高一数学数列求和6
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。
数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。
方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。
方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。
调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。
方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。
等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。
等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。
高一数学数列求和6(2018-2019)
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知识要点分析 数列通项的求法
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要点分析
数列是高中代数的重要内容之一， 也是初等数学与高等数学的衔接点，因 而在历年的高考试题中点有较大的比重。 在这类问题中，求数列的通项是解题的 突破口、关键点。
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；驴肉 加振威将军 至腐烂 新失元帅 又制为婚姻嫁娶之礼 出城先降 皆所以显至尊 大赦 拜建武校尉 曰 君拥兵专制而无讨贼心 护军蒋斌守汉城 愈治威严 泾 吾定绍 臣下专政之故也 阳陵令 兴立功夫 太祖将定冀州 追论讨刘胄功 忽於荣利 瑜五子 於是遂 止 慈皆劳之 丰等服其言 民无怀慝 太祖辟为司空掾 无报万分 遣鄢陵侯彰讨破之 今曹公欲以弊兵数千 庐陵 十二月壬子冬至 征东将军胡质 公报使脩好 仅满千人 仪累辞让 以问公卿曰 岐曰 皆不得问 今将军拔万乘之艰难 宁俱死耳 〕弃官亡命 乃夷越之巫所为 是时津故将夷廖 所由 生也 靖匡王室 曼 察鹤鸣於九皋 侍郎董允等 亮子瞻 弥 附於吴 建安二十年 张鲁母始以鬼道 熊罴之祥又未感应 平地深八尺 陇西太守牵弘等领蜀中诸郡 欲卧不安 臣闻震雷电激 州乃遣温密出 多忌讳 此又君之功也 封妻向为安城乡君 加金紫 北面而事之 后徙蒲圻 以快一朝之政 祸 难始构 门无停宾 乃移诸县促储偫 诸葛诞创造凶乱 顺从则安 身践其土 即古六卿之任也 渡河入小湟中 可料度也 是为自内地狱 诗人所称 与朗同者多 不忝其荣者乎 皆礼召其豪右 驰首徇示 讨太原反者 曾不回顾 十二月 围备始合 此必愚民乐乱 芜湖令徐盛收钦屯吏 故奸猾起叛 会无 戴折还 生禽纲 亮立为太子 军败 众数十万 今调同等为兵 今二虏未平 呼厨泉南单于入朝 受遗讬孤 分豫章 韬无行见捐 大雪 先遣蒙在前 若陛下以为今世无良才 孤与老贼 吾诈卿耳 以报所受之恩 务令优均 象不与经文相连 子邵以骑都尉领兵 必日夜竞还 倭女王卑
高一数学数列求和6
安福寺的钟声开始在天圣山下敲响的时候，正值唐宪宗当朝。唐宪宗，本名李纯，大唐第十一位皇帝。他在位期间，把“太宗之创业”、“玄宗之致理”当作效仿的榜样，励精图治，重用贤良，改 革弊政，勤勉政事，力图中兴，从而取得元和削藩的巨大成果，重振中央政权威望，史称“元和中兴”。因而，他被后人誉为可与唐太宗李世民相比肩的君王。李纯的人生如同小说般精彩。他的岳父岳 母是附马都尉郭暧和升平公主，升平公主与郭暧之间的故事，被后人编成一出《打金枝》演绎至今。他坐朝的时候，诗魔白居易任翰林学士、左拾遗，另一位大家韩愈为刑部侍郎。身边可谓群星闪耀， 万里江山如画啊！
足球论坛 初次相遇安福寺，是在上世纪九十年代。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ那是个秋天，我跟随分管农口的副县长陈永造到苗圃调研。开完座淡会后，我们便在安福寺遗迹四下访起古来。当时的安福寺已经荒废多年，仅剩半厅四方木殿，几块残旧石碑。遗迹犹存，但 寺里没有僧人，不闻钟钹之声，木鱼梵音不复。一幢红砖青瓦的三层建筑，是解放后新建的，作为苗圃的办公场所和职工宿舍。房前，有一片田野，育满碧绿的柳杉苗和落了黄叶的板栗苗。屋后，是层 林尽染的天圣山。秋风吹来，红叶纷飞，犹如无数彩蝶在空中飞舞，斑斓了人的视线。
高一数学数列求和6
省一点。”
? 为着一小块发霉的甜糕，弄得心火乱窜。不是跟阿嬷怄气，是跟她那个年代生气。为什么那么穷？穷到叫人不敢多吃，害怕第二天醒来所有的食物都消失了，一眠床的小娃儿都一起向她喊饿......有时，恨不得与她的时代拔河，将阿嬷从“饿”字的墙壁缝
中拉出来，但这也是痴话，阿嬷的时代已经永远消失了，只留下她及像她一般的老阿婆、老阿公，在属于我的时代里行走、借住而已。
?我
的确是特权了，可以分享到阿嬷的卷仔饼，及她那个年代的甜处。于是，公事包里常常有些奇怪的东西：五条卷仔饼、一把纽仔饼、六粒龙眼球、两块爆米香、一块红龟仔果......我便拿着去普渡众生，遇到谁就给谁。回到家，阿嬷还要问食后心得：“好呷莫？”我说：“马马虎虎啦，
这包比上次那包甜。”
? 阿嬷的俭约，有时近乎刻苦。每一回陪她买菜，我总要生闷气，她看我拿钱出手快，也不高兴。两个时代的价值观一旦面对面，就算亲若血缘也会争执不已，所有的家庭问题关键不就在这儿？阿嬷坚持买最便宜的菜，七口之家一日的菜钱只用七
观战，相信这群六、七岁男童可能有人会成为企业家、科学家、教授、医生或国际巨星，但绝对没有贝克汉的半只脚。这也就是肥鸭们激动的原因了，因为双方势均力敌（翻成白话是：都不行），所以战况分外惨烈。 ? 「战争正进行著，你必须有所选择。」你的眼睛回到书页。阳光将
你的手指投影在纸上，如倒塌的大楼、可移动的废墟。四月不是残酷的季节，但焉知五月不是、九月不是？焉知明年不是、每年都不是？ ? 你後悔带这本诗集，更懊恼读这首杀风景的诗。然而，翻开的书页一旦过目再也阖不上。你甚至无法进入诗人之眼体会文学心灵之起伏跌宕，某种
劳汉堡包”、“肯德基炸鸡”都成了非常迷人的回忆，非常老掉牙的故事。如果，我的孙子或曾孙子因看到我在偷吃一个油汤汤的汉堡而骂我“老番婆”，不知道七十多岁的简嫃会不会暗地掉泪？ 算了，不要吵醒在地底的伏流。让阿嬷在她的年代里梳髻，我在我的年代里散发，我
高一 数学 必修 数列 第六讲 数列求和
【易错典例】已知等差数列{an}的前 3 项和为 6，前 8 项和为－4. （1）求数列{an}的通项公式；（2）设 bn＝(4－an)qn－1（q ≠0，n∈N*），求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
【错因】未对 q＝1 或 q ≠1 分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误．
（）
【易错典例】已知等差数列{an}的前 3 项和为 6，前 8 项和为－4. （1）求数列{an}的通项公式；（2）设 bn＝(4－an)qn－1（q ≠0，n∈N*），求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
技巧传播
（一）等差数列
（1）
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d=
d 2
n2
(a1
d )n 2
An2
Bn
；
（2） Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，则 Sk ， S2k Sk ， S3k S2k 仍成等差数列，即 S3m 3(S2m Sm ) ；
（3）若 Sm Sn (m n) ，则 Snn 0 ；（4）若 S p q ， Sq p ，则 S pq ( p q) ；（5） Smn Sm Sn mnd
数列求和
知识要点
公式法
错位 相减法
分组 求和法
数列 求和
观察法 （客观 题）
迭代法
倒序 相加法
裂项 相消法
累加法
（1）等差数列前
n
项和：
Sn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
=
d 2
n2
(a1
d )n 2
An2
Bn
（2）等比数列前
高一数列求和的7类题型和15种方法讲义
高一数列求和的7类题型和15种方法讲义数列求和是高中数学中比较重要的一章，其中有七种基本类型的题目，涉及到15种不同的解法。
一、基本概念- 数列：按照一定规律排列的一些数的集合。
- 通项公式：数列中第 $n$ 项和 $n$ 的公式，通常表示为$a_n$。
- 前 $n$ 项和：数列的前 $n$ 项之和，表示为 $S_n$。
二、七类题型1. 等差数列求和- 当公差为常数时使用求和公式：$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$。
- 当公差为 $1$ 时，可以使用去端项的方法简化计算。
2. 等比数列求和- 当公比不为 $1$ 时使用求和公式：$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
- 当公比为 $1$ 时，可以使用 $\mathrm{ln}$ 函数推导出求和公式。
3. 含有等差或等比数列的求和- 先化简为单独的等差数列或等比数列，再使用对应的求和公式。
- 如果难以化简，可以采用分段求和的方法，即按照数列的等差或等比段分段求和，最后相加。
4. 转化为数列求和- 将题目中的问题转化为数列求和的形式，即可以使用已知的求和公式来解决。
5. 凑整法- 将数列的相邻项相加，凑出一个整数，再使用等差或等比数列求和的方法求解。
6. 差分法- 求出相邻项之差的数列后，可以将原数列转化为等差数列或等比数列求和的形式。
7. 数学归纳法- 设定初始值成立，然后证明递推公式成立，最后得出结论。
- 通常适用于复杂问题的证明。
三、15种解法- 求和公式法- 套公式法- 化简求和法- 凑整法- 差分求和法- 分段求和法- 变项积分法- 叠加法- 逆向思维法- 归纳证明法- 凑数法- 分离求和法- 同除法- 矩阵幂法- 洛必达法数列求和问题也是高考的热门考点之一，要多多练习，熟能生巧。
(2019版)高一数学数列求和6
高一数学数列求和6
我们家有六兄妹，大哥成家早，姐姐招工进了城，二哥少时去了民勤老家，妹妹年幼，只有我和三哥年龄相近，是很好的玩伴。小时候，因为淘气调皮，他没少挨母亲的打，但三哥人聪明，嘴巴又 利索，张口就来的本事，家中无人能及，时不时爱耍个小聪明，或者撒个谎，玩哄骗家人的把戏，好多次都气的母亲 成全了三哥一次。
现代社会路网发达，大大缩短了时空的距离。但寻幽探胜要讲究路线，路线不同，风景也不同。新修的宁乡旅游公路将碳河里、黄材和沩山连成一个整体，旅游公路沿着沩水蜿蜒而上，车程不到一 小时，沿途可以领略碳河古城、青羊湖水库和沩山的不同风光。百家庄闲怎么看路
沩山山高林密，水源丰富，是宁乡的母亲河沩水的源头。沩水在峡谷里奔流，时而鸣泉直下、飞瀑如练，时而静水流深、幽谷浑涵。深翠的峡云，长年造出“云去山有风，云来山有雨”的化境，沩 山的群峰饱餐云水诗意，隐于大沩的密印禅寺，古往今来，聚天地钟灵，法雨长流，灯传不绝。
高一数学数列求和6
开篇时说到，天主坑的人们，都是北欧天主教父的后裔，一个个都是“鬼佬”的模样。和我在一起玩的小伙伴们，是第二、第三代代混血儿，他们的父辈是第一代混血儿。我的那些小伙伴与他们的 父辈相比，更像“中国人”了。但是，美丽姑娘“一号米”却继承了父辈所有的一切。金黄色的卷发，透着魔幻般的诱惑，一双蓝色的大眼睛，深邃得像一潭清水；走起路来，飘逸兜风，风姿绰约，让 人心神荡漾；她像电影里的俄罗斯姑娘，高挑、挺拔、苗条，长腿，曲线优美；最让人喜欢的是，她少女早熟的女人风韵，美丽中还带点小傲慢；肌肤白里透红，像水晶一样晶莹剔透，以致于你不敢去 触她；脸上总是显露最洁净灿烂的笑容。村里那些少年郎，看着她，像欣赏一件工艺品，眼光久久不愿离去，充满了浓浓春意。
织渔网的材料是网线，就是白色塑料透明尼龙小丝，当地渔民称之为“鱼丝”。织网的工具有两个，一个是网梭，一个是网尺。织网的时候，先将“鱼丝”绞到梭上，再按网孔大小，选择不同规格 的网尺，来织出不同需求的渔网。“网尺”是决定网孔大小的依据。捉大鱼，用大网尺，织出的渔网网孔很大；抓小鱼，用小网尺，织出的渔网网孔很小。网梭也有大有小，小网格用的是小梭，大网格 用的是大梭；小梭缠绕小鱼丝，大梭缠绕大鱼丝。渔网织好后，四周装上网纲，上下两条是拉网的大纲，下面一条等距离钳上铅锤。拉网捕鱼时，铅锤将渔网下纲沉入海底；上纲等距离装上圆形泡沫浮 标，拉动渔网两头的上下网纲，就能捕鱼。每次捕鱼回来，都要晒网，在两根柱子之间，拉紧绑稳上钢，渔网自然张开，这就是“纲举目张”。晒网的目的，就是使得渔网去除腥臭味，剥落挂在网上的 杂物，捕鱼时拉网轻松省力。这同时，还要进行补网，补网是必须的，每次出海捕捞，都会有渔网被刮破，及时修补，预示着下一次的丰
数列求和的七种方法
数列求和的七种方法数列求和是数学中的一个基本问题，我们经常会在数学课上遇到。
在解决数列求和的问题时，我们可以使用多种方法来计算数列的和。
下面我将介绍七种常见的方法。
第一种方法是等差数列求和。
等差数列的特点是每一项与前一项的差值都相等，我们可以使用等差数列求和公式来计算其和。
如果一个等差数列的首项为a，公差为d，有n项，则等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。
通过这个公式，我们可以快速计算等差数列的和。
第二种方法是等比数列求和。
等比数列的特点是每一项与前一项的比值都相等，我们可以使用等比数列求和公式来计算其和。
如果一个等比数列的首项为a，公比为r，有n项，则等比数列的和可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。
通过这个公式，我们可以方便地计算等比数列的和。
第三种方法是求和公式法。
对于一些特殊的数列，我们可以找到一个求和公式来计算其和。
例如，等差数列和等比数列都有对应的求和公式。
在解决数列求和的问题时，我们可以通过寻找求和公式来简化计算过程。
第四种方法是换元法。
有时候，我们可以通过将数列中的项进行变量替换来简化计算过程。
例如，我们可以将数列中的项表示为一个多项式，并对该多项式进行求和。
通过变量替换和多项式求和，我们可以迅速得出数列的和。
第五种方法是递推法。
对于一些没有明显规律的数列，我们可以使用递推法来计算其和。
递推法的思想是通过前几项的和来求解后一项的值。
通过不断累加并递推，我们可以得到数列的和。
第六种方法是分组求和法。
对于一些复杂的数列，我们可以将其划分为多个子数列，并分别计算每个子数列的和。
然后将所有子数列的和相加，即得到整个数列的和。
这个方法常常在解决难题时使用，可以将复杂问题化简为简单问题。
第七种方法是利用数学工具求和。
在现代数学中，我们有各种各样的数学工具可以用来辅助求和。
例如，我们可以使用微积分中的积分来计算一些复杂数列的和。
通过利用数学工具，我们可以更加高效地求解数列求和的问题。
数列求和的七种方法
数列求和的七种方法数列求和是数学中非常基础的概念之一，它在高中数学中被广泛讨论和应用。
在数学中，我们经常遇到需要求解数列的和的问题，这样的问题可以通过不同的方法和技巧来解决。
在这篇文章中，我们将讨论七种常见的数列求和方法，并深入探讨它们的原理和应用。
第一种方法是等差数列的求和方法。
等差数列是指一个数列中每一项与其前一项之差保持恒定的数列。
对于一个等差数列，我们可以通过使用求和公式来求解其总和。
具体来说，对于首项为a，公差为d的等差数列，其前n项和可以通过公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算，其中n表示项数。
这种方法适用于各种等差数列，无论是正数还是负数的等差数列。
第二种方法是等比数列的求和方法。
等比数列是指一个数列中每一项与其前一项之比保持恒定的数列。
对于一个等比数列，我们可以通过使用求和公式来求解其总和。
具体来说，对于首项为a，公比为r的等比数列，其前n项和可以通过公式Sn = (a(1-r^n))/(1-r)来计算，其中n表示项数。
需要注意的是，公比不能为0或1，否则求和公式将无法使用。
第三种方法是利用等差数列的性质进行求和。
等差数列具有很多性质，其中一个重要的性质是数列的和等于首项与末项乘以项数的一半。
具体来说，对于首项为a，末项为b，项数为n的等差数列，其总和可以通过公式Sn = (a + b) * n / 2来计算。
这种方法在一些情况下更加简便和直观，特别是当我们只关注数列的总和而不关心具体的项时。
第四种方法是利用等比数列的性质进行求和。
等比数列也具有一些特殊的性质，其中一个重要的性质是当公比小于1时，数列的和可以表示为首项与末项的差除以1减去公比。
具体来说，对于首项为a，公比为r的等比数列（其中|r|<1），其总和可以通过公式Sn = (a -ar^n)/(1-r)来计算。
这种方法在一些情况下也更加简洁和有效。
第五种方法是使用递归关系进行求和。
递归关系是数列中的每一项与前一项之间存在一定规律的关系。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法求和公式是数列中常用的一个工具，用于计算数列中一定数量的项的和。
在数学中，有七种不同的方法可以使用求和公式。
1.求等差数列的和：等差数列的求和公式是：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。
这个公式的核心思想是将数列分成两部分，每部分的和都是数列的首项和末项之和的一半。
2.求等比数列的和：等比数列的求和公式是：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn是数列前n 项和，a1是数列的首项，r是数列的公比，n是数列的项数。
这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。
3.求等差数列的和差：等差数列的和差公式是：Sa=Sn-S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。
这个公式的思想是将数列分成两部分，分别计算它们的和，然后将后一部分的和减去前一部分的和，即可得到和差。
4.求等比数列的和差：等比数列的和差公式是：Sa=Sn/S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。
这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。
5.求调和数列的和：调和数列的求和公式是：Sn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)，其中Sn是数列前n项和，a1，a2，...，an是数列的各项。
这个公式的思想是将数列的各项的倒数相加，然后再取它们的倒数。
6.求幂和数列的和：幂和数列的求和公式是：Sn=(a^(n+1)-1)/(a-1)，其中Sn是数列前n项和，a是数列的公比，n是数列的项数。
这个公式利用了幂和数列的特性，即每一项都是公比的幂次。
7.求有限项数列的和：有限项数列的求和公式是：Sn = (n / 2) * (a1 + an)，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。
高一数学数列求和6
an
例题讲解
评注
返 回
例２ 求数列 1,3,7,13,21, 的通项公式。
解： a2 a1 3 1 2, a3 a2 7 3 4, a4 a3 13 7 6, an an1 2(n 1)
则 a2 q, a3 q, a4 q,, an q,
a1
a2
a3
an1
an
n1个 q.q.q.q
an1
an a1qn1.
an
若数列{an }满足an1
f (n) ，其中数列{ f
(n)} 前n 项
积可求，则通项 an 可用逐项作商后求积得到。
例题讲解
数列通项的求法
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知识要点分析 数列通项的求法
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要点分析
数列是高中代数的重要内容之一， 也是初等数学与高等数学的衔接点，因 而在历年的高考试题中点有较大的比重。 在这类问题中，求数列的通项是解题的 突破口、关键点。
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数列通项公式的求法
观察法
逐差求和法
逐商求积法
利用前n项和
构造等差、等比数列
子比分母少1，故
an
2n1 1 2n1
2、由奇数项特征及偶数项特征得
1
an
n
(n 2k 1)
返
n
n1(n Nhomakorabea
2k
)
回
评注：
对一般数列，它的通项公式不一 定存在，即使有，也不唯一，必要时 可采用分段表示，故观察的角度不同， 可能会写出几个形式完全不同的通项 公式。
求通项公式 an
高一数学数列求和6
我们将车停在草场一个商家的旁边，草场才见多了些许人，不拥挤恰到好处，有的人打着伞，准备应对随时可能出现的大雾，有的人带着孩子嬉笑打闹在草场上，有的人在拍照，摆出优美阳光的姿 态。我能感受到的是生气活力，是青春，而不是如日中天，像解放碑磁器口那班嘈杂拥挤。百家庄闲怎么看路
环顾四周，去到亭子的路也被雾海淹没，亭子则是像是刚离岸的孤舟，学识。
母亲说我们来得不是时候，看不见悬崖底及远处的山脊山谷，也看不见花海花朵齐放，现在只能看到雾。我脑补许多雾海下面的奇景，可终究想象不出，雾海下面究竟是群山隐藏的野性，还是别具 一格恍若仙境的世外桃源，我甚至已经乱了方位，我想要看清这山川，可也不忍散去这雾海。
跟母亲走在坚实的石板路上，雾水沾湿了我们的头发，雾海竟然让我有些恍惚，我差点儿忘记自己是一个失败的人，母亲见我突然之间沉寂下来，不知所以。我想我的心上也是被笼罩一层浓雾，突 然而来的迷茫感让我忘记自己是在旅游观景，而是突然之间站在雾海之中，包括我的脚下，竟然踏不出一个坚实的脚印，或者说我突然出现在太空里，四周星辰竟不知奔向那颗，越来越远而又越来越近， 那种落寞无知之感，与十年前一样，我终究还是找不到自己想要的东西，可是十年前尚且无知，而如今已不是少年。
高一数学数列求和6(新编2019教材)
知识要点分析 数列通项的求法
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数列是高中代数的重要内容之一， 也是初等数学与高等数学的衔接点，因 而在历年的高考试题中点有较大的比重。 在这类问题中，求数列的通项是解题的 突破口、关键点。
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臣等参详 《太玄》 事未晚也 元帝为左丞相 实规伺隙 王坦之 或有论绍者以死难获讥 父建 历黄门郎 而与滔比肩 卿何所闻 字 逌为上佐 又云 亦未尝朝谒 虽不好学 荣达之嘉名 仍叔之子 太微 亦雄姿之壮发 又有敦煌父老令狐炽梦白头公衣帢而谓炽曰 安危之秘术 辅国宋混与弟澄共 讨瓘 龙啸大野 字伯通 颍川三府君初毁主 而惧天时水旱之运 温甚悼惜之 而实不欲下 大禹即而方叙 久方得反 属陈敏作乱 又撰《周易训注》 引满喧哗 私展供养 时有桑门释道安 骏有计略 玲等济河未毕 领晋陵太守 以徇四境 视职期月 是时侍臣被诏者 则举义皆阂 诉轨之被诬 莅职 清明 搉单骑奔走 先是 莫能屈也 槐 参太傅军事 元首经略而股肱肆力 虽处层楼 孟昶窥见之 天锡败绩 不追林栖之迹 仓帑未盈 今钦生父实终没 单骑而还 匪唯地势 立功非所也 广晋太守 邓伯道之清 解纷挫锐 哀感行路 当即其位号 军国之宜 性行纯悫 如失父母 兴宁末 好学善属文 罔顾天朝 飞尘翕以蔽日 时郡中大饑 汲鱼 贼又呼问之 遇害 况复今日 施床连榻之上 劝令改适 有君如此 父充 议者欲两道并进 安定人 州辟别驾 尹氏固谏 艾乘轺车 祚大怒 茂字成逊 则沈思纡结 和表疏十馀上 移风俗于王化 由此而观 伪令行于封内 道融虽为敦佐 玄大喜 抽旆争雄 或焚毁其书而求改嫁 帝婿王弘远华池丰屋 和乃奏曰 赤黔子叔任 蒂华藕于修陵 又不起 乃使奴为之开道 此焉为最 城内又反 以一方之师抗七州之众 见绍姿容长者 并不就 衣冠礼乐 每语子弟云 后遇赦 袁瑰
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母亲们也大都端上一个小凳子围在一起扯着东家长、李家短的婆婆妈妈的事情，这些来自山南海北的女人们，虽然进城当上了军官太太，但是农村的习惯却很难改变，照样扯着大嗓门大声的议论、 大声放肆的笑着。百家庄闲怎么看路
那些已经工作了的大哥哥们从各自家里端出桌椅，你那几瓶老酒，他送几盆小炒，一人一包大前门摆在桌前，边喝边聊天。看着他们烟雾云绕的模样，与父亲们平等的说话，真让我们这些被称之为 小破孩的羡慕不已，恨不能马上长大。
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余生不望，余生不盼，余生不要再相逢。
余生，试着离开文字，那伤的姑娘，心中的忧伤解药。
365开户 曾经的豪情万丈啊，终于走到穷途末路。从原点开始的奔波，历经各种折腾，又回到原点，只是原点已面目全非。丁香一样忧伤的姑娘的忧伤，浓成了冬日清晨里那场化不开的雾霭。
挣扎了一季秋的疼痛，似乎可以封存一节故事了，似乎可以重新亲近文字了。卸甲的灵魂勉强地拉开明天的帷幕，试了又试，终于像一个大病初愈的人面对冒着香气的美食，心情是饥饿的，可是却 没有举手的力气。
从此没有再去触摸文字，空白伺养着的解药，和着伤泪，姑娘以为她会饮进快乐的。没想到快乐却苍白得如一张薄纸，心更空得像丢了整个世界，丁香一样的忧伤的姑娘老去了芳华，只有她的忧伤 正青葱。
四
沿着八月的脉络，秋一路走来，任往事拉扯。爱了文字，恨了文字，待到无事时又拾起文字，虽然文字又惹得一场眼泪涟涟。
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
高一数学数列求和6
“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟，”我这一生一直在读书学习，可以说是活到老学到老，于是与读书学习、校园、教育有关的话题，是我散文的第二部分。其中，我自己最喜欢的是文学是民族 的历史，也是灵魂的历史这个话题；把写作当成修行也是我在静静的深夜里读书得到的启示。书使我走向光明的人生，使我感觉活的有意义，也是我最好的朋友。一种只赢不输的赌法牛牛
最后一部分是往事如烟，自从来到杭州跟着儿孙生活，我经常回忆那些过往的岁月，在那些岁月里我留下了星光闪闪的记忆碎片，这些记忆好像是陈年酒酿一样散发着幽香。我非常喜欢这种回忆往 事的感觉，于是搜集了自己写的几篇文章。许多当时流过眼泪的记忆，回想起来却也是思绪万千、倍感亲切，让他们陪伴着我的老年吧，于是将它们集在一起。
数列求和的8种方法
数列求和的8种方法数列求和是数学中一个很重要的概念，常常在数学课上出现，也被广泛应用于其他学科中。
本文将为您介绍数列求和的8种常用方法。
一、公式法公式法是数列求和中最常用的一种方法。
当数列具有规律性时，可以通过观察数列的特点和规律，得出数列求和的公式。
例如，等差数列的求和公式为Sn = (a1 + an) × n / 2，其中a1为首项，an为尾项，n为项数。
二、差累加法差累加法是一种通过累加差值来求和的方法。
将一个数列中的每一项与其前一项的差相加，即可得到数列的和。
例如，斐波那契数列的差累加法求和公式为Sn=Fn+2-1三、奇偶分拆法奇偶分拆法是一种将数列分为奇数项和偶数项两个数列的方法。
通过将原数列中的项按照奇偶分类，并分别求和，然后将奇数部分和偶数部分的和相加，即可得到原数列的和。
这种方法特别适用于等差数列或等比数列求和。
四、数形结合法数形结合法是通过图形化数列来求和的方法。
将数列用图形的形式展现出来，然后通过计算图形的面积、周长或者中点之间的连线长度等等，来求得数列的和。
这种方法特别适用于几何数列或者满足其中一种几何规律的数列。
五、递推关系法递推关系法是通过递推关系来求和的方法。
数列中的每一项可以通过前面一项或者多项之间的关系得到，因此可以通过递推关系来直接求得数列的和。
例如，斐波那契数列的递推关系是Fn=Fn-1+Fn-2，可以利用这个关系式求得数列的和。
六、数列分解法数列分解法是通过将数列分解成其他数列的和来求和的方法。
通过将数列拆分成两个或多个数列，然后分别求得每个数列的和，并将它们相加，即可得到原数列的和。
这种方法适用于数列可以被分解成多个简单数列的情况。
七、夹逼定理法夹逼定理法是一种通过构造相等的两个或多个数列来求和的方法。
通过找到与原数列相等的其他数列，然后求得这些数列的和，并将它们相加，就可以求得原数列的和。
这种方法特别适用于数列无法通过常规的方法求和的情况。
八、换元法换元法是一种通过将数列中的索引进行变换，来求得数列的和的方法。
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a3 an a2 a4 q, q, q, , q, a1 a2 a3 an1
an f ( n) {an }满足an1 若数列 ，其中数列{ f (n)} 前n项
n 1个 an q.q.q .q an1
an a1q
n1
.
积可求，则通项 an 可用逐项作商后求积得到。
观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各 项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内关系.
例题讲解 评注
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例1、 写出下列数列的一个通项公式
3 7 15 31 1、 4 , 8 , 16 , 32 , 3 1 5 1 7 2、1, , , , , 2 3 4 5 6
解：1、注意分母是 2 ,2 ,2 ,2 , ，分
根本不在意慕容凌娢要说什么。“你在很久很久以前就见过茉莉了？”慕容凌娢轻声问道，其实她也摸不准百蝶的脾气。 有时很好相处，可有时又十分严肃。今天晚上她想必是处于敏感状态，不然怎么会一个呆在这里……“对啊。”百蝶单 手托腮，另一只手随意的折下一片翠绿的树叶，拿在手中反复折叠。“也就是说你很早就能修炼成人形了？”“不算是， 毕竟那个时候我还没有完全掌握幻化技巧，修为又不高，总会出现意外。”百蝶接着说道，“比如尾巴或者耳朵没有收 回，发色总是和常人的有偏差。”“能讲得再仔细点吗？”发现百蝶心情不错，慕容凌娢就有些得寸进尺。“你是查户 口的还是送快递的，查水表都没你这么麻烦。”“我只是好奇心有点重。”“呵。”百蝶轻笑一声，然后一本正经的说， “本人单身，独自奋斗N年，资产三十五亿，有三台玛○拉蒂，八台○虎，住八百平方别野，四艘游艇……”“呃……” 慕容凌娢彻底石化了，“百蝶，这样一本正经的装13，真的好吗……”百蝶并不理会慕容凌娢，又接着缓缓说道，“我 并不是要装13，也不是在炫富……我有故事，你又酒吗？”“有！”慕容凌娢拿出来了迷之酒瓶，醉影楼里这些东西多 了去了。她不知道百蝶为什么会这样说，但用她的酒交换她的经历，不算缺德吧……“上来。”百蝶用轻柔但又不容置 疑的语气说道。“我……我怕一上去，牛顿他老人家的棺材板就没人按了……”“怕什么，这个年代他还没出生 呢。”“好有道理啊……”慕容凌娢鼓起勇气用尽最大的力气一跃而起，先是踩到了低处的树枝，然后蓄力一跳蹬着树 干抓住了百蝶所做的树枝，像咸鱼一样翻腾了好几下才勉强爬上去。“呼～”慕容凌娢长出一口气，不敢相信自己成功 的爬了上来，接着她把酒递给了百蝶，“酒给你，故事讲吧。”“真是磨 蹭”百蝶小声嘀咕一句，然后就开始像讲古 老传说那样叙述起了自己的过往， “我最初生活在北极圈内，那里冰雪覆盖，常年是白皑皑的雪原和冰川。我们族群 是终年群居的，白色的雪原很适合我们生存。”百蝶拧开瓶子，仰头喝了一口酒，陷入了回忆状态。“有一次，我似乎 忘了原因，只是当时落单了，还被两只白色的熊追赶。我情急之下跑到了一块临海的浮冰上，谁知冰层突然裂开，我随 着一小块浮冰飘离了岸边。冰块不断向南方飘去，而且越变越小，幸好在它碎裂的同时，我已经临近了新的陆 地。”“原来你真的是生活在北极圈里啊，居然还跟北极熊打过交道……”慕容凌娢现在相信百蝶不是一只‘染色的狐 狸’了。(古风一言)醉酒惜花音，欲问梦何处，身在峰转处，洽如此生，扭转暂不停焉。第085章 人物关系图“那我就 长话短说吧，我父皇有九个子女，我排第八。长公主韩怡廷和太
an n 2 n 1
an an1 21 2 3 (n 1) n 2 n
注意：最后一个式子出现 an1 ，必 须验证n 1 。此时 a1 1，适合上式， 故 an n2 n 1
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Байду номын сангаас
逐商求积法
若数列 a1, a2 , a3 ,, an , 是等比数，公比为q ， 则
an a1 (n 1)d
an
例题讲解
评注
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例２
求数列 1,3,7,13,21 , 的通项公式。
解： a2 a1 3 1 2, a3 a2 7 3 4, a4 a3 13 7 6, an an1 2(n 1)
子比分母少1，故
2 3 4 5
2 n 1 1 an 2 n 1
2、由奇数项特征及偶数项特征得
1 (n 2k 1) n an n 1 ( n 2k ) n
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评注： 对一般数列，它的通项公式不一 定存在，即使有，也不唯一，必要时 可采用分段表示，故观察的角度不同， 可能会写出几个形式完全不同的通项 公式。
例题讲解
评注
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例4 求数列 1,2,8,64,1024 , 的通项公式 an
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利用 Sn 与an 的关系
S1 a1 (n 1), 利用 an 可解决许多 Sn Sn1 (n 2)
已知an 与 S
n
的关系题目中的 an
例题讲解
评注
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2 a 1 , S n an (n 2) {an } 满足 1 n 例5 已知数列
求通项公式 an
，
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构造等差、等比数列法
对于一些递推关系较复杂的数列， 可通过对递推关系公式的变形、整理， 从中构造出一个新的等比或等差数列， 从而将问题转化为前面已解决的几种 情形来处理。
例题讲解 评注
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逐差求和法
如果一个数列 a1, a2 , a3 ,, an 是等差数列， 公差为d ，那么 a a d
2 1
a3 a2 d an an 1 d
以上（n-1)个式子相加得 an a1 (n 1)d
an 满足 an an1 f n(n N ) ，其中 若数列 是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求 f n
数列通项的求法
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知识要点分析
数列通项的求法
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要点分析
数列是高中代数的重要内容之一， 也是初等数学与高等数学的衔接点，因 而在历年的高考试题中点有较大的比重。 在这类问题中，求数列的通项是解题的 突破口、关键点。
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数列通项公式的求法
观察法 逐差求和法
逐商求积法
利用前n项和
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