2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学
参考答案与解析
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=
A 、0
B 、
C 、1
D 、
【答案】C
【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x 2
-x-2>0}，则A =
A 、{x|-1<x<2}
B 、{x|-1
x
2}
C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}
D 、{x|x -1}∪{x|x 2}
【答案】B
【解析】由题可得C R A={x|x 2
-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}
【考点定位】集合
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是：
A、新农村建设后，种植收入减少。

B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A
【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，
【考点定位】简单统计
4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A、-12
B、-10
C、10
D、12
【答案】B
【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:
2d+3a1=0 ; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10
【考点定位】等差数列求和
5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的
切线方程为：
A、y=-2x
B、y=-x
C 、y=2x
D 、y=x 【答案】D
【解析】f （x ）为奇函数，有f （x ）+f （-x ）=0整理得: f （x ）+f （-x ）=2*(a-1)x 2
=0 ∴a=1 f （x ）=x 3
+x
求导f ‘（x ）=3x 2
+1 f ‘（0）=1 所以选D
【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数 6、在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=
A 、--
B 、--
C 、-+
D 、- 【答案】A
【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=
AC 2
1
AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=
AC 4
1AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 4
1AB 43）AC 41AB 41（-
AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A 、
B 、
C 、3
D 、2 【答案】B
【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在
4
1
圆周处。

∴最短路径的长度为AB=√22+42
【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径
8.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，
则·=
【答案】D 【解析】
抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F(1,0) 直线MN 的方程: ）2（3
2
y +=x
消去x 整理得：y 2
-6y+8=0 ∴y=2 或y=4 M 、N 的坐标（1，2），（4，4）
则
·
=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8
【考点定位】抛物线焦点 向量的数量积 如果消去Ｘ，计算量会比较大一些，您不妨试试。

A
A
B
9.已知函数f （x ）=g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的
取值范围是 A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】
根据题意：f(x)+x+a=0 有两个解。

令M(x)=-a, N(x)=f(x)+x ={e e
+e e ≤0eee +e e >0
分段求导：N‘(x)=f(x)+x ={e e +1>0 e ≤0
1e
+1>0 e >0 说明分段是增函数。

考虑极限位置，图
形如下：
M(x)=-a 在区间(-∞，+1]上有2个交点。

∴a 的取值范围是C. [-1，+∞）
【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。

此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。

直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC. △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。

在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A.p
1=p
2
B.p
1=p
3
C.p
2=p
3
D.p
1=p
2
+p
3
【答案】A
【解析】
整个区域的面积： S1+S半圆BC= S半圆AB+ S半圆AC+S△ABC
根据勾股定理，容易推出S半圆BC= S半圆AB+ S半圆AC
∴S1= S△ABC 故选A
【考点定位】古典概率、不规则图形面积
11.已知双曲线C： -y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=
A.
C.
【答案】B
【解析】
右焦点,OF=√3+1==2，
渐近线方程y=±√3
3
x ∴∠NOF=∠MOF =30°
在Rt△OMF中，OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30°√3
在Rt△OMN中，MN=OM∗tan∠eee=√3*tan(30°+30°)=3【考点定位】双曲线渐近线、焦点
M
F
N o
概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。

如果用解方程，计算量很大。

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=√2
2
截面面积S=6×√34
×（√2
2
）2=
【考点定位】立体几何 截面
【盘外招】交并集理论：ABD 交集为√3，AC 交集为 3
4，选A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x ，y 满足约束条件
则z=3x+2y 的最大值为 .
【答案】6
【解析】
当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Z max=3*2+0=6
【考点定位】线性规划（顶点代入法）
14.记S n为数列｛a n｝的前n项和.若S n=2a n+1，则S6= .
【答案】-63
【解析】
S1=2a1+1=a1 ∴a1=-1
n>1时，S n=2a n+1，S n-1=2a n-1+1 两式相减：S n-S n-1= a n=2a n-2a n-1 ∴a n=2a n-1
a n=a1×2n-1= （-1）×2n-1
∴S6=（-1）×（26-1）=-63
【考点定位】等比数列的求和
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】
C21C42+C22C41=2×6+1×4=16
【考点定位】排列组合
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .
【答案】
−3√32
【解析】
f （x ）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)
考虑到f （x ）为奇函数，可以求f （x ）最大值.将f （x ）平方：
f 2（x ）=4sin 2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)×（（3-3cosx ）
+3(1+cosx))/4）4
=
34 ×（46）4=4
27
当3-3cosx=1+cosx 即cosx =12
时，f 2
（x ）取最大值
f （x ）min =
−3√32
【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用 【其他解法】：１．求导数解答
２．f （x ）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。

三.解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5. （1）求cos∠ADB ； （2）若DC =
，求BC .
【答案】
【解析】（1）在△ABD 中，由正弦定理得BD
sin∠e =AB
sin∠eee ∴sin∠ADB =ABsin ∠ADB/BD=√2
5
由题设可知，∠ADB<90°∴ cos∠eee =√1−225=√23
5
(2)由题设及（1）可知cos ∠BDC= sin∠ADB =√2
5
在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2
=BD 2
+DC 2
-2BD ×DC ×cos ∠BDC
=25+8-2×5×
×
√2
5
=25 ∴BC=5
【考点定位】正弦定理 余弦定理
18.（12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把∆DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
【答案】
【解析】（1）由已知可得PF ⊥BF ，BF ⊥EF ∴BF ⊥平面P EF 又BF 在平面ABFD 上 ∴平面PEF ⊥平面ABFD
(2) PH ⊥EF ，垂足为H ，由（1）可得，PH ⊥平面ABFD ∴DP 与平面ABFD 所成角就是∠PDH . CD 2
=PD 2
=DH 2
+PH 2
=DE 2
+EH 2
+PH 2=
DE 2
+（EF-HF ）2
+PH 2
CF 2
=PF 2
=HF 2
+PH 2
设正方形ABCD 的边长为2.上面两个等式即是： 22
=12
+（2-HF ）2
+PH 2
12
=HF 2
+PH
2
∴解方程得HF=12 PH=√3
2
在Rt △PHD 中, sin ∠PDH=PH/PD=√3
2/2=√3
4. 【考点定位】立体几何 点、直线、面的关系
19.（12分）
设椭圆C ：
+y ²=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两
点，点M 的坐标为（2，0）.
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
【答案】
【解析】（1）由已知可得F （1，0） ，直线l 的方程为x=1 由已知可得, 点A 的坐标为（1，√2
2）或（1，— √22
） ∴直线AM 的方程为y=— √22x+√2 或 y= √22
x —√2(2)当l 与x 轴重合，.∠OMA=∠OMB =00
当l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB 当l 与x 轴不重合且不垂直，设直线l 的方程为y=k(x-1) (k ≠0) 点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) ，x 1<2,X 2<2, 则直线MA 、MB 的斜率之和 K MA +K MB =e1
e1−2+e2
e2−2=
e (e1−1)e1−2+e (e2−1)e2−2=2ee1e2−3e (e1+e2)+4e
(e1−2)(e2−2)
将y=k(x-1)代入椭圆C 的方程得：（2k 2
+1）x 2
-4k 2
x+(2k 2
-2)=0 x 1∴+x 2=
4e 2
2e 2
+1
,x 1x 2=
2e 2−22e 2
+1
2ee1e2−3e (e1+e2)+4e =
4e 3−4e −12e 3+8e 3+4e
2e 2
+1
=0
从而 K MA +K MB =0 MA 、MB 的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB
综上所述，∠OMA=∠OMB
【考点定位】圆锥曲线
20、（12分）
某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P
（0<P<1），且各件产品是否为不合格品相互独立。

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f （P ），f （P ）求f （P ）的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的
作为P 的
值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i ） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ：
（ii ） 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验
【答案】
【解析】（1）f （P ）=C 202P 2
(1-P)18
=1
81C 202
(9P)2
(1-P)18
≧1
81C 20
2
×{
(9P ∗2+（1−P )∗18）
20
}20
=1
81C 20
2
×
{9
10
}
20
当9P=1-P ，即f （P ）的最大值点P 0=. f （）=
19×918
1019
(2)令Y 表示余下的180件产品中不合格品件数，依题意可知Y-B(180,, X=20*2+25Y=40+25Y
∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=490
(ii)如果开箱检验，检验费=200*2=400元 EX>400, ∴应该对这箱余下的所有产品作检验。

【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值（基本不等式）、数学期望
21、（12分） 已知函数.
（1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点
,
,证明：
.
【答案】
【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）
f’（x ）=-1
e
2−1+
e e
=-e 2−ee +1
e
2
△=a 2
-4
(i)若a ≤2,则f’（x ）≤0，当且仅当a=2,x=1时f’（x ）=0，∴f （x ）在（0，+∞）单调递减。

(i)若a>2,令f’（x ）=0得到，e =
e ±√e 2
−4
2
当x ∈（0，e −√e 2
−4
2
）∪（
e +√e 2
−4
2
，+∞）时，f’（x ）<0
当x ∈（
e −√e 2
−42
,
e +√e 2
−4
2
）时，f’（x ）>0
∴f （x ）在x ∈（0，e −√e 2
−4
2
）,（
e +√e 2
−4
2
，+∞）单调递减, 在（
e −√e 2−42
,
e +√e 2
−4
2
）单
调递增。

(2)由(1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a>2
由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨设x1<x2,则x2>1 由于
f (x1)−f (x2）x1−x2=1x1x2−1+e eee1−eee2x1−x2=−2+e
eee1−eee2
x1−x2
=−2+e
−2eee2
1/x2−x2
等价于1
x2−e2+2eee2<0
设g(x)= 1
x −e +2eee 由(1)可知g （x ）在（0，+∞）单调递减，又g(1)=0,从而当x ∈（1，+∞）时g(x)<0
∴1
x2−e2+2eee2<0 即
【考点定位】函数导数的应用
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]、（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为p²+2p-3=0.
（1）求C₂的直角坐标方程:
（2）若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.
【答案】
【解析】（1）由x=cosθ,y=sinθ得到C₂的直角坐标方程：
x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4
(2)由（1）可知C2是圆心为A（-1,0），半径为2的圆。

由题设可知，C1是过点B（0，2）且关于Y轴对称的两条射线，且
C1：={ee+2e>0
−ee+2e≤0
显然，K=0时，C1与C2相切，只有一个交点。

K>0时，C1与C2没有交点。

∴C1与C2有且仅有三个交点，则必须满足K<0且y=kx+2(x>0) 与C2相切,圆心到射线的距离
√e2+1
=2故K=-4/3或K=0.
经检验，因为K<0，所以K=-4/3。

综上所述，所求 C₁的方程y=-4
3
∣x∣+2.
【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
【答案】
【解析】（1）当a=1时，f（x）=∣x+1∣-∣x-1∣={−2e≤−1 2e−1<e<1 2e>1
∴不等式f（x）﹥1的解集为{x|x>1
2
}
(2) 当x∈（0，1）时不等式f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等价于∣ax-1∣<1成立若a≤0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣≧1
若a>0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣<1的解集为0<x<2
e ∴2
e
>=1 故0<a≤2
综上所述，a的取值范围是（0，2］。

【考点定位】绝对值不等式含参数不等式恒成立的问题。