复数代数形式的加减运算及其几何意义(侨中优质课比赛课件)
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3.2.1《复数代数形式的加减法运算及其几何意义》课件
在讲述复数代数形式的加减法运算及其几何意义的应用时， 采用例题与变式结合的方法。例题和练习的设计遵循由浅入深,循 序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次 的学生．采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解复数代数形 式的加减法运算及其几何意义的应用。
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
解：
(1).(2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i
(2).(1 2i) (1 2i) (11) ( 2 2)i 0 (3).(2 3i) (5 2i) (2 5) (3 2)i 3 5i (4).(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数的减法法则
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减 法法则吗?
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c di) (x yi) a bi
的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差，
记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义有
,
uuur BA
对应的复数,并指出
AB= 9 i第三u象uur限
其对应的复数位于第几象限.BA=9 i，第一象限
3 .复平面上三点 A, B,C 分别对应复数 1, 2i,5 2i ,则 由 A, B,C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.
4 .求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离． 5
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1.—z2 两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的 两个点之间的距离．
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
解：
(1).(2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i
(2).(1 2i) (1 2i) (11) ( 2 2)i 0 (3).(2 3i) (5 2i) (2 5) (3 2)i 3 5i (4).(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数的减法法则
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减 法法则吗?
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c di) (x yi) a bi
的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差，
记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义有
,
uuur BA
对应的复数,并指出
AB= 9 i第三u象uur限
其对应的复数位于第几象限.BA=9 i，第一象限
3 .复平面上三点 A, B,C 分别对应复数 1, 2i,5 2i ,则 由 A, B,C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.
4 .求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离． 5
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1.—z2 两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的 两个点之间的距离．
高中数学3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(共13张PPT)
(1) (6 5i) (3 2i)
9 3i
(2) ( 2 3i) ( 2 3 i) 1 2
1 3 i 2
三、复数代数形式的减法运算法则
1.规定：复数的减法是加法的逆运算
如果c di x yi a bi ,那么复数
x yi 叫做复数 a bi 减去 复数c di 的差,
2、复数加法的运算律：
复数的加法满足交换律和结合律
例1.计算
(1) (2 4i) (3 4i)
(2) 5 (3 2i)
解：(2 4i) (3 4i) (2 3) (4 4)i 5
练习一、
解：5 (3 2i) (5 0i) (3 2i) (5 3) (0 2)i 8 2i
a bi c di a c b d i
思考：对任意z1 a bi, z2 c di, z3 m ni
z1 z2 ？ z2 z1 z1 z2 z3 ？ z1 z2 z3 .
满足加法交换律
满足加法结合律
3.2.1 复数代数形式的加减运算 及其几何意义（第1课时）
一、复习回顾
1.复数的代数形式：z a bi
a c
2.复数相等的充要条件：a bi c di b d
3.复数的几何意义:
y
b
•Oax来自二、复数代数形式的加法运算法则
1、规定:复数的加法法则如下：
设z1 a bi, z2 c di是任意两个复数,那么
即：x yi （a bi）c di
(a c) (b d)i
2.复数的减法法则：
最新复数代数形式的加减运算及其几何意义课件ppt
• （二）临床表现
• 1．外感发热风寒者，发热轻，恶寒重，头痛，无汗， 鼻塞流清涕，喷嚏，喉痒，苔薄白，指纹鲜红；风热者， 发热重，恶风，微汗出，鼻流黄涕或浊涕，口干，咽痛， 苔薄黄，指纹红紫。
• 2．脾胃积热者，发热腹胀，腹痛拒按，嗳腐吞酸，恶 心呕吐，口渴引饮，纳呆便秘，舌苔黄腻，脉弦滑数。
• 3．阴虚发热午后发热，手足心热，盗汗，形体瘦削， 食欲减退，心烦少寐，苔少或无苔，脉细数，指纹淡紫。
复数代数形式的加减运算及其 几何意义
学习目标
• 1.记住复数加减运算法则，会进 行简单的计算. • 2.记住复数加减法的几何意义.
学习指导
• 请同学们用6分钟时间，学习课本第56~第57页的 内容，注意：
• 1.记住复数的加法法则、减法法则； • 2.复数加减法的几何意义各是什么？ • 3.通过学习例1，能熟练计算复数的加
• 2.复数加法的交换律、结合律
对任 z1,z2,意 z3 C,有
z1 z2 z2 z1
z1z2z3z1z2z3
• 3.复数加法的几何意义
设OZ1 ,OZ2 分别与复a数 bi,cdi对应，
则OZ1 a,b,OZ2 c,d,那么
OZ1 OZ2 （ac,bd）
y
Z
Z2(c,d)
Z1(a,b)
O
3
• （二）外感风热 • 主证：发热重，恶风，有汗或微汗出，头
痛，鼻塞，鼻流黄涕或浊涕，喷嚏，咽喉 红肿疼痛，口干而渴，苔薄黄，脉浮数， 指纹红紫。
• 治则：疏风解表，清热宣肺。 • 处方：清天河水，退六腑，推三关，清肺
经，清板门，清大肠，掐总筋，掐揉少商 ，拿风池，肩井，运月斗肘。
• 二、阴虚发热
例1.计算 (5 6 i) ( 2 i) (3 4 i)
复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学课件
y
Z2(c,d)
O
Z
Z1(a,b)
x
因此，复数的加
法可以按照向量的加 法来进行，这就是复 数加法的几何意义.
3、复数的减法法则 复数是否有减法？如
何理解复数的减法？
思考
类比实数集中减法的意义，我 们规定，复数的减法是加法的逆 运算，即把满足 (c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫 做复数a+bi减去复数c+di的差， 记作(a+bi)-(c+di).
实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加, 类似于实数运算中的合并同类项
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
复证数：的设Z加1=法a1+满b1足i，交Z2换=a律2+b、2i，结Z合3=律a3+，b3即i (a对1，任a2， 意a3Z，1b∈1，Cb，2，Zb23∈∈CR，) Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
∴2b＋＋a1＝＝00，， 得ab＝＝－－21，. ∴a＋bi＝－2－i.
例 2 . (1) 设 OZ1,OZ2 分别与复数 z1 5 3i, z2 1 4i 对应,计算 z1 z2 ,并在 复平面内作出 OZ1 OZ2 ,
(2) 设 OZ1,OZ2 分别与复数 z1 1 3i, z2 2 i 对应,计算 z1+z2 ,并在复平 面内作出 OZ1 OZ2 .
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可(得Z1+Z2)(+ZZ1+3=ZZ2)1++Z(Z3=2+ZZ1+3)(Z2+Z3)
复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课件
题型三 复数加减运算的综合应用
例3 已知z1，z2∈C，且|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1.
求|z1＋z2|.
【解】 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵ |z1 |＝ |z2 |＝ |z1－ z2|＝ 1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1， ① (a－c)2＋(b－d)2＝1， ② 由①②得 2ac＋2bd＝1. ∴ |z1＋ z2 | ＝ a＋c2＋ b＋d2 ＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd
|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3.
名师解题 复数模的最值问题 例4 已知集合 M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|
＝|z－2|，z∈C}， P＝M∩N. (1)指出集合 P 在复平面上所对应的点表示的图形；
(2)求集合 P 中复数模的最大值和最小值．
＝ 3.
法二：设 O 为坐标原点， z1，z2，z1＋z2 对应的点分别为 A，B，C. ∵ |z1 |＝ |z2|＝ |z1－ z2|＝ 1， ∴△OAB 是边长为 1 的正三角形， ∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形， 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长． ∴ |z1＋ z2 |＝ |OC|＝
复数 z1－z2 是连结向量O→Z1、O→Z2的__终__点___，并指向
_被__减__向__量__的__终__点______所对应的复数．
题型一 复数的加减法运算 例1 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
(3)O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对应 的复数为 1＋6i. 【名师点评】 (1)根据复数加减运算的几何意义可以把 复数的加减运算转化为向量的坐标运算． (2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边 形法则和三角形法则．
《复数代数形式的加减运算及其几何意义》优质课件PPT
问题2、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满 足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复 数a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
减法法则：（a+bi） -（c+di）= (a -c)+(b - d)i
问题3：复数的加法满足交换律，结合律吗？为什么？
2.复数减法Z1-Z2运算的几何意义?
复数z1－z2
y
向量Z2Z1
Z1(c,d)
o
Z2(-a,-b)
Z2(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
• 2、如图的向量OZ对应的复数是z，试作出 下列运算结果对应的向量：
•
（1） z+1 （2） z-i （3） z+(2-i)
∴O→Z1与O→Z2不共线． 又|z1|＝|z2|＝|z1－z2|. ∴△OZ1Z2 为等边三角形，
∴∠Z1OZ2＝60°.
设 z1＋z2 对应向量O→Z，则∠OZ1Z＝120°， ∴在△OZ1Z 中，由余弦定理得： |O→Z|＝ 12＋12－2×1×1×cos120°
＝ 1＋1－2×1×－12＝ 3.
总结反思 1．复数加减法法则 (1)复数的实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的 合并同类项。 2．根据复数加减运算的几何意义可以运用“数 形结合”解决有关问题。
作业 • 课本习题A组1、2、3
学习目标： 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运 算法则． 2．理解复数加减法的几何意义，能够 利用“数形结合”的思想解题．
减法法则：（a+bi） -（c+di）= (a -c)+(b - d)i
问题3：复数的加法满足交换律，结合律吗？为什么？
2.复数减法Z1-Z2运算的几何意义?
复数z1－z2
y
向量Z2Z1
Z1(c,d)
o
Z2(-a,-b)
Z2(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
• 2、如图的向量OZ对应的复数是z，试作出 下列运算结果对应的向量：
•
（1） z+1 （2） z-i （3） z+(2-i)
∴O→Z1与O→Z2不共线． 又|z1|＝|z2|＝|z1－z2|. ∴△OZ1Z2 为等边三角形，
∴∠Z1OZ2＝60°.
设 z1＋z2 对应向量O→Z，则∠OZ1Z＝120°， ∴在△OZ1Z 中，由余弦定理得： |O→Z|＝ 12＋12－2×1×1×cos120°
＝ 1＋1－2×1×－12＝ 3.
总结反思 1．复数加减法法则 (1)复数的实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的 合并同类项。 2．根据复数加减运算的几何意义可以运用“数 形结合”解决有关问题。
作业 • 课本习题A组1、2、3
学习目标： 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运 算法则． 2．理解复数加减法的几何意义，能够 利用“数形结合”的思想解题．
复数代数形式的加减运算及其几何意义PPT课件
那么
a bi c di a c b d i
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/20
5.复数减法的几何意义
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
OZ1 - OZ2 = Z2Z1
y
Z1
Z2
x o
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向 量终点并指向被减数的向量对应.
解: (5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
练习
• 课本58页1题
• 1.复数的加法a bi c来自 di a c b d i
• 2.复数加法的运算律及几何意义 • 3.复数的减法
总结：复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1,z2,z3∈C,有
z +z =z +z , 1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
• 2.复数加法的交换律、结合律
a bi c di a c b d i
SUCCESS
THANK YOU
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5.复数减法的几何意义
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
OZ1 - OZ2 = Z2Z1
y
Z1
Z2
x o
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向 量终点并指向被减数的向量对应.
解: (5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
练习
• 课本58页1题
• 1.复数的加法a bi c来自 di a c b d i
• 2.复数加法的运算律及几何意义 • 3.复数的减法
总结：复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1,z2,z3∈C,有
z +z =z +z , 1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
• 2.复数加法的交换律、结合律
复数的加减运算及其几何意义 完整版课件
两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数 z，z0 的对应点之间的距离，在应用时， 要把绝对值号内变为两复数差的形式； (2)|z－z0|＝r 表示以 z0 对应的点为圆心，r 为半径的圆； (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点 间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何 方法进行求解．
[跟踪训练] 1．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
答案：－10i
2．已知复数 z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若 z1＋z2 是纯虚数， 则实数 a＝________.
答案：3
复数加、减运算的几何意义 [例 2] (链接教材第 77 页练习 2 题)如图所 示，在平行四边形 OABC 中，顶点 O，A，C 分 别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)―A→O 所表示的复数，―B→C 所表示的复数； (2)对角线―C→A 所表示的复数； (3)对角线―O→B 所表示的复数及―O→B 的长度．
()
2．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2 等于( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
答案：B
3．已知复数 z＋3i－3＝3－3i，则 z＝
A．0
B．6i
C．6
() D．6－6i
答案：D 4．在复平面内，向量―OZ→1 对应的复数是 5－4i，向量―OZ→2 对应的
复数是－5＋4i，则―OZ→1 ＋―OZ→2 对应的复数是
是什么？ 提示：|z－z0|的几何意义是复平面内点 z 与点 z0 的距离．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与复数相加减后结果不可能是实数．
《复数代数形式的加减运算及其几何意义》ppt课件
第2课时
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
.. 导. 学 固思
1.理解复数代数形式的加减运算规律.
2.复数的加减与向量的加减的关系.
.. 导. 学 固思
实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运 算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对
于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应
.. 导. 学 固思
复数代数形式的加减法运算
(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求 z1+z2,z1-z2; (2)计算:( + i)+(2-i)-( - i);
3 2 3 2 1 1 4 3
(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(2012+2013i)+(2013-2014i).
【解析】(1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i. (2)因为CA =OA-OC,所以CA表示的复数为(3+2i)-(2+4i)=5-2i. (3)因为OB=OA+AB,所以OB表示的复数为(3+2i)+(2+4i)=1+6i.
.. 导. 学 固思
已知实数 a∈R,复数 z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若 z1+z2 为纯 虚数,求 a 的值.
.. 导. 学 固思
复数代数形式加减运算的几何意义
在复平面内,A、B、C 分别对应复数 z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC,求 D 点对应的3-z1, AB对应复数 z2-z1, AD对应复数 z4-z1.
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
.. 导. 学 固思
1.理解复数代数形式的加减运算规律.
2.复数的加减与向量的加减的关系.
.. 导. 学 固思
实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运 算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对
于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应
.. 导. 学 固思
复数代数形式的加减法运算
(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求 z1+z2,z1-z2; (2)计算:( + i)+(2-i)-( - i);
3 2 3 2 1 1 4 3
(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(2012+2013i)+(2013-2014i).
【解析】(1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i. (2)因为CA =OA-OC,所以CA表示的复数为(3+2i)-(2+4i)=5-2i. (3)因为OB=OA+AB,所以OB表示的复数为(3+2i)+(2+4i)=1+6i.
.. 导. 学 固思
已知实数 a∈R,复数 z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若 z1+z2 为纯 虚数,求 a 的值.
.. 导. 学 固思
复数代数形式加减运算的几何意义
在复平面内,A、B、C 分别对应复数 z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC,求 D 点对应的3-z1, AB对应复数 z2-z1, AD对应复数 z4-z1.
( 人教A版)复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 (共30张PPT)
(2)∵B→A·B→C＝|B→A||B→C|cos B，
→→
∴cos B＝|B→BAA||·BB→CC |＝
53×－210＝5 1 2＝ 102.
∴sin B＝572＝7102， ∴S＝|B→A||B→C|sin B＝ 5× 10×7102＝7，
∴平行四边形 ABCD 的面积为 7.
怎样求解复数加减法几何意义的问题？ 1．复数加法、减法运算的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则 有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、 减运算的几何意义求解计算． 2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方 法解决复数问题．
2．复数加法满足的运算律：
对任意 z1，z2，z3∈C，满足交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 ，结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
二、复数加法的几何意义 如图，若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2 为两邻边的 平行四边形 的对角线O→Z所对应的 复数 ，即复数的加法可以按照 向量的 加法 来进行．这就是复数加法的几何意义．
探究二 复数加减法的几何意义 [典例 2] 已知复平面内平行四边形 ABCD，点 A 对应的复数为 2＋i，向量B→A对应 的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积．
[解析] (1)∵向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i， ∴向量A→C对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又O→C＝O→A＋A→C， ∴点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵A→D＝B→C， ∴向量A→D对应的复数为 3－i，即A→D＝(3，－1)． 设 D(x，y)则A→D＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， ∴xy－－12＝＝－3，1， 解得xy＝＝05，， ∴点 D 对应的复数为 5.
复数代数形式的加、减运算及其几何意义 教学课件
RZ＝RS＋SZ＝PZ1＋QZ2＝b＋d. 于是，点 Z 的坐标是(a＋c，b＋d)， 这说明O→Z就是复数(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．
2．复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义：如果复数 z1，z2 分别对应复平面内的向 量O→P1，O→P2，那么以 OP1，OP2 为两边作平行四边形 OP1SP2， 对角线 OS 表示的向量O→S就是 z1＋z2 的和所对应的向量． 复数减法的几何意义：两个复数的差 z1－z2 与连接这两个向量 终点并指向被减向量的向量对应． 拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论： ||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
.
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加减法的几何意义 如图：设复数 z1，z2 对应向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是O→Z与 z1－z2 对应的向 量是Z→2Z1.
名师点睛 1．理解用向量法确定两个复数的和
题型三 复数加减法几何意义的综合应用 【例3】 已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题． [规范解答] 法一 设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i， ∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1， ∴|w＋4－5i|＝1.(6分)
解 (1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i. (2)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i. (3)法一 (1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008 ＋2 009i)＋(2 009－2 010i) ＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋ [(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i.
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)
(2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， 所以O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是－2＋i，3＋
2i，则|O→B|＝____1_0___.
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限内，则实数 a 的 取值范围是__(_－__∞_，__1_)__. 解析 (1)∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0，即a<1.
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 1≤|z|≤2 ， 则 |z ＋ 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_，__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点 B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
( 人教A版)1-2：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 (共28张PPT)
1．已知复数 z 满足 z＋1＋2i＝10－3i，求 z. 解析：z＋1＋2i＝10－3i， ∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.
探究二 复数加法、减法的几何意义 [例 2] 复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个 正方形的三个顶点(如图所示)，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
复数加减法几何意义、复数模运算中的技巧 (1)解决复数问题时，设出复数的代数形式 z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的 概念，列出方程，复数问题实数化． (2)利用复数加减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简捷地解决 复数问题． (3)掌握以下常用结论． 在复平面内，z1，z2 对应的点分别为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原点， ①四边形 OACB 为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
[双基自测]
1．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2 等于( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
答案：B
2．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z 等于( )
A．0
B．2i
C．6
D．6－2i
解析：由 z＋i－3＝3－i，
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
考纲定位
重难突破
1.知道复数代数形式的加、减法运算法则．重点：复数代数形式的加减法运算及
2.理解复数代数形式的加、减法运算的几 其几何意义．
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两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相减。
思考？ 如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di） +（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复 数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
o
Z1(a，b)
x
向量OZ1+OZ2
z1+z2 向量OZ1-OZ2
z1-z2
学 以致用
讲解例题 例1 计算
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i)
解：
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i) = (5- 2- 3)+ (- 6- 1- 4)i = - 11i
例2：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
（2） ( 3 －2i) －(2+i) －(___－_9_i___)=1+6i 4、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
3
则x=__－__2___ y=__4_i____
4分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
A(3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
C A
0
OC (3,2) (2,1) (1,3)
∴ 点C对应的复数是 -1+3i
B
x 2、OC对应复数是-1+3i
3、AC=OA-OC=4-i
小结
• 复数的代数形式加减运算 • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i即实部与实部相
Байду номын сангаас
及复数 c + di对应，则 OZ1,= (a,b)
Z Z2 (c, d )
OZ2 = (c, d )
OZ = OZ1 + OZ2
= (a,b) + (c, d )
O
Z1 (a, b) x
= (a + c,b + d )
∴向量 OZ 就是与复数 (a + c) + (b + d )i 对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就 是复数加法的几何意义
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可(得Z1+Z2)(+ZZ1+3=ZZ2)1++Z(Z3=2+ZZ1+3)(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。
课堂练习：1、计算 • (1)(２+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i
∴(3+x)+(2-y)i=5-6i
3+x=5, ∴
2-y=-6.
x=2
∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
课堂练习 3、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=__－_2_+_2_i_____
由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 3.复数加、减的几何意义
设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.
y
y
Z2(c，d)
Z
Z2(c，d)
Z1(a，b)
o
x
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
a意3，Zb1∈1，Cb，2，Zb23∈∈RC)，Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
课堂练习
• 2 已知 OA, AB对应复数是 3 2i,2 i, 求向
量OB 对应的复数. 解：OB=OA+AB即对应(-3+2i)+(2+i)=-1+3i
思考？ 类比复数加法如何规定复数的减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
(a+bi)-(c+di)=?(a-c)+(b-d)i
1、复数的加法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两 个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)= (？a+c)+(b+d)i
即实部与实部 虚部与虚部分别相加
（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0 时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
1
1
x
o -1
几何意义运用
例3、已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i .1、求点C对应的复 数.2、求OC表示的复数 3、AC表示的复数
解:1、复数-3+2i ,2+i,0对应
则有（ D ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a + bi
加减，虚部与虚部相加减 • 复数的加减法的几何意义 • 就是向量加减法的几何意义
思考？ 如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di） +（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复 数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
o
Z1(a，b)
x
向量OZ1+OZ2
z1+z2 向量OZ1-OZ2
z1-z2
学 以致用
讲解例题 例1 计算
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i)
解：
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i) = (5- 2- 3)+ (- 6- 1- 4)i = - 11i
例2：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
（2） ( 3 －2i) －(2+i) －(___－_9_i___)=1+6i 4、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
3
则x=__－__2___ y=__4_i____
4分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
A(3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
C A
0
OC (3,2) (2,1) (1,3)
∴ 点C对应的复数是 -1+3i
B
x 2、OC对应复数是-1+3i
3、AC=OA-OC=4-i
小结
• 复数的代数形式加减运算 • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i即实部与实部相
Байду номын сангаас
及复数 c + di对应，则 OZ1,= (a,b)
Z Z2 (c, d )
OZ2 = (c, d )
OZ = OZ1 + OZ2
= (a,b) + (c, d )
O
Z1 (a, b) x
= (a + c,b + d )
∴向量 OZ 就是与复数 (a + c) + (b + d )i 对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就 是复数加法的几何意义
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可(得Z1+Z2)(+ZZ1+3=ZZ2)1++Z(Z3=2+ZZ1+3)(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。
课堂练习：1、计算 • (1)(２+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i
∴(3+x)+(2-y)i=5-6i
3+x=5, ∴
2-y=-6.
x=2
∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
课堂练习 3、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=__－_2_+_2_i_____
由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 3.复数加、减的几何意义
设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.
y
y
Z2(c，d)
Z
Z2(c，d)
Z1(a，b)
o
x
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
a意3，Zb1∈1，Cb，2，Zb23∈∈RC)，Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
课堂练习
• 2 已知 OA, AB对应复数是 3 2i,2 i, 求向
量OB 对应的复数. 解：OB=OA+AB即对应(-3+2i)+(2+i)=-1+3i
思考？ 类比复数加法如何规定复数的减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
(a+bi)-(c+di)=?(a-c)+(b-d)i
1、复数的加法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两 个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)= (？a+c)+(b+d)i
即实部与实部 虚部与虚部分别相加
（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0 时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
1
1
x
o -1
几何意义运用
例3、已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i .1、求点C对应的复 数.2、求OC表示的复数 3、AC表示的复数
解:1、复数-3+2i ,2+i,0对应
则有（ D ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a + bi
加减，虚部与虚部相加减 • 复数的加减法的几何意义 • 就是向量加减法的几何意义