实变函数测试题与答案

实变函数试题

一，填空题

1. 设1

,2n A n ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

,

1,2

n =, 则lim n n A →∞

= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为

3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0

x y x x ⎧

≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的

集合，则E '= ，E ︒

= .

4. 若集合n

E R ⊂满足E E '⊂, 则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:

, .

6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则

mE = .

7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上 .

8. ）

9.

设n

E R ⊂, 0n

x R ∈,若 ,则称0x 是

E 的聚点.

10. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是

E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有

, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .

11. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}

()j n f x , 使得 .

二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.

3. 点集11,2,

,E n

⎧

⎫

=⎨⎬⎩

⎭

的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.

5. 若n

E R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. '

三, 计算证明题

1. 证明:()()

()A B C A B A C --=-

2. 设M 是3

R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.

3. 设n

E R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集, 1,2

i =.根据题意, 若

有

()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.

4. 设P 是Cantor 集, (

)[]3

2ln 1,(),0,1x x P f x x x P

⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.

求1

0(L)()f x dx ⎰.

5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3

x , 而在0P 的

余集中长为13n 的构成区间上取值为1

6

n , ()1,2n =, 求

1

()f x dx ⎰

.

6. 求极限: 1

3

230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.

！

实变函数试题解答

一 填空题 1. []0,2.

2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b a π

πϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦

3. {}

1(,)cos ,0(0,)

1x y y x y y x ⎧⎫

=≠≤⎨⎬⎩⎭

; ∅.

4. 闭集.

5. (),.,.G G G αβαβ⊂ ∉ ∉

6. b a -.

7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对0

00,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.

9.#

10.

lim ()()0n n mE f x f x σ→∞

⎡-≥⎤=⎣⎦

11. ()()n f x f x → a.e.于E . 二 判断题

1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但

1mA mB ==.

2. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点.

3. F . 由于{}0E E '=⊄.

4. F . 例如, 在1R 中, 1

1,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

, 3,4n =是一系列

的闭集, 但是

3

(0,1)n n F ∞

==不是闭集.

5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,

使得E I ⊂, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*

m E =+∞ .

三, 计算证明题. 1. 证明如下:

·

()()

()

()()

()()()

S

S

S S S A B C A B C

A

B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-

2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.

3. 令1i i B B ∞

==, 则i E B B ⊂⊂且B 为可测集, 于是对于i ∀, 都有i B E B E -⊂-, 故

()()**0i m B E m B E ≤-≤-,

令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而

()E B B E =--可测.

4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则

()1

320

221

1

30

(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()13

3

P

G

G

P

G

f x dx x dx x dx

f x dx

x dx x dx

f x dx

x

=++ =0+ =+ = =

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

…

5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2

G ,

其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为1

3

n 的构成

区间(共有1

2

n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到

题中的00mP =, 可得