高中数学考点-曲线与方程

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高中数学第2章2.6曲线与方程2.6.3曲线的交点讲义(含解析)苏教版选修2_1

2．6.3曲线的交点[对应学生用书P43]给出下列两组直线，回答问题． (1)l 1：x ＋2y ＝0，l 2：2x ＋4y －3＝0； (2)l 1：2x －y ＝0，l 2：3x ＋y －7＝0. 问题1：两组直线的位置关系．提示：(1)平行；(2)相交．问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．问题3：如何求两曲线的交点坐标．提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0.(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax 2＋bx ＋c ＝0方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a ≠0，Δ>0 2 相交 a ≠0，Δ＝0 1 相切 a ≠0，Δ<0 0 相离直线与双曲线a ＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行，两者相交a ≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离直线与抛物线a＝0 1直线与抛物线的对称轴平行，两者相交a≠0，Δ>0 2 相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离[对应学生用书P44]直线与圆锥曲线的位置关系[例1] 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．[思路点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析] 将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－52或k＞52时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±12时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±52时，方程①只有一解．故当k＝±12或k＝±52时，l与C有惟一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－52＜k＜52，且k≠±12时，方程有两解，l与C有两个公共点．[一点通] 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点； Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．1．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交；当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．2．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)＋1，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．①当Δ＝0，即k ＝－1或12时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；③当Δ<0，即k <－1或k >12时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．综上：当k ＝－1或12或0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的长．[思路点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A 、B 坐标间的联系，进行整体运算．[精解详析] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝(0－53)2＋(－2－43)2＝1259＝553. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的公共解．对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0.则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)[(53)2－4×0]＝553.法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y ，得3x 2－5x ＝0，则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝53.由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝15×(5－x 1)，F 1B ＝15×(5－x 2)，则AB ＝AF 1＋F 1B ＝15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253＝553.[一点通] 弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)结合根与系数的关系，利用变形公式l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或 l ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解．(3)利用圆锥曲线的统一定义求解．3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．解析：由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 答案：164．直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1相交于两点A 、B ，则AB ＝________.解析：设直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 22－y 2＝1，得7x 2－24x ＋20＝0，∴x 1＋x 2＝247，x 1x 2＝207，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(247)2－4×207＝457. 答案：4575．如图，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．解：由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1消去x ，整理得25y 2－187 y －81＝0，∴y 1＋y 2＝18 725，y 1y 2＝－8125.∴|y 1－y 2|＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫187252＋4×8125＝72225， ∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2 7×72 225＝721425.两曲线相交的综合问题[例3] 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．[思路点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y ，得关于x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．[精解详析] 法一：设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上面的方程的两个根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1，因为P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1，解得k ＝－12，所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 所以所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.[一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方法．6．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1FA ＋1FB为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24也成立．(2)由抛物线的定义知，FA ＝x 1＋p 2，FB ＝x 2＋p2.1FA ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)．7．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA u u u r ＝512PB u u u r，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)．x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0＜a ＜2，且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e ＞62，且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA u u u r ＝512PB u u u r，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a21－a2，512x 22＝－2a21－a2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.由a ＞0，解得a ＝1713. 8．(陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．解： (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意得，O 1A ＝O 1M . 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝ x 2＋42，又O 1A ＝ (x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝ x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)·x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x 或y ，得出一个一元二次方程，通过研究判别式Δ的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察Δ的情况即可．若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况．这是特别要注意的问题．同时还要注意直线斜率不存在时的情形．[对应课时跟踪训练(十七)]1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________．解析：当y ＝0时，得x 2－3x －4＝0，解得x 1＝4或x 2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)．答案：(4,0)，(－1,0)2．曲线x 2＋y 2＝4与曲线x 2＋y 29＝1的交点个数为________．解析：由数形结合可知两曲线有4个交点．答案：43．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：由y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－2. 则Q 点坐标为(－2,0)．设直线y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.若直线l 与y 2＝8x 有公共点，则Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0. 解得－1≤k ≤1. 答案：[－1,1]4．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同的公共点，则实数m 的范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝x 2－x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0， ∴m >1.答案：(1，＋∞)5．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是 ________．解析：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P (4,2)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12. 即直线l 的斜率为－12.∴所求直线方程为x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为42，离心率为64. (1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，MN 的中点为A (2，－1)，求直线l 的方程．解：(1)由题意2a ＝42， ∴a ＝22，又e ＝c a ＝c 22＝64，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 25＝1.(2)∵点A 在椭圆内部，∴过A 点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －2)，它与椭圆的交点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 28＋y25＝1.消去y 得(8k 2＋5)x 2－16k (2k ＋1)x ＋8[(2k ＋1)2－5]＝0， ∴x 1＋x 2＝16k (2k ＋1)8k 2＋5，又∵A (2，－1)为弦MN 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，即16k (2k ＋1)8k 2＋5＝4， ∴k ＝54，从而直线方程为5x －4y －14＝0.7．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M ，N 且满足OM u u u u r ⊥ON u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. ①所以y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2. ② 由OM u u u u r ⊥ON u u u r ，即OM u u u u r ·ON u u u r＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. ③将①②代入③式得，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.8．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意得a ＋c ＝3，a －c ＝1， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， ∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0.∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2.y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，化简得 y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，化简得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.。

高中数学 2.1.1曲线与方程

曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。

高中数学复习-双曲线的定义、方程及性质

的离心率为（
）
解析：设｜ PF 2｜＝ m ，｜ PF 1｜＝3 m ，则｜ F 1 F 2｜＝
2 + 92 − 2 × 3 × × cos60° ＝ 7 m ，所以 C 的离心率 e
｜1 2 ｜

2
7
7
＝＝＝
＝
＝ .

2
2
2
｜1 |−|2 ｜
目录
高中总复习·数学
BE ｜＝1，｜ CD ｜＝｜ CF ｜，所以｜
CA ｜－｜ CB ｜＝5－1＝4.根据双曲线定
义，所求轨迹是以 A ， B 为焦点，实轴长为4
的双曲线的右支（右顶点除外），即 c ＝3，
a ＝2，又 c 2＝ a 2＋ b 2，所以 b 2＝5，所以顶
2
2
点 C 的轨迹方程为－＝1（ x ＞2）.
⁠
9 + 28 = 1，
经过点 P （3，2 7 ）， Q （－6 2 ，7），所以ቊ
72 + 49 = 1，
解得 ൞
＝ −
1
＝ .
25
1
，
75
2
2
故所求双曲线标准方程为－＝1.
25
75
目录
高中总复习·数学
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线
【例3】
2
2
（1）已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为
PF 2｜＝4 a ，∴｜ PF 1｜＝3 a ，｜ PF 2｜＝ a .在△ PF 1 F 2中，由余弦定
｜1 ｜2 ＋｜2 ｜2 −|1 2 ｜2
1
理的推论可得 cos 60°＝
，即＝

高中数学曲线知识总结归纳

高中数学曲线知识总结归纳数学曲线是高中数学课程中的重要内容之一，也是学生在高中阶段需要掌握的基本知识点。

本文将对高中数学曲线的相关知识进行总结归纳，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、基本概念1. 曲线的定义在平面直角坐标系中，由点的坐标满足某种关系所确定的图形称为曲线。

2. 曲线的表示方式曲线可以通过方程、参数方程或者直角坐标与参数方程相互转化来表示。

3. 曲线的分类常见的数学曲线主要包括直线、抛物线、椭圆、双曲线、圆、指数曲线和对数曲线等。

二、直线与曲线1. 直线的表示方式一般情况下，直线可以通过一般式方程、点斜式方程和两点式方程等来表示。

2. 直线的性质直线的性质包括斜率、截距、倾斜角、垂直线和平行线等。

3. 直线与曲线的关系直线可以与曲线相切或相交，切点的切线斜率与曲线的导数相等。

三、常见曲线1. 抛物线抛物线是一种二次曲线，其标准方程一般形式为y = ax^2 + bx + c。

根据抛物线的开口方向和抛物线的顶点，可以将抛物线分为上开口和下开口的抛物线。

2. 椭圆椭圆是一种二次曲线，其标准方程一般形式为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

椭圆具有特点是焦点到点的距离之和等于常数的性质。

3. 双曲线双曲线是一种二次曲线，其标准方程一般形式为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1。

双曲线具有特点是焦点到点的距离之差等于常数的性质。

4. 圆圆是一种特殊的曲线，其标准方程一般形式为(x-h)^2 + (y-k)^2 =r^2。

圆具有特点是任意一点到圆心的距离都相等的性质。

5. 指数曲线指数曲线是一种呈指数函数形式的曲线，其一般形式为y = a^x。

指数曲线具有增长快速，但不超过某个极限值的特点。

6. 对数曲线对数曲线是一种呈对数函数形式的曲线，其一般形式为y = loga x。

对数曲线具有递增但增长速度逐渐减缓的特点。

四、曲线的图像与性质1. 曲线的图像绘制根据曲线的方程，可以绘制出曲线的图像。

人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程

普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.
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答案
探究点1 曲线与方程的概念应用例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解；

高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.9 曲线与方程

→ → 4．已知点 A(－2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足PA· PB＝x2，则点 P 的轨迹方程是( ) 2 x A．x2＋y2＝6 B. 6 ＋y2＝1 C．x2－y2＝6 D．y2＝x＋6
→ → →→ 解析：PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，由PA· PB＝ x2，可得(－2－x)· (3－x)＋(－y)· (－y)＝x2，即 y2＝x＋6. 答案：D
题型探究题型一用直接法求轨迹方程例 1 已知两条直线 l1： 2x－3y＋2＝0 和 l2： 3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与 l1、l2 都相交，且 l1、l2 被圆截得பைடு நூலகம்的弦长分别是定值 26 和 24，求圆心的轨迹方程．
5．代入法求轨迹方程：如果轨迹点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(a，b)，而 Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出关于 x、 y、a、b 的方程组，利用 x、y 表示出 a、b，把 a、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程．此法称为代入法，也称相关点法． 6．参数法求轨迹方程：如果轨迹动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将 x、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．用参数法求轨迹方程需注意参数的范围对方程的影响.
3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的⑤________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组⑥______，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的⑦______ 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．

高中数学第二章圆锥曲线与方程2

∴抛物线方程为 y2＝－8x 或 x2＝－y.故选 B. [答案] B
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2．焦点在 x 轴上，顶点到焦点的距离为 4 的抛物线
的标准方程是( )
A．y2＝16x
B．y2＝8x
C．y2＝±8x
D．y2＝±16x
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[解析] 由已知p2＝4，∴p＝8，而抛物线开口是向左还是向右无法确定，∴抛物线方程为 y2＝±16x.故选 D.
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④离心率抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的________，用 e 表示，由定义可知，e ＝1.
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(2)注意三个结论 ①抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，没有中心． ②抛物线 y2＝2px(p>0)上任意一点 P(x0，y0)的焦半径为 x0＋p2. ③过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦，称为抛物线的通径，通径长为 2p.
准线 ________ ________ ________ ________
性范围 ________ ________ ________ ________
质轴
____ ____ x轴
____
____
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
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[答案] 1．抛物线的轴顶点离心率 2．Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
所以中点为 P(3,2)．
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方法二：设直线 y＝x－1 与抛物线 y2＝4x 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点为 P(x0，y0)．则 y22＝4x2， y12＝4x1，y22－y21＝4x2－4x1，∴y2－xy21－yx21＋y1＝4.因为 xy22－－xy11＝kAB＝1，y2＋y1＝4，y0＝2，x0＝y0＋1＝3，故中点为 P(3,2)．

专题37 求曲线的轨迹方程(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

专题37求曲线的轨迹方程【考点预测】曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集C ，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F ，上述定义中(1)(2)C FC F F C⇔⊆⎧⇔=⎨⇔⊆⎩条件条件【方法技巧与总结】一．直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点(),P x y （3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含,x y 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,x y 的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．二．定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P 和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F 的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．三．相关点法求动点的轨迹方程如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)P x y ，用(,)x y 表示出相关点P '的坐标，然后把P '的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程．四．交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．五．参数方程法求动点的轨迹方程动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.六．点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程．【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：定义法题型三：相关点法题型四：交轨法题型五：参数法题型六：点差法题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹题型八：复数与圆锥曲线的轨迹题型九：向量与圆锥曲线的轨迹题型十：利用韦达定理求轨迹方程【典例例题】题型一：直接法例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点P 是椭圆22164x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段PM 的中点(),N x y 的轨迹方程为______．【方法技巧与总结】如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法．例2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之P 到x 轴的距离最大值为_____.例3．（2022·全国·高三课时练习）已知点(),P x y 到定点10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比它到x 轴的距离大12．(1)求点P 的轨迹C 的方程；例4．（2022·湖南·模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点()()122,0,2,0F F -，且曲线1C 上的任意一点P 都满足125PF PF ⋅=．求曲线1C 的轨迹方程并画出草图；例5．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）已知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(2,0)-，直线,AP BP的交点为P ，且它们的斜率之积14-．求点P 的轨迹E 的方程;题型二：定义法例6．（2022·全国·高三专题练习）已知定点A （1，1）和直线L ：x +y -2=0，那么到定点A 和到定直线L 距离相等的点的轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【方法技巧与总结】若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆F ：()2221x y -+=，动圆P 与圆F 外切，且与定直线3x =-相切，设动点P 的轨迹为E ．求E 的方程；例8．（2022·江西南昌·三模（理））已知两条直线1l ：2320x y -+=，2l ：3230x y -+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与1l ，2l 都相交，并且1l ，2l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线例9．（2022·上海市大同中学高三开学考试）已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 和圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程_______例10．（2022·全国·高三专题练习）设动圆M 与y 轴相切且与圆C :2220x y x +-=相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为______.例11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末）已知圆1C ：()2239x y ++=和圆2C ：()2231x y +-=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为______.例12．（2022·全国·高三专题练习（理））设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；例13．（2022·全国·高三专题练习）已知P 是圆22:(1)16A x y -+=上的动点，M 是线段AP 上一点，()1,0B -，且PM MB =，求点M 的轨迹C 的方程例14．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））如图，已知圆1F 的方程为2249(1)8x y ++=，圆2F 的方程为221(1)8x y -+=，若动圆M 与圆1F 内切与圆2F 外切．求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；例15．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知圆M 与圆1F ：()2221x y ++=外切，同时与圆2F ：()22249x y -+=内切.说明动点M 的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；例16．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．题型三：相关点法例17．（2022·全国·高三课时练习）设,A B 分别是直线2y x =和2y x =-上的动点，且满足AB 4=，则AB 的中点M 的轨迹方程为（）A ．22116y x +=B ．22116x y +=C ．22116y x -=D ．22116x y -=【方法技巧与总结】有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式．例18．（2022·全国·高三课时练习）已知ABC 的顶点()3,0B -，()1,0C ，顶点A 在抛物线2y x 上运动，则ABC 的重心G 的轨迹方程为______．例19．（2022·全国·高三课时练习）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q 的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A ．22650x y x +++=B ．22680x y x +-+=C ．22320x y x +-+=D ．22320x y x +++=例20．（2022·全国·高三课时练习）已知A 、B 分别是直线y =和y =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点．求动点P 的轨迹C 的方程．题型四：交轨法例21．（2022·四川凉山·高三期末（理））设椭圆22148x y +=的上、下顶点分别为A 、B ，直线y m =与椭圆交于两点M 、N ，则直线AM 与直线BN 的交点F 一定在下列哪种曲线上（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆【方法技巧与总结】在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．例22．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >）P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ= .动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（）A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O 例23．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在矩形ABB A ''中，8,6A A AB ='=，把边AB 分成n 等份，在B B '的延长线上，以B B '的n 分之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点A '作直线，过B B '延长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P ，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程是___________.例24．（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知1A 、2A 为椭圆C ：2213y x +=的左右顶点，直线0x x =与C 交于AB 、两点，直线1A A 和直线2A B 交于点P .求点P 的轨迹方程.例25．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（理））已知反比例函数1y x=的图像C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；(2)设1A ､2A 为双曲线C 的两个顶点，点()00,M x y ､()00,N y x 是双曲线C 上不同的两个动点.求直线1A M 与2A N 交点的轨迹E 的方程；例26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0F ，过直线l ：4x =左侧且不在x 轴上的动点P ，作PH l ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且2PH MF =，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 与x 轴正半轴交于点1A ，过点()4,0S -的直线1l 交C 于A ，B 两点，AS BS λ=，点T 满足AT TB λ=，其中1λ<，证明：12ATB TSO ∠=∠.例27．（2022·全国·模拟预测（文））设抛物线C ：28x y =，过点()0,1的直线l 与C 交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的切线，两切线相交于点P ，求点P 的轨迹方程；例28．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，()2,3A 是双曲线C 上的一个点．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点()4,0B 且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为1l ，2l ，点P 为直线1l 与直线2l 的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为22221x y a b -=，则该双曲线在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y ya b-=）例29．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例30．（2022·上海·高三专题练习）双曲线22221x y a b -=的实轴为12A A ，点P 是双曲线上的一个动点，引11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥，1A Q 与2A Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程.例31．（2022·全国·高三课时练习）已知点()2,2P -、()0,2Q 以及直线:l y x =，的线段AB 在直线l 上移动（如图所示），求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．题型五：参数法例32．（2022·新疆·皮山县高级中学高三期末（文））已知()2cos ,4sin A θθ，()2sin ,4cos B θθ-，当R θ∈时，线段AB 的中点轨迹方程为（）A ．22128x y -=B ．22128x y +=C ．22182y x -=D ．22182x y +=【方法技巧与总结】有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标(),x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．例33．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线:C y =和直线l ：y =kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.例34．（2022·江西景德镇·高三期末（理））已知两条动直线14:xl y λ=与2:l y λ=（0λ≠，λ为参数）的交点为P .求点P 的轨迹C 的方程；例35．（2022·北京市第五十七中学高三期中）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足2DP DM =.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q 作弦且弦被Q 平分，求此弦所在的直线方程及弦长；(3)过点(30)N ，的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 1：y ＝k 1x 和l 2：y ＝k 2x 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）分别相交于A ，B 两点（异于原点O ）与直线l ：y ＝2x +p 分别相交于P ，Q 两点，且122k k ⋅=-．求线段AB 的中点M 的轨迹方程；例37．（2022·江苏·周市高级中学高三阶段练习）已知直线:1,0,sin cos 2x y l πθθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭与坐标轴的交点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π例38．（2022·全国·高三课时练习）已知曲线()1:10x y C a b ab+=>>所围成的封闭图形的面积为曲线1C 记2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C 的标准方程；(2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点，MO OA λ=(O 为坐标原点，0λ≠)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程．题型六：点差法例39．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【方法技巧与总结】圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法．例40．（2022·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线221x y -=所得弦的中点的轨迹方程是______．例41．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22143x y +=的弦AB 所在直线过点()1,1E ，求弦AB 中点F 的轨迹方程.例42．（2022·上海市行知中学高三开学考试）已知曲线Γ上一动点P 到两定点()10,2F -，()20,2F 的距离之和为，过点()1,0Q -的直线L 与曲线Γ相交于点()11,A x y ，()22,B x y ．(1)求曲线Γ的方程；(2)动弦AB 满足：AM MB =，求点M 的轨迹方程；例43．（2022·全国·高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为230x y +=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线2y x b =+与椭圆221129x y +=相交，求弦的中点的轨迹方程．例44．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆22142x y +=，()11,M x y ，()22,N x y 是椭圆上的两个不同的点.（1）若点()1,1A 满足MA AN =，求直线MN 的方程；（2）若()11,M x y ，()22,N x y 的坐标满足121220x x y y +=，动点P 满足2OP OM ON =+(其中O 为坐标原点)，求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹例45．（2022·全国·高三专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，F 为底面ABCD 上一动点，且EF 与底面ABCD 所成的角为60︒．若该正方体外接球的表面积为12π，则动点F 的轨迹长度为（）．A B C D 【方法技巧与总结】利用坐标法解决．例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，点A 是平面α外一定点，过A 作平面α的斜线l ，斜线l 与平面α所成角为50︒．若点P 在平面α内运动，并使直线AP 与l 所成角为35︒，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线的一支例47．（2022·北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体1l l l ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，且1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线的一部分D ．以上答案都不对例48．（多选题）（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体1111ABCD A B C D -中，O 为线段1A C 的中点（图中未标出），以下说法正确的有（）．A ．线段CD 中点为E ，则直线OE 与平面11A BCD 所成角的正弦值为12．B ．在线段AB 上取靠近B 点的三等分点F ，则直线OF 与直线11CD 不共面．C ．在平面ABCD 上存在一动点P ，满足2AP BP +=，则P 点轨迹为一椭圆．D ．在平面11C D AB 上存在一动点Q ，点Q 到点O 的距离和点Q 到直线AB 的距离相等，则点Q ．题型八：复数与圆锥曲线的轨迹例49．（2022·河南开封·高三阶段练习（文））已知i 为虚数单位，且013i12iz -=+，复数z 满足01z z -=，则复数z 对应点的轨迹方程为（）A ．()()22114x y -++=B ．()()22114x y -++=C ．()()22111x y +++=D ．()()22111x y -+-=【方法技巧与总结】（1）利用坐标法解决．（2）利用复数几何意义例50．（多选题）（2022·重庆一中高一期末）若复数z 在复平面对应的点为Z ，则下来说法正确的有（）A ．若||3z =，则Z 在复平面内的轨迹为圆B ．若|4||4|8z z ++-=，则Z 在复平面内的轨迹为椭圆C ．不可能存在复数z 同时满足||3z =和|4||4|10z z ++-=D ．若||3z =，则|4||4|z z ++-的取值范围为[8，10]例51．（2022·上海市徐汇中学高三期末）如果复数z 满足6|13i 2i |z z +++--=，则复数z 对应的点的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．线段D ．圆例52．（2022·全国·高一课时练习）已知复数z 满足2||2||30z z --=，则复数z 对应的点的轨迹是___________．例53．（2022·江西赣州·高三期末（文））设复数()1cos i sin z θθ=++⋅（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点(),x y 的轨迹方程为___________.题型九：向量与圆锥曲线的轨迹例54．（2022·全国·高三课时练习）已知()2,1A ，()2,1B -，O 为坐标原点，动点(),P x y 满足OP mOA nOB =+ ，其中,R m n ∈，且2212m n +=，则动点P 的轨迹方程是（）A ．2214y x +=B ．2214x y +=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【方法技巧与总结】（1）利用坐标法解决．（2）利用向量几何意义例55．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量a ，b是单位向量，若0a b ⋅= ，且345c a c b -+-= ，则c a +的取值范围是___________．例56．（2022·全国·高三课时练习）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅= ，则点P 的轨迹方程是______．例57．（2022·陕西师大附中高一期中）已知向量a ，b ，c ，满足4a = ，a 与b 的夹角为3，()3c c a ⋅-=-，则b c - 的最小值为（）A ．2B 32C 1D 1-例58．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的标准方程为22142x y +=．(1)设动点P 满足：OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由．(2)设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在点F ，使得点P 到F 的距离与到直线x =的距离之比为定值？若存在，求F 的坐标；若不存在，说明理由．例59．（2022·重庆八中高三阶段练习）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，OFP △的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且4OA OB ⋅=-，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.例60．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一定点(20)C ，和直线l ：x =8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且1()2PC PQ + ·1()2PC PQ -=0．求动点P 的轨迹方程；题型十：利用韦达定理求轨迹方程例61．（2022·全国·高三课时练习）设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆，圆心C 的轨迹方程为______．【方法技巧与总结】联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.例62．（2022·全国·高三专题练习）设不同的两点A ，B 在椭圆22:23C x y +=上运动，以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，过O 作OM AB ⊥，M 为垂足．求点M 的轨迹方程.例63．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C ，其焦点是双曲线2213y x -=的顶点.(1)写出椭圆C 的方程；(2)直线l ：y kx m =+与椭圆C 有唯一的公共点M ，过点M 作直线l 的垂线分别交x 轴､y 轴于(),0A x ，()0,B y 两点，当点M 运动时，求点(),P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.例64．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>其左、右顶点分别是A 、B ，且AB 4=．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点M 、N 是椭圆E 上异于A 、B 的不同两点，设点P 是以AM 为直径的圆1O 和以AN 为直径的圆2O 的另一个交点，记线段AP 的中点为Q ，若1AM AN k k =-⋅，求动点Q 的轨迹方程．例65．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆224580x y +=上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;（2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z ，Z 所对应的复数z 满足|3||i |-=-z z ，则动点Z 的轨迹为（）A ．直线B ．线段C ．两条射线D ．圆2．（2022·全国·高三专题练习）正三角形OAB 的边长为1，动点C 满足OC OA OB λμ=+，且221λλμμ++=，则点C 的轨迹是（）A ．线段B ．直线C ．射线D ．圆3．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD 为梯形，且2AB DC = ，||||2DC DA == ，3DAB π∠=，点P 是四边形ABCD 内及其边界上的点.若()()4AP DP PB BA -⋅+=-，则点P 的轨迹的长度是（）A B ．C ．4πD ．16π4．（2022·全国·高三专题练习）已知复数z 满足i i 2z z ++-=，则z 的轨迹为（）A ．线段B ．直线C ．椭圆D ．椭圆的一部分5．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线0x y -=，0y =的距离之和为2的点P 的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ围成的图形面积为（）A ．B ．C ．D ．6．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））下列四个命题中不正确的是（）A ．若动点P 与定点()4,0A -、()4,0B 连线PA 、PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分．B ．设m ，R n ∈，常数0a >，定义运算“*”：()()22*m n m n m n =+--，若0x ≥，则动点(P x 的轨迹是抛物线的一部分．C ．已知两圆()22:11A x y ++=、圆()22:125B x y -+=，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆．D ．已知()7,0A ，()7,0B -，()2,12C -，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（）A ．2BCD ．8．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45 且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =--C ．232(1)x y =--D ．2364x y =-+二、多选题9．（2022·福建省福州第一中学三模）已知曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．曲线C 关于y 轴对称C ．022x - D ．1||4PF 10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =(p >0)的焦点F 与圆22:20E x y x +-=的圆心重合，直线l 与C 交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，且满足：0OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点且A 、B 均不与O 重合)，则()A ．121216,16x x y y ==-B ．直线l 恒过定点()4,0C ．A 、B 中点轨迹方程：224y x =-D ．AOB 面积的最小值为1611．（2022·福建·模拟预测）已知双曲线22:14y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 的右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（）A ．若60θ︒=，则S =B ．若4S =，则2PF =C ．若12PF F △为锐角三角形，则(4,S ∈D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（）A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m 时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点）三、填空题13．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线221x y -=与直线():1l y kx m k =+≠±有唯一的公共点A ，过点A 且与l 垂直的直线分别交x 轴､y 轴于()()00,0,0,B x C y 两点，当点A 运动时，点()00,D x y 的轨迹方程是___________.14．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））①已知点)A ，直线:l x =点P 满足到点A 的距离与到直线l②已知圆C 的方程为224x y +=，直线l 为圆C 的切线，记点)A ，()B 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，动点P 满足1PA d =，2PB d =；③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足2133OP OS OT =+；在①，②，③这三个条件中，动点P 的轨迹W 为椭圆的是______．15．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知在直角坐标平面内，两定点()0,1F ，()1,1M -，动点Q 满足以FQ 为直径的圆与x 轴相切．直线FQ 与动点Q 的轨迹E 交于另一点P ，当90PMQ ∠=︒时，直线PQ 的斜率为______．16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．四、解答题17．（2022·四川内江·模拟预测（理））在ABC 中，(2,0)A -，(2,0)B ，AC 与BC 斜率的积是14-．(1)求点C 的轨迹方程；(2)(4,0)P ，求PC 的中点M 的轨迹方程．18．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA PB ⋅的最小值．第21页共21页19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:14x C y +=的右焦点F 与抛物线21:2C y px =的焦点重合．(1)求椭圆C 的离心率与抛物线1C 的方程；(2)过焦点F 的动直线与抛物线1C 交于A ，B 两点，从原点O 作直线AB 的垂线，垂足为M ，求动点M 的轨迹方程；(3)点R ⎭为椭圆C 上的点，设直线l 与OR 平行，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若PQR 的面积为1，求直线l 的方程．20．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知12,A A 两点的坐标分别是(，直线,A B A B 12相交于点B ，且它们的斜率之积为13.(1)求点B 的轨迹方程；(2)记点B 的轨迹为曲线C ，,,,M N P Q 是曲线C 上的点，若直线MN ，PQ 均过曲线C 的右焦点F 且互相垂直，线段MN 的中点为R ，线段PQ 的中点为T .是否存在点G ，使直线RT 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，说明理由.21．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，()2,3A 是双曲线C 上的一个点．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点()4,0B 且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为1l ，2l ，点P 为直线1l 与直线2l 的交点，试求点P 的轨迹方程（注：若双曲线的方程为22221x y a b-=，则该双曲线在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b-=）。

高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解

高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解一、选择题1．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM →·PN →＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9.2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[答案] A[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π[答案] B[解析] 设P (x ，y )，由知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.4．已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到F 1的距离是23，线段AF 2的垂直平分线交AF 1于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A.x 29＋y 24＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 23＋y 22＝1D.x 212＋y 210＝1 [答案] C[解析] 依题意得，|P A |＝|PF 2|，又|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝23，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，点P 的轨迹为椭圆，方程为x 23＋y 22＝1.5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.7．过椭圆x 29＋y 24＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，则4x 12＋9y 12＝36,4x 22＋9y 22＝36，相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ，则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得，y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )A ．a 1－c 1＝a 2－c 2B ．a 1＋c 1>a 2＋c 2C ．a 1c 2>a 2c 1D ．a 1c 2<a 2c 1[答案] C[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O 1，O 2，公共左顶点为A ，如图，则a 1－c 1＝|AO 1|－|FO 1|＝|AF |，a 2－c 2＝|AO 2|－|FO 2|＝|AF |，故A 对；又a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，故B 对；由图知e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2，∴a 1c 2<a 2c 1，故D 对，C 错．二、填空题11．F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．(2010·哈师大附中)已知曲线C 1的方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与双曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为________．[答案]33[解析] 设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33，或k ＝－33(舍去)． 13．(2010·浙江杭州质检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9(位于圆x 2＋y 2＝16内的) [解析] ∵以AB 为直径的圆过点C ，∴AC ⊥BC ， ∵M 是AB 中点，∴|CM |＝12|AB |＝3，故点M 在以C (1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，∵M 为弦AB 的中点，∴M 在⊙O 内，故点M 轨迹为圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9位于圆x 2＋y 2＝16内的部分．14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.则动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为________．[答案] x 23＋y 2＝1[解析] 由已知得直线l 1⊥l 2， l 1：y ＝33x ，l 2：y ＝－3x ， ∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2，由|PQ |＝2得，(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＝4，即43x 12＋4x 22＝4⇒x 123＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.三、解答题15．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )，依题意有，(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立．故|MN |的最小值为2 6.[点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；(3)若AC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形ABCD 的面积的最小值．[解析] (1)∵e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，∴2a 2＝3b 2.∵直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴b ＝2，b 2＝2，∴a 2＝3. ∴椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵|MP |＝|MF 2|，∴动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， ∴动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线． ∴点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .(3)当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则直线AC 的方程为y ＝k (x －1)．联立x 23＋y 22＝1及y ＝k (x －1)得，(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x2＝3k 2－62＋3k 2. |AC |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝48(k 2＋1)2＋3k 2.由于直线BD 的斜率为－1k ，用－1k 代换上式中的k 可得|BD |＝48(1＋k 2)2k 2＋3.因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝24(1＋k 2)2(2＋3k 2)(2k 2＋3)，由于(2＋3k 2)(2k 2＋3)≤[(2＋3k 2)＋(2k 2＋3)2]2＝[5(k 2＋1)2]2，所以S ≥9625，当2＋3k 2＝2k 2＋3，即k ＝±1时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积S ＝4. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625.16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4 ①y 1＋y 2＝8＋p2 ②，又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为：x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上动点P 在点A 和B 之间运动时，求△ABP 面积的最大值． [解析] (1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得，x 2＋2pkx －4p ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)．因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .(2)根据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．设点P (x 0，y 0)，因为y ′＝－x ，则－x 0＝2，解得x 0＝－2，又y 0＝－12x 02＝－2，所以P (－2，－2)．此时，点P 到直线l 的距离 d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0.则x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410.故△ABP 面积的最大值为12|AB |·d ＝12×410×455＝8 2.17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝90°，|EF →|＝2，|EF →＋ED →|＝52，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点K 满足OK →＝13ED →，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且|MK →|＝|NK →|，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知E (－1,0)，F (1,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x D ＝－c 可得y D ＝b 2a，∵|EF →＋ED →|＝52，EF →⊥ED →，|EF →|＝2，∴|ED →|＝32.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1b 2a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3∴椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)∵OK →＝13ED →，∴K ⎝⎛⎭⎫0，12，当l ⊥EF 时，不符合题意，故可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k ≠0) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0 ∵M 、N 存在，∴Δ>0即64k 2m 2－4(3＋4k 2)·(4m 2－12)>0， ∴4k 2＋3>m 2(※)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点H (x 0，y 0) ∴x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2， ∵|MK →|＝|NK →|，∴|MK |＝|NK |，|MK |＝|NK |⇔MN ⊥KH ⇔y 0－12x 0＝－1k ⇔3m 3＋4k 2－12－4km 3＋4k 2＝－1k ⇔m ＝－3＋4k 22代入(※)式得4k 2＋3>⎝⎛⎭⎫－3＋4k 222∴4k 2＋3<4，又k ≠0，∴－12<k <12且k ≠0∴l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12.。

高中数学知识点总结(第九章平面解析几何第九节曲线与方程)

第九节曲线与方程一、基础知识1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.(2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件.坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．考点一直接法求轨迹方程1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：选A 设点P (x ，y )，则Q(x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.则动点P 的轨迹方程为________________．解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．答案：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)3．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. ∵|CD |＝3，∴⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)考点二定义法求轨迹方程[典例精析]已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[解题技法]定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[题组训练]如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|C Q|＋|AP |＋|B Q|＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).考点三代入法(相关点)求轨迹方程[典例精析]如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．[解] (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0.切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x.代入⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．[解题技法]“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[题组训练]已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎫33，0，故MB ―→＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA ―→＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→，∴⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.∴x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝⎛⎭⎫32，－1. ∵A ，B 都在曲线E 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14. ∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. [课时跟踪检测]A 级1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A 设C (x ，y )，因为OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A B C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，又因为|P A |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2P A ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2P A ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q(－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．5.如图所示，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线 B.圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q.因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q|＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q|＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是____________________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________．解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48．(2019·福州质检)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为________．解析：因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk1－3k 2＝12，①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2，② 由①②解得k ＝2. 答案：29.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1＜t ＜3)与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．10．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1)，求证：NF ―→＝λF Q ―→.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，② 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点， ①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*)所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP ―→＝λR Q ―→，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2，由(1)得F (2,0)，要证NF ―→＝λF Q ―→，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF ―→＝λF Q ―→成立．B 级1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B.两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．抛物线 B.椭圆 C ．双曲线的右支D ．一条直线解析：选D 如图，设切点分别为E ，D ，G ，由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |，|F 2D |＝|F 2G |，|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ，即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ，也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ，故点G 与点A 重合，所以点M 的横坐标是x ＝a ，即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点)，故选D.3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)4.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM ―→＝12DP ―→.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM ―→＝12DP ―→，知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上， ∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，得k 2＜15，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE ―→＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0， ∵k 2＜15，∴0＜x ＜83.11∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. 5.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B.抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线的一支解析：选C 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.6．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，把x 2＝16y 代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．7．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且顶点A ，B 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．解析：由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．答案：x 225＋y 29＝1(x ≠±5)。

高中数学曲线公式大全

高中数学曲线公式大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0) x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0) y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点 (c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθ x=a·secθ x=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数 y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0)(x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k。

高中数学知识要点-曲线与方程,圆的方程

曲线与方程、圆的方程1．曲线C的方程为:f(x,y=0曲线C上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y=0，即f（x0,y0）=0；且以f(x,y=0的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C上。

依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。

求动点P(x,y的轨迹方程即求点P的坐标(x,y满足的方程（等式）。

求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。

[举例1] 方程所表示的曲线是：（）A B C D解析：原方程等价于：，或；其中当需有意义，等式才成立，即，此时它表示直线上不在圆内的部分，这是极易出错的一个环节。

选D。

[举例2]已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。

M解析：如何体现动点 M 满足的条件 2 ∠ MAB= ∠ MBA是解决本题的关键。

用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA的最佳载体是直线MA、MB的斜率。

设M（x，y），∠MAB=，则∠MBA=2，它们是直线MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：1 若点M在x轴的上方,此时，直线MA的倾角为，MB的倾角为-2，（2）得：，∵．当2时, =450，为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3，它满足上述方程．②当点M在x轴的下方时, y＜０，同理可得点M的轨迹方程为,③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２．综上所求点的轨迹方程为．[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则它的方程是A．（）·（）=0B．（）·（）=0C．（）·（）=0D．（）·（）=0[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=，2+3=，当点P移动时，求M点的轨迹方程。

高中数学中的曲线与方程分类解读

高中数学中的曲线与方程分类解读数学是一门抽象而又具有严密逻辑的科学，而曲线与方程则是数学中的重要概念之一。

在高中数学课程中，我们学习了许多不同类型的曲线与方程，它们有着各自独特的性质和特点。

本文将对高中数学中的曲线与方程进行分类解读，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、直线与一次函数直线是最基本的曲线之一，它由一次函数所描述。

一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

通过调整a和b的取值，我们可以得到不同斜率和截距的直线。

斜率决定了直线的倾斜程度，正斜率表示直线向右上方倾斜，负斜率表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线水平，无斜率表示直线垂直。

截距表示直线与y轴的交点位置。

二、抛物线与二次函数抛物线是一种常见的曲线形状，它由二次函数所描述。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不为零。

通过调整a、b和c的取值，我们可以得到不同形状和位置的抛物线。

二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。

开口向上的抛物线的最低点称为顶点，开口向下的抛物线的最高点也称为顶点。

抛物线还有一个重要的特性是对称性，即关于顶点对称。

三、圆与圆的方程圆是一种特殊的曲线，它由圆的方程所描述。

圆的方程一般形式为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

通过调整圆心的位置和半径的大小，我们可以得到不同位置和大小的圆。

圆的方程还可以表示为x^2+y^2=r^2，这是一种简化形式。

圆具有许多独特的性质，例如，任意一点到圆心的距离都等于半径的长度。

四、椭圆与椭圆的方程椭圆是一种特殊的曲线，它由椭圆的方程所描述。

椭圆的方程一般形式为(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b为正数，且a>b。

通过调整a和b的取值，我们可以得到不同形状和大小的椭圆。

椭圆具有许多独特的性质，例如，椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

数学高中曲线知识点总结

数学高中曲线知识点总结一、基本概念1.1 曲线的定义在数学中，曲线是指平面上一条具有一定几何形状的连续性曲线，通常由一条或多条切线所组成。

曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种几何形状。

1.2 曲线的方程曲线的方程是描述曲线在坐标系中的位置和形状的数学式。

常见的曲线方程包括线性方程、二次方程、三次方程、余元方程等各种类型。

1.3 坐标系在研究曲线时，通常会使用直角坐标系、极坐标系、参数方程等不同的坐标系来描述曲线的位置和形状。

1.4 曲线的性质曲线的性质包括对称性、周期性、单调性、渐近线、凸性、凹性等，这些性质可以用来描述曲线的特点和规律。

二、常见的曲线2.1 直线直线是最简单的一种曲线，其方程通常为y=ax+b或者ax+by+c=0的形式，其斜率和截距可以描述该直线的位置和倾斜程度。

2.2 圆圆是一个具有一定半径的闭合曲线，其方程通常为(x-a)²+(y-b)²=r²的形式，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

2.3 椭圆椭圆是平面上的一种几何图形，其方程通常为(x/a)²+(y/b)²=1或者A(x-h)²+B(y-k)²=1的形式，其中(a,b)为椭圆的长轴和短轴，(h,k)为椭圆的中心坐标。

2.4 双曲线双曲线是平面上的一种曲线，其方程通常为(x/a)²-(y/b)²=1或者(x-h)²/(a²)-(y-k)²/(b²)=1的形式，其中(a,b)为双曲线的焦距，(h,k)为双曲线的中心坐标。

2.5 抛物线抛物线是平面上的一类曲线，其方程通常为y=ax²+bx+c的形式，其开口方向和焦点位置可以由系数a、b、c来描述。

2.6 阿基米德螺线阿基米德螺线是一种极坐标下的曲线，其方程通常为r=a+θb的形式，其中a和b为常数，θ为角度，r为极径。

2.7 渐近线对于一些曲线，其在边界处可能有一些特殊的直线或曲线，这些直线或曲线被称为曲线的渐近线，可以用来描述曲线的边界特征。