曹显兵.概率论讲义(打印版)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
.
.
第一讲 随机事件与概率
考试要求
1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.
2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.
3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型
1.试验,样本空间与事件.
2.古典概型:设样本空间Ω为一个有限集,且每个样本点的出现具有等可能性,则 基本事件总数
中有利事件数
A A P =
)
(
3.几何概型:设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性,则
、体积)Ω的度量(长度、面积、体积)A的度量(长度、面积=
)(A P
【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. (1) 一次取3个;
(2) 一次取1 个, 取后不放回; (3) 一次取1个, 取后放回.
【例2 】从 (0,1) 中随机地取两个数,试求下列概率: (1) 两数之和小于1.2; (2) 两数之和小于1且其积小于
16
3. 一、 事件的关系与概率的性质
1. 事件之间的关系与运算律(与集合对应), 其中特别重要的关系有: (1) A 与B 互斥(互不相容) ⇔ Φ=AB (2) A 与B 互逆(对立事件) ⇔ Φ=AB ,
Ω=B A
(3) A 与B 相互独立⇔ P (AB )=P (A )P (B ).
⇔ P (B|A )=P (B ) (P (A )>0). ⇔(|)(|)1P B A P B A += (0
⇔P (B|A ) =P (B|A ) ( 0 < P (A ) < 1 )
注: 若(0
0)
⇔ 1)|()|(=+B A P B A P (0
(4) A, B, C 两两独立 ⇔ P (AB )=P (A )P (B );
P (BC )=P (B )P (C ); P (AC )=P (A )P (C ).
(5) A, B, C 相互独立 ⇔ P (AB )=P (A )P (B );
2 / 3
P (BC )=P (B )P (C ); P (AC )=P (A )P (C ); P (ABC )=P (A )P (B )P (C ).
2. 重要公式 (1) )(1)(A P A P -=
(2)
)()()(AB P A P B A P -=-
(3) )()()()(AB P B P A P B A P -+=
)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=
(4) 若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===n
i i n
i i
A P A
P 1
1
)()(
.
(5) 若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(
11i
n i n i i
A P A P ∏==-= )](1[11
i
n
i A P ∏=--=.
∏===n
i i n i i A P A P 1
1
)()( .
(6) 条件概率公式: )
()
()|(A P AB P A B P =
(P (A )>0)
【例3】 已知(A +B )(B A +)+B A B A +++=C, 且P ( C )=
3
1
, 试求P (B ). 【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC =Φ, P (A )=P (B )=P (C )<
2
1,且已知9()16P A B C =, 则
P (A )= .
【例5】 设三个事件A 、B 、C 满足P (AB )=P (ABC ), 且0
(A )P (A B|C )=P (A|C )+ P (B|C ). (B )P (A B|C )=P (A
B ).
(C )P (A
B|C )=P (A|C )+ P (B|C ). (D )P (A
B|C )=P (A
B ).
【例6】 设事件A, B, C 满足条件: P (AB )=P (AC )=P (BC )18=
, P (ABC )=1
16
, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 .
【例7】 设事件A, B 满足 P (B| A )=1则
【 】
(A ) A 为必然事件. (B ) P (B|
A )=0.
(C ) A B ⊃. (D ) A B ⊂.
【例8】 设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0
B A +与
C . (B ) AC 与C
(C )
B A -与
C (
D ) AB 与C
【例9】 设A ,B 为任意两个事件,试证
P (A )P (B )-P (AB ) ≤ P (A -B ) P (B -A ) ≤
4
1. 三、乘法公式,全概率公式,Bayes 公式与二项概率公式 1. 乘法公式: