山西省朔州市右玉一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年山西省朔州市右玉一中高一（下）期中数学试卷
（文科）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分）
1．函数的定义域是（）
A． B．
C． D．
2．函数y=（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点为（）
A．1，2，3 B．1，﹣1，3 C．1，﹣1，﹣3 D．无零点
3．在如下的程序框图中，输出S的值为（）
A．62 B．126 C．254 D．510
4．已知=﹣5，那么tanα的值为（）
A．﹣2 B．2 C．D．﹣
5．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
6．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）
A．y=3sin（x+）B．y=3sin（x+）
C．y=3sin（x+）D．y=3sin（x+）
7．函数的图象（）
A．关于点（﹣，0）对称B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线对称
8．已知点，则与向量同方向的单位向量是（）
A．B．C．D．
9．若向量、满足=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（）A．45°B．60°C．120°D．135°
10．已知向量，满足||=1，|+|=，，则||=（）
A．2 B．3 C．D．4
11．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．已知，则值为．
14．f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则x＜0时f（x）=．
15．已知是夹角为120°的单位向量，向量=t+（1﹣t），若⊥，则实数
t=．
16．已知向量与的夹角为120°，若向量=+，且⊥，则=．
三.解答题
17．已知，求sinα﹣cosα的值．
18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ．
（1）求的值；
（2）求m的值．
19．函数在同一个周期内，当时y取最
大值1，当时，y取最小值﹣1．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．
20．已知函数f（x）=
（1）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并证明你的结论．
（2）求出函数f（x）在[﹣3，﹣1]上的最大值与最小值．
21．已知=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），且与平行．
（1）求x，y的关系；
（2）若与垂直，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
22．在平面直角坐标系中，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，
t）．
（1）若，且为坐标原点），求向量；
（2）若向量与向量共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求．
2017-2018学年山西省朔州市右玉一中高一（下）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分）
1．函数的定义域是（）
A． B．
C． D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．
【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴，k∈Z．
故选D．
2．函数y=（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点为（）
A．1，2，3 B．1，﹣1，3 C．1，﹣1，﹣3 D．无零点
【考点】函数的零点．
【分析】函数y=（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点即对应方程的根，故只要解三次方程即可．【解答】解：函数y=（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）=（x﹣1）（x﹣3）（x+1），
令y=0，解得x=1或x=3或x=﹣1，
所以函数y=（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点是1，3或﹣1
故选B．
3．在如下的程序框图中，输出S的值为（）
A．62 B．126 C．254 D．510
【考点】程序框图．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=22+22+…+26
【解答】解：根据流程图所示
该程序的作用是累加并输出S
∵S=22+22+…+26=126
故答案为B
4．已知=﹣5，那么tanα的值为（）
A．﹣2 B．2 C．D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，
得=﹣5，
∴tanα=﹣．
故选D．
5．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，结合A∈（0，π）得到A为钝角，由此可得△ABC是钝角三角形．
【解答】解：∵sinA+cosA=，
∴两边平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，
∵sin2A+cos2A=1，
∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，
∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，
∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形
故选：B
6．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）
A．y=3sin（x+）B．y=3sin（x+）
C．y=3sin（x+）D．y=3sin（x+）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】首先根据函数的图象确定函数的最值，进一步求出函数的周期及ω，再根据函数的最值确定φ，最后求出函数的解析式．
【解答】解：根据函数的图象，得知：A=3，
T=2（5﹣1）=8，
所以：ω=
当x=1时，f（1）=3，0＜φ＜π，
解得：φ=，
所以函数的解析式：f（x）=3sin（）
故选：A
7．函数的图象（）
A．关于点（﹣，0）对称B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线对称
【考点】正弦函数的图象．
【分析】函数是非奇非偶函数，故排除B和C，又时，函数值不是最值，故排除D；
令2x+=kπ，k∈z，可得函数的对称中心为（，0），从而得到结论．
【解答】解：由于函数是非奇非偶函数，故排除B和C．
又时，函数值不是最值，故排除D．
对于函数，令2x+=kπ，k∈z，可得
x=，k∈z，故函数的对称中心为（，0），k∈z，
故选A．
8．已知点，则与向量同方向的单位向量是（）
A．B．C．D．
【考点】单位向量．
【分析】利用向量的坐标运算、模的计算公式、单位向量即可得出．
【解答】解：∵=，
∴=．
∴与向量同方向的单位向量===．
故选：C．
9．若向量、满足=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（）A．45°B．60°C．120°D．135°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】先设向量与的夹角为θ，有两向量（）、的坐标，可得的坐标，可得的模，由数量积的意义，可得cosθ的值，进而有θ的范围，可得答案．
【解答】解：根据题意，向量与的夹角为θ，
=（2，﹣1），=（1，2），
则=（）﹣=（1，﹣3），
可得||=，||=，
cosθ==﹣，
又有0°≤θ≤180°，
则θ=135°，
故选D．
10．已知向量，满足||=1，|+|=，，则||=（）
A．2 B．3 C．D．4
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】把|+|=平方，然后由数量积得运算可得+﹣6=0，解之即可．
【解答】解：∵|+|=，∴，
展开可得，
故+﹣6=0，分解因式可得，
解得||=2
故选A
11．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．
【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．
12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的
一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．
【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵=2，=，
∴=，
∴λ=，
故选A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．已知，则值为．
【考点】诱导公式的作用．
【分析】由于+=π，利用互为补角的诱导公式即可．
【解答】解：∵+=π，sin（π﹣α）=sinα，
∴sin=sin（π﹣）=sin，
又，
∴=．
故答案为：．
14．f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则x＜0时f（x）=sin2x﹣cosx．【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，适合x＞0时的解析式，求得f（﹣x）再由f（x）为奇函数，求得f（x）．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
又因为x＞0时，f（x）=sin2x+cosx
的以f（﹣x）=cosx﹣sin2x
又因为f（x）为奇函数，
所以f（x）=﹣f（﹣x）=sin2x﹣cosx
故答案为：sin2x﹣cosx
15．已知是夹角为120°的单位向量，向量=t+（1﹣t），若⊥，则实数t=
．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由已知得=[t+（1﹣t）]=0，由此能求出实数t．
【解答】解：∵是夹角为120°的单位向量，
向量=t+（1﹣t），⊥，
∴=[t+（1﹣t）]
=t+（1﹣t）
=t•cos120°+1﹣t=1﹣，
解得t=．
故答案为：．
16．已知向量与的夹角为120°，若向量=+，且⊥，则=．
【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】从问题来看，应是数量积运算，所以应从⊥入手，再将量=+，代入，即转化为只与向量，有关，再用其夹角条件得解．
【解答】解：由题意知•=||||cos120°=﹣||||．
又∵⊥，
∴（+）•=0，
∴2+•=0，
即||2=﹣•=||||，
∴=．
故答案为：
三.解答题
17．已知，求sinα﹣cosα的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由tanα的值及α的范围，根据正弦、余弦函数的图象得到sinα和cosα都小于0，然后利用同角三角形函数间的基本关系切化弦得到一个关于sinα和cosα的关系式，根据sinα和cosα的平方和等于1得到另一个关系式，两关系式联立得到一个方程组，求出方程组的解即可得到sinα和cosα的值，代入所求的式子中即可求出值．
【解答】解：∵，
∴sinα＜0，cosα＜0，
由，解得：，
∴．
18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ．
（1）求的值；
（2）求m的值．
【考点】三角函数的化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】首先根据韦达定理得出sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=（1）化简原式并将相应的
值代入即可；（2）利用（sinθ+cosθ）2=1+2sinθ•cosθ，并将sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，代入即可求出m的值．
【解答】解：依题得：sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=；
∴（1）；
（2）（sinθ+cosθ）2=1+2sinθ•cosθ
∴
∴m=．
19．函数在同一个周期内，当时y取最
大值1，当时，y取最小值﹣1．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【分析】（1）通过同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．求
出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=f （x）的图象，确定函数解析式．（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a （0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．
【解答】解：（1）∵，
∴ω=3，
又因，
∴，又，得
∴函数；
（2）y=sinx的图象向右平移个单位得的图象，
再由图象上所有点的横坐标变为原来的．纵坐标不变，得到
的图象，
（3）∵的周期为，
∴在[0，2π]内恰有3个周期，
∴在[0，2π]内有6个实根且
同理，，
故所有实数之和为．
20．已知函数f（x）=
（1）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并证明你的结论．
（2）求出函数f（x）在[﹣3，﹣1]上的最大值与最小值．
【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）函数f（x）=在（﹣∞，0）上单调递增，利用导数法易证得结论；
（2）由（1）得函数f（x）=在[﹣3，﹣1]上单调递增，分别将x=﹣3和x=﹣1代入可得函数的最小值和最大值．
【解答】解：（1）函数f（x）=在（﹣∞，0）上单调递增，理由如下：
∵f′（x）=，
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）=在（﹣∞，0）上单调递增；
（2）由（1）得函数f（x）=在[﹣3，﹣1]上单调递增，
故当x=﹣3时，函数取最小值，当x=﹣1时，函数取最大值．
21．已知=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），且与平行．
（1）求x，y的关系；
（2）若与垂直，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）运用向量的坐标，平行关系的条件求解．
（2）根据垂直，和平行求出x，y的值，运用几何图形特点求解面积．
【解答】解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），
∴=（4+x，y﹣2）
∵与平行，∴=x•（y﹣2）﹣y•（4+x）=0
即x+2y=0
（2）∵=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），与垂直，
∴•=0，即（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0
即y=﹣1，x=2，或y=3，x=﹣6，
当=（6，1），=（2，﹣1），=（﹣2，﹣3），=（6，﹣3）时，
||=，||==3，||=，
COSB==﹣，sinB=，h=
四边形ABCD为（）=4+，
当=（6，1），=（﹣6，3），=（﹣2，﹣3），=（﹣2，1）时，
COSB==，sinB=，h=
四边形ABCD为（）=4+，
综上：四边形ABCD为（）=4+，
22．在平面直角坐标系中，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，
t）．
（1）若，且为坐标原点），求向量；
（2）若向量与向量共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据所给的点的坐标写出向量的坐标，根据两个向量垂直数量积为零，得到一个关于变量的方程，题目另一个条件是两个向量模长之间的关系，列出方程解出结果．
（2）根据向量共线的充要条件，写出变量之间的关系式，根据二次函数的最值特点得到结果，求出变量的值写出向量的数量积．
【解答】解：（1）∵点A（8，0），B（n，t），
∴，
∵，
∴，
得n=2t+8．
则，又，．
∴（2t）2+t2=5×64，
解得t=±8，
当t=8时，n=24；当t=﹣8时，n=﹣8．
∴或．
（2）∵向量与向量共线，
∴t=﹣2ksinθ+16，．
∵k＞4，
∴，
故当时，tsinθ取最大值，有，得k=8．
这时，，k=8，tsinθ=4，得t=8，则．
∴．
2018年6月6日。