复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义(用)
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(最新整理)
复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107～108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为，，则复数z 1＋z 2是以，为邻边的OZ 1――→ OZ 2――→ OZ 1――→ OZ 2――→ 平行四边形的对角线 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量与的终点并指向OZ ――→ OZ 1――→ OZ 2――→的向量所对应的复数．OZ 1――→[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8i B ．6C ．6＋8iD ．6－8i答案：B3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 答案：D4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，OA ――→ OB ――→则||等于( )AB ――→A.B ．22C. D ．410答案：B复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以Error!解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝.2[答案] (1)－2－i (2)2复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [活学活用]已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以Error!解得a ＝3.答案：3复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) 表示的复数；AO ――→(2)对角线表示的复数；CA ――→(3)对角线表示的复数．OB ――→[解] (1)因为＝，所以表示的复数为－3－2i.AO ――→ －OA ――→ AO ――→(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5CA ――→ OA ――→ －OC ――→ CA ――→－2i.(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋OB ――→ OA ――→ OC ――→ OB ――→4i)＝1＋6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[活学活用] 复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量对应的复数为1＋2i ，BA ――→向量对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．BC ――→解：∵对应的复数为1＋2i ，对应的复数为3－i.BA ――→ BC ――→∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC ――→ BC ――→ BA ――→又∵＝＋，OC ――→ OA ――→ AC ――→∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12C ．2 D.5(2)若复数z 满足|z ＋＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．3[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.[答案] A(2)解：如图所示， ||＝＝2.OM ――→(－\r(3))2＋(－1)2所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.[一题多变]1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝2－1.22．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z －|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．3解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向3量，，再以，为邻边作平行四边形．PA ――→ PB ――→ PA ――→ PB ――→P 为圆面上任一点，z P ＝z ，则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的PA ――→ PB ――→ AB ――→ PO ′――→ PO ′――→平方和等于对角线的平方和)，所以|z －|2＋|z －2i|2＝.312(7＋4|z －32－i |2)而max ＝|O ′M |＋1＝1＋，|z －32－i |432min ＝|O ′M |－1＝－1.|z －32－i |432所以|z －|2＋|z －2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.34343层级一 学业水平达标1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )A ．z －1 B ．z ＋1C ．－10＋18iD ．10－18i解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.5．设向量，，对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )OP ――→ PQ ――→ OQ ――→A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵＋＝，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.OP ――→ PQ ――→ OQ ――→6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i∴Error!解得Error!答案：6 117．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.32＋42答案：58．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝3233________.解析：∵z 1－z 2＝a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝＋(a －b －1)i ＝4，323(32a ＋33b )3由复数相等的条件知Error!解得Error!∴a ＋b ＝3.答案：39．计算下列各式．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴Error!解得Error!∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.层级二 应试能力达标1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0 B ．1C. D.2212解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为.222．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量对应的复数Z 1Z 2――→为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋Z 1Z 2――→ OZ 2――→ OZ 1――→4i)＝2－6i.3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量，对应OA ――→ OB ――→的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则对应的复数是( )CD ――→A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→ BA ――→ OA ――→ OB ――→对应的复数为4－2i ，故选D.CD ――→5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝ .x 2＋y 2∴x ＋y i ＋＝2＋i.x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.34答案：＋i 346．在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，OA ――→ OC ――→ AB ――→那么对应的复数为________．BC ――→解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝BC ――→ OC ――→ OB ――→ OC ――→ OA ――→ AB ――→(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量，，对应的复数；AB ――→ AC ――→ BC ――→(2)判断△ABC 的形状．(3)求△ABC 的面积．解：(1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，AB ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，BC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC ――→(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB ――→ 2BC ――→ 10AC ――→82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB ――→ AC ――→ BC ――→(3)S △ABC ＝××2＝2.12228．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 3的值和|z －ω|的取值范围．解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，∴6a ＋2b i ＝3＋i ，33∴Error!∴Error!∴z ＝＋i ，3212∴z －ω＝－(sin θ－icos θ)(32＋12i )＝＋i (32－sin θ)(12＋cos θ)∴|z －ω|＝(32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ ＝ ，2－2(32sin θ－12cos θ)2－2sin (θ－π6)∵－1≤sin ≤1，(θ－π6)∴0≤2－2sin ≤4，∴0≤|z －ω|≤2，(θ－π6)故所求得z ＝＋i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．3212。
复数运算的常用规律和几何意义
复数运算的常用规律和几何意义复数是由实数和虚数构成的数。
每个复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位，满足i² = -1常用规律：1.实部与虚部的加法和减法：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.实数与复数的乘法和除法：- (a + bi) * c = ac + bci- (a + bi) / c = (a/c) + (b/c)i （当c ≠ 0）3.复数的共轭：复数 a + bi 的共轭是 a - bi，即将虚数部分取相反数。
4.复数的乘法和除法：- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- (a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / (c² + d²) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²) （当c² + d² ≠ 0）几何意义：复数可以用来表示平面上的点。
实部代表点在x轴上的位置，虚部代表点在y轴上的位置。
1.加法和减法：复数的加法和减法可以看作是平面上的点的运算。
例如，(a + bi) + (c + di) 可以看作是将第二个点 (c, d) 平移后放置在第一个点 (a, b) 的位置上。
2.乘法：复数的乘法可以用来进行旋转和缩放。
例如，复数 (a + bi) * (c + di) 可以看作是将向量 (a,b) 绕原点旋转角度 angle，并将长度乘以，c + di。
3.共轭：复数的共轭可以用来表示点关于 x 轴的对称点。
例如，复数 a + bi 的共轭 a - bi 可以看作是将点 (a, b) 关于 x 轴翻转。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
在复数中，实部为a，虚部为b。
二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。
十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。
在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。
它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。
掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。
复数代数形式的加减运算及其几何意义 精品教案
复数代数形式的加减运算及其几何意义【教学目标】知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用【教学重难点】重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。
难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
【教学准备】多媒体、实物投影仪。
【教学设想】复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z=a+bi（a、b∈R）与有序实数对（a，b）是一一对应关系何一个复数z=a+bi（a、b∈R），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定。
【教学过程】一、复习回顾：1．复数的定义：2．复数的代数形式：3．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且仅当时，a bi ab R复数a+bi（a、b∈R）是实数a；当时，复数z=a+bi叫做虚数；当时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当时，z就是实数0.4．复数集与其它数集之间的关系：。
5．两个复数相等的定义：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6．复平面、实轴、虚轴：Array点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数。
故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这就是复数的一种几何意义。
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。
- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。
- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义(用)
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数 b 0 非纯虚数a 0，b 0
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
所以 z＝－1 或 z＝－1＋3i.
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 (c di)(c di) c d
2
2 1 i
2
2
（3） (1 2i)(3 4i)(2 i)
解 1 3 4i 3 4i 3 4i 9 16 25.
21 i
2
1 2i i 1 2i 1 2i.
2
(3)(1 2i)(3 4i)(2 i)
5 5
z1 1 i , z2 2 i
（3） (1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
1 i i. 1 i
拓 展 求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1;
(2)(3+i)z=4+2i
答案：
(1)z=-2+4i 7 1 (2)z= + i 5 5
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
复数代数形式的加法运算及其几何意义
课题：复数代数形式的加法运算及其几何意义学习目标：1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算及运算律；2、能力目标：体会数形结合思想的运用；3、德育目标：培养学生合作创新能力；重点难点：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则,运算律以及复数、加,减运算的几何意义；知识链接：1.虚数单位i ：它的平方等于1-，即 21i =-；2.对于复数()R b a bi a z ∈+=,：当且仅当b =0时，z 是实数a ；当b ≠0时，z 为虚数；当a =0且b ≠0时，z 为纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.4.复数几何意义：方法指导：由复数的几何意义，可用向量表示复数，因而复数的加减运算可转化为向量的加减运算，为理解复数加减运算的规定奠定的基础，学习时注意知识内在联系与运用； 学习内容：探究一、复数代数形式的加减运算引导1:复数1z 与2z 的和的定义设bi a z +=1，di c z +=2，则 =+21z z引导2: 复数z 1与z 2的差的定义设bi a z +=1，di c z +=2，则 =-21z z容易得到：（1） 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+（2） 复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++点拨：复数的加法运算法则可叙述为，两复数相加，等于其实部与实部相加，虚部与虚部相加.对于复数加减法的运算律可根据复数的加减运算进行验证.注意复数的加减运算的规定可借助复数的几何意义加以理解体会.探究二、复数加减运算的几何意义引导:设复数bi a z +=1，di c z +=2，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标分别为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )，以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ .由复数的几何意义知，向量OZ 对应的复数即为复数 .这就是复数加法的几何意义.思考：复数减法的几何意义？点拨：使用向量法研究复数的加减运算的几何意义，体现了复数的几何意义的运用，注意这种数与形的结合思想在后续学习过程中的应用.达标检测：【巩固基础知识学习、灵活应用（试题分A 类、B 类，其中A 类相对简单）】 A: 1、2、计算（1） （2）（3） （4）B: 3、复数z 1=1＋2i ，z 2=－2＋i,z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
复数代数形式的加减运算及其几何意义复数是由实数和虚数组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1、复数代数形式的加减运算是指复数之间的加法和减法操作。
复数加法运算：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，其中 a、b、c、d 都是实数。
复数加法运算的计算规则如下：1.实部相加：(a+c)2.虚部相加：(b+d)因此，两个复数之和为 z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
复数减法运算：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，其中 a、b、c、d 都是实数。
复数减法运算的计算规则如下：1.实部相减：(a-c)2.虚部相减：(b-d)因此，两个复数之差为 z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
综上所述，复数的加减运算可以分别对实部和虚部进行相应的加减操作，从而得到新的复数。
几何意义：复数可以用平面上的向量来表示，其中复数的实部对应向量在 x 轴上的投影，虚部对应向量在 y 轴上的投影。
对于复数 z = a + bi，可以将其在平面上表示为一个点 P(x, y)。
- 复数加法的几何意义：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，根据复数加法运算规则，z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i。
可以将其几何意义理解为将向量 z2 平移至向量 z1 的尾部，得到一个新的向量。
新向量的坐标为 (a + c，b + d)。
因此，复数加法可以看作是两个向量的矢量相加。
- 复数减法的几何意义：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，根据复数减法运算规则，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
复数的四则运算及其几何意义分析总结
添加标题
复数三角形式：a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚 数单位
添加标题
几何意义：复数三角形式可以表示为平面上的一个点， 其中a是横坐标，b是纵坐标
添加标题
复数三角形式的加法：两个复数三角形式的和，可以 表示为两个点在平面上的连线的中点
添加标题
复数三角形式的乘法：两个复数三角形式的积，可以 表示为两个点在平面上的连线的斜率
复数乘法的几何意义：复数乘法的几何意义是旋转和平移。
复数乘法的应用：复数乘法在工程、物理、计算机科学等领域有广泛应用。
• 复数除法：将两个复数相除，得到另一个复数
• 除法公式：a/b=c/d，其中a、b、c、d为复数
• 除法运算的几何意义：将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将
复数运算的常用规律和几何意义
复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。
多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论： 1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,b ∈R) (a+bi)(a-bi)=a 2+b 2 (a+bi)2=a 2-b 2+2abi (a,b ∈R) (a-bi)2=a 2-b 2-2abi (a,b ∈R)等 =1,i 4k+1=i,i 4k+2=-1,i 4k+3=-i (b ∈N)3. Z+Z =2ReZ Z-Z =2(ImZ)i(其中ReZ,ImZ 分别表示复数Z 的实部和虚部)·Z =｜Z ｜2=｜Z ｜25.设w=-21+23i 则w 3=1,1+w+w 2=0,w =w 2=w 16.2121Z Z Z Z ±=± 2121Z Z Z Z ⋅=⋅2121Z Z )Z Z (= (Z 2≠0)7.｜Z 1·Z 2｜=｜Z 1｜·｜Z 2｜ ｜21Z Z ｜=21Z Z (Z 2≠0)=Z ⇔Z ∈R=-Z ⇔Z=ki(k ∈R) Z =Z10.［r 1(cos θ1+isin θ1)］［r 2(cos θ2+isin θ2)］…［r k (cos θk +isin θk )］=r 1r 2r 3…r k ［cos(θ1+θ2+θ3+…+θk )+isin(θ1+θ2+θ3+… +θk )］其中r 1r 2r 3…r k ≥0 (θ1、θ2、θ3…θk εR)复数的几何意义加法的几何意义：设1OZ ，2OZ 各与复数Z 1，Z 2对 应 ，以1OZ ，2OZ 为边的平行四边形的对角线 OZ 就与Z 1+Z 2对应。
减法的几何意义：设1OZ ，2OZ 各与复数Z 1，Z 2对应，则图中向量21Z Z 所对应的复数就是Z 2-Z 1。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数两部分组成的数，它可用于代表平面上的点或向量，因此具有一定的几何意义。
在复数运算中，加法和乘法可以在几何上进行解释。
首先，我们来讨论复数的几何表示。
对于一个复数 z=a+ib，其中 a是实部，b 是虚部，可以将其看作平面上的一个点 P(x,y)，其中 x 为 a 的值，y 为 b 的值。
这个点位于一个坐标系中的复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数 z 在几何上可以理解为复平面上的点 P。
1.加法：复数的加法可以表示为 (a+ib) + (c+id) = ((a+c) + i(b+d))。
在几何上，这个运算可以理解为将两个复数的点在复平面上相应方向上的平移，并将这两个复数的实部和虚部分别相加。
可以看出，加法运算实际上是将两个向量相加，得到一个新的向量。
这个向量从第一个向量指向第二个向量的尖端。
换句话说，复数加法相当于将两个复数所代表的向量进行平移。
2.乘法：复数的乘法可以表示为 (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)。
在几何上，这个运算可以理解为将一个复数的点绕原点旋转，并将两个复数的实部和虚部形成一个新的复数。
乘法运算实际上是将两个向量相乘，并按照一定的规则得到新的向量。
具体而言，复数的模长是两个向量的模长的乘积，而复数的辐角是两个向量的辐角的和。
因此，复数乘法可以理解为将一个复数代表的向量绕原点旋转一定角度，并按照一定比例进行缩放。
除此之外，复数的运算还具有以下几何意义：3.模长：一个复数的模长可以表示为，z，=√(a^2+b^2)。
在几何上，复数的模长表示了对应向量的长度，也可以理解为复平面上原点到点P的距离。
模长的平方等于复数的实部平方加上虚部平方，可以通过勾股定理来计算。
因此，复数的模长也可以理解为一个向量的长度。
4.共轭：一个复数的共轭可以表示为 z* = a-ib。
在几何上，一个复数和其共轭代表了复平面上关于 x 轴的对称点。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课件
1.如何理解复数代数形式的加、减运算法则的合理性?
剖析:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆
运算,其合理性可以从以下几点理解:
(1)当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.
(2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.
(3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行加、减运算.
2.进一步理解复数减法运算的几何意义.
剖析:复数的减法用向量来进行运算时也可实施平行四边形法
则.
设与复数a+bi 对应, 1 与复数c+di 对应, 如图所示,以
为一条对角线, 1 为一边作平行四边形,那么这个平行四边形的另
一边2 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应.
解:如图,
对应复数z3-z1, 对应复数z2-z1, 对应复数z4-z1.
由复数加、减运算的几何意义,得 = + ,
∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1).
∴z4=z2+z3-z1
=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i.
故 AD 的长为| | = |4 − 1|
∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形.
∴|z1-z2|=|2 1 | = || = 2.
由题意知a2+b2=1,c2+d2=1,
(a+c)2+(b+d)2=2,∴2ac+2bd=0.
∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2
=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,
复数代数形式的加减运算及其几何意义(上课)
问题： 问题： 实数有加、 乘方、 实数有加、减、乘、除、乘方、开方 等运算， 等运算，那么复数是否也能进行这些运算 呢？
1.复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则
(1)运算法则:设复数z (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 运算法则 那么： 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
P61习题 习题
z1-z2=(a-c)+(b-d)i. =(a-c)+(b即:两个复数相加(减)就是实部与 两个复数相加( 实部,虚部与虚部分别相加(减). 实部,虚部与虚部分别相加(
(2)复数的加法满足交换律、结合律, (2)复数的加法满足交换律、结合律, 复数的加法满足交换律 即对任何z1,z2,z3∈C,有 ∈C,有
3.2.1复数的代数形式的 3.2.1复数的代数形式的 加减运算及其几何意义
复数的几何意义（ 复数的几何意义（一）
复数z=a+bi 复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点Z(a,b) （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 ------复数平面 简称复平面 复平面) (简称复平面)
上点除原点外都表示纯虚数。
例1
已知复数z=(m +m+m-2)i在复平面 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面
内所对应的点位于第二象限，求实数m 内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取 值范围。 值范围 −3 < m < 2 m2 + m− 6 < 0 得 解 ：由 2 m < −2或m >1 m + m− 2 > 0
复数代数形式的乘除运算及其几何意义
3+i 1.(2010课标)已知复数z = ,则|z|( 2 (1 − 3i ) 1 1 A. B. C.1 D.2 的除法法则
先把除式写成分式的形式, 先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数, 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即 写成代数形式(分母实数化).即 ).
(a + bi )(c − di ) (ac + bd ) + (bc − ad )i = = (c + di )(c − di ) c2 + d 2
(3)共轭复数：实部相等，虚部互为 共轭复数：实部相等， 共轭复数 相反数的两个复数叫做互为共轭复数 互为共轭复数. 相反数的两个复数叫做互为共轭复数 复数Z = a + bi. 的共轭复数记做 Z 当复数 有 的虚部b=0时 Z = a + bi 的虚部 时，
Z = a − bi.
Z = Z.
即实数的共轭复数仍是它本身. 即实数的共轭复数仍是它本身
3.2《复数代数形式的乘除运算》
复习： 复数相加(减),就是把实部与实部、虚部与虚部分别 相加减,即:
( a + bi ) ± (c + di ) = ( a ± c ) + (b ± d )i
注意:复数的加减法类似于多项式的合并, 符合实数的交换律和 结合律，无需死记硬背公式.
1.复数的乘法与除法 复数的乘法与除法
复数的乘法满足交换律、结合律以 复数的乘法满足交换律、结合律以 交换律 及乘法对加法的分配律. 及乘法对加法的分配律. 分配律 即对任何z 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
a=b=0
.
特别地，a+bi=0
问题：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的
必要不充分条件
复数的几何意义(一)
复数z=a+bi
5 5
z1 1 i , z2 2 i
（3） (1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
1 i i. 1 i
拓 展 求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1;
(2)(3+i)z=4+2i
答案：
(1)z=-2+4i 7 1 (2)z= + i 5 5
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位.
R C
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数 b 0 非纯虚数a 0，b 0
求实数a、b的值.
我们知道,两个向量的和满足平行四边 形法则, 复数和平面上的向量是一一对应 的关系，那么复数的加法与向量的加法是 否具有一致性呢？
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
所以 z＝－1 或 z＝－1＋3i.
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 (c di)(c di) c d
2
2 1 i
2
（3） (1 2i)(3 4i)(2 i)
解 1 3 4i 3 4i 3 4i 9 16 25.
21 i
2
1 2i i 1 2i 1 2i.
2
(3)(1 2i)(3 4i)(2 i)
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量
y
OZ
Z(a,b)
a
z=a+bi
b
o
x
小结
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义(二)
对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离.
y z =a +b i Z (a,b)
O
x
| z | = | OZ | a2 b2
即:两个复数相加(减)就是实部与
实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6 i ) ( 2 i ) (3 4 i )
练
（1）已知 z
求
1
习
答案：
z1 z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , z2
3 2i , z2 1 4i
4-2i,
2+6i,
11-10i,
5 14 - + i. 17 17
（2）已知
z 4 2 1 求 , z1 , ( z1 z2 ) z2 3 1 答案： + i, -4, 8+6i.
a bi (a bi ) (c di ) c di
分母实 数化
例6.计算
(1 2i) (3 4i)
1 2i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以
及乘法对加法的分配律.
即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1;
(z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例3计算 : 1 3 4i 3 4i
小结
练： 已知复数m=2－3i,若复数z满足
等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是 什么图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆.
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(5 2 3) (6 1 4) i 11i
练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i)
(1)-3+5i
(2)-1+11i
1 7 (3)a=- ,b = 2 2
(2) (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=a-bi,
o
x
2.复数减法运算的几何意义? 复数z2－z1
符合向量 减法的三 角形法则.
向量Z1Z2
Z2(c,d)
y
Z1(a,b)
o
|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
练习：在复平面上，向量 AB 对应的复数是 2+i，向量 CB 对应的复数是-1-3i，则向量 CA 对应的复数为 -3-4i 。
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
[精解详析]
设 z＝a＋bi(a，b∈R)，
则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
2 2 a ＋ b －3b＝1， 则有 －3a＝3，
a＝－1， 解得 b＝0，
a＝－1， 或 b＝3.
3.2
《复数代数形式的四则运算》
教学目标
• 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几 何意义.掌握复数的代数形式的乘、除运算. • 教学重点：复数的代数形式的加、减运算 及其几何意义；复数的代数形式的乘除运 算及共轭复数的概念. • 教学难点：加、减运算的几何意义；乘除 运算 .
复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做 虚数单位，并且规定：i21；
z
1 在复平面内, 它们所对应的点有怎样的位置关系? 2 z1 z2是一个怎样的数 ?
例4.求 : (a bi)(a bi)
说明：此题的结论具有应用性。它说明 复数与其共轭复数的积是一个实数，它等 于其中一个复数的模的平方。即
2 2
zz z z a b
2
2
[例 5]已知 z∈C， z 为 z 的共轭复数， 若 z· z －3i z ＝1＋3i，求 z.
(11 2i)(2 i) 20 15i
本例1中的两个复数3 4i,3 4i称为共轭复数.
一般地, 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反 数时, 这两个复数叫做互为 共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
通常复数Z的共轭复数记为
思考 若z1 , z2是共轭复数, 那么