【全国市级联考word】四川省成都市2017届高中毕业班第三次诊断检测数学(文)试题

成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{0,1}A =，2{|20}B x x x =+-=，则A B = ( ) A ．∅ B ．{1} C ．{2,0,1}- D ．{1,0,1,2}-2．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z =（ ）A ．5 C ．．3．在等比数列{}n a 中，12a =，公比2q =．若1234()m a a a a a m N *=∈，则m =( ) A ．11B ．10C ．9D ．84．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好5．已知平面向量(2,3)a =- ，(1,2)b =，向量a b λ+ 与b 垂直，则实数λ的值为( )A ．413 B ．413- C ．54 D ．54- 6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线:22l y x =-．若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2C ．D ．47．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的(1,2,,15)i a i = 分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A ．6B ．7C ． 8D ．98．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12 B ．12- C ．．-9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，点(0,A ．若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则||MF = ( ) A ．43 B．23 D10．已知函数2()2cos 22f x x =-．给出下列命题：①函数()f x 的值域为[2,0]-；②8x π=为函数()f x 的一条对称轴；③,()R f x ββ∃∈+为奇函数；④3(0,)4πα∃∈，()(2)f x f x α=+对x R ∈恒成立．其中的真命题有( )A ．①②B ．③④C ． ②③D ．①④11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．27πB ．48πC ．64πD ．81π12．在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-．若113a =，则数列11{}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．24143 B ．1143 C ． 2413 D ．613第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若210x=，则2log 5x -的值为 ．14．若变量,x y 满足约束条件03003x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则3z x y =-的最小值为 ．15．已知函数32()3f x x bx cx =+++，其中,b c R ∈．若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +=，则(2)f = ．16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在半圆上，则所得梯形的周长的最大值为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2,a b ==c 的长．18．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（Ⅰ）求三棱锥M CDE -的体积； （Ⅱ）求证：DM ACE ⊥平面．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike ”、“ofo ”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（Ⅱ）若对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率． 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆E 上任意一点到两个焦点的距离之和为 （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线:2l y x m =+与椭圆E 相交于,M N 两点，求MON ∆面积的最大值． 21．已知函数()11,af x nx a R x=+-∈． （Ⅰ）若关于x 的不等式()1f x x >-+在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数()()f x g x x=，在（Ⅰ）的条件下，试判断()g x 在2[1,]e 上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换1':2'x xy yϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到曲线'C ，若(,)M x y 为曲线'C 上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离． 23．选修4-5：不等式选讲 已知(),f x x a a R =-∈．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()256f x x +-≥的解集；（Ⅱ）若函数()()3g x f x x =--的值域为A ，且[1,2]A -⊆，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:CABCD 6-10:BDAAD 11、12：CD二、填空题13．1 14．-3 15．-1 16．10三、解答题17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sin sin 2sin cos C A B A -=． ∵180()C A B =-+ ，∴2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=． 化简，得sin (2cos 1)0A B -= ． ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =． ∵0B π<<，∴3B π=．（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-．已知2,a b =2742c c =+-，即2230c c --=． 解得3c =或1c =-（不合题意，舍去）． ∴c 的长为3．18．解：（Ⅰ）如图，记AC BD O = ．∵底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，∴AC BD ⊥，且AC =2BD =．∵四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥平面BDEF ．∵2DE =，M 为线段BF 的中点， ∴12222DEM S ∆=⨯⨯=．∴13M CDE C DEM DEM V V S OC --∆==123=⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），可知AC ⊥平面BDEF ． ∴AC DM ⊥．则在正方形BDEF 中，1tan 2BDM ∠=，tan 2DOE ∠=． ∴90BDM DOE ∠+∠=． ∴OE DM ⊥．∵AC OE O = ，且,AC OE ⊆平面ACE ，∴DM ⊥平面ACE ．19．解：（Ⅰ）根据所给数据得到如下22⨯列联表：根据22⨯列联表中的数据，得到2K 的观测值为250(305105)(3010)(55)(305)(105)k ⨯-⨯=++++ 2.38 2.706≈<． ∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．（Ⅱ）“对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车”记为事件A ，对年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持，1人不支持发展共享单车，分别记为1234,,,,A A A A B ．则从这5人中随机抽取2人的基本事件为：1213141{,},{,},{,},{,}A A A A A A A B ， 23242{,},{,},{,}A A A A A B ， 343{,},{,}A A A B ， 4{,}A B ．共10个．其中，恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含121314232434{,},{,},{,}{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A ．共6个．∴63()105P A ==． ∴对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车的概率是35． 20．解：（Ⅰ）由已知，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．∵椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形， ∴b c =．又2a =，∴a =由222a b c =+，得21b =．∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．联立22212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2298220x mx m ++-=． 此时有27280m ∆=->．由一元二次方程根与系数的关系，得1289m x x +=-，212229m x x -=．∴||MN ==． ∵原点O 到直线l的距离d =，∴1||2MON S MN d ∆== 由0∆>，得290m ->．又0m ≠，∴据基本不等式，得22(9)922MONm m S ∆+-≤= ．当且仅当292m =时，不等式取等号．∴MON ∆面积的最大值为2． 21．解：（Ⅰ）由()1f x x >-+，得111anx x x+->-+． 即212a x nx x x >--+在[1,)+∞上恒成立． 设函数2()12m x x nx x x =--+，1x ≥． 则'()121m x x nx x =--+．∵[1,)x ∈+∞，∴10,210nx x -≤-+<． ∴当[1,)x ∈+∞时，'()1210m x nx x =--+<． ∴()m x 在[1,)+∞上单调递减．∴当[1,)x ∈+∞时，max ()()(1)1m x m x m ≤==． ∴1a >，即a 的取值范围是(1,)+∞．（Ⅱ）211()nx ag x x x x=-+，2[1,]x e ∈． ∴22111'()nx g x x x -=+332212a x x nx ax x ---=． 设()212h x x x nx a =--，则'()2(11)11h x nx nx =-+=-． 由'()0h x =，得x e =．当1x e ≤<时，'()0h x >；当2e x e <≤时，'()0h x <．∴()h x 在[1,)e 上单调递增，在2(,]e e 上单调递减． 且(1)22h a =-，()2h e e a =-，2()2h e a =-． 据（Ⅰ），可知2()(1)0h e h <<． （ⅰ）当()20h e e a =-≤，即2ea ≥时，()0h x ≤即'()0g x ≤． ∴()g x 在2[1,]e 上单调递减．∴当2ea ≥时，()g x 在2[1,]e 上不存在极值． （ⅱ）当()0h e >，即12ea <<时，则必定212,[1,]x x e ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121x e x e <<<<． 当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：∴当12a <<时，()g x 在2[1,]e 上的极值为12(),()g x g x ，且12()()g x g x <． ∵11211111()nx a g x x x x =+-111211x nx x ax -+=． 设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12ea <<，1x e ≤<． ∵'()10x nx ϕ=>，∴()x ϕ在(1,)e 上单调递增，()(1)10x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号． ∵11x e <<，∴1()0g x >．∴当12e a <<时，()g x 在2[1,]e 上的极值21()()0g x g x >>． 综上所述：当2e a ≥时，()g x 在2[1,]e 上不存在极值；当12e a <<时，()g x 在2[1,]e 上存在极值，且极值均为正．注：也可由'()0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在2[1,]e 上的极值问题．22．解：（Ⅰ）由22x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得y x =+ 即直线l 的普通方程为0x y -+=． ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2224x y ρ+==．即曲线C 的直角坐标方程为224x y +=．（Ⅱ）由1'2'x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩，得2''x x y y =⎧⎨=⎩． 代入方程224x y +=，得22''14y x +=． 已知(,)M x y 为曲线'C 上任意一点，故可设(cos ,2sin )M αα，其中α为参数． 则点M 到直线l 的距离d==tan 2β=.∴点M 到直线l= 23．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即为|1||25|6x x -+-≥． 当1x ≤时，不等式可化为(1)(25)6x x ----≥，∴0x ≤； 当512x <<时，不等式可化为(1)(25)6x x ---≥，∴x ∈∅； 当52x ≥时，不等式可化为(1)(25)6x x -+-≥，∴4x ≥． 综上所述：原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或． （Ⅱ）∵||||3||x a x ---≤ |(3)||3|x a x a ---=-， ∴()|3||||3|[|3|,|3|]f x x x a x a a --=---∈--- ． ∴函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．∵[1,2]A -⊆，∴|3|1|3|2a a --≤-⎧⎨-≥⎩．解得1a ≤或5a ≥．∴a 的取值范围是(,1][5,)-∞+∞ ．。