实变函数复习题
实变函数本科试题及答案
实变函数本科试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 实数集R上的开区间(a, b)是一个开集，这是因为它满足：A. 任意点的邻域性质B. 包含所有有理数C. 包含所有整数D. 包含所有实数答案：A2. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 空集B. (0, 1)C. 整数集ZD. 实数集R本身答案：C3. 一个函数在某点连续的充要条件是：A. 在该点导数存在B. 该点的左极限等于右极限C. 在该点的极限存在且等于函数值D. 在该点的振幅为零答案：C4. Lebesgue可测集的定义是基于：A. 开区间B. 闭区间C. 开集D. 半开半闭区间答案：A5. 如果一个实值函数在区间[a, b]上单调增加且有界，则根据Weierstrass定理，该函数必定：A. 有最大值和最小值B. 仅在有限点处不连续C. 仅在至多可数点处不连续D. 在区间[a, b]上连续答案：A6. 一个函数在某点的导数为0，这意味着该点是函数的：A. 驻点B. 极值点C. 拐点D. 渐近点答案：A7. 集合的外测度是：A. 集合所有开覆盖的体积的上确界B. 集合所有闭覆盖的体积的下确界C. 集合所有开覆盖的体积的下确界D. 集合所有闭覆盖的体积的上确界答案：A8. 如果一个函数在区间[a, b]上可积，则它的积分值：A. 必须为正B. 必须为负C. 可以是任意实数D. 必须为零答案：C9. 一个函数在某区间上一致连续的定义是：A. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值有界B. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值无界C. 函数在该区间的任意子区间上连续D. 函数在该区间的端点处的极限存在答案：A10. 根据Riemann积分的定义，如果一个函数在区间[a, b]上的积分存在，则：A. 该函数在该区间上必定连续B. 该函数在该区间上必定有界C. 该函数在该区间上必定单调增加D. 该函数在该区间上必定一致连续答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果函数f(x)在点x=c处的左极限为L，则记为______。
实变函数期末复习 试卷
nn
n→∞
An
= _________。
2 、 设 P 为 Cantor 集 ， 则 P =
， mP = _____ ，
得分 阅卷人
o
P = ________。
复查人
∑ 3、设 {Si } 是一列可测集，则
m
⎛ ⎜⎝
∞
∪
i=1
S
i
⎞ ⎟⎠
______
∞ i=1
mSi
4、鲁津定理：______________________________________________________
(B) mP = 0
(C) P' = P
�
(D) P = P
此 3、下列说法不正确的是（
）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设{ fn (x)} 是 E 上的 a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是(
)
线
（第 1页，共 24页）
_________________________________，则称 E 是 L可测的
4、叶果洛夫定理：
_________________________________________________________
5、设 f (x) 在 E 上可测，则 f (x) 在 E 上可积的
条件是| f (x) |在 E 上可
（C） f (x) 在[a, b] 上 L 可积
(D) f (x) 是有界变差函数
得分
二. 填空题(3 分×5=15 分)
1、设集合 N ⊂ M ，则 M − ( M − N) =
《实变函数》试卷及参考答案
《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
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《实变函数》 一、单项或多项选择题1、下列正确的是(234(3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24)(1) 无理数集是可数集；(2) 超越数构成的集合是不可数集；(3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等;(4) 0表示全体有理数集，则Q?。
也是可数集.3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则(2 3 n6、设几九 wM(X),则(12 3 4(3) /2 G M(X)7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1(1)若人 则£—/,心.;(1) A\(B\C) = (A\B)\C(2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC )(4)⑷B)\C = A\(BUC )(1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0}(4) A 为疏集4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集)(2)(3)任意可测函数/在A 上可积(4) 4为疏集5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3(1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数(3)/在上处处不连续(4) /在/?上为可测函数⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续(4)兀在［of 上非厶可积(2) 若九 T/,d.e.,则九(3) 若 f n —> f ,a.u.,则 f n T f ； (4) 若 f 厶 f,则£->/•,“.・9、若｛A“｝为降列,且 M = 2，贝(4 )n —>oc、“8 、(1) 0(2) 0(3) “U4(4) “CM1心10、有界实函数/在区间［G , /?］± Riemann 可积的充要条件是/的不连续点集为（ 4 ）11、设f eBV ［a,b ］f 则下列成立的是（1 416、超越数的个数为（3(1) 2 (2) a (3) c (4) 2C（1）空集（2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集(1) 于在［a 问上有界; (2) /在［a 问上连续; (3) /在［a 问上可微; (4) /是两个增函数Z 差.12、整数集 的内部和闭包分别为（1）（3） 0,(1) 0, (2) (4)13. 设/(%) =x,xe[0,l]2-x,x w(l ，2]' 令 A = <x\f(x)(1) 0(2) 1(3) 2(4)14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（3 ）(4)(1) 031O )XEB(2) 1 ，则（1(3) 2 ⑷3100,XG [0,1]\17、f G AC[0,1],/(O) = 2,Kf = 0,a.e , B'J/(x)=_318、 设A ，%是R 的可测集，且A 0A 2，则下列正确的是( 2 4 )(1)< mA.(2) mA l <mA 2(3) mA x -mA 2 =\ A 2)(4) mA x =777(71^X2) + mA 219、 当/在[1,+00)上连续且Lebesgue 可积时，则lim f(x)=1L7X->4<0(1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) +0020、 人2”-1=[°」]，A” =[°，2],(斤= 1,2,…)，则limA “和lim 人分别为" >1(I) [0,1],[0,2] ⑶[0,2],[0,1]21、下列正确的是(1 4 )(1) (4UB )\C =(A\C )U (B\C ) (3) A\(B\C) = (A\B)\C ⑵[0,1],[0,2](4) [0,2],[0,2](2) ACl(BUC) =(4nB )UC (4) (A\B)\C = A\(BUC ))⑵ r 1 2 3(Aus )=r ,(A )ur 1(5) ⑷ /-i (An5)=r i (A )ny 1(B )2 3 )24、 设人是[0,1]上所有有理数构成的集合，则川二(3 )(1) A (2) [0,l]\A (3) El(4)以上都不对25、 下列说法正确的是(12 3)1 A =(3) B = P 7(B )23、下列与 有相同基数的集合是( (1) [0,1] (2)3(4)(1) 0(2) 1 (3) 2 (4) 322、设f:X —X 是一个映射，4,B u X ,下列正确的是(2 4(2)上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（4） 的了集不是开集就是闭集 26、 下列正确的是（1 ） （1） 有理数集是可数集；（2） 代数数构成的集合是不可数集；（3） 若中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等,则它们的基数也相等; （4） ［0,2］内包含的点比［0,1］内包含的点多。
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集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
（第 7 页，共 19 页）
3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 （8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数 ，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题 （6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
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2页，共19页） 3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数 4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx 四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,xxfxx为无理数为有理数 ，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn 五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c
6页，共19页） 又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的 可测函数……………………..10分 《实变函数》试卷二 一.单项选择题（3分×5=15分） 1．设,MN是两集合，则 ()MMN=（ ） (A) M (B) N (C) MN (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点 (B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点 (C) 存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 （A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。 （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()fx是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积； (B) (),|()|,fxabRfxabR在可积在可积 (C) (),|()|,fxabLfxabR在可积在可积; (D) (),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11[,2],1,2,nAnnn，则nnAlim_________。 2、设P为Cantor集，则 P ，mP_____，oP=________。 3、设iS是一列可测集，则11______iiiimSmS 4、鲁津定理：__________________________________________ 5、设()Fx为,ab上的有限函数，如果_________________则称()Fx为,ab上的绝对连续函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。
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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数复习题(学生用)
实变函数复习题一、填空题1. 设10,1i A i ⎡⎫=+⎪⎢⎣⎭,1,2,.i = 则1i i A ∞== . 2. 若A =ℵ, B =ℵ, 则=⋃B A 。
3. 给出(1,1)-与(,)-∞+∞之间的一一对应关系 .4. 设222{(,):1}E x y R x y =∈+<, 则E '= 。
5. 设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间 。
6. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是开集.7. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是闭集.8. 设12,E E 为可测集，且21,E E ⊂2mE <+∞，则12()m E E -= 。
9. 设0x 为E 的内点，则*m E 0。
(填大于、等于或小于)10. 设Q 是有理数集，则mQ = 。
11. 设I 为n R 中的开区间，则*m I = 。
12. 设C 是Cantor 集，则mC = 。
13. 叙述可测函数的四则运算性 。
14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。
15. (鲁津定理)设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数,则0δ∀>,存在闭子集F E δ⊂,使()f x 在 上是连续函数,且()m E F δδ-<.16. 叙述伯恩斯坦定理 。
17．叙述可测集与开集的关系 。
18. 叙述测度的可数可加性 。
19. 叙述叶果洛夫定理 。
20. 叙述()k f x 在可测集E 上几乎处处收敛于)(x f 的定义 。
21. 叙述中开集的结构定理 。
22. 叙述R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义(即 C.Caratheodory 定义) 。
23. 叙述测度的可数可加性 。
24. 叙述可测函数的定义 。
25. 叙述F.Riesz 定理(黎斯定理) 。
二、单选题1. E 是实数全体，则E 是 ( )A. 可数集；B.不可数集；C.有限集；D.不可测集.2. 有限个可数集的并集是 ( )A.可数集；B.不可数集；C.有限集；D.以上都不对.3. 若A 是有限集或可数集,B 是不可数集, 则 ( )A. A B 是可数集；B. A B 是不可数集；C. 0A B =ℵ ；D. A B A = .4. 设{}G λλ∈Λ是一族开集,G G λλ∈Λ= , 则G 一定是 ( ) A. 开集; B. 闭集; C. G δ型集; D. 开集，也是闭集.5. 点集E ⊂R n 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A. 开核;B. 边界;C. 导集;D. 闭包.6. 设{}F λλ∈Λ是一族闭集,F F λλ∈Λ= ,则F 一定是 ( ) A.开集; B.闭集; C.F σ型集; D. 开集，也是闭集.7. 设{}n F 是一列闭集,1n n F F∞== ,则F 一定是 ( )A.开集;B.闭集;C.F σ型集;D. 开集，也是闭集.8. 设Q 是1中有理数全体，则mQ = ( )A.0;B.+∞;C.1;D.不存在.9. 关于Cantor 集P ,下述说法不成立的是A. P 无内点;B. P 中的点都为孤立点;C. P 中的点都为聚点;D. P 是闭集.10. 设E 是任一可测集, 则 ( )A.E 是开集; B ．E 是闭集;C.0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得()m G E ε-<; D ．E 是F σ型集或G δ型集.11. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊂⊂⊂⊂ ,则有 ( ) A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ;C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 12. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊃⊃⊃⊃ ,1mE <+∞,则有 ( )A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ; C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( )A. 简单函数一定是可测函数;B. 简单函数列的极限是可测函数;C. 简单函数与可测函数是同一概念;D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.14. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )A ．{}sup ()n nf x 是可测函数;B ．{}inf ()n nf x 是可测函数; C. 若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则()f x 是可测的; D ．若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则() ()n f x f x → a .e . 于E . 15. 若)(x f 是连续函数，则它必是. ( )A. 可测函数；B. 单调函数；C.简单函数；D.连续函数列的极限.16. 设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是 ( ) A.|)(|x f ； B.)(x f ； C.)(x f +； D.)(x f -。
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《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。
中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。
(完整版)实变函数期末复习
实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
实变函数复习资料,带答案
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
(完整版)实变函数期末复习
实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
实变函数期末考试题库
实变函数期末考试题库一、选择题1. 下列函数符合实变函数的定义的是：（）A. f(x) = x^2 - 5x + 6, x ∈ [0, ∞)B. f(x) = √(x + 2), x ∈ (-∞, 3]C. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0)D. f(x) = |x|, x ∈ R2. 实变函数的定义域是指函数所能取的值的范围。
下列函数的定义域是：（）A. f(x) = 2x + 1, x ∈ ZB. f(x) = √(x^2 - 4), x ∈ RC. f(x) = log(x), x ∈ (-∞, ∞)D. f(x) = 1/(x - 2), x ∈ R - {2}3. 下列函数中，连续性具有间断点的是：（）A. f(x) = 3x - 2, x ∈ (-∞, 10)B. f(x) = |x|, x ∈ RC. f(x) = {x^2, x < 0; 2x, x ≥ 0}, x ∈ RD. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0) U (0, ∞)4. 设f(x)和g(x)为两个实变函数，下列函数中不是实变函数的是：（）A. f(x) + g(x)B. f(x)g(x)C. f(x)/g(x), g(x) ≠ 0D. g(f(x))5. 若f(x)为实变函数，则下列函数中一定是实变函数的是：（）A. f(x)/xB. √f(x)C. ∣f(x)∣D. f(x + 1)二、填空题1. 若f(x)在x = a处连续，则f(x)在x = a处一定是__________函数。
答：连续2. 设f(x) = 2x^2 + bx +1，若f(x)在x = -1处连续，则b的取值范围是__________。
答：33. 设f(x) = (x - 1)/(x + 3) + e^x，则f(x)的定义域是__________。
答：(-∞, -3) U (-3, ∞)4. 设函数f(x) = |2x - 5|，则f(x)在点x = ________处不连续。
实变函数复习题
邢台学院数学系《实变函数》复习手册前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。
通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。
为以后学习其他课程打下良好的基础。
第一章集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。
为以后引入L积分打下了基础。
§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。
§2 集合的运算深刻理解并集或合集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。
§3 对等与基数1、掌握有限集、无限集、一一映射、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。
2、了解基数概念，会比较两个集的基数大小。
§4 可数集合与自然数集合N对等的集合称为可数集合。
1、任何无限集包含一个可数子集。
2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则是可数集合。
3、有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。
4、有理数全体是一可数集，代数数全体是一可数集。
§5 不可数集合1、实数集全体R不是可数集。
其基数记为c，称与R对等的集合具有连续基数。
2、任何区间具有连续基数，可数个c集的并是c集，实数列全体的基数是c。
3、不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。
练习题一、选择题：1、下列对象不能构成集合的是（）A、全体自然数B、0,1之间的实数全体C、上的实函数全体 D、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、{全体小个子}D、3、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、D、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、D、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体小孩子}B、{全体整数}C、D、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体大人}C、D、{全体整数}7、设，为全体实数，则（）A、B、C、D、8、设，，则（）A、B、C、D、9、设，，则（）A、B、C、D、10、设，，则（）A、B、C、D、11、设，，（）A、B、C、D、12、设，，（）A、B、C、D、13、设，则（）A、B、C、D、14、设，则（）A、B、C、D、15、设，则（）A、B、C、D、16、设，则（）A、B、C、D、17、设，则（）A、B、C、D、18、设，则（）A、B、C、D、19、设A、B、C是三个集合，则（）A、BB、AC、D、20、设A、B、C是三个集合，则（）A、B、C、D、21、设A、B、C是三个集合，则（）A、B、C、D、22、设A、B、S是三个集合，且，则（）A、B、C、D、23、设A、B、S是三个集合，（）A、B、C、D、24、设A、B、C是三个集合，则（）A、B、C、D、二、选择题1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若，则2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若A是一可数集，则3、若，则4、若，B是一可数集，则5、若，则6、若是一集合列，且，7、若是任意集族，其中I是指标集，则8、若是任意集族，其中I是指标集，则9、若是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则10、若是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则11、若是任意一个集合列，则12、若是任意一个集合列，则三、判断题（）1、。
实变函数复习题
一、计算或证明下面各题1、设n A 就是如下一点集: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+1212,012m A m ,，，...2,1,0=m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,，，...2,1=m 试确定{}n A 的上极限与下极限。
2、证明:m n m n n A ∞=∞=∞→= 1lim 与m nm n n A ∞=∞=∞→= 1lim 。
3、证明:单调集列就是收敛的,若{}n A 增加,则n n n n A A ∞=∞→=1lim ;若{}n A 减少, 则n n n n A A ∞=∞→=1lim 。
4、设{}n A 就是一列集合,作11B A =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ννB A B n n n 1 ,1>n 。
证明:{}n B 就是一 列互不相交的集,而且ννννA B ∞=∞==11 ,∞≤≤n 1。
5、设1F 、2F 就是1R 中两个互不相交的闭集。
证明:存在两个互不相交的开集1G 、2G ,使11F G ⊃、22F G ⊃。
6、证明:设1S 、2S 都可测,则21S S 也可则,并且当∅=j i S S 时,对于任意集合T 总有()[]()()2121S T m S T m S S T m ***+=。
7、证明:设{}i S 就是一列互不相交的可测集,则i i S ∞=1也就是可测集,且 ∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mS S m 。
8、证明:设E 就是任一可测集,则一定存在δG 型集G ,使E G ⊃,且()0=-E G m 。
9、设n S S S ,...,,21,就是一些互不相交的可测集合,n i S E i i ,...,3,2,1,=⊂。
求证:()n n E m E m E m E E E m ****+++=......2121 。
10、设A,B P R ⊂且+∞<B m *,若A 就是可测集,证明:）（B A m B m mA B A m **)(*-+=。
实变函数习题与解答
实变函数复习范围1．设1[,2(1)],1,2,n n A n n=+-=，则（ B ）(A) lim [0,1]n n A →∞= （B ）=∞→n n A lim (0,1] (C) lim (0,3]n n A →∞= （D ）lim (0,3)n n A →∞=2、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( A )A 、(-1, 1)B 、(-1, 0)C 、[0, 1]D 、[-1, 1]3、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( B )A 、(0, 1)B 、[0, 1]C 、（0, 1]D 、(0, +∞)4、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( C )A 、[1, 2]B 、(1, 2)C 、 (0, 3)D 、(1, 2]5、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( C )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、φD 、{0}6、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( D )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、ΦD 、{0} 7、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( C )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1) 8、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1] 9、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( C )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞) 10、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim (D )A 、(0, 1)B 、(0,n1) C 、{0} D 、Φ11、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( A )A 、ΦB 、(0,n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 12、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( A ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 13、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( C ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包14、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( D ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 15、E-E ＇所成的集合是 ( D )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点} 16、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( B ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 17、设点P 是集合E 的边界点, 则 (D )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点18、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）'[0,1]E = (B) oE =∅ (C) E =[0，1] (D) 1mE =19、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（A ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 20、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ D ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 21、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ D ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 22、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ B ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 23、下列集合不是可数集的是（ C ）A. 1R 中的有理数集QB. 自然数集NC. []0,1中的无理数集D. 1R 中互不相交的开区间族24、P 表示康托尔（cantor ）集，则mP ＝（ A ）A 、0B 、1C 、2D 、325、 集合列1{[0,],1,2,3,}n n=的上限集为 （ C ）A [0, 1]B φC {0}D [0, 1) 26、下列集合不是可数集的是（ C ） A. 1R 中的整数集Z B. 自然数集N C. []0,1中的Cantor 集 D. 1R 中互不相交的开区间族27、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ B ）A 、0B 、1C 、2D 、328、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ C ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -29、若)(x f 可测，则它必是（ D ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限 30、若QE -=]1,0[，则=mE （ B ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 31、下列说法不正确的是（ A ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、nR 的测度无限 32、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ A ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -33、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ C ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -34、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ D ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f35、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ D ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 36、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ C ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数37、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ A ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -38、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ C ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念39、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（ B ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -40、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ C ） A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f41、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ C ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 42、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ B ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积 B 、)(x f +与)(x f -皆可积 C 、)(x f +与)(x f -不一定可积 D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 43、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ C ） A 、)(x f 在E 上不一定可测 B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积 C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0 D 、)(x f 在E 上不可积 44、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（D ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数 45、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=1)()(dx x D L （ A ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在46、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ A ）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 147、 设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('48、设}{n E 是一列可测集， ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（ A ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫⎝⎛⋃lim 1（C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫⎝⎛⋂lim 1;（D ）以上都不对49、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ）(A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导 （C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数二 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B = 2n2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B = c3、若c A =, c B =, 则=⋃B A c4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A c5、若c A =, n B =, 则=⋃B A c6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 c7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m __n n mS ∞→lim ______。
实变函数复习题
实变函数复习题2013-2014-2实变函数复习题一、选择题1、()()\\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（）A 、AB ? B 、B A ?C 、A C ?D 、C A ? 2、设M 是任意一个集合，N 是M 的所有子集构成的集合，则它们的基数之间的关系是( )A 、M <n< p="">B 、M =NC 、M >ND 、不能判定3、设{F n }是一列闭集，1n n F F ∞==,则F 一定是( )A 、开集B 、闭集C 、开集，也是闭集D 、不能确定4、关于Cantor 集P ，下述哪个说法不．成立？（） A 、 P 无内点B 、P 的测度为0C 、 P 由可数个闭区间组成D 、P 是完备集5．设P 是Cantor 集，则（） A ．P 与R n对等，且P 的测度为0 B ．P 与R n对等，且P 的测度为1 C ．P 与R n 不对等，且P 的测度为0 D ．P 与R n 不对等，P 的测度为16.关于Cantor 集P ，下述哪个说法不成立？（）A.P 无内点B.P 中的点都为孤立点C.P 中的点都为聚点D.P 是闭集 7．有限个可数集的并集是（）A.有限集B.可数集C.不可数集D.无法确定 8. 任意个闭集的交集是( )A. 开集B.C. 既是开集，又是闭集D. 既不是开集，也不是闭集9、设E 是闭区间[0,1]中的无理点集，则（）A 、1mE =B 、0mE =C 、E 是不可测集D 、E 是闭集10．设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的闭包Q 是( ) A.Q B.φ C.RD.R ＼Q11、设E 是R 中无理数全体，则mE （）A.0B.1C.＋∞D.-∞12、设f(x)在E 上可测，则[;()]E x f x =-∞是( )A. 可测集B. 不可测集C. 空集D. 无法判定 13、设()f x 与()g x 在E 上可测，则[;()()]E x f x g x >是( )。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。
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1.若E有界,则m*E<正无穷
2.可数点集的外测度为零
3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c
4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En
5.若m*E=0，则E可测。
6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0
7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B）
8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e
9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。
10.设是一列可测集，证明和都是可测集且
11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0
12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A）
13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则
定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。
设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。
次可数可加性证明
卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限
1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？
2.设{fn}为E上可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测的。
散点集也是可测的。
3.设E是[0，1]中的不可测集，令问f（x）在[0，1]上是否可测？|f（x）|是否可测？
4.设fn（x）（n=1，2，...）是E上a.e.有限的可测函数列，而{fn}a.e.收敛于有限函数f，则对任意的e>0存在常数c与可测集E0包含于E，m（E\E0）<e,使在E0上对一切n有|fn（x）|<=c.这里mE<无穷。
6.设f（x）是（负无穷，正无穷）上的连续函数，g（x）为[a，b]上的可测函数，则f（g（x））是可测函数。
7.设函数列fn（x）（n=1，2，...）在有界集E上“基本上”一致收敛于f（x），证明{fn}a.e.收敛于f。
，叶果洛夫逆定理
8.试证明鲁津定理的逆定理成立。
鲁津定理
9.设函数列{fn}在E上依测度收敛于f，且fn（x）<=g（x）a.e.于E，n=1，2，...。
试证f（x）<=g（x）在E上几乎处处成立。
10.设在E上fn（x）推出f（x），且fn（x）<=fn+1（x）几乎处处成立，n=1，2，...，则几乎处处有fn（x）收敛于f(x)。
11.设在E上fn（x）推出f（x），而fn（x）=fn（x）a.e.成立，n=1，2，...，则有gn（x）推出f（x）
12.设mE<正无穷，证明：在E上fn（x）推出f（x）的充要条件是，对于{fn}的任何子函数列{fnk}，存在{fnk}的子函数列{fnkj}，使得 a.e.于E
13.设mE<无穷，几乎处处有限的可测函数列fn（x）和gn（x），分别依测度收敛于f（x）和g（x），证明
叶果洛夫定理
例3：设E包含于R1，f（x）是E上a.e.有限的可测函数。
证明：存在定义在R1上的一列连续函数{gn}，使得极限gn（x）=f（x）a.e.与E。
定理3：设fn（x）依测度收敛于f（x），fn（x）依测度收敛于g（x），则f（x）=g（x）在E 上几乎处处成立。
设{fn（x）}是E上一列可测函数，则F（x）=也在E上可测，特别当存在时，它也在E 上可测。
可测函数与简单函数的关系
若f（x）在E上非负可测，则存在可测简单函数列是的对任意
若f（x）在E上可测，则存在可测简单函数列，使得对任意若f（x）还在E上有界，则上述收敛可以是一致的。
勒贝格里斯定理
2.设在康托尔（Cantor）集P0上定义函数f（x）=0，而在P0的余集中长为1/3^n的构成区间上定义为n，试证f(x)可积分，并求出积分值。
3.设E可测，f（x）在E上可积，en=E（|f|>=n）则n*men在n的极限=0
6.设{fn}为E上非负可积函数列，若则f(x)依测度收敛与0.
7.设mE<无穷，{fn}为a.e.有限可测函数列。
证明：的充要条件是fn（x）依测度收敛与0 9.设由[0,1]中取出n个可测子集E1,E2,...,En，假定[0，1]中任一点至少属于这n个集中的q 个，试证必有一集，它的测度大于或等于q/n。
10.设mE不等于0，f（x）在E上可积，如果对于任何有界可测函数，都有则f（x）=0a.e.于E。
11.证明：
12.试从1/1+x=(1-x)+(x^2+x^3)+...,0<x<1求证ln2=1-1/2+1/3-1/4+...
14.求证
17.设f（x），fn（x）都是E上的可积函数，极限fn（x）=f（x）a.e.于E，且试证，在任意可测子集e包含与E上，都有
在一般情况下L积分并不是R反常积分的推广，主要是因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。
设f（x）是[a，b]上的一个有界函数，则f（x）在[a,b]上R可积的充要条件为f（x）在[a,b]上a.e.连续，即f（x）的不连续点全体成一零测度集。
设f（x）是[a，b]上的一个有界函数，若f（x）在[a,b]上R可积，则f（x）在[a,b]上L可积，且
设f属于L[a,b]，则对于任意的e>0,存在g属于C[a，b]，使得
列维定理levi设为可测集，为E上的一列非负可测函数，当x属于E时对于任一自然数n，有fn（x）<=fn+1（x），令则
法图引理fatou
一般可测函数的勒贝格积分（做题用）
积分的绝对连续性
设为可测集则对于任意的存在使得对于任意的可测集，只要mA<就有
勒贝格控制收敛定理：设为可测集为E上的一列可测函数。
F是E上的非负L可积函数，如果对于任意的自然数n
设为可测集，f和fn都是E上的可测函数，F是E上的非负L可积函数，如果|fn（x）|<=F （x）a.e.与E且
推论：设E mE<正无穷，f和fn都是E上的可测函数，如果存在M>0使得对于任意的自然数
n，|fn（x）|<=Ma.e.于E且。