实变函数第三版复习要点及习题

第一章集合

集合的运算（尤其集合列的交集与并集的运算；

集合列极限的计算；

基数（或势）的概念；

可数集的概念、性质及判别方法（会证明），常见的可数集；

不可数集（具有连续基数）的概念、性质，常见的具有连续基数的集合。

课后习题：7,9,10,11,12,13,15,17

第二章点集

◆集合间的距离；

◆几种特殊的点及其之间的关系、求法：聚点、内点、界

点、孤立点；

◆几种特殊的点集的概念、性质及计算：开核、边界、导

集、闭包；

◆开集、闭集、完备集的概念、性质，会证明一个集合是

开集或闭集；

◆直线上开集构造定理；

◆康托集（Cantor）的概念、性质；

◆课后习题：1,2,3,4,5,6,7,8,11

第三章测度论

●外测度的概念及性质；

●测度的概念及性质；

●常见的可测集类；

●可测集与开集、闭集、型集和型集的关系

●可测集相关理论的证明

●一些特殊可测集测度的计算

●课后习题：1,2,5,6,8

第四章可测函数

⏹可测函数的定义及性质

⏹常见的可测函数

⏹可测函数与简单函数、连续函数的关系

⏹三大收敛及其之间的关系

⏹可测函数相关理论的证明

⏹课后习题：1,4,6,7,8,9,10,11

第五章积分论

勒贝格积分的背景、定义方法

勒贝格积分的性质：注意条件和结论

勒贝格可积的条件

三大极限定理：Levi定理；Fatou引理；

Lebesgue控制收敛定理

三大极限定理的应用

Lebesgue积分的几何意义及Fubini定理

习题：2,3,5,6,7,11,12,20

计算题