第一节 可测函数的收敛性 - 欢迎来到重庆邮电大学理学院 …

即当 n N 时, E[| f n f | ] e , 从而 注: 定理3表明几
mE[| f n f | ] me ,
所以 f n f 于E.
乎一致收敛比依 测度收敛强
3.
几乎处处收敛与依测度收敛的关系
定理4： (黎斯(Riesz)定理)
若 f n f 于E , 则存在 { f n }的子序列 { f n j }, 使得 f n j f a.e.于E.
1 k
注：
如：
Egoroff 定理中条件 mE 不可少.
设 E (0, ), 定义函数列
1 f n ( x) 0 x (0, n) x [n, ) n 1,2,
易知： f n 1 (n ), 然而 f 不是几乎一致收敛于1.
因为 1, e E且e , 当 m(e ) 1时,
k 1 N 1 n N
k



m( E[| f n f | 1 ] ) 0
N 1 n N
k


( 1 k) ( )
m( E[| f n f | ] ) 0
N 1 n N
关于N 单调减小
从而当mE 时， 0, 有
k N
定理5：（Lebesgue定理）
设 mE ,
若f n f a.e.于E ，则f n f 于E
证明： 由定理2和定理3即得
总结：三种收敛之间的关系，可 以列出图表如下：
f n f a.e.于E
mE
(Lebesgue 定理)
(Riesz定理)
mE
(Egoroff定理)
设 mE ,
则
f n f a.e.于E f n f a.u.于E
注：这个结论也为后面的L积分与极限交换 只要求函数列几乎处处收敛提供了理论基础， 也进一步说明L积分比R积分优越.

2. 几乎一致收敛与依测度收敛的关系
定理3： 若 f n f a.u. 于E, 则 f n f 于E.
使得

1 1) { f n }在 E ek 上一致收敛 f ; 2) mek . k
令 P ek , 则
k 1
1 mP m( ek ) m(ek ) k k 1


(k 1,2,, )
由k的任意性得 : mP 0. 而
Ewk.baidu.com P E P E ( ek ) E ( ek ) ( E ek )
1 于是 [n0 , ) E e , 取 , N , 2 n max{ N , n0 }, 当x [n, ) E e 时
存在n0 , 使得 e (0, n0 ),
| f n ( x) 1 | 1
结合定理1和定理2，我们有下面结论 结论：
c c k 1 k 1 k 1 c
于是x E P ( E ek ), k0 , 使得x E ek0 ,
k 1

从而 f n f
(n ),
所以 f n f a.e.于E.
收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）
1
0.8
fn(x)=xn
0.6
第四章 可测函数
第二节 可测函数的收敛性
一. 几乎成立的命题
设 E , 是与E中点x有关的命题. 如果 0, 存在 e E且e , 使得
(1) 在( E e )上恒成立；(2) me .
则称 在E上几乎成立或基本成立.
注 : 若 在E上几乎处处成立, 则 在E上几乎成立. 反之不成立.
三.可测函数各种收敛之间的关系
下面都假设 f , f n (n 1,2,, )是定义在可测集E上 a.e.有限的可测函数.

1. 几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系
定理1：若 f n f a.u. 于E, 则 f n f a.e. 于E.
注: 定理1表明几乎一致收敛比几乎处处收 敛强
证明： 由于 f n f a.u.于E , 于是k , ek E且ek ,

不依测度收敛
0, 使得mE 0 [| f n f | ]不收敛于 0, 0, N 0, n N , 使得mE[| fn f | ]
依测度收敛
0, 有 lim mE[| f n f | ] 0
n
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]

1
注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制
0.8
0.6
fn(x)=xn
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
⑶几乎处处收敛: 记作 f n f a.e.于E (almost everywhere）
E[ f n f ] 0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
⑷几乎一致收敛:记作 f n f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
0, 可测子集e E, m e , 使得f n在E E e上一致收敛于 f
0, 可测子集e E, m e , 0, N 0, n N , x E e, 有 | f n ( x) f ( x) |
下面证明引理
n1 由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：
E E[| f | ] ( E[| f n | ] )
*

f n f a.e.于E mE [ f n f ] 0 m( E[| f n f | 1 ] ) 0
证明：由于 f n f a.u.于E , 则 0, e E且e ,
使得 1) { f n }在 E e 上一致收敛 f ; 2) me .
于是 0, N , 当 n N 时, x E e , 恒有
| f n ( x) f ( x) |
注: 黎斯定理只是说明依测度收敛的函数列存在几 乎处处收敛的子函数列，并不能保证整个函数列几 乎处处收敛，而且我们完全可以找到一个依测度收 敛但不是几乎处处收敛的函数列.
如教材P92
Riesz定理的证明
由f n f 于E , 可知k , N k 0, n N k , 有mE[| fn f | 1 ] 证明： 2k
2
k 1
1
从而可取得n1< n2< n3<…< nk<…，使得
mE[| fn
k
f | 1 ]
2k
2
k 1
1
(k 1, 2,3,)
故f nk f a.e.于E
f | k 1 2N
1 2k
1 当 故对任意ε>0， 2N 时,有
m( E[| f n
k N k N
n
1 k
{x : f n ( x)不收敛于f ( x)} {x :| f n ( x) f ( x) | 1 k}
k 1 N 1 n N



1 fn ( x)不收敛f ( x) : 1 1, N 1, n N , 使 | f ( x ) f ( x ) | n k k
N
lim m( E[| f n f | ] ) m( lim （ E[| f n f | ]） ) m( E[| f n f | ] ) 0
n N N n N N 1 n N




下证 Egoroff 定理
由引理知: 0, 有 lim m( E[| f n f | ] ) 0
0.4
0.2
例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛
0.2
0.4
0.6
1-δ
0.8
1
定理2： (叶果洛夫(Egoroff)定理)
设 mE ,
若 f n f a.e.于E, 则 f n f a.u.于E
f n f 于E
存在几乎一致 收敛的子列
f n f a.u.于E
证明这个引理要用到下面的结论
{x : lim f n ( x) f ( x)} {x :| f n ( x) f ( x) | 1 k}
n k 1 N 1 n N
lim f n ( x) f ( x) : 1 k 1, N 1, n N , 有 | f n ( x ) f ( x ) |
N n N

从而 0, 1 k 0, N k 0, 有m( E[| f n f | 1 ] )
n N k
k

2k
令e ( E[| f n f | 1 ] ), 则e可测，e E且
k 1 n N k
k


me m( E[| f n f | 1 ] )
即 0, 可测子集e E , m(e ) , 使得 f n在 E E e 上一致收敛于 f.
证明：首先证明一个引理.
引理：
设 mE ,
N n N
若f n f a.e.于E ，则 0, 有 lim m( E[| fn f | ] ) 0

f | ] k
) m( E[| f n
kN
2k k 1 kN 2

]
) 对Riesz定理证明
的说明：其实从 证明中的(*)式我 们可看出
f nk f a.u.于E
m( E[| f n
N
k
) f | 1 ]
1

从而 lim m( E[| f nk f | ] ) 0 (*)
⑸依测度收敛: 记作
n
f n f于E
0, 有 lim mE[| f n f | ] 0
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]
注：从定义可看出，
几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何
k 1 n N k
k



k k 1 2
,
而E E e E e ( E[| f n f | 1 ] )
c k 1 n N k
k


故 1 k ，N k ，n N k ，x E ，有 | f n ( x) f ( x) | 即{ f n ( x)}在上E 一致收敛到f ( x)
如：狄利克雷函数是几乎连续的，但不是几乎 处处连续.
二. 可测函数列的几种收敛定义
⑴点点收敛: 记作
fn f 于 E
x E, 0, N x 0, n N x , 有 | f n ( x) f ( x) |
⑵一致收敛: 记作 f n f 0, N 0, n N , x E, 有 | f n ( x) f ( x) |