复数的加减与乘法运算
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算复数在数学中是一个非常重要的概念，它扩展了实数概念，使得数学的运算更加广泛和灵活。
小学数学十年级，学生需要开始认识复数以及复数的加减乘除运算。
本文将详细介绍小学数学十年级认识复数的加减乘除运算。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复数中，a 称为实部，b称为虚部。
2. 复数的加减运算复数的加减运算与实数的加减运算类似。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加；当两个复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 复数的乘法运算复数的乘法运算也可以采用分配律来进行计算。
当两个复数相乘时，实部与实部相乘减去虚部与虚部相乘的结果，再加上实部与虚部相乘的结果。
例如，(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 复数的除法运算复数的除法运算和乘法运算类似，也可以用分配律进行计算。
首先，将被除数和除数都乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算的规则进行计算。
最后，用除数的实部的平方加上虚部的平方作为分母进行约分。
例如，(a+bi) / (c+di) = ((ac+bd) / (c^2+d^2)) + ((bc-ad) / (c^2+d^2))i。
在小学数学十年级，学生需要掌握复数的加减乘除运算，并能熟练地应用到各种实际问题中。
通过多做练习，学生可以逐渐提高对复数运算的理解和运用能力，进一步拓宽数学思维和解决问题的能力。
总结起来，小学数学十年级认识复数的加减乘除运算，包括复数的定义、加减运算、乘法运算和除法运算。
掌握这些运算规则，并能够熟练地应用到实际问题中，对学生的数学学习和发展都具有重要的促进作用。
复数的四则运算公式
复数的四则运算公式复数是数学中的一个概念，它可以表示为实部与虚部的和。
在复数的四则运算中，包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算。
一、复数的加法复数的加法是指将两个复数相加的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的加法可以表示为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i即实部相加，虚部相加。
二、复数的减法复数的减法是指将两个复数相减的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的减法可以表示为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i即实部相减，虚部相减。
三、复数的乘法复数的乘法是指将两个复数相乘的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的乘法可以表示为：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i即实部相乘减虚部相乘，并将结果相加。
四、复数的除法复数的除法是指将两个复数相除的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的除法可以表示为：(a+bi) ÷ (c+di) = [(ac+bd)÷(c^2+d^2)] + [(bc-ad)÷(c^2+d^2)]i即将实部和虚部分别除以除数的实部和虚部的平方和。
通过以上介绍，我们了解了复数的四则运算公式。
在实际应用中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理等领域。
对于复数的运算要求掌握加减法的运算规则，以及乘法和除法的计算方法。
复数的四则运算在解决实际问题中起到了重要的作用，对于深入理解复数的概念和应用具有重要意义。
因此，掌握复数的四则运算公式对于数学学习和实际应用都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够对复数的四则运算有更深入的了解，并能够熟练运用于实际问题的解决中。
复数的有关运算
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
复数的指数形式运算法则
复数的指数形式运算法则
复数的指数形式运算法则是学习复数运算的重要知识点之一。
在学习复数时，不仅需要掌握复数的基本概念和表示形式，还需要了解复数的四则运算方法。
其中，复数的指数形式运算法则是比较基础和重要的内容，下面将对其进行详细介绍。
一、复数的指数形式表示法
复数的指数形式也称为极形式，通常表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为其幅角。
二、复数的乘法运算法则
1. 两个复数相乘，其模等于两个复数的模的积，幅角等于两个复数的幅角之和。
2. 复数相乘时，需注意幂次相加，即
(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)
三、复数的除法运算法则
1. 单项除法的规则：z1/z2=r1/r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))
2. 复数除以自身的规则：z1/z1=1
四、复数的加减运算法则
1. 两个复数加减法需要将其实部和虚部分别相加减。
2. 复数的和等于实部的和加上虚部的和，差为实部之差加上虚部之差。
五、总结
1. 复数的指数形式运算包括乘法、除法和加减法。
2. 复数乘法运算法则为两个复数的模相乘，幅角相加。
3. 复数除法运算法则分为单项除法和复数除以自身。
4. 复数加减法运算法则需要将实部和虚部分别相加减。
5. 熟练掌握复数的指数形式运算法则对于学习高等数学和物理等学科
具有重要的帮助作用。
3.2复数的四则运算加减乘法
(4) 若z1=3-2i,z2=1+3i,则z1+z2=_____ Z1-2z2=_____
3.复数的乘法
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积
a + bic + di = ac + bci + adi + bdi2
提示
本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.
实数系中的乘法公式在复数系 中也是成立的.
解：(1) (3 + 4i)(3 - 4i)
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
2.复数的减法
复数的减法就是加法的逆运算. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的减法法则: 实部与实部,虚部与虚部分别相减. 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
例题1
计算
动动手
(5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i)
解: (5 - 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i)
共轭复数.虚部不等于0的两个共轭
复数也叫做共轭虚数.
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数. 复数z的共轭复数用 表示.
z 若z＝a＋bi，则 ＝a－bi (a，b∈R)
2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。
复数的四则运算
z1 z2 z3 a bi c di e fi a bi c e d f i
a c e b d f i
z1 z2 z3 z1 z2 z3 ,即复数的加法满足结合 律
复数加法的几何意义：
z1 a bi, z2 c di（a,b, c, d R）
y
b
Z
.
O1
a
x
复数的加法与减法：
若：z1 a bi，z2 c di (a,b, c, d R)
则：z1 z2 (a c) (b d )i
z1 z2 (a c) (b d )i
两个复数的和（或差）仍是一个复数，两个复数的和（或差）的 实部是它们实部的和（或差），两个复数的和（或差）的虚部是它们 虚部的和（或差）.
n个
内正整数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，
zm zn zmn , zm n zmn, z1 z2 n z1n z2n
注：i0 1,i1 i,i2 1,i3 i,
一般地，对于任意自然 数n, 有：i4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i
例7、计算：
（1）1 i4;
(2)2 i22 i2
解：（1）原式 1 i2 2 1 2i i2 2 2i2 4
（2）原式 2 i2 i2 4 12 25
若：z a bi其中a,b R
则：z z a bia bi a2 b2
互为共轭 复数的两个复数的乘积是实 数，等于这个复数 （或其共轭复数）模的 平方.
复数的除法
给定复数z2,若存在复数z，使得z2z 1,则称z是z2的
倒数，记作z 1 . z2
设z2 c di 0和z x yi(c, d, x, y R), 则
复数的四则运算
练习、计算
• 1.
(1).(3 4i)( 2 3i) (2).(7 6i)( 3i) (3).(1 2i)(3 4 i)( 2 i) (4).( 3 2i)( 3 2 i) (5).(1 i)
2
• 2
1 i (1). 1 i 1 (2). i 7i (3). 3 4i ( 1 i )(2 i ) (4). i
复数除法的法则是: ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c di 0. c d c d
由此可见 , 两个复数相除 除数不为 0 , 所得的商 是一个确定的复数 .
在进行复数除法运算时通常先把 a bi c di , a bi 写成 的形式, 再把分子与分母都乘于 分母的 c di 共轭复数 c di , 化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的在作根式除法时 . , 分子分母都乘以分母的有理化因式 , 从而使分母 " " " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" (共轭复数), 从而使分母"实数化".
例2 计算1 2i3 4i 2 i.
解
例3
1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i. 2 计算 : 13 4i3 4i; 21 i .
分析 本例可以用复数乘法法 则计算 也可以用乘法 , 公式计算.
例4 计算 1 2i 3 4i.
解 1 2i 1 2i 3 4i 3 4i 3 8 6i 4i 2 2 3 4
1 2i3 4i 3 4i3 4i
复数运算的基本法则
引言：复数运算是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛应用。
本文将介绍复数运算的基本法则，包括复数的加减、乘法、除法规则，以及复数的共轭和模等概念。
概述：复数由实数部分和虚数部分组成，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数的运算包括加减、乘法、除法等基本操作，这些操作有一定的规则，下文将逐一介绍。
正文：（大点1）复数的加法规则1.1实部的加法规则：两个复数的实部相加，虚部保持不变。
1.2虚部的加法规则：两个复数的虚部相加，实部保持不变。
1.3复数的加法运算可用坐标表示：复数加法的运算可以看作是向量相加，即将两个复数的实部和虚部分别相加。
（大点2）复数的减法规则2.1实部的减法规则：两个复数的实部相减，虚部保持不变。
2.2虚部的减法规则：两个复数的虚部相减，实部保持不变。
2.3复数的减法可用向量表示：复数的减法运算可以视为从第一个复数到第二个复数的向量差。
（大点3）复数的乘法规则3.1复数的乘积公式：(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i。
3.2实数与复数的乘法规则：实数与复数相乘时只需将实数乘以复数的实部和虚部。
3.3复数的乘法可用极坐标表示：复数的乘法运算可以用极坐标表示，即将模相乘，幅角相加。
（大点4）复数的除法规则4.1复数的除法公式：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)+(bcad)i]/(c^2+d^2)。
4.2除数的倒数：如果一个复数的模为1，那么它的倒数等于它的共轭。
4.3复数的除法可用极坐标表示：复数的除法运算可以用极坐标表示，即将模相除，幅角相减。
（大点5）复数的共轭和模5.1复数的共轭定义：一个复数的共轭将虚部的符号取反。
5.2复数共轭的性质：共轭的和等于和的共轭，共轭的差等于差的共轭，共轭的积等于积的共轭。
5.3复数的模定义：复数的模是实部和虚部构成的向量的长度。
5.4复数的模的性质：复数的模大于等于0，模为0的复数为零，模相等的复数相等。
复数的运算与方程的解
复数的运算与方程的解复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分构成。
复数的运算和方程的解在数学中扮演着重要的角色。
本文将介绍复数的基本运算法则，并阐述复数在解决方程中的应用。
一、复数的基本运算法则1. 复数的表示法复数通常用a+bi的形式表示，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位。
实数部分和虚数部分可以是任意实数。
2. 复数的加法和减法对于两个复数a+bi和c+di，其加法和减法运算如下：- 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i- 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法对于两个复数a+bi和c+di，其乘法运算如下：- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 复数的除法对于两个复数a+bi和c+di，其除法运算如下：- 除法：(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)] = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2+d^2)二、复数在方程中的应用复数在解决方程中有着广泛的应用。
特别是在一些无解或无实数解的情况下，复数可以提供解的可能性。
1. 一元二次方程的解一元二次方程可以表示为ax^2 + bx + c = 0。
当方程的判别式b^2 -4ac大于等于0时，方程有实数解；当判别式小于0时，方程无实数解，但可以使用复数解。
2. 复数解的意义复数解提供了在实数范围以外寻求解的途径。
在物理学和工程学中，一些问题的解可能涉及到虚数部分，这些解在物理意义上可以有实际应用。
例如，在电路中，使用复数可以描述电压和电流的相位关系。
3. 复数解的表示复数解一般表示为x = a + bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
通过代入方程可验证复数解的正确性。
三、总结复数在运算和方程解中具有重要作用。
复数的加法、减法、乘法、除法有着明确的运算法则，可以方便地完成运算。
复数的运算与性质
复数的运算与性质复数是数学中的一个重要概念，在实际应用中有着广泛的使用。
复数由实部和虚部组成，可以进行加、减、乘、除等运算。
本文将从复数的定义和性质、复数的加减运算、复数的乘法和除法以及复数的应用等几个方面进行详细讨论。
一、复数的定义和性质复数是由一个实数和一个与之相乘的虚数组成的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i² = -1。
实部和虚部都是实数，且复数的表示形式不唯一。
复数具有以下几个重要的性质：1. 复数的加法满足交换律和结合律。
即对于任意两个复数z1 = a1 +b1i和z2 = a2 + b2i，有z1 + z2 = z2 + z1和(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)。
2. 复数的乘法满足交换律和结合律。
即对于任意两个复数z1 = a1 +b1i和z2 = a2 + b2i，有z1 × z2 = z2 × z1和(z1 × z2) × z3 = z1 × (z2 × z3)。
3. 复数的乘法满足分配律。
即对于任意三个复数z1 = a1 + b1i、z2 = a2 + b2i和z3 = a3 + b3i，有z1 × (z2 + z3) = z1 × z2 + z1 × z3。
二、复数的加减运算复数的加法可以通过实部相加，虚部相加来完成。
例如，对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的和可以表示为z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的减法可以通过实部相减，虚部相减来完成。
例如，对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的差可以表示为z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
复数的加减乘除
三、知识新授：
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
学
以 致
讲解例题
用
例1 计算
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i)
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i) = (5 - 2 - 3) + (- 6 - 1- 4)i = - 11i
解：
y 向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi Z 及复数 c + di对应，则 1 ,= (a, b) OZ Z 2 (c , d ) OZ 2 = (c, d ) OZ = OZ1 + OZ 2 Z1 ( a , b ) = ( a , b ) + ( c, d ) O x = ( a + c, b + d )
yZ 1
复数减法的几何意义：
OZ1 - OZ 2 = Z 2 Z1
O
Z2
x
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
高中数学 复数的四则运算
复数的四则运算•复数的运算：1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则：。
复数加法的几何意义：设为邻边画平行四边形就是复数对应的向量。
复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设，则这两个复数的差对应，这就是复数减法的几何意义。
共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。
•复数的运算律：1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3•共轭复数的性质：我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z 为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数的定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方)，为了使方程有解，我们将数集再次扩充。
在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d))：z1 + z2=(a+c,b+d)z1 ×z2=(ac-bd,bc+ad)容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有z=(a,b)=(a,0)+(0,1) ×(b,0)令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。
初三数学复数的运算规律
初三数学复数的运算规律复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
初中数学中，我们经常会遇到复数的运算。
而复数的运算规律则是我们正确进行计算的关键。
下面将介绍初三数学中复数的运算规律。
一、复数的表示形式复数可以用$a+bi$的形式表示，其中$a$为实部，$bi$为虚部，$i$为虚数单位，满足$i^2=-1$。
在复数$a+bi$中，$a$和$b$都是实数。
如果虚部为0，则复数为实数；如果实部和虚部都为0，则复数为零。
二、复数的加法和减法规律1. 加法规律对于两个复数$a+bi$和$c+di$，其加法运算满足以下规律：$$(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i$$即实部相加，虚部相加。
例如：计算$(3+2i)+(4+5i)$解：$(3+2i)+(4+5i) = (3+4) + (2+5)i = 7+7i$2. 减法规律对于两个复数$a+bi$和$c+di$，其减法运算满足以下规律：$$(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i$$即实部相减，虚部相减。
例如：计算$(4+7i)-(2+3i)$解：$(4+7i)-(2+3i) = (4-2) + (7-3)i = 2+4i$三、复数的乘法和除法规律1. 乘法规律对于两个复数$a+bi$和$c+di$，其乘法运算满足以下规律：$$(a+bi)\times(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$$即实部相乘减虚部相乘，并加上实部乘虚部的结果。
例如：计算$(2+i)\times(3-2i)$解：$(2+i)\times(3-2i) = (2\times3-1\times(-2)) + (2\times3+1\times2)i = 8 + 8i$2. 除法规律对于两个复数$a+bi$和$c+di$，其除法运算满足以下规律：$$\frac{{a+bi}}{{c+di}} = \frac{{(a+bi)(c-di)}}{{(c+di)(c-di)}} =\frac{{(ac+bd)+(bc-ad)i}}{{c^2+d^2}}$$即将除法转化为乘法，并用分子分母同乘以$c-di$的共轭形式来进行计算。
复数向量的运算公式
复数向量的运算公式
复数向量的运算公式如下：
1. 向量加法：对应位置的实部和虚部分别相加。
设有两个复数向量A = (a₁+ a₂i) 和B = (b₁+ b₂i)，它们的和为C = A + B = (a₁+ b₁) + (a₂+ b₂)i。
2. 向量减法：对应位置的实部和虚部分别相减。
设有两个复数向量A = (a₁+ a₂i) 和B = (b₁+ b₂i)，它们的差为C = A - B = (a₁- b₁) + (a₂- b ₂)i。
3. 向量数量乘法：将复数向量的实部和虚部分别与一个实数相乘。
设有一个复数向量A = (a₁+ a₂i) 和一个实数k，它们的数量乘积为C = kA = (ka₁) + (ka₂)i。
4. 向量点乘：将两个复数向量的对应位置进行乘法运算，然后将结果相加。
设有两个复数向量A = (a₁+ a₂i) 和B = (b₁+ b₂i)，它们的点乘结果为C = A ∙B = (a₁b₁- a ₂b₂) + (a₁b₂+ a₂b₁)i。
这些公式描述了复数向量的常见运算规则，其中实部和虚部分别进行加减乘法运算，并且可以进行数量乘法和点乘运算。
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3.2.1复数的加减与乘法运算
教学目标：
1. 理解复数加法、乘法法则的合理性及复数差的定义。
2. 掌握复数加减法和乘法法则，能够熟练地进行复数的加、减法和乘法运算。
3. 理解共轭复数的概念。
教学重、难点：
重点：复数的加、减，乘的运算法则和运用。
难点：对复数乘法法则有关性质的理解。
经典例题分析
一、 加减运算 例1. 计算：
（1）()();532-i i -++ (2)(
)(
)
;2121i i +
-++
-
(3)()()().,332R b a i bi a bi a ∈---+
变式：计算：()()();43431i i -++
()()();54232i i --+- ()()()()i i i 3322653+---+-
二、 复数的乘法运算 例2. 计算：
()()();32431i i --+ ()(
)(
)
;23232i i +-
+
()()()();243213i i i ---+ ()()214i +
变式：计算：.23
21-23
21-⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
i i
三、 共轭复数
例3. 已知复数z 满足i z i z z 242+=⋅+⋅，求复数z 。
变式：若虚数()0,,≠∈+=b R b a bi a z 满足z z =2，求z 。
四、 因式分解
例4. 在复数范围内分解因式.
()412
+x ；()4
4
2b a -；()2
2
2
23c b ab a +++；()3242
++x x 。
变式：求i 2的平方根，并将44+z 在复数集内分解因式。
课后练习
1. 复数23-i 的共轭复数为__________.
2. 复数432i i i i z +++=的值为__________.
3. 若i i z --=++33，则=z __________.
4. 若()()ti i ++12为纯虚数，则=t __________.
5. 计算：()()()=---++i i i 35366__________.
6. i 是虚数单位，计算=++32i i i __________.
7. 设(),2,43,221i z i z i z z f --=+=-=则()=-21z z f __________.
8. 设,R m ∈复数()()()mi i m m i m z 213222+-+-++=，若z 为纯虚数，则=m 9. 若复数i z i z -=+=3,121，则=⋅21z z __________.
10. 若复数i z i z 96,29421+=+=，其中i 为虚数单位，则复数()i z z 21-的实部
为__________.
11. i z 21-=，则=+⋅z z z __________.
12. 设复数()R x i x z i z ∈+=+=2,121，若21z z ⋅为实数，则=x __________. 13. 已知复数z 满足()i i z 31021-++，则=z __________.
14. 若复数z 同时满足iz z i z z ==-,2（i 为虚数单位），则=z __________. 15. 已知()()()()()R y x i y x x y z i x y y x z ∈+--=-++=,,3524,4321。
设
21z z z -=，且,213i z +=求21z z ⋅。
16. 解方程()035322
=+++-i x i x 。
17. 已知z C z ,∈为z 的共轭复数，若i z i z z 313+=-⋅，求z 。