复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义(用)

a bi (a bi ) (c di ) c di
分母实 数化
例6.计算
(1 2i) (3 4i)
1 2i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
求实数a、b的值.
我们知道,两个向量的和满足平行四边 形法则, 复数和平面上的向量是一一对应 的关系，那么复数的加法与向量的加法是 否具有一致性呢？
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量
y
OZ
Z(a,b)
a
z=a+bi
b
o
x
小结
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义(二)
对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离.
y z =a +b i Z (a,b)
O
x
| z | = | OZ | a2 b2
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以
及乘法对加法的分配律.
即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1;
(z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例3计算 : 1 3 4i 3 4i
[精解详析]
设 z＝a＋bi(a，b∈R)，
则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
2 2 a ＋ b －3b＝1， 则有 －3a＝3，
a＝－1， 解得 b＝0，
a＝－1， 或 b＝3.
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位.
R C
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数 b 0 非纯虚数a 0，b 0
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
a=b=0
.
特别地，a+bi=0
问题：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的
必要不充分条件
复数的几何意义(一)
复数z=a+bi
2
2 1 i
2
2
（3） (1 2i)(3 4i)(2 i)
解 1 3 4i 3 4i 3 4i 9 16 25.
21 i
2
1 2i i 1 2i 1 2i.
2
(3)(1 2i)(3 4i)(2 i)
即:两个复数相加(减)就是实部与
实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6 i ) ( 2 i ) (3 4 i )
所以 z＝－1 或 z＝－1＋3i.
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 (c di)(c di) c d
小结
练： 已知复数m=Βιβλιοθήκη Baidu－3i,若复数z满足
等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是 什么图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆.
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(5 2 3) (6 1 4) i 11i
练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i)
(1)-3+5i
(2)-1+11i
1 7 (3)a=- ,b = 2 2
(2) (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=a-bi,
z
1 在复平面内, 它们所对应的点有怎样的位置关系? 2 z1 z2是一个怎样的数 ?
例4.求 : (a bi)(a bi)
说明：此题的结论具有应用性。它说明 复数与其共轭复数的积是一个实数，它等 于其中一个复数的模的平方。即
2 2
zz z z a b
2
2
[例 5]已知 z∈C， z 为 z 的共轭复数， 若 z· z －3i z ＝1＋3i，求 z.
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
练习：在复平面上，向量 AB 对应的复数是 2+i，向量 CB 对应的复数是-1-3i，则向量 CA 对应的复数为 -3-4i 。
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
练
（1）已知 z
求
1
习
答案：
z1 z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , z2
3 2i , z2 1 4i
4-2i,
2+6i,
11-10i,
5 14 - + i. 17 17
（2）已知
z 4 2 1 求 , z1 , ( z1 z2 ) z2 3 1 答案： + i, -4, 8+6i.
5 5
z1 1 i , z2 2 i
（3） (1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
1 i i. 1 i
拓 展 求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1;
(2)(3+i)z=4+2i
答案：
(1)z=-2+4i 7 1 (2)z= + i 5 5
3.2
《复数代数形式的四则运算》
教学目标
• 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几 何意义.掌握复数的代数形式的乘、除运算. • 教学重点：复数的代数形式的加、减运算 及其几何意义；复数的代数形式的乘除运 算及共轭复数的概念. • 教学难点：加、减运算的几何意义；乘除 运算 .
复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做 虚数单位，并且规定：i21；
o
x
2.复数减法运算的几何意义? 复数z2－z1
符合向量 减法的三 角形法则.
向量Z1Z2
Z2(c,d)
y
Z1(a,b)
o
|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
(11 2i)(2 i) 20 15i
本例1中的两个复数3 4i,3 4i称为共轭复数.
一般地, 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反 数时, 这两个复数叫做互为 共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
通常复数Z的共轭复数记为
思考 若z1 , z2是共轭复数, 那么