b2b1)+( b2a1+a2b1)i.又 a1a2 -b1b2=a2a1-b2b1， b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1 (z2+z3)=z 1z2+z 1z3证明：设 z1=a1+b1 i， z2=a2+b2i， z3=a3 +b3 i(a1， a2， a3， b1， b2， b3∈R ).∵(z1z2)z3=［ (a1+b1i)( a2+b2i)］( a3+b3i)=［ (a1a2-b1b2)+(b1 b2+a1b2)i ］( a3+b3i)=［ (a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1 b2)b3］ +［ (b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］ i=(a1a2a3 -b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+( b1a2a3+a1b2b3+a1 a2b3-b1b2b3)i ，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2 b3-a1b2b3)+( b1a2a3+a1b2 a3+a1a2b3-b1b2b3) i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设 z1=a1+b1 i， z2=a2+b2i， z3=a3 +b3 i(a1， a2， a3， b1， b2， b3∈R ).∵z1(z2+z3)=( a1 +b1i)［ (a2+b2i )+(a3+b3i )］ =(a1+b1i) ［(a2+a3 )+(b2+b3)i ］=［a1 (a2+a3)-b1( b2 +b3)］ +［ b1 (a2+a3)+a1( b2+b3)］ i=(a1a2+a1a3-b1b2 -b1b3)+( b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i .z1z2+z1z3=(a1+b1i )(a2+b2i)+( a1+b1i )(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+( b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1 b3 )i=(a1a2-b1b2+a1 a3-b1b3)+( b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2 -b1b3)+( b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.（ 4）zz| z |2讲堂练习：第 106页练习课后作业：第 108页习题 A:5,6,73.2.3 复数的除法教课目的：掌握复数的除法的运算教课要点：掌握复数的除法的运算教课过程一、复习：复数的加减法及其几何意义，复数的乘法二、引入新课：1.复数除法定义：知足 (c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di) 或许2.除法运算规则：a bi c di①设复数 a+bi(a， b∈ R)，除以 c+di (c， d∈R )，其商为x+yi(x， y∈ R)，即 (a+bi)÷ (c+di )=x+yi∵(x+yi)( c+di)=(cx－ dy)+(dx+cy)i .∴(cx－ dy)+( dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知cx dy a, dx cy b.x ac bd ,解这个方程组，得c2 d 2bc ad .yc2 d 2ac bd bc adi .于是有 :(a+bi)÷ (c+di)=2d 2c2 d 2c②利用 (c+di)(c－ di)=c2 +d2.于是将a bi的分母有理化得：c di原式 = abi(a bi )(c di )[ ac bi( di )](bc ad )i c di(c di )(c di )c2d2(ac bd)(bc ad)i ac bd bc ad2d 22d2c2d2 i .c cac bd bc ad∴ (a+bi )÷ (c+di)=d 2c2d 2 i.c 2讲堂练习：第 108 页练习课后作业：第 108 页习题 A:8。
数学：《3.2复数的四则运算(1)》(选修2-2)
3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。
复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。
复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。
课件1：3.2.2复数的乘法和除法
＋b2 ∈R，所以两个共轭复数之积为实数．
思考3
答
共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？
(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ത ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复
数为实数．
(3)若z≠0且z＋ ത ＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚
()(＋)＝＋＋＝.
跟踪训练1
解
计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
()(＋)(－)＝－＝－(－)＝；
()(＋)＝＋＋()＝＋＋＝－＋.
例2
解
计算：(1)(＋) ÷ (－)；(2)
.
7若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，ത 对应
点在直线y＝ x上，则z＝________.
【分析】
利用对应点在直线y＝ x上可设出z或ത，再利用|z|
＝5可列方程求解，最后由z的对应点在第二象限决定取舍．
【解析】 设ത＝3t＋4ti(t∈R),则z＝－，
∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，
思考2
答
复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须
在所得结果中把2换成－1.
思考3
答
如何理解复数的除法运算法则？
复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法
是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，
则只需同时乘以)．
探究点二
思考1
共轭复数及其应用
+
4.复数
的共轭复数是(
−
A．－
原创3：3.2.2复数的乘除运算
记法：复数 = + 的共轭复数记作
z
= −
z
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3
(2-3)
⑵z= -6
( 6)
⑶z= 3
(3)
注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
⑵实数的共轭复数是它本身
思考：若z1 ,z2是共轭复数，那么
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
分母实数化
+ = +
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设 = + , = + , = + .
(1)因为 ∙ = ( + )( + )
= ( − ) + ( + ),
(事实上可以把它推广到 ∈ .）
1
1 i
1 i
2
i;
i.
② (1 i ) 2i; i;
i
1 i
1 i
2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把
换成－1，然后实、虚部分别合并.
3 除法：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母
的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
化简等.
z1 1 i , z 2 2 i
（2）已知
求
+
,
,
-4
∙
8+6
（3）
1 ± 2 = ±2
1
=−
1+
=
1−
1−
= −
1+
复数的运算公式
复数的运算公式复数的四则运算公式：加减法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i除法运算：(c+di)(x+yi)=(a+bi)了解复数的运算公式之前，应该先明白复数的定义，在定义的基础上理解、运用复数的运算公式。
一、复数的定义复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
二、复数的四则运算公式加减法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
例：求（a+bi)/(c+di)我们设结果为x+yi只需解方程（a+bi)=(c+di)(x+yi)即可也就是方程组cx-dy=a cy+dx=b解得x=(ac+ba)/(c+d) y=(bc-ad)/(c+d)三、小结总的来说，复数的基本运算很简单，把它当做是关于i的多项式进行计算即可。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
《3.2 复数的四则运算》教学案二
《3.2复数的四则运算》教学案(二)教学目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
教学重难点复数的除法运算教学过程：一、复习巩固：1、复数加减法的运算法则：(1)运算法则：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，那么：z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ；z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i 。
(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
2、复数的乘法：(1)复数乘法的法则：(a +bi )(c +di )=ac +bci +adi +bdi 2=(ac -bd )+(bc +ad )i 。
(2)复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。
3、共轭复数的概念、性质：定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。
复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即设z =a +bi (a ，b ∈R )，那么2-2z z a z z bi +==；。
12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律：4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i+=i - 44142430,()n n n n i i i i n N ++++++=∈【巩固练习】1．计算:( 1+2 i )2 _____=i 34-+ 2．计算i 3(1)+_____=-2+2i3．若z C ∈且z i (3)1+=，则z _____=.-3-i4．已知m R ∈且m i R 3()+∈，则m _____.=±5．已知z i 122=-+，求z z z 322339+++的值. 86．计算: i +2i 2+3i 3+…+2008i 2008；解:原式=(i -2-3i +4) +(5i -6-7i +8)+…+(2005i -2006-2007i +2008)=502(2-2i ) =1004-1004i . 7.已知复数222(32)(R)x x x x i x +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值。
复数计算公式
复数计算公式复数是数学中一类重要的符号，它由实部和虚部组成。
其实部是相同的实数，虚部是一个实数的乘方。
复数的计算公式是用来计算复数之间的四则运算。
最基本的复数计算公式是加法公式和减法公式，分别为：（1）加法公式：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法公式：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法公式也是复数计算的重要部分，它的公式为：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法公式也是复数计算的一个重要部分，其公式为：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)÷(c^2+d^2)]+[(bc-ad)÷(c^2+d^2)]i另外，复数也有一个特殊的计算公式欧拉公式：e^(a+bi)=e^a×e^bi=(e^a)×(cosb+isinb)复数乘方是复数运算的重要部分，它的公式为：(a+bi)^n=(a+bi)×（a+bi)×…×(a+bi)=a^n+na^n-1bi+na^n-2b^2i^2…+b^ni^n复数的平方根也是复数计算的重要部分，其公式为：√(a+bi)=√[(a+√(a^2+b^2))÷2]±√[(b÷√(a^2+b^2))÷2]i总的来说，复数的加减乘除、乘方和平方根是复数计算的重要部分，理解了这些计算公式，就可以很容易地计算复数之间的四则运算，十分简单又有趣。
复数的计算公式不仅在数学中具有重要意义，在物理学、晶体学、量子力学等学科中也都有广泛的应用。
例如，在晶体学中，复数可以用来表示晶体结构中原子位置的坐标；在量子力学中，复数广泛地被用作基本的运算符，表示物体的独特性质。
此外，复数的计算公式所涉及的因子还有很多，这些因子包括乘方、平方根、欧拉公式等，因此，复数计算公式的掌握与应用都比较复杂。
复数的计算要求越复杂，计算的工作量越大，需要一定的技巧与训练。
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
3.2复数的四则运算(1)用
2
※ 重要概念
共轭复数 实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复 数. 复数z=a+bi的共轭复数记作
即 z a bi
即实数的共轭复数仍是它本身.
例如:Z=2+3i,则 Z=2i,则
2013-7-30
z
特别:当复数z=a+bi的虚部b=0时,有
z z,
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加。
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时
即为实数加法法则。 （2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的
加法可以推广到多个复数相加的情形。
2013-7-30
练习：计算 (1)(2＋3i)+(-3+7i)=
两个复数的差仍 然是一个复数
思考：如何理解复数的减法？
2013-7-30
点评
复数的减法也是复数的加法的逆运算
即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做 复数a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） －（c+di） 事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b 由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
2013-7-30
用待定系数法解决复数问 题常用复数相等
4: 引入新数i(虚数单位)后，数集由R扩充到
C; 对新数i规定：(1)i21；(2)i与实数可以 按照实数的运算法则进行四则运算。
复数的四则运算
练习、计算
• 1.
(1).(3 4i)( 2 3i) (2).(7 6i)( 3i) (3).(1 2i)(3 4 i)( 2 i) (4).( 3 2i)( 3 2 i) (5).(1 i)
2
• 2
1 i (1). 1 i 1 (2). i 7i (3). 3 4i ( 1 i )(2 i ) (4). i
复数除法的法则是: ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c di 0. c d c d
由此可见 , 两个复数相除 除数不为 0 , 所得的商 是一个确定的复数 .
在进行复数除法运算时通常先把 a bi c di , a bi 写成 的形式, 再把分子与分母都乘于 分母的 c di 共轭复数 c di , 化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的在作根式除法时 . , 分子分母都乘以分母的有理化因式 , 从而使分母 " " " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" (共轭复数), 从而使分母"实数化".
例2 计算1 2i3 4i 2 i.
解
例3
1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i. 2 计算 : 13 4i3 4i; 21 i .
分析 本例可以用复数乘法法 则计算 也可以用乘法 , 公式计算.
例4 计算 1 2i 3 4i.
解 1 2i 1 2i 3 4i 3 4i 3 8 6i 4i 2 2 3 4
1 2i3 4i 3 4i3 4i
复数的四则运算
5.有关正整数指数幂的运算结论： （1）i1 =i (2)i4k = 1 i2 = −1 i4k+1 = i i3 = −i i4k+2 = −1 i4 = 1 i4k+3 = −i (k ∈ N) 1+i = i 1−i 1−i = −i 1+i
(3)(1 + i)2 = 2i
6. 复数的除法：
2.复数的乘法： 设z 1 = a + bi,z2 = c + di (a,b,c,d ∈ R) z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc) i 两个复数的积仍然是一个复数； 复数的乘法与多项式的乘法是类似的（即两个二项式相乘） 其中i2 = −1，要把i2换成-1。
(1 − i)2 = −2i
令z1 = a + bi, z2 = c + di.(a,b,c,d ∈ R) z1 a + bi (a + bi)(c − di) (ac + bd) + (bc − ad) i = = = z2 c + di (c + di)(c − di) c2 + d 2 ac + bd bc − ad = 2 + 2 i (其中c,d不全为0） 2 2 c +d c +d 分式中的分子、分母都乘上分母的共轭复数，使分母实数化， 分子上就成了两复数的相乘。
7. 模与共轭复数的相关性质： （1）zz = z
2
= z
2
≠ z2;
(2) z = z ; (3) z1z2 = z1 z2 ; z1 n z1 n = (z2 ≠ 0); z = z ； z2 z2
-高中数学 3.2复数的四则运算课件 苏教版选修2-2
z1 z 2 ＝ z 2 z 1 交换律 ( z1 z2 ) z3 ＝ z1 ( z2 z3 ) 结合律 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3
(2)在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立，即对于
m＋n 任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmzn＝ z ， (zm)n ＝
解 (1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
题型二 复数的乘除运算
【例2】 计算下列各题： 1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i
(3)法一
(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋
(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i) ＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋[(－2 ＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i.
2 4 1
1 ＝ －2＋
3 34 i ＋(－8＋8 3i) 2
＝1－8＋8 3i＝－7＋8 3i.
对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外， 对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算 过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果．比如下列 结果，要记住： 1＋i 1－i 1 ① i ＝－i；② ＝i；③ ＝－i；④a＋bi＝i(b－ai)． 1－i 1＋i
5．复数的除法法则 给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)，将满足等式 (c＋di) (x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0) 的复数 x ＋ yi 叫做复数 a ＋ bi 除以 c a＋bi ＋di所得的 商 ，记作 c＋di 或者 (a＋bi)÷(c＋di) ．
3.2.1复数的四则运算
x
表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离 表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离 两点之间
18
复数加减法的几何意义
1、|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 OABC 菱形 z2 z2-z1 z1 A
C
z1+z2
B
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC是 矩形 o 平行四边形OABC是 OABC
12
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
13
例1、计算
1−i (1) 1+ i 13+ 9i (2) (2 + i)2
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
19
复平面内的点的轨迹： 复平面内的点的轨迹： 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下 z=x+yi,(x,y∈R), 求动点Z(x,y)的轨迹. 求动点Z(x,y)的轨迹. Z(x,y)的轨迹
变式：如果复数 z满足 z + i + z − i = 2， 则 z + i + 1的最小值为(A) A.1 B. 2 C .2 D. 5
3.2复数的四则运算
_ _
原式 (1 1 i ) (1 i ) ( 2 i ) (1 i )
2 2i i i 2 2 i 1 3i
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
巩固练习：
3.计算：(1) (-2-i)(3-2i)(-1+3i) (2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i)
(3) (a＋bi)(a-bi)
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数 的两个数. 复数z的共轭复数用
z
表示.
若z＝a＋bi，则z ＝a－bi (a，b∈R)
注:(1)当b不为0时，共轭复数称为共轭虚数；
巩固练习：
1.计算：(1) (4＋3i)＋(2－i)
(2) (3i－2)＋(3＋2i)
四则运算
二、复数的减法：(加法的逆运算) 复数a＋bi减去复数c＋di的差是指满 足 (c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi 的复数x＋yi，记作(a＋bi)－(c＋di)
复数的差仍然是一个复数，其实部为两个 复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。
例3 计算: （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
2011浙江（理）
例3.把复数z的共轭复数记作z, i为虚数单位， 若z 1 i则（ 1 z） z A A.3 i B.3 i C.1 3i D.3
3.2复数代数形式的四则运算念课件
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad
)i
分母实数化
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以 分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).
例题 讲解
例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
变式训练
计算：1 3i 1 2i
解：
原式
1 3i 1 2i
1 3i1 2i 1 2i1 2i
5 5i
例题 讲解
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i).
解:原式= (3 4i 6i 8i2)(2 i) = (11 2i)(2 i) = 22 11i 4i 2i2 = 20 15i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例题 讲解
例3.计算互： 为相反数
（1） (3 4i)(3 4i)
思考题：
已知复数z1 cos i, z2 sin i,
则 z1－z2 的最大值为( D )
A. 3 B. 5 C.6
D. 6
小结
典例透析
1.复数的加法法则：
a bi c di a c b d i
2.复数加法的运算律： 复数的加法满足交换律和结合律
3.复数的减法是加法的逆运算,运算法则如下：
乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律
z1·z2＝__z_2·_z_1 (z1·z2)·z3＝_z_1_·(_z_2_·z_3) z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z3
例题 讲解
例1：计算
12 ii
解：
原式 2i i2
1 2i
21 2i3 i
原式 3 i 6i 2i2 3 i 6i 2
uuuur
如图：向量OuuZuur1与复数a bi对应
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(4) 若z1=3-2i,z2=1+3i,则z1+z2=_____ Z1-2z2=_____
3.复数的乘法
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积
a + bic + di = ac + bci + adi + bdi2
提示
本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.
实数系中的乘法公式在复数系 中也是成立的.
解：(1) (3 + 4i)(3 - 4i)
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
2.复数的减法
复数的减法就是加法的逆运算. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的减法法则: 实部与实部,虚部与虚部分别相减. 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
例题1
计算
动动手
(5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i)
解: (5 - 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i)
共轭复数.虚部不等于0的两个共轭
复数也叫做共轭虚数.
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数. 复数z的共轭复数用 表示.
z 若z＝a＋bi，则 ＝a－bi (a，b∈R)
z
注:(1)当b不为0时，共轭复数称为共轭虚数； (2)实数的共轭复数是它本身.
练习：分别写出复数3+5i, -1-2i, 5i, 4的共轭复数.
= (ac - bd) + (ad + bc)i i2 = -1
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只要把结果
中i2换成-1，把实部与虚部分别合并即可。
例题1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解： 原式=(11-2i)(-2+i)
例题2
=-20+15i. 计算 (1)(3 + 4i)(3 - 4i); (2)(1 + i)2.
= (5 - 2 - 3) + (-6 - 1 - 4) i
= -11i
注意
复数的加、减法形式上与多项式的 加、减法是类似的.
1.计算：(1) (4＋3i)＋(2－i) (2) (3i－2)＋(3＋2i)
2.计算： (1) (1-3i)-(2+5i)+(-4+9i) (2) (5+6i)+(3-2i)-(-4-2i)
3.复数的除法
除法法则： (a + bi) (c + di)
= a + bi c + di
= (a + bi)(c-di) (c + di)(c-di)
=
ac c2
+ +ห้องสมุดไป่ตู้
bd d2
+
bc -ad c2 + d2
i
先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与
分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，
25
55
随堂练习
（2007年广东卷）若复数（1+bi） (2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实
数），则b=( D )
A. - 2 B. - 1 C. 1 D.2 22
解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i， 故2-b=0，
1.设z = 3 + i，则 1 等于( D )
z A.3 + i B.3 - i C. 3 i + 1 D. 3 + 1 i
3.2复数的四则运算
1.复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加.
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
复数的加法满足交换律、结合律
= 2i. (完全平方公式)
3.计算：(1) (-2-i)(3-2i)(-1+3i) (2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i) (3) (a＋bi)(a-bi)
共轭复数
注意本例 (1) 3+4i 与 3-4i 两复数的特点. 我们把这两个复数3+4i,3-4i称为共轭复数.
一般地，当两个复数的实部相等,虚部 互为相反数时，这两个复数叫做互为
最后再化简.
例题3
计算 (1 + 2i) (3 - 4i).
提示 用上面的方法把分母“实数化”.
解：(1 + 2i) (3 - 4i) = 1 + 2i
3 - 4i
=
(1 + 2i)(3 + 4i) (3 - 4i)(3 + 4i)
=
3
-
8 + 6i + 32 + 42
4i
= -5 + 10i = - 1 + 2 i.
10 10 10 10
（2007年全国卷I）设a是实数，
且 a + 1+ i 是实数，则a = ( ) 1+i 2
A． 1 B．1 C．3 D．2
2
2
答案：B.