最新数系的扩充和复数的概念教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案

李 志 文

【教学目标】

知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念

过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法.

2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于

新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念.

情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创

新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;

2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和

处理问题。

【重点难点】

重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念．

难点：复数的有关概念及应用．

【学法指导】

1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；

2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础.

【知识链接】

前两个学段学习的数系的扩充：

但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？

Q N Z

R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数

的全体构成自然数集N

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z.

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，

人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q.

用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有

理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有

理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?

【问题探究】

探究一、复数的引入

引导1：由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，并规定：

（1）=2i 1- ；

（2）实数可以与i 进行加法和乘法运算：

实数a 与数i 相加记为：i a +；

实数b 与数i 相乘记为：bi ；

实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加记为：bi a +；

（3）实数与i 进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

引导2:复数的有关概念：

（1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 虚数单位 ，

全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．．

字母 C 表示。 （2）复数的代数形式：

复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这一表示形

式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。

例1请说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部。

引导:考虑复数的有关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈，a 叫实部，b 叫虚部. 解：

变式再练：请说出复数)12(,231,

0,6,84-++-i i i 的实部和虚部。点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数i 及引入数i 后实数与i 进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的规定要合理，要有一定的依据基础.

；，虚部是的实部是虚部是的实部是；

，虚部是的实部是3

1031;0,553232----+i i .

120)12(5;2

3212314066300024884)1(--+-+-，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（；

，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i i i

探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系

对于复数(),z a bi a b R =+∈：

当且仅当0=b 时，复数z 表示 实数

当0≠b 时，复数z 叫做 虚数

当0,0≠=b a 时，复数z 叫做 纯虚数

你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？

例2 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ 72+，618.0，

i 7

2，0，i ，2i ，85+i ，i 293- 实数： 虚数： 纯虚数： 例3 实数m 分别取什么值时，复数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 引导:因为m R ∈，所以1m +，1m -都是实数，由复数(),z a bi a b R =+∈是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数m 的值．

解： 变式再练1：当取何实数时，复数i m m z )1(12-+-=是：

（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零

解：（1）z 为实数，则101==-m m 即 （2）z 为虚数，则101≠≠-m m 即

（3）z 为纯虚数，则11101012-=⇒⎩⎨⎧≠±=⇒⎩

⎨⎧≠-=-m m m m m （4）z 为0 则1110

1012=⇒⎩⎨⎧=±=⇒⎩⎨⎧=-=-m m m m m 复数集 （ 虚数集 ） （ 实数集 ）

（纯虚数集） 2,0,618.0,72i +i i i i 293,85,,72-+i i ,72（

1）z 为实数，则 m-1=0 即 m=1 （2）z 为虚数，则 1

01≠≠-m m 即（3）z 为纯虚数，则 10101-=≠-=+m m m

，即且