数学人教A版选修1-23.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
【课堂设计】高二数学人教A版选修1-2课件3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
这表明两个复数的差 z1-z2(即������������1 − ������������2 )与连接两个向量的终点 Z1,Z2, 且指向被减数的向量对应.
思考 2 从上图看,|z1-z2|的意义是什么? 提示:表示点 Z1 与 Z2 之间的距离.
探究一
探究二
探究三
探究四
复数的加减法运算
对复数进行加减运算时,要先分清复数的实部与虚部,然后将实部与实 部、虚部与虚部分别相加减.若有括号,先计算括号内的,若没有括号,可从左 到右依次进行. 【典型例题 1】 计算: (1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i); (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i). 思路分析:根据复数的加减法法则. 解:(1)原式=(3-4-3)+(-5i-i-4i)=-4-10i. (2)原式=(5-9+3)+(-7i+8i-2i)=-1-i.
(1)求������������表示的复数; (2)求������������表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.
探究一
探究二
探究三
探究四
思路分析:对于(1),可由������������=-������������求得;对于(2),由������������ = ������������ − ������������ 求得;对 于(3),可先求出������������ 的坐标,进而可知点 B 的坐标. 解:(1)∵ ������������=-������������, ∴ ������������表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.
提醒:因为复数具有数与形的双重性,因此复数加法也应从数与形两个 方面来领会.代数形式上,复数加法类似于多项式加法的合并同类项;几何形 式上,复数加法类似于向量加法.
高二数学人教A版选修1-2课件：3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
∴以
������������1 , ���为������邻���2边的平行四边形OZ1ZZ2为菱形.
又|z1+z2|=
,∴2∠OZ1Z=90°.
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形,故|z1-z2|=
2.
案例探究
思悟升华
本题的两种解法分别从不同角度解决问题.常规解法利用复数代数形式的加、减运算,是代数运算.巧妙解法 则利用复数加、减法的几何意义,运算简单,直观易懂
解:(1)原式=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2.
(2)原式=(-1+i)+
0+(+1+i)12
=-1+i+1+(1+i)=1+2i.
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
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典题例解
迁移应用
二、复数加减法几何意义的应用 1.两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和;两个复数对应向量的差向量所对应的复 数就是这两个复数的差. 2.求两个复数对应向量的和,可使用平行四边形法则或三角形法则. 3.在确定两复数的差所对应的向量时,可按照三角形法则进行.
一二
知识精要
典பைடு நூலகம்例解
迁移应用
2.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量
������������
对应的复数为1+2i,向量
对应的���复������数��� 为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.
解:(1)∵向量 对应������的������复数为1+2i,向量
3.2 复数代数形式的四则运算
高中数学 2、3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义 新人教A版选修1-2
学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义， 应明确它们符合向量加(减)法的平行四边形法则．另外， 还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简 单化了．
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2
[点评] 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化 虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复 数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决．
[例4] 已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平 行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2， 求点D对应的复数．
2．复数减法的几何意义 复数 z2－z1 是指连结向量O→Z1，O→Z2的终点，并指向被减数 的向量Z→1Z2所对应的复数．
3．对复数加减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何 图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复 数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几 何之中．
的终点，并指向被减数的向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所对应的复数．
[例 3] 若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|. [解析] |z1＋z2|和|z1－z2|是以O→Z1和O→Z2为两邻边的平行 四边形的两条对角线的长． 如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，知四边形为正 方形， ∴另一条对角线的长|z1－z2|＝ 2.
设向量O→Z1及O→Z2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋ 2i.
高二数学人教A版选修1-2：3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件
设向量O→Z1及O→Z2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋ 2i.
如下图所示，Z→2Z1即为 z1－z2 所对应的向量． 根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连结向量O→Z1，O→Z2
第三页，编辑于星期一：点 五十九分。
已知复数 z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i 及其对应的向量O→Z1＝ (x1，y1)，O→Z2＝(x2，y2)．以O→Z1和O→Z2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表示的向量O→Z＝O→Z1＋O→Z2， 而O→Z1＋O→Z2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复 数之和 z1＋z2 所对应的有序实数对．
第二十六页，编辑于星期一：点 五十九分。
3．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1＋2i，
－2－3i，则B→C对应的复数为
()
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．3－4i
D．3＋4i
[答案] A [解析] B→C＝A→C－A→B，故B→C对应的复数为(－2－3i)－ (－1＋2i)＝－1－5i.
即 B 点对应的复数为 1＋6i.
第十四页，编辑于星期一：点 五十九分。
[点评] 本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因 此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复 数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用 几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为 工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平 面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判 断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解 释 为 ： 平 行 四 边 形 两 对 角 线 长 相 等 ， 故 四 边 形 OACB 为 矩 形．
高中数学人教A版选修1-2第三章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课件
2．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z－ 3|2＋|z－2i|2 的最大值 和最小值． 解：如图所示，在圆面上任取一点 P，与复数 zA＝ 3，zB ＝2i 对应点 A，B 相连，得向量―PA→，―P→B ，再以―P→ A ，―P→B 为邻边作平行四边形．
P 为圆面上任一点，zP＝z， 则 2|―PA→|2＋2|―P→B |2＝|―A→B |2＋(2|P―O→′|)2＝7＋4|P―O→′|2，(平行四 边形四条边的平方和等于对角线的平方和)， 所以|z－ 3|2＋|z－2i|2＝127＋4z－ 23－i2. 而z－ 23－imax＝|O′M|＋1＝1＋ 243， z－ 23－imin＝|O′M|－1＝ 243－1. 所以|z－ 3|2＋|z－2i|2 的最大值为 27＋2 43，最小值为 27－2 43.
所以5－x－3x5＋y＝4y5＝，－3， 解得 x＝1，y＝0， 所以 z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则 z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2) 2
复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加 减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要 准确地提取复数的实部与虚部． (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数 的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先； 若无括号，可以从左到右依次进行计算．
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语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
高中数学人教A版选修1-2课件3-2-1复数的代数形式的加减运算及其几何意义2
变式训练
计算： (1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)－(2＋2 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解 (1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)－(2＋2 2i) ＝(－1＋1－2)＋( 2＋ 2－2 2)i＝－2. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
→
→
设复数z1，z2对应的向量为 OZ1 ， OZ2 ，则复数z1＋z2是以
→→ __________所对应的复数，z1－z2是连接向量OZ1与OZ2的终点并指
向__________所对应的复数.
1.(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 答案 → → 2.OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的
(1)A→O表示的复数； →
(2)CA表示的复数； (3)B 点对应的复数．
→→ 解 (1)AO＝－OA，
→ ∴AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
→ →→→ → (3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，
人教版 选修1-2
第三章 数系的扩充与复数 的引入
3.2.1 复数的代数形式的加减运算 及其几何意义
自学导引
了解复数代数形式的加减运算的几何意义，能进行复数代数
形式的加减运算.
课前热身
1.复数的加减法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __________.
人教版数学选修1-2第三章3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
3．2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：(z 1＋z 2)31＋(z 2＋z 3)．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个虚数的和或差可能是实数．( )(2)若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2.( )(3)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，复数z 2＝3－4i ，那么z 1＋z 2等于( )A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8i答案：B3．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i答案：D4．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是________．答案：5－5i探究点一 复数的加减法运算(1)计算(3－2i)＋(－4i ＋5)－(6－3i)．(2)若(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝2＋i ，求实数a ，b .[解] (1)原式＝(3＋5－6)＋[－2＋(－4)－(－3)]i＝2－3i.(2)因为(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i＝－a ＋(4b －3)i ，即－a ＋(4b －3)i ＝2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝2，4b －3＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先正确确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式．注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和．1.(1)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i.求z 1＋z 2，z 1－z2.(2)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (3)若(x －2i)－(3＋y i)＝2x i ＋(3y －i)，求实数x ，y .解：(1)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ，z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i.(2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)原式即为(x －3)＋(－2－y )i ＝3y ＋(2x －1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3y ，－2－y ＝2x －1.解得x ＝0，y ＝－1. 探究点二 复数加减法的几何意义在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解]如图所示：AC →对应复数z 3－z 1，AB →对应复数z 2－z 1，AD →对应复数z 4－z 1.由向量的平行四边形法则， 得AD →＝AB →＋AC →，所以z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i ，所以AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.在复平面内，▱ABCD 的点A 、B 对应的复数分别为z A ＝1＋i ，z B ＝5＋i ，且C 、D 对应的复数z C 与z D 满足z C －2z D ＝1－3i ，求z C 与z D .解：如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝DC →，所以z B －z A ＝z C －z D ，即z C －z D ＝(5＋i)－(1＋i)＝4，①又z C －2z D ＝1－3i ，②由①②解得z C ＝7＋3i ，z D ＝3＋3i.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB →对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数).2.复数z1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点所对应的复数．解：如题图，设正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则AD →＝OD →－OA →对应的复数是(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →对应的复数是(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为AD →＝BC →，即(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y －2＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.1．对复数加减运算法则的理解(1)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加．(2)两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如(3＋2i)－2i ＝3.(3)把复数的代数形式看成关于“i ”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”就可以了．2．复数形式的基本轨迹方程|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义的应用——复数形式的基本轨迹：(1)|z －z 1|＝r 表示复数在复平面内对应的点的轨迹是以复数z 1对应的点为圆心，r 为半径的圆；(2)|z －z 1|＝|z －z 2|表示复数z 1，z 2的对应点Z 1，Z 2为端点的线段的垂直平分线；(3)|z －z 1|＋|z －z 2|＝2a (a >0)，当2a >|Z 1Z 2|时，表示以复数z 1，z 2的对应点Z 1，Z 2为焦点的椭圆；当2a ＝|Z 1Z 2|时，表示以复数z 1，z 2的对应点Z 1，Z 2为端点的线段；当2a <|Z 1Z 2|时，无轨迹；(4)||z －z 1|－|z －z 2||＝2a (a >0)，当2a <|Z 1Z 2|时，表示以复数z 1，z 2的对应点Z 1，Z 2为焦点的双曲线；当2a ＝|Z 1Z 2|时，表示分别以复数z 1，z 2的对应点Z 1，Z 2为端点的两条射线；当2a >|Z 1Z 2|时，无轨迹．[A 基础达标]1．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．2．设a ，b ∈R ，z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 所以a ＋b i ＝－2－i.3．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数，所以a ＝0，b ＋3≠0.又a 2＋b 2＝3，所以b ＝3，所以z ＝3i.故选B.4．已知复平面xOy 内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i ，则向量OB→所表示的复数的模为( ) A. 5 B.13C.10D.26解析：选C.OB →＝OA →＋AB →＝(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ，所以|OB →|＝10，故选C.5．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A ．1－3iB ．11i －2C ．i －2D ．5＋5i解析：选D.因为z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ，又f (z )＝z ，所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝5＋5i.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＋z 2＝5－6i ，所以(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以z ＝2±i.答案：2±i8.如图所示，在复平面内的四个点O ，A ，B ，C 恰好构成平行四边形，其中O 为原点，A ，B ，C 所对应的复数分别是z A ＝4＋a i ，z B ＝6＋8i ，z C ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z A －z C ＝________.解析：因为OA →＋OC →＝OB →，所以4＋a i ＋(a ＋b i)＝6＋8i.因为a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋a ＝6，a ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6. 所以z A ＝4＋2i ，z C ＝2＋6i ，所以z A －z C ＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.答案：2－4i9．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i.(1)求z 1－z 2；(2)证明：2(|z 1|2＋|z 2|2)＝|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2.解：(1)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6.所以x ＝2，y ＝8. 所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.(2)证明：2(|z 1|2＋|z 2|2)＝2[(22＋22)＋(32＋(－8)2)]＝162，|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝|5－6i|2＋|－1＋10i|2＝52＋(－6)2＋(－1)2＋102＝162，所以2(|z 1|2＋|z 2|2)＝|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2.10．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解：法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0.因为|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2，所以|z 1－z 2|＝ 2.法二：作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→(图略)．因为|z 1|＝|z 2|＝1，又因为OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0)，所以▱OZ 1ZZ 2为菱形．又因为|z 1＋z 2|＝2，所以∠Z 1OZ 2＝90°，即▱OZ 1ZZ 2为正方形，故|z 1－z 2|＝ 2.[B 能力提升]1．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．3－2 2 B.2－1C ．3＋2 2 D.2＋1解析：选D.|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝（1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ）＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ≤3＋22＝2＋1.2．设f (z )＝z －3i ＋|z |，若z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，则f (z 1＋z 2)＝________． 解析：因为z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，所以z 1＋z 2＝(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.于是f (z 1＋z 2)＝f (3＋3i)＝(3＋3i)－3i ＋|3＋3i|＝3＋3 2.答案：3＋3 23.如图，向量OZ 1→，OZ 2→对应复数分别为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d∈R )，作出z 1＋z 2对应的向量OZ →，并指出|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|成立吗？解：法一：由向量平行四边形法则知，分别以向量OZ 1→，OZ 2→为邻边作平行四边形所得的对角线OZ ，即为向量OZ →，如图(1)．法二：以向量OZ 1→的终点Z 1为起点作向量Z 1Z →＝OZ 2→，则向量OZ →即为复数z 1＋z 2对应的向量，如图(2)．由向量模的性质知：|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|成立．4．(选做题)已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求点C ，D 对应的复数．解：因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. 所以点D 对应的复数为5.。
人教版高中数学选修1-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》
表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： → → (1)AO 所表示的复数，BC 所表示的复数； → (2)对角线CA 所表示的复数； → → (3)对角线OB 所表示的复数及OB 的长度．
【思路点拨】 画出图形，作出相应的向量借用 向量加减法求复数．
【解】 如图所示， → → → (1)∵AO ＝－OA，∴AO 所表示的复数为－3－ 2i. → → → ∵BC＝ AO ，∴BC所表示的复数为－ 3－ 2i.
4. 复数的减法 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 说明：两个复数的差是一个确定的复数 .
探究点5.复数减法运算的几何意义 复数z2－z1 向量Z1Z2
y
符合向量 减法的三 角形法则.
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
探究点3 复数与复平面内的向量有一一对应关系 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发 讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 , OZ2 分别与复数a+bi,c+di对应
y
Z
Z2(c,d)
OZ2 =(c,d) OZ1=（a,b），
OZ1 + OZ2 =（a+c,b+d）
Z1(a,b)
OZ =(a+c)+(b+d)i
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2复数代数形式的四则运算
引入
随着生产发展的需要，我们将数的范围扩
展到了复数
a bi
实部 虚部
运算是“数”的最主要的功能，复数不同于 实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的 整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简 单的复数运算——复数的加、减法．
人教A版高中数学选修1-2：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( ) A．0 B．2iC．6 D．6－2i2．复数i＋i2在复平面内表示的点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于( ) A．2 B．2＋2iC．4＋2i D．4－2i4．设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为( ) A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( ) A．－3i B．3iC．±3i D．4i6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(2011-2012i)＋(-2012＋2013i)＋(2013－2014i)等于( )A．－1007＋1007i B．1007＋1007iC．－1007-1007i D．1007-1007i二、填空题7．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P，Q，则向量PQ→对应的复数是____．8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是________．三、解答题9．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量BA→对应的复数1＋2i，向量BC→对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．10．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB→，BC→，AC→对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．3．2.1答案1．D 2．B 3．C4．D 5．B 6．D7．3＋i8.115＋3i9．解∵AC→＝BC→－BA→，∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，设C(x，y)，则(x＋y i)－(2＋i)＝2－3i，∴x＋y i＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．10．解(1)AB→对应的复数为2＋i－1＝1＋i，BC→对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，AC→对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，(2)∵|AB→|＝2，|BC→|＝10，|AC→|＝8＝22，∴|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2，∴△ABC为直角三角形．(3)S△ABC＝12×2×22＝2.。
人教A版选修1-2第三章3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义复习课件
知识点二 复数加、减法的几何意义
3．已知 z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2 对应的点分别为 P1，
P2，则向量P→2P1对应的复数为(
)
A．8－6i
B．8＋6i
C．－8＋6i
D．－2－2i
解析：∵P→2P1＝O→P1－O→P2，∴P→2P1对应的复数为 z1－z2＝3
－4i－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i.
解：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则|z1|＝ a2＋b2＝1，|z2|＝ c2＋d2＝1， |z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2＝ 2， ∴a2＋2ac＋c2＋b2＋d2＋2bd＝2， ∴2ac＋2bd＝0， |z1－z2|＝ a－c2＋b－d2＝ a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2 ＝ 2.
3.2.1 复数代数形式的加减 运算及其几何意义
基础知识梳理 1．复数加、减法法则及运算律 (1)复数加、减法法则 设复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，则 z1＋z2＝(a
＋bi)＋(c＋di)＝____(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i_________；z1－z2＝(a＋bi) －(c＋di)＝___(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__________.其中 a，b，c，d 为实 数．
6．在平行四边形 ABCD 中，已知A→C，D→C对应的复数分别 为 z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求B→C对应的复数； (2)求B→D对应的复数； (3)求平行四边形 ABCD 的面积．
解：(1)∵A→C＝A→B＋B→C＝D→C＋B→C，∴B→C＝A→C－D→C. ∴B→C对应的复数为 z＝z1－z2＝3＋5i－(－1＋2i)＝4＋3i. (2)∵B→D＝A→D－A→B＝B→C－D→C， ∴B→D对应的复数为 z－z2＝4＋3i－(－1＋2i)＝5＋i.
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昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第三章 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 (共69张PPT)
种子牢记着雨滴献身的叮嘱，增强了冒尖的气。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 汗水是成功的润滑剂。 觉得自己做的到和做不到，其实只在一念之间。 人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 生活远没有咖啡那么苦涩，关键是喝它的人怎么品味！每个人都喜欢和向往随心所欲的生活，殊不知随心所欲根本不是生活。 最常见的勇气就是在日常生活中做到诚实和正直，能够抵制诱惑，敢于讲真话，表现自己真实的一面，而不要虚伪造作。 年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。 所谓成功，就是在平凡中做出不平凡的坚持。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 上帝从不埋怨人们的愚昧，人们却埋怨上帝的不公。 如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。 如果我不坚强，那就等着别人来嘲笑。 冰冻三尺，非一日之寒，成大事者不拘小节。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 给自己一片没有退路的悬崖，就是给自己一个向生命高地冲锋的机会。 不要拿过去的记忆，来折磨现在的自己。 许多人缺少的不是美，而是自信的气质。
高中数学选修1课件2-3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
＝ 3＋i.
状元随笔 设z1＝a＋bia，b∈R → 用a，b表示z2 → 求出|z1＋z2| → 构造含有a，b的方程组 → 求出z1，z2
方法归纳
1．设出复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念， 可把条件转化为 x，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本 章“复数问题实数化”思想的应用．
解析：(1)因为A→O＝－O→A，所以向量A→O对应的复数为－3－2i. (2)因为C→A＝O→A－O→C，所以向量C→A对应的复数为 (3＋2i)－(－ 2＋4i)＝5－2i. (3)因为O→B＝O→A＋O→C，所以向量O→B对应的复数为(3＋2i)＋(－ 2＋4i)＝1＋6i.
状元随笔
方法归纳
解析：设 z1＝a＋bi(a，b∈R)， ∵z1＋z2＝2i，∴z2＝2i－z1＝－a＋(2－b)i， |z1＋z2|＝2.
又|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|，∴
a2＋b2＝2， －a2＋2－b2＝2，
解得 a＝± 3，b＝1.
故所求的复数为 z1＝ 3＋i，z2＝－ 3＋i 或 z1＝－ 3＋i，z2
跟踪训练 1 计算： (1)(1＋ 2i)＋(－2－ 3i)－(3－2i)； (2)2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]．
解析：(1)(1＋ 2i)＋(－2－ 3i)－(3－2i)＝[－1＋( 2－ 3)i]－ (3－2i)＝－4＋(2＋ 2－ 3)i.
(2)2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]＝2i－(4－i)＝－4＋3i.
∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， ∴O→Z1，O→Z2不共线(若O→Z1，O→Z2共线，则|z1＋z2|＝2 或 0)． 以O→Z1，O→Z2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2(图略)， 则由|z1|＝|z2|可知四边形 OZ1ZZ2 为菱形． 又|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2，∴∠Z1OZ2＝90°，
人教版选修1-2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 新人教A版选修1-2
（2） ．在题设不变的情况下，计算 z1－z2，并在复平面内作
→ －OZ →. 出OZ 1 2
【解】 2i.
z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5 －4)＋(3 －1)i＝1＋
→ －OZ → ＝Z → OZ 1 2 2Z1， → －OZ → 即为图中Z → 故OZ 1 2 2Z1.
【总结概括】
3．2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加减运 算及其几何意义
温故知新：
我们引入这样一个数 i ，把 i 叫做 虚数单位，并且规定： i21；
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
→ ，OZ → 及OZ → ＋OZ → ，OZ → －OZ → 的坐标． 1．试写出OZ 1 2 1 2 1 2 → → 【提示】 OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，
→ → OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)， → → OZ1－OZ2＝(a－c，b－d)．
→ ＋OZ → ，OZ → －OZ → 对应的复数分别是什么？ 2．向量OZ 1 2 1Z → )与连接两个终 这表明两个复数的差 z1－z2(即OZ 1 2 点 Z1，Z2，且指向 被减数 的向量对应.
【应用训练】
1
复数加减法的几何意义
→ 及OZ → 分别与复数 z ＝5＋3i 及复数 z ＝4＋i 对 设OZ 1 2 1 2
→ → 应， （1）试计算 z1＋z2，并在复平面内作出OZ1＋OZ2.
问题 1
已知复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如 何加减？ 【提示】
高二数学人教A版选修1-2课件：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[类题通法] 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是 复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和 减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量 及其对应的复数．注意向量 AB 对应的复数是 zB－zA(终点对 应的复数减去起点对应的复数)．
[成功破障] 已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，则复数 z＝________.
解析：法一：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2， 代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i， ∴ab＋ ＝8， a2＋b2＝2， 解得ab＝ ＝－ 8. 15， ∴z＝－15＋8i.
＝(x－1)＋(y－2)i，因为 BC ＝OC －OB，所以 BC 对应的复
数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为 AD ＝ BC ，所以它们
对应的复数相等
，
即
x－1＝1， y－2＝－3，
解
得
x＝2， y＝－1.
故点 D
对应的复数为 2－i.
综合应用
[例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，求 |z1－z2|.
法二：原式可化为 z＝2－|z|＋8i， ∵|z|∈R，∴2－|z|是 z 的实部， 于是|z|＝ 2－|z|2＋82， 即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i 得 z＝－15＋8i. 答案：－15＋8i.
[随堂即时演练]
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于
[化解疑难] 对复数加减运算几何意义的认识
复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四 边形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下 结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
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§3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．知识点一 复数代数形式的加减法思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.思考2 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 答案 不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小． 梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 是任意两个复数，那么(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i. (2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋bi ，c ＋di 对应，则OZ 1→＝(a ，b)，OZ 2→＝(c ，d)，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d)，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c)＋(b ＋d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1―――→对应复数z 1－z 2.梳理1．两个虚数的和或差可能是实数．( √)2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √) 3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( ×)类型一 复数的加、减法运算例1 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法的综合应用解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.(2)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z|与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________. (2)(a ＋bi)－(2a －3bi)－3i ＝________(a ，b ∈R)． (3)已知复数z 满足|z|＋z ＝1＋3i ，则z ＝________. 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i 解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i. (2)(a ＋bi)－(2a －3bi)－3i＝(a －2a)＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. (3)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，|z|＝x 2＋y 2，∴|z|＋z ＝(x 2＋y 2＋x)＋yi ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义 例2 已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i. (1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出z 1－z 2的运算结果所对应的向量． 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法与向量的对应解 (1)z 1－z 2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.(2)在复平面内作z 1－z 2的运算结果所对应的向量，如图中所示的OZ →.反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算． 跟踪训练2 已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 C解析 z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i ，故复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C. 类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用例3 已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．考点 复数加减法的几何意义的应用 题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题解 由已知得，在复平面内复数z 对应的点Z 在以原点为圆心，半径为2的圆上． 设w ＝1＋3i ＋z ，∴z ＝w －1－3i ， ∴|z|＝|w －(1＋3i)|＝2，∴在复平面内复数w 对应的点在以(1，3)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)， 故|1＋3i ＋z|max ＝4，|1＋3i ＋z|min ＝0.反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即AB →所对应的复数是z B －z A ，BA →所对应的复数是z A －z B ，不可把被减数与减数弄错． 跟踪训练3 在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8iD ．1＋4i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 C解析 AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i. 设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z. 又AB →＝DC →，∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( ) A ．1B ．－iC ．5＋2iD ．1－i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 A解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.2．在复平面内，向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0D ．10＋8i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 C解析 OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 故OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.3．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于( ) A ．1B.12C ．2D ．2 2考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z 1，z 2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.4．若z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R)，则|z 2－z 1|＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2解析 ∵z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ， ∴z 2－z 1＝(x 2－x 1)＋(y 2－y 1)i ， ∴|z 2－z 1|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.5．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则2z 1＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 8＋2i解析 两式相加得2z 1＝8＋2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )A．1 B．2C．－2 D．－1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 A解析z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0， ∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3ai ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－2或1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 C解析 z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.3．设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)， 则z ＋|z|＝(a ＋a 2＋b 2)＋bi ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.4．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限． 5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1对应的向量是( )考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案 A解析由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，故选A.6．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )A．0B．1C.22 D.12考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 C解析由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是直线y＝－x，∴|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，故所求最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离22. 7．复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)满足|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．42D ．8 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 ∵|z －4i|＝|z ＋2|，且z ＝x ＋yi ，∴|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋yi|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，∴x ＝－2y ＋3，∴2x ＋4y ＝2－2y ＋3＋4y ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋4y ≥42， 当且仅当8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＝4y ， 即y ＝34时，等号成立． 二、填空题8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 16i解析 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i.9．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是z ＝________.考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 115＋3i 解析 设这个复数为z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，∴x ＋yi ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝ 3.∴z ＝x ＋yi ＝115＋3i. 10．已知z 1＝(3x ＋y)＋(y －4x)i ，z 2＝(4y －2x)－(5x ＋3y)i(x ，y ∈R)．若z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 5－9i －8－7i解析 z ＝z 1－z 2＝[(3x ＋y)＋(y －4x)i]－[(4y －2x)－(5x ＋3y)i]＝(5x －3y)＋(x ＋4y)i ，又z ＝13－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i ＝－8－7i.11．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a 2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋ai ，a ，b ∈R ，则a －b ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 －4解析 因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋ai)＝－2a ＋3i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝6.故a －b ＝－4. 三、解答题12．(1)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－yi(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求x ＋yi ；(2)已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，求实数a 的值． 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 (1)∵z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y)i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，∴x ＋yi ＝2＋8i. (2)∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.13．复数z 1＝3m －1－2mi ，z 2＝－m ＋m 2i ，m ∈R.若z 1＋z 2>0，求实数m 的值．考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 z 1＋z 2＝(3m －1－2mi)＋(－m ＋m 2i)＝(3m －1－m)＋(m 2－2m)i.∵z 1＋z 2>0，∴z 1＋z 2为实数且大于0， ∴⎩⎨⎧ 3m －1－m>0，m 2－2m ＝0，3m －1≥0，解得m ＝2.四、探究与拓展14．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. 考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 3解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)]i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.15．设z 为复数，D 为满足条件||z|－1|＋|z|－1＝0的点Z 所构成图形的边界．(1)若复数ω＝12z ＋1－2i(其中z ∈D)，试证明表示复数ω的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；(2)若满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －32i 的点所构成的图形D ′与D 有两个公共点A ，B ，OA ，OB 的倾斜角分别为α，β(O 为原点)，求cos(α＋β)的值．考点 复数加减法几何意义的应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)由已知得||z|－1|＝－(|z|－1)，∴|z|－1≤0，即|z|≤1，∴|z|＝1.又∵ω＝12z ＋1－2i ，∴ω－1＋2i ＝12z ， ∴|ω－(1－2i)|＝12|z|＝12， ∴ω所对应的点在以(1，－2)为圆心，12为半径的圆上运动． 圆的复数方程为|ω－(1－2i)|＝12. (2)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，∵|z|＝1，∴x 2＋y 2＝1.① 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －32i ，得x ＝－3y ＋2.② 把②代入①整理得10y 2－12y ＋3＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝65，y 1·y 2＝310. 又x 2＋y 2＝1，设x 1＝cosα，x 2＝cosβ，y 1＝sinα，y 2＝sinβ，∴sinα·sinβ＝y 1·y 2＝310， cosα·cosβ＝x 1·x 2＝(－3y 1＋2)(－3y 2＋2)＝9y 1y 2－6(y 1＋y 2)＋4＝－12. ∴cos(α＋β)＝－45.。